1_6.2　平面向量的数量积及其应用.pptx

高考数学,专题六平面向量6.2平面向量的数量积及其应用,考点平面向量的数量积1.两个向量的夹角,2.平面向量的数量积,3.投影向量1)如图1,设a,b是两个非零向量,=a,=b,考虑如下的变换:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量.,图1 图22)如图2,在平面内任取一点O,作=a,=b.过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量.4.向量数量积的性质设a,b是非零向量,它们的夹角是,e是与b方向相同的单位向量,则,1)ea=ae=|a|cos.2)abab=0.3)当a与b同向时,ab=|a|b|;当a与b反向时,ab=-|a|b|.特别地,aa=|a|2.4)cos=.5)|ab|a|b|.5.已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则1)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件:abab=0 x1x2+y1y2=0.2)求夹角问题,利用夹角公式:,cos=.3)求向量的模:|a|=或|AB|=|=(其中A(x1,y1),B(x2,y2).,考法一求平面向量模的方法1.求向量模的方法1)|a|=;2)|ab|=;3)若a=(x,y),则|a|=;4)解向量所在三角形,转化为求三角形的边长;5)通过解方程(组)求解.2.求向量模的最值(范围)的方法1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解.2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.,3)利用|a|-|b|ab|a|+|b|求模的取值范围.,例1(2022广东湛江模考,4)已知单位向量a,b的夹角为,若向量m=2a,n=4a-b且mn,则|n|=()A.2B.4C.8D.16,解析因为mn,所以2a(4a-b)=0,即8a2-2ab=0,故4-=0,解得=-4,故n=4a+4b,故|n|2=16a2+32ab+32b2=16,故|n|=4.故选B.,答案B,例2(2020课标理,14,5分)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.,解析由|a+b|=1,得|a+b|2=1,即a2+b2+2ab=1,而|a|=|b|=1,故ab=-,|a-b|=.,答案,例3(2021山东滨州二模,14)已知平面向量a,b,d是单位向量,且ab=0,则|d-a-b|的最大值为.,解析 因为ab=0,所以ab,建系如图所示,可设a=(1,0),b=(0,1),d=(x,y),因为|d|=1,所以d的终点为单位圆上任意一点,又d-a-b=(x-1,y-1),所以|d-a-b|=,表示点(x,y)与点A(1,1)间的距离,由图可得,当(x,y)位于图中B点时,点B与点A间的距离最大,且为+1,所以|d-a-b|的最大值为+1.,答案+1,考法二求平面向量夹角的方法1.定义法:当非零向量a,b是非坐标形式时,需求出ab及|a|,|b|或得出它们之间的关系.2.坐标法:若已知非零向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2),则可直接利用公式cos=求解,注意0,.3.转化成解三角形问题,利用正弦、余弦定理求解.,例4(2022河北邯郸三模,13)若向量a,b满足|a|=|b|,|a+2b|=|a|,则向量a,b的夹角为.,解析由|a+2b|=|a|得|a+2b|2=3|a|2,又|a|=|b|,|a|2+4|a|b|cos+4|b|2=5|a|2+4|a|2cos=3|a|2,cos=-,又0,=.,答案,考法三平面向量数量积的综合应用1.用向量法解决平面几何问题的基本步骤1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;3)把运算结果转化成几何关系.2.三角形的四心与向量之间的关系在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.1)在=的条件下,存在使得I为ABC的内心;a+b+c=0P为ABC的内心.2)|=|=|P为ABC的外心.,3)+=0G为ABC的重心.4)=P为ABC的垂心.,例5在ABC中,向量与满足=0,且=,则ABC为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等腰直角三角形,解析=0,分别为,方向上的单位向量,A的平分线与BC垂直,则AB=AC.由=|cos B,可得cos B=,则B=,B=C=,A=.ABC为等腰直角三角形.,答案D,例6(2019江苏,12,5分),如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若=6,则的值是.,解析解法一:过D作DFEC,交AB于F.D为BC的中点,F为BE的中点,又BE=2EA,EF=EA,又DFEO,AO=AD,=(+).=(+)=.=6,=-+,=3,|=|,=.解法二:由于题目中对BAC没有限制,所以不妨设BAC=90,AB=c,AC=b,建立如图所示的平面直角坐标系.,则E,D,C(b,0),=.易得lAD:y=x,lEC:+=1,联立得解得则O,=.由=6得6=0,c2=3b2,c=b,=.,答案,