高考数学专题八立体几何8.4直线、平面垂直的判定和性质基础篇考点一直线与平面垂直的判定和性质1.线面垂直的判定和性质1)线面垂直的判定图形条件l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a⊂α,b⊂αa∥b,a⊥α结论l⊥αb⊥α2)线面垂直的性质图形条件a⊥α,b⊂αa⊥α,b⊥α结论a⊥ba∥b2.直线与平面所成的角1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.2)直线l与平面α所成角θ的取值范围直线l和平面α的位置关系l⊂α或l∥αl⊥αl和α斜交θ的取值范围θ=0°θ=90°0°<θ<90°3)最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成角中最小的角.三余弦公式:cosθ=cosθ1·cosθ2(如图所示,其中θ1是斜线OA与平面α所成的角,θ2是斜线OA的射影AB与平面内的直线AC的夹角,θ是斜线OA与平面内的直线AC的夹角).考点二平面与平面垂直的判定和性质1.二面角1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.2)二面角的平面角在二面角的棱上任取一点,以此点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.记此角为θ,当θ=90°时,二面角叫做直二面角.3)二面角的取值范围:[0,π].2.面面垂直的判定和性质1)面面垂直的判定图形条件α∩β=l,OA⊂α,OB⊂β,OA⊥l,OB⊥l,且∠AOB=90°l⊂β,l⊥α结论α⊥βα⊥β2)面面垂直的性质图形条件α⊥β,α∩β=a,l⊂β,l⊥aα∩β=l,α⊥γ,β⊥γ结论l⊥αl⊥γ知识拓展1.三垂线定理及其逆定理1)三垂线定理:在平面内的一条直线,如果与这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直.2)三垂线定理的逆定理:如果平面内一条直线与该平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.2.垂直问题的转化方向图综合篇考法一判定或证明直线与平面垂直的方法1.利用线面垂直的判定定理:l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a⊂α,b⊂α⇒l⊥α(主要方法);2.利用平行线垂直平面的传递性:a∥b,a⊥α⇒b⊥α;3.利用面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β(主要方法);4.利用面面平行的性质:α∥β,a⊥β⇒a⊥α;5.利用面面垂直的性质:α⊥β,α⊥γ,β∩γ=l⇒l⊥α.例1(2018课标Ⅱ,19,12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,2PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.解析(1)证明:因为AP=CP=AC=4,所以△APC为等边三角形,又O为AC的中点...
