1_7.4　数列求和、数列的综合（分层集训）.pptx

高考数学,专题七数列7.4数列求和、数列的综合,考点一数列求和,考向一分组、并项求和,1.(2023届湖北黄冈调研,8)已知数列an满足an(-1)n+an+2=2n-1,S20=650,则a23=()A.231B.234C.279D.276答案B,2.(多选)(2022广东北江实验学校模拟,9)已知数列an的通项公式为an=则()A.a6=19B.a7a6C.S5=22D.S6S8答案BC,3.(2023届江苏百校联考,17)从(3n-1)an+1=(3n+2)an,a2=5,2an+1=an+an+2这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答.已知数列an满足a1=2,.(1)求an的通项公式;(2)设bn=,求数列an+bn的前n项和Tn.注:若选两个条件分别作答,则按第一个解答计分.,解析(1)选,由(3n-1)an+1=(3n+2)an及a1=2,可知an0,所以=,当n2时,有an=a1=2=3n-1.当n=1时,a1=2适合上式,故an=3n-1(nN*).选,由2an+1=an+an+2,得an+2-an+1=an+1-an,所以an为等差数列,由a1=2,a2=5,得该数列的公差d=a2-a1=5-2=3,所以an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1.(2)由(1)知bn=,an+bn=3n-1+,则Tn=2+5+8+(3n-1)+,=+=+.,4.(2022长沙雅礼中学月考,17)已知数列an中,a1=1,a2=3,其前n项和Sn满足Sn+1+Sn-1=2Sn+2(n2,nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=an+,求数列bn的前n项和Tn.,解析(1)由题意得Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2(n2),即an+1-an=2(n2),又a2-a1=3-1=2,所以an+1-an=2(nN*).所以数列an是以1为首项,2为公差的等差数列,所以an=2n-1(nN*).(2)bn=an+=2n-1+22n-1=2n-1+4n,所以Tn=1+3+5+(2n-1)+(4+42+43+4n)=n2+.,5.(2022重庆市育才中学入学考,17)已知等比数列an的前n项和为Sn(nN*),且-=,S6=63.(1)求an的通项公式;(2)若对任意的nN*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列(-1)n的前2n项和.,解析(1)设数列an的公比为q,由已知,有-=,解得q=2或q=-1.又由S6=a1=63,知q-1,所以a1=63,得a1=1,所以an=2n-1.(2)由题意,得bn=(log2an+log2an+1)=(log22n-1+log22n)=n-,即bn是首项为,公差为1的等差数列.设数列(-1)n的前n项和为Tn,则T2n=(-+)+(-+)+(-+)=b1+b2+b2n=2n2.,考向二倒序相加求和,1.(2022辽宁阜新月考,7)已知函数f(x)=x+3sin+,数列an满足an=,则f(a1)+f(a2)+f(a2 021)=()A.2 021B.2 022C.4 042D.4 040答案A,2.(2022江苏无锡检测,6)德国数学家高斯是近代数学奠基者之一,有“数学王子”之称,在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学才能,10岁时,他在进行1+2+3+100的求和运算时,就提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成,因此,此方法也称为高斯算法.已知数列an=,则a1+a2+a98=()A.96B.97C.98D.99答案C,3.(2022山东东营一中月考,8)设f(x)=,根据课本中推导等差数列前n项和的方法可以求得f(1)+f(2)+f(59)的值是()A.B.0C.59D.答案A,4.(2022湖北重点高中联考,15)设函数f(x)=log3,定义Sn=f+f+f,其中nN*,n2,则Sn=.答案0,考向三公式法求和,1.(2021山东菏泽期末,7)已知数列an的前n项和是Sn,且Sn=2an-1,若an(0,2 021),则称项an为“和谐项”,则数列an的所有“和谐项”的和为()A.1 022B.1 023C.2 046D.2 047答案D,2.(2022湖南新高考教学教研联盟第一次联考,5)如图,连接ABC的各边中点得到一个新的A1B1C1,又连接A1B1C1各边中点得到一个新的A2B2C2,如此无限继续下去,得到一系列三角形:ABC,A1B1C1,A2B2C2,这一系列所有三角形的面积和趋向于一个常数.已知A(0,0),B(5,0),C(1,3),则这个常数是()A.B.5C.10D.15答案C,3.(2021新高考,17,10分)已知数列an满足a1=1,an+1=(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列bn的通项公式;(2)求an的前20项和.,解析(1)由题意得a2n+1=a2n+2,a2n+2=a2n+1+1,所以a2n+2=a2n+3,即bn+1=bn+3,且b1=a2=a1+1=2,所以数列bn是以2为首项,3为公差的等差数列,所以b1=2,b2=5,bn=2+(n-1)3=3n-1.(2)当n为奇数时,an=an+1-1.设数列an的前n项和为Sn,则S20=a1+a2+a20=(a1+a3+a19)+(a2+a4+a20)=(a2-1)+(a4-1)+(a20-1)+(a2+a4+a20)=2(a2+a4+a20)-10,由(1)可知a2+a4+a20=b1+b2+b10=102+3=155,故S20=2155-10=300,即an的前20项和为300.,4.(2023届长沙雅礼中学月考,18)设正项数列an的前n项和为Sn,已知2Sn=+an.(1)求an的通项公式;(2)记bn=cos,Tn是数列bn的前n项和,求T3n.,解析(1)当n=1时,2S1=+a1,所以=a1,又a10,故a1=1;当n2时,2Sn-1=+an-1,而2Sn=+an,两式相减得2an=-+an-an-1,整理得(an+an-1)(an-an-1-1)=0,因为an+an-10,所以an-an-1=1,故an是以1为公差的等差数列,从而an=a1+(n-1)1=n.(2)设ck=b3k-2+b3k-1+b3k=(3k-2)2cos+(3k-1)2cos+(3k)2cos 2k=-(3k-2)2-(3k-1)2+9k2=9k-,其中kN*,所以T3n=c1+c2+cn=.,考点二数列的综合,考向一数列与函数综合,1.(多选)(2022江苏泰州模考,9)若正整数m,n只有1为公约数,则称m,n互质,对于正整数k,(k)是不大于k的正整数中与k互质的数的个数,函数(k)以其首名研究者欧拉命名,称为欧拉函数.例如:(2)=1,(3)=2,(6)=2,(8)=4.已知欧拉函数是积性函数,即如果m,n互质,那么(mn)=(m)(n),例如:(6)=(2)(3),则()A.(5)=(8)B.数列(2n)是等比数列C.数列(6n)不是递增数列D.数列的前n项和小于答案ABD,2.(2023届山东潍坊五县联考,15)视力表是根据视角原理设计的,所谓视角就是由外界物体边缘上的两点在眼结点处所形成的夹角,用表示,其单位为分.视力表以一分视角(1)为单位进行设计.我国视力的记录采用“五分记录法”,视力表由14行开口方向各异的正方形“E”形视标所组成,从上到下分别对应视力4.0,4.1,5.2,5.3,从上面的第一行开始往下,每一行“E”形视标边长都是下一行“E”形视标边长的倍,且视力L与视角的关系式为L=5-lg.若某同学的视力是4.0,则其视角=分;若视力4.0的视标边长为1,则视力5.0的视标边长为.答案 10或0.1,考向二数列与不等式综合,1.(2021浙江,10,4分)已知数列an满足a1=1,an+1=(nN*).记数列an的前n项和为Sn,则()A.S1003B.3S1004C.4S100D.S1005答案A,2.(2022福州三中质检,8)已知在等差数列an中,a2=3,a6=11,数列bn的通项公式为bn=loga(a1),Sn是数列bn的前n项和,若Tn=loga,则Sn与Tn的大小关系是()A.SnTnB.SnTnC.SnTnD.SnTn答案B,3.(2022长沙长郡中学月考,18)已知数列an满足an+1-2an=0,a3=8.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=,数列bn的前n项和为Tn.若2Tnm-2 021对nN*恒成立,求正整数m的最大值.,解析(1)由an+1-2an=0得an+1=2an,则an是以2为公比的等比数列,又a3=8,即4a1=8,解得a1=2,所以an=2n.(2)由(1)可得bn=,则Tn=+,Tn=+,两式相减可得Tn=+-=-,化简可得Tn=2-(nN*),因为Tn+1-Tn=2-2+=0,所以Tn逐项递增,T1最小,为,所以2m-2 021,解得m2 022,又mN*,所以m的最大值为2 021.,4.(2023届山东青岛调研检测,19)记关于x的不等式x2-4nx+3n20(nN*)的整数解的个数为an,数列bn的前n项和为Tn,满足4Tn=3n+1-an-2.(1)求数列bn的通项公式;(2)设cn=2bn-,若对任意nN*,都有cncn+1成立,试求实数的取值范围.,解析(1)由不等式x2-4nx+3n20可得nx3n,an=2n+1,Tn=3n+1-n-,当n=1时,b1=T1=1,当n2时,bn=Tn-Tn-1=3n-,b1=1适合上式,bn=3n-,nN*.(2)由(1)可得cn=3n-1+(-1)n-1,cn+1=3n+1-1+(-1)n,cn0,(-1)n-2n,当n为奇数时,-2n,-2n随着n的增大而减小,当n=2时,-2n的值最大,为-,-.综上,可知-.,考法一错位相减法求和,1.(2021新高考,16,5分)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm12 dm的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm12 dm,20 dm6 dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240 dm2,对折2次共可以得到5 dm12 dm,10 dm6 dm,20 dm3 dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180 dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为;如果对折n次,那么Sk=dm2.答案5240,2.(2022重庆八中调研,18)已知数列an-1是递增的等比数列,a2=5且a3+a4=26.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列nan的前n项和Sn.,解析(1)设数列an-1的公比为q,bn=an-1,则an=bn+1.由a2=5得b2=4,由a3+a4=26得b3+b4=24,所以4(q+q2)=24,解得q=2或q=-3(舍去),所以bn=b2qn-2=42n-2=2n.所以数列an的通项公式为an=2n+1.(2)由(1)知nan=n2n+n,设An=12+222+323+n2n,则2An=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1,将以上两式相减得-An=2+22+23+2n-n2n+1=2(2n-1)-n2n+1=(1-n)2n+1-2,所以An=(n-1)2n+1+2.设Bn=1+2+3+n=,则Sn=An+Bn=(n-1)2n+1+2+=(n-1)2n+1+2.,3.(2022山东德州夏津一中入学考试)设数列an是等差数列,数列bn是公比大于0的等比数列,已知a1=1,b1=3,b2=3a3,b3=12a2+3.(1)求数列an和数列bn的通项公式;(2)设数列cn满足cn=求数列ancn的前n项和Tn.,解析(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q(q0),根据题意得解得或(舍),所以an=1+(n-1)1=n,bn=33n-1=3n.(2)当n5时,cn=1,所以Tn=a1+a2+an=1+2+n=.当n6时,cn=bn-5=3n-5,所以Tn=T5+a6b1+a7b2+anbn-5=15+631+732+n3n-5.令M=631+732+n3n-5,则3M=632+733+(n-1)3n-5+n3n-4,两式相减得-2M=631+(32+33+3n-5)-n3n-4=18+-n3n-4,整理得M=-+3n-4,所以Tn=+3n-4.综上,Tn=,4.(2021全国乙文,19,12分)设an是首项为1的等比数列,数列bn满足bn=.已知a1,3a2,9a3成等差数列.(1)求an和bn的通项公式;(2)记Sn和Tn分别为an和bn的前n项和.证明:Tn.,解析(1)设等比数列an的公比为q.a1,3a2,9a3成等差数列,6a2=a1+9a3,又an是首项为1的等比数列,6a1q=a1+9a1q2,9q2-6q+1=0,解得q1=q2=,an=a1qn-1=,bn=,bn=n.(2)证明:Sn为an的前n项和,Sn=.Tn为bn的前n项和,Tn=b1+b2+bn=1+2+n,Tn=1+2+n.-可得Tn=+-n=-n=-+,Tn=-+,Tn-=-n0,Tn.,5.(2020课标理,17,12分)设数列an满足a1=3,an+1=3an-4n.(1)计算a2,a3,猜想an的通项公式并加以证明;(2)求数列2nan的前n项和Sn.,解析(1)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1.由已知可得an+1-(2n+3)=3an-(2n+1),an-(2n+1)=3an-1-(2n-1),a2-5=3(a1-3).因为a1=3,所以an=2n+1.(2)由(1)得2nan=(2n+1)2n,所以Sn=32+522+723+(2n+1)2n.从而2Sn=322+523+724+(2n+1)2n+1.-得-Sn=32+222+223+22n-(2n+1)2n+1.,所以Sn=(2n-1)2n+1+2.,6.(2017天津理,18,13分)已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通项公式;(2)求数列a2nb2n-1的前n项和(nN*).,解析(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,因为b1=2,所以q2+q-6=0,解得q=2或q=-3,又因为q0,所以q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=16,联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,数列an的通项公式为an=3n-2,数列bn的通项公式为bn=2n.(2)设数列a2nb2n-1的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,得a2nb2n-1=(3n-1)4n,故Tn=24+542+843+(3n-1)4n,4Tn=242+543+844+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1,上述两式相减,得-3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4n+1=-4-(3n-1)4n+1=-(3n-,2)4n+1-8.得Tn=4n+1+.所以,数列a2nb2n-1的前n项和为4n+1+.,考法二裂项相消法求和,1.(2022广东四校联考,6)已知数列an满足an=,则a1+=()A.B.C.D.答案D,