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北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A版 专题六　机械能守恒定律 基础篇 考点一　功和功率 1.(2022广东,9,6分)(多选)如图所示,载有防疫物资的无人驾驶小车,在水平MN段以恒定功率200 W、速度5 m/s匀速行驶,在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s匀速行驶。已知小车总质量为50 kg,MN=PQ=20 m,PQ段的倾角为30°,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力。下列说法正确的有(　　) A.从M到N,小车牵引力大小为40 N B.从M到N,小车克服摩擦力做功800 J C.从P到Q,小车重力势能增加1×104 J D.从P到Q,小车克服摩擦力做功700 J 答案　ABD　 2.(2022河北廊坊期末,2)如图1所示,静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块,在水平拉力F作用下,沿x轴方向运动,拉力F的大小随物块所在位置坐标x的变化关系如图2所示,图线为半圆。则小物块运动到x0处时F所做的总功为(　　) A.0　　　B.12Fmx0　　　C.π4Fmx0　　　D.π4x02 答案　C　 3.(2021重庆选考适应性测试,10)(多选)如图所示,倾角为θ的斜面MN段粗糙,其余段光滑,PM、MN长度均为3d。四个质量均为m的相同样品1、2、3、4放在斜面上,每个样品(可视为质点)左侧固定有长度为d的轻质细杆,细杆与斜面平行,且与其左侧的样品接触但不粘连,样品与MN间的动摩擦因数为tan θ。若样品1在P处时,四个样品由静止一起释放,则(重力加速度大小为g)(　　) A.当样品1刚进入MN段时,样品的共同加速度大小为34g sin θ B.当样品1刚进入MN段时,样品1的轻杆受到的压力大小为3mg sin θ C.从开始到四个样品均位于MN段时,摩擦力做的总功为9dmg sin θ D.当四个样品均位于MN段时,样品的共同速度大小为3gdsinθ 答案　AD　 考点二　动能与动能定理 1.(2019课标Ⅲ,17,6分)从地面竖直向上抛出一物体,物体在运动过程中除受到重力外,还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用。距地面高度h在3 m以内时,物体上升、下落过程中动能Ek随h的变化如图所示。重力加速度取10 m/s2。该物体的质量为(　　) A.2 kg　　　B.1.5 kg　　　C.1 kg　　　D.0.5 kg 答案　C　 2.(2022浙江6月选考,12,3分)风力发电已成为我国实现“双碳”目标的重要途径之一。如图所示,风力发电机是一种将风能转化为电能的装置。某风力发电机在风速为9 m/s时,输出电功率为405 kW,风速在5~10 m/s范围内,转化效率可视为不变。该风机叶片旋转一周扫过的面积为A,空气密度为ρ,风场风速为v,并保持风正面吹向叶片。下列说法正确的是(　　) A.该风力发电机的输出电功率与风速成正比 B.单位时间流过面积A的流动空气动能为12ρAv2 C.若每天平均有1.0×108 kW的风能资源,则每天发电量为2.4×109 kW·h D.若风场每年有5 000 h风速在6~10 m/s范围内,则该发电机年发电量至少为6.0×105 kW·h 答案　D　 3.(2022全国乙,20,6分)(多选)质量为1 kg的物块在水平力F的作用下由静止开始在水平地面上做直线运动,F与时间t的关系如图所示。已知物块与地面间的动摩擦因数为0.2,重力加速度大小取g=10 m/s2。则(　　) A.4 s时物块的动能为零 B.6 s时物块回到初始位置 C.3 s时物块的动量为12 kg·m/s D.0~6 s时间内F对物块所做的功为40 J 答案　AD　 考点三　机械能守恒定律 1.(2021广东,9,6分)(多选)长征途中,为了突破敌方关隘,战士爬上陡峭的山头,居高临下向敌方工事内投掷手榴弹。战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m的手榴弹。手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h,在空中的运动可视为平抛运动,轨迹如图所示,重力加速度为g。下列说法正确的有(　　) A.甲在空中的运动时间比乙的长 B.两手榴弹在落地前瞬间,重力的功率相等 C.从投出到落地,每颗手榴弹的重力势能减少mgh D.从投出到落地,每颗手榴弹的机械能变化量为mgh 答案　BC　 2.(2022全国乙,16,6分)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环。小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑,在下滑过程中,小环的速率正比于(　　) A.它滑过的弧长 B.它下降的高度 C.它到P点的距离 D.它与P点的连线扫过的面积 答案　C　 3.(2022全国甲,14,6分)北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a处由静止自由滑下,到b处起跳,c点为a、b之间的最低点,a、c两处的高度差为h。要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍,运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力,则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于(　　) A.hk+1　　　B.hk　　　C.2hk　　　D.2hk-1 答案　D　 4.(2022河北,9,6分)(多选)如图,轻质定滑轮固定在天花板上,物体P和Q用不可伸长的轻绳相连,悬挂在定滑轮上,质量mQ>mP,t=0时刻将两物体由静止释放,物体Q的加速度大小为g3。T时刻轻绳突然断开,物体P能够达到的最高点恰与物体Q释放位置处于同一高度,取t=0时刻物体P所在水平面为零势能面,此时物体Q的机械能为E。重力加速度大小为g,不计摩擦和空气阻力,两物体均可视为质点。下列说法正确的是　(　　) A.物体P和Q的质量之比为1∶3 B.2T时刻物体Q的机械能为E2 C.2T时刻物体P重力的功率为3E2T D.2T时刻物体P的速度大小为2gT3 答案　BCD　 5.(2021山西八校联考,7)如图所示,原长为l、劲度系数为k的轻弹簧,一端拴接一个质量为m的小球,另一端固定在光滑转动轴O上,弹簧中有一不可伸长的细绳,两端分别系在弹簧的两端,细绳长为l+mgk。初始时,小球静止在竖直的弹簧上端,轻触小球,小球绕光滑转轴O在竖直平面转动,假设细绳拉直瞬间前后小球的速度大小不变。当地重力加速度为g,当小球转动到最低点时,细绳的拉力大小为(　　) A.mg　　　B.4kmgllk+mg C.4kmgllk+mg+mg　　　D.4kmgllk+mg-mg 答案　B　 综合篇 拓展一　动能定理在多过程中的应用 1.(2018江苏单科,7,4分)(多选)如图所示,轻质弹簧一端固定,另一端连接一小物块,O点为弹簧在原长时物块的位置。物块由A点静止释放,沿粗糙程度相同的水平面向右运动,最远到达B点。在从A到B的过程中,物块(　　) A.加速度先减小后增大 B.经过O点时的速度最大 C.所受弹簧弹力始终做正功 D.所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功 答案　AD　 2.(2021全国甲,20,6分)(多选)一质量为m的物体自倾角为α的固定斜面底端沿斜面向上滑动。该物体开始滑动时的动能为Ek,向上滑动一段距离后速度减小为零,此后物体向下滑动,到达斜面底端时动能为Ek5。已知sin α=0.6,重力加速度大小为g。则(　　) A.物体向上滑动的距离为Ek2mg B.物体向下滑动时的加速度大小为g5 C.物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5 D.物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长 答案　BC　 3.(2021湖北,4,4分)如图(a)所示,一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑,运动过程中摩擦力大小f恒定,物块动能Ek与运动路程s的关系如图(b)所示。重力加速度大小取10 m/s2,物块质量m和所受摩擦力大小f分别为(　　) 图(a) 图(b) A.m=0.7 kg,f=0.5 N　　　B.m=0.7 kg,f=1.0 N C.m=0.8 kg,f=0.5 N　　　D.m=0.8 kg,f=1.0 N 答案　A　 4.(2018课标Ⅲ,25,20分)如图,在竖直平面内,一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切,BC为圆弧轨道的直径,O为圆心,OA和OB之间的夹角为α,sin α=35。一质量为m的小球沿水平轨道向右运动,经A点沿圆弧轨道通过C点,落至水平轨道;在整个过程中,除受到重力及轨道作用力外,小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心,且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求 (1)水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小; (2)小球到达A点时动量的大小; (3)小球从C点落至水平轨道所用的时间。 答案　(1)34mg　5gR2　 (2)m23gR2 (3)355Rg 5.(2021福建,14,12分)如图(a),一倾角37°的固定斜面的AB段粗糙,BC段光滑。斜面上一轻质弹簧的一端固定在底端C处,弹簧的原长与BC长度相同。一小滑块在沿斜面向下的拉力T作用下,由A处从静止开始下滑,当滑块第一次到达B点时撤去T。T随滑块沿斜面下滑的位移s的变化关系如图(b)所示。已知AB段长度为2 m,滑块质量为2 kg,滑块与斜面AB段的动摩擦因数为0.5,弹簧始终在弹性限度内,重力加速度大小取10 m/s2, sin 37°=0.6。求: (1)当拉力为10 N时,滑块的加速度大小; (2)滑块第一次到达B点时的动能; (3)滑块第一次在B点与弹簧脱离后,沿斜面上滑的最大距离。 图(a) 图(b) 答案　(1)7 m/s2　(2)26 J　(3)1.3 m 6.(2021湖南,14,15分)如图,竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一长为L的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接,水平轨道右下方有一段弧形轨道PQ。质量为m的小物块A与水平轨道间的动摩擦因数为μ。以水平轨道末端O点为坐标原点建立平面直角坐标系xOy,x轴的正方向水平向右,y轴的正方向竖直向下,弧形轨道P端坐标为(2μL,μL),Q端在y轴上。重力加速度为g。 (1)若A从倾斜轨道上距x轴高度为2μL的位置由静止开始下滑,求A经过O点时的速度大小; (2)若A从倾斜轨道上不同位置由静止开始下滑,经过O点落在弧形轨道PQ上的动能均相同,求PQ的曲线方程; (3)将质量为λm(λ为常数且λ≥5)的小物块B置于O点,A沿倾斜轨道由静止开始下滑,与B发生弹性碰撞(碰撞时间极短),要使A和B均能落在弧形轨道上,且A落在B落点的右侧,求A下滑的初始位置距x轴高度的取值范围。 答案　(1)2μgL　(2)4y2+x2-8μLy=0　(3)见解析 解析　(1)A由距x轴高度为2μL的位置滑到O点的过程满足:mg·2μL-μmgL=12mv2 得v=2μgL (2)A滑过O点后做平抛运动落到轨道PQ上: 水平方向x=v0t 竖直方向y=12gt2 得v0=xg2y 竖直方向,由动能定理得mgy=12mvy2 得vy2=2gy 设A落在轨道PQ上的速度为v,则v2=vy2+v02 得v2=2gy+x2g2y A落在轨道PQ上的动能相同,则v2不变 令v2=2gy+x2g2y=k 将点(2μL,μL)代入得k=4μgL PQ的曲线方程:2gy+x2g2y=4μgL 整理得:4y2+x2-8μLy=0 (3)设A由距x轴高h处滑下,到O点时速度为vA,这个过程满足:mgh-μmgL=12mvA2 A与B发生弹性碰撞: mvA=mvA'+λmvB' 12mvA2=12mvA'2+12λmvB'2 得vA'=1-λ1+λvA vB'=2λ+1vA λ≥5,则vA'=1-λ1+λvA<0 若要满足A落在B落点的右侧,必须有 物块A再次返回O点时的速度vA″>vB' μmg·2L=12mvA'2-12mvA″2 若要使A和B均能落在弧形轨道上,则 μL=12gt02,2μL≥vA″t0 解得μL(3λ-1)λ-3≤h≤λ2+λ+1(λ-1)2 μL 易错警示 若要满足A落在B落点右侧,必须满足的条件是A与B发生弹性碰撞后A返回倾斜轨道,且能再次滑过水平轨道,到达O点时的速度vA″>vB'。 7.(2019课标Ⅰ,25,20分)竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接,小物块B静止于水平轨道的最左端,如图(a)所示。t=0时刻,小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑,一段时间后与B发生弹性碰撞(碰撞时间极短);当A返回到倾斜轨道上的P点(图中未标出)时,速度减为0,此时对其施加一外力,使其在倾斜轨道上保持静止。物块A运动的v-t图像如图(b)所示,图中的v1和t1均为未知量。已知A的质量为m,初始时A与B的高度差为H,重力加速度大小为g,不计空气阻力。 图(a) 图(b) (1)求物块B的质量; (2)在图(b)所描述的整个运动过程中,求物块A克服摩擦力所做的功; (3)已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等。在物块B停止运动后,改变物块与轨道间的动摩擦因数,然后将A从P点释放,一段时间后A刚好能与B再次碰上。求改变前后动摩擦因数的比值。 答案　(1)3m　(2)215mgH　(3)119 拓展二　机械能守恒定律在多物体中的应用 1.(2021山东济南历城二中模拟,8)如图所示,将一表面光滑的半圆柱体固定于水平桌面上,一跨过圆柱表面不可伸长的轻绳分别与甲、乙两个质量不同的小球相连,乙球的质量大于甲球的质量。开始时用手按住甲球位于水平桌面且靠住圆柱侧面。现静止释放甲球,为使小球甲能恰好通过圆柱的最高点,球可看成质点,则下列说法正确的是(　　) A.甲球在运动到圆柱顶前两球速度相同 B.乙球下落过程中机械能守恒 C.当两球质量比满足m甲m乙=π-13时,甲球能恰好通过圆柱顶端 D.当两球质量比满足m甲m乙=12时,甲球能恰好通过圆柱顶端 答案　C　 2.(2021重庆育才中学二模,7)如图所示,滑块2套在光滑的竖直杆上并通过细绳绕过光滑定滑轮连接物块1,物块1又与一轻质弹簧连接在一起,轻质弹簧另一端固定在地面上。开始时用手托住滑块2,使绳子刚好伸直但无张力,此时弹簧的压缩量为d。现将滑块2从A处由静止释放,经过B处的速度最大,到达C处的速度为零,此时物块1还没有到达滑轮位置。已知滑轮与杆的水平距离为3d,A、C间距离为4d,不计滑轮质量、大小及摩擦。下列说法中正确的是(　　) A.滑块2下滑过程中,机械能先增大后减小 B.滑块2经过B处时的加速度等于零 C.物块1和滑块2的质量之比为3∶2 D.若滑块2质量增加一倍,其他条件不变,仍让滑块2由A处从静止滑到C处,滑块2到达C处时,物块1和滑块2的速度之比为5∶4 答案　B　 3.(2022广东湛江期末,13)如图所示,在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连,A放在水平地面上,B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连,C放在固定的足够长光滑斜面上。用手按住C,使细线恰好伸直但没有拉力,并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行。已知A、B的质量均为m,C的质量为M(M>2m),细线与滑轮之间的摩擦不计,开始时整个系统处于静止状态。释放C后它沿斜面下滑,当A恰好要离开地面时,B获得最大速度(B未触及滑轮,弹簧始终处于弹性限度内,重力加速度大小为g)。求: (1)释放物体C之前弹簧的压缩量; (2)物体B的最大速度vm。 答案　(1)mgk　(2)2mg1k(M+m) 4.(2018江苏单科,14,16分)如图所示,钉子A、B相距5l,处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块,另一端绕过A固定于B。质量为m的小球固定在细线上C点,B、C间的线长为3l。用手竖直向下拉住小球,使小球和物块都静止,此时BC与水平方向的夹角为53°。松手后,小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零,然后向下运动。忽略一切摩擦,重力加速度为g,取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。求: (1)小球受到手的拉力大小F; (2)物块和小球的质量之比M∶m; (3)小球向下运动到最低点时,物块M所受的拉力大小T。 答案　(1)53Mg-mg　(2)6∶5　(3)见解析 解析　(1)设小球受AC、BC的拉力分别为F1、F2 F1 sin 53°=F2 cos 53° F+mg=F1 cos 53°+F2 sin 53° 且F1=Mg 解得F=53Mg-mg (2)小球运动到与A、B相同高度过程中 小球上升高度h1=3l sin 53°,物块下降高度h2=2l 由机械能守恒定律得mgh1=Mgh2 解得Mm=65 (3)根据机械能守恒定律,小球回到起始点。设此时AC方向的加速度大小为a,物块受到的拉力为T 由牛顿运动定律得Mg-T=Ma 小球受AC的拉力T'=T 由牛顿运动定律得T'-mg cos 53°=ma 解得T=8mMg5(m+M)(T=4855mg或T=811Mg) 5.(2021浙江6月选考,20,12分)如图所示,水平地面上有一高H=0.4 m的水平台面,台面上竖直放置倾角θ=37°的粗糙直轨道AB、水平光滑直轨道BC、四分之一圆周光滑细圆管道CD和半圆形光滑轨道DEF,它们平滑连接,其中管道CD的半径r=0.1 m、圆心在O1点,轨道DEF的半径R=0.2 m、圆心在O2点,O1、D、O2和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道AB上、距台面高为h的P点静止下滑,与静止在轨道BC上等质量的小球发生弹性碰撞,碰后小球经管道CD、轨道DEF从F点竖直向下运动,与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞,碰后速度方向水平向右,大小与碰前相同,最终落在地面上Q点。已知小滑块与轨道AB间的动摩擦因数μ=112,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2。 (1)若小滑块的初始高度h=0.9 m,求小滑块到达B点时速度vB的大小; (2)若小球能完成整个运动过程,求h的最小值hmin; (3)若小球恰好能过最高点E,且三棱柱G的位置上下可调,求落地点Q与F点的水平距离x的最大值xmax。 答案　(1)4 m/s　(2)0.45 m　(3)0.8 m 6.(2021山东济南二模,18)如图所示,内径很小的细管PMN竖直固定,PM段为内径粗糙的水平直线细管,P点处有一弹性挡板、MN段为内径光滑的半径为R的14圆弧,两段细管于M点处顺滑连接。一细绳左侧连接一质量为3m的滑块A,另一端穿过P板经细管连接一大小略小于内径的质量为m的滑块B。在外力影响下,两滑块初始均静止,除PM段外,其余各处阻力不计,PM段动摩擦因数取0.5,重力加速度为g。 (1)同时释放两滑块,试求滑块B运动至M点时,滑块A的速度大小。 (2)系统释放后,滑块B经M点后水平撞击挡板P能够以原速率弹回,第一次弹回后刚好返回到M点,最终滑块B和系统静止。试判断整个过程中,滑块B在水平段运动路程是PM段长度的几倍。 (3)若滑块A的质量可以调节,但应大于滑块B。要使滑块B运动至M点时对细管的压力不大于自身重力的13倍,试求滑块A与B满足要求的质量比值范围。 答案　(1)12(3π-2)gR　(2)8倍 (3)83π-2,103π-4 拓展三　功能关系与能量守恒 1.(2022河北唐山期末,8)(多选)将三个木板1、2、3固定在墙角,木板与墙壁和地面构成了三个不同的三角形,如图所示,其中1和2底边相同,2和3高度相同。现将一个可以视为质点的物块分别从三个木板的顶端由静止释放,并沿斜面下滑到底端,物块与木板之间的动摩擦因数μ均相同。在这三个过程中,下列说法正确的是(　　) A.沿着1和2下滑到底端时,物块的速率不同,沿着2和3下滑到底端时,物块的速率相同 B.沿着1下滑到底端时,物块的速度最大 C.物块沿着3下滑到底端的过程中,产生的热量是最多的 D.物块沿着1和2下滑到底端的过程中,产生的热量是一样多的 答案　BCD　 2.(2018天津理综,2,6分)滑雪运动深受人民群众喜爱。某滑雪运动员(可视为质点)由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB,从滑道的A点滑行到最低点B的过程中,由于摩擦力的存在,运动员的速率不变,则运动员沿AB下滑过程中(　　) A.所受合外力始终为零 B.所受摩擦力大小不变 C.合外力做功一定为零 D.机械能始终保持不变 答案　C　 3.(2020课标Ⅰ,20,6分)(多选)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑,其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示,重力加速度取10 m/s2。则　(　　) A.物块下滑过程中机械能不守恒 B.物块与斜面间的动摩擦因数为0.5 C.物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2 D.当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J 答案　AB　 4.(2021辽宁,10,6分)(多选)冰滑梯是东北地区体验冰雪运动乐趣的设施之一。某冰滑梯的示意图如图所示,螺旋滑道的摩擦可忽略;倾斜滑道和水平滑道与同一滑板间的动摩擦因数μ相同,因滑板不同μ满足μ0≤μ≤1.2μ0。在设计滑梯时,要确保所有游客在倾斜滑道上均减速下滑,且滑行结束时停在水平滑道上,以下L1、L2的组合符合设计要求的是(　　) A.L1=h2μ0,L2=3h2μ0　　　B.L1=4h3μ0,L2=h3μ0 C.L1=4h3μ0,L2=2h3μ0　　　D.L1=3h2μ0,L2=hμ0 答案　CD　 5.(2021北京,20,12分)秋千由踏板和绳构成,人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆动,等效“摆球”的质量为m,人蹲在踏板上时摆长为l1,人站立时摆长为l2。不计空气阻力,重力加速度大小为g。 (1)如果摆长为l1,“摆球”通过最低点时的速度为v,求此时“摆球”受到拉力T的大小。 (2)在没有别人帮助的情况下,人可以通过在低处站起、在高处蹲下的方式使“摆球”摆得越来越高。 a.人蹲在踏板上从最大摆角θ1开始运动,到最低点时突然站起,此后保持站立姿势摆到另一边的最大摆角为θ2。假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小不变,通过计算证明θ2>θ1。 b.实际上人在最低点快速站起后“摆球”摆动速度的大小会增大。随着摆动越来越高,达到某个最大摆角θ后,如果再次经过最低点时,通过一次站起并保持站立姿势就能实现在竖直平面内做完整的圆周运动,求在最低点“摆球”增加的动能ΔEk应满足的条件。 答案　(1)T=mg+mv2l1 (2)a.见解析　b.ΔEk≥52mgl2-mgl1(1-cos θ) 解析　(1)根据牛顿运动定律T-mg=mv2l1 得T=mg+mv2l1 (2)a.设人在最低点站起前后“摆球”的摆动速度大小分别为v1、v2,根据功能关系得mgl1(1-cos θ1)=12mv12 mgl2(1-cos θ2)=12mv22 已知v1=v2,得mgl1(1-cos θ1)=mgl2(1-cos θ2) 因为l1>l2,得cos θ1> cos θ2 所以θ2>θ1 b.设“摆球”由最大摆角θ摆至最低点时动能为Ek,根据功能关系得Ek=mgl1(1-cos θ) “摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动,通过最高点的最小速度为vm 根据牛顿运动定律得mg=mvm2l2 “摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动,根据功能关系得Ek+ΔEk≥2mgl2+12mvm2 得ΔEk≥52mgl2-mgl1(1-cos θ) 6.(2021山东,18,16分)如图所示,三个质量均为m的小物块A、B、C,放置在水平地面上,A紧靠竖直墙壁,一劲度系数为k的轻弹簧将A、B相接,C紧靠B,开始时弹簧处于原长,A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力,使B、C一起向左运动,当速度为零时,立即撤去恒力,一段时间后A离开墙壁,最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为f,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,弹簧始终在弹性限度内。 (弹簧的弹性势能可表示为:Ep=12kx2,k为弹簧的劲度系数,x为弹簧的形变量) (1)求B、C向左移动的最大距离x0和B、C分离时B的动能Ek; (2)为保证A能离开墙壁,求恒力的最小值Fmin; (3)若三物块都停止时B、C间的距离为xBC,从B、C分离到B停止运动的整个过程,B克服弹簧弹力做的功为W,通过推导比较W与fxBC的大小; (4)若F=5f,请在所给坐标系中,画出C向右运动过程中加速度a随位移x变化的图像,并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时a、x值(用f、k、m表示),不要求推导过程。以撤去F时C的位置为坐标原点,水平向右为正方向。 答案　(1)2F-4fk　F2-6fF+8f2k　(2)Fmin=3+102f　(3)(4)见解析 解析　(1)从开始到B、C向左移动到最大距离的过程中,以B、C和弹簧为研究对象,由功能关系得 Fx0=2fx0+12kx02① 弹簧与A、B相连,弹簧恢复原长之后B向右运动受弹簧阻力、摩擦阻力,C向右运动受摩擦阻力,B、C速度相同后分离,从弹簧最短到B、C分离,以B、C和弹簧为研究对象,由能量守恒得12kx02=2fx0+2Ek② 由①式得x0=2F-4fk③ 联立②③式得Ek=F2-6fF+8f2k④ (2)当A刚要离开墙时,弹簧在B的带动下处于伸长状态,设弹簧的伸长量为x,以A为研究对象,由平衡条件得kx=f⑤ 若A刚要离开墙壁时B的速度恰好等于零,这种情况下恒力为最小值Fmin,从弹簧恢复原长到A刚要离开墙的过程中,以B和弹簧为研究对象,由能量守恒得 Ek=12kx2+fx⑥ 联立④⑤⑥式得Fmin=(3±102)f⑦ 根据题意舍去Fmin=(3-102)f,得 Fmin=(3+102)f⑧ (3)从B、C分离到B停止运动,设B(B做往返运动)的位移为xB,路程为sB,C的位移为xC,以B为研究对象,由动能定理得-W-fsB=0-Ek⑨ 以C为研究对象,由动能定理得-fxC=0-Ek⑩ 由B、C的运动关系得sB>xC-xBC=xB11 联立⑨⑩11式得W<fxBC12 (4)在O点时,以B、C整体为研究对象,由F=5f和③式得F弹=kx0=6f,则对B、C整体有F弹-2f=2ma,解得a=2fm;B、C分离时C的位移为x0=6fk,分离后由Ek=fxC和F=5f及④式得xC=3fk,故C停止运动时位移为9fk。 应用篇 模型一　机车启动模型 1.(2021湖南,3,4分)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力,从而达到提速的目的。总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢,每节车厢发动机的额定功率均为P,若动车组所受的阻力与其速率成正比(F阻=kv,k为常量),动车组能达到的最大速度为vm。下列说法正确的是(　　) A.动车组在匀加速启动过程中,牵引力恒定不变 B.若四节动力车厢输出功率均为额定值,则动车组从静止开始做匀加速运动 C.若四节动力车厢输出的总功率为2.25P,则动车组匀速行驶的速度为 34vm D.若四节动力车厢输出功率均为额定值,动车组从静止启动,经过时间t达到最大速度vm,则这一过程中该动车组克服阻力做的功为 12mvm2-Pt 答案　C　 2.(2022浙江6月选考,13,3分)小明用额定功率为1 200 W、最大拉力为300 N的提升装置,把静置于地面的质量为20 kg的重物竖直提升到高为85.2 m的平台,先加速再匀速,最后做加速度大小不超过5 m/s2的匀减速运动,到达平台的速度刚好为零,g取10 m/s2,则提升重物的最短时间为(　　) A.13.2 s　　　B.14.2 s C.15.5 s　　　D.17.0 s 答案　C　 3.(2018课标Ⅲ,19,6分)(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中,用电机通过竖井运送到地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示,其中图线①②分别描述两次不同的提升过程,它们变速阶段加速度的大小都相同;两次提升的高度相同,提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程(　　) A.矿车上升所用的时间之比为4∶5 B.电机的最大牵引力之比为2∶1 C.电机输出的最大功率之比为2∶1 D.电机所做的功之比为4∶5 答案　AC　 模型二　能量观点综合应用模型 1.(2022上海建青实验学校模拟,10)(多选)如图,质量为M、长度为L的小车静止在光滑水平面上,质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端。现用一水平恒力F作用在小物块上,使小物块从静止开始做匀加速直线运动。小物块和小车之间的摩擦力为Ff,小物块滑到小车的最右端时,小车运动的距离为x,此过程中,以下结论正确的是(　　) A.小物块到达小车最右端时具有的动能为(F-Ff)(L+x) B.小物块到达小车最右端时小车具有的动能为FfL C.小物块克服摩擦力所做的功为Ffx D.小物块和小车增加的机械能为F(L+x)-FfL 答案　AD　 2.(2022黑龙江哈三中一模,9)(多选)如图所示,传送带AB与水平面BC在同一平面内,传送带AB的长度为8 m,水平面BC的长度为7 m,水平面BC与一竖直面内固定的光滑半圆轨道相切于C点,半圆轨道的半径为0.2 m。传送带始终以4 m/s的速率沿顺时针方向运动。一质量为0.1 kg的滑块(视为质点)无初速度地放到传送带的A端,滑块经过C点滑上光滑半圆轨道。已知滑块与传送带间的动摩擦因数为0.1,滑块与水平面BC间的动摩擦因数为0.05。取重力加速度大小g=10 m/s2,下列说法正确的是(　　) A.滑块从A运动到B的过程中产生的热量为0.8 J B.滑块经过C点时对半圆轨道的压力大小为0.9 N C.滑块不能通过半圆轨道的最高点D D.若将传送带的速率变为2 m/s,则该滑块停止运动时到C点的距离为2 m 答案　AC　 3.(2022河北正定中学期末,8)(多选)如图所示,质量为M=1 kg的长木板放在光滑的水平面上,质量为m=2 kg的滑块(可视为质点)放在长木板的左端,两者之间的动摩擦因数为μ=0.2。某时刻用F=9 N的水平恒力作用在长木板上,经t=1 s后撤去力F,最终滑块恰好没有滑离长木板。重力加速度g=10 m/s2,则下列说法正确的是(　　) A.撤去力F时长木板的速度为3 m/s B.撤去力F时滑块的速度为2 m/s C.滑块最终的速度为3 m/s D.长木板的长度为1.5 m 答案　BC　 4.(2022安徽安庆二模,8)(多选)绷紧的传送带与水平方向夹角为37°,传送带的v-t图像如图所示,t=0时刻质量为1 kg的楔形物体从B点滑上传送带并沿传送带向上做匀速运动,2 s后开始减速,在t=4 s时物体恰好到达最高点A点。重力加速度为10 m/s2,对物体从B点运动到A点的过程中,下列说法正确的是(sin 37=0.6,cos 37°=0.8)(　　) A.物体与传送带间的动摩擦因数为0.75 B.物体重力势能增加48 J C.摩擦力对物体做功大小为12 J D.物体在传送带上运动过程中产生的热量为12 J 答案　AD　 5.(2022江西上饶一模,13)如图所示,一块长为L、质量为m的扁平均匀规则木板通过装有传送带的光滑斜面输送。斜面与传送带靠在一起连成一直线,与水平方向夹角为θ,传送带以较大的恒定速率转动,传送方向向上,木板与传送带之间动摩擦因数为常数。已知木板放在斜面或者传送带上任意位置时,支持力均匀作用在木板底部。将木板静止放在传送带和光滑斜面之间某一位置,位于传送带部位的长度设为x,当x=L/4时,木板能保持静止。 (1)将木板静止放置在x=L/2的位置,则木板释放瞬间加速度多大? (2)设传送带与木板间产生的滑动摩擦力为f,试在0≤x≤L范围内,画出f-x图像。(本小题仅根据图像给分) (3)木板从x=L/2的位置静止释放,始终在滑动摩擦力的作用下,移动到x=L的位置时,木板的速度多大? (4)在(3)的过程中,木板的机械能增加量设为ΔE,传送带消耗的电能设为W,不计电路中产生的电热,比较ΔE和W的大小关系,用文字说明理由。 答案　(1)g sin θ　(2)见解析　(3)2gLsinθ　(4)见解析 解析　(1)x=L4时,f1=mg sin θ x=L2时,摩擦力加倍,f2=2mg sin θ 故a=f2-mgsinθm=g sin θ (2)在0≤x≤L范围内,摩擦力与放在传送带上部分木板的正压力成正比,长木板不能视为质点,正压力与放在传送带上的长度成正比,当x=L4时f=mg sin θ,当x=L时,则摩擦力为f=4mg sin θ。如图所示。 (3)利用(2)中图像与x轴所围面积表示f做的功,可知从x=L2到x=L摩擦力做功:Wf=32mgL sin θ 由动能定理Wf-12mgL sin θ=12mv2 得v=2gLsinθ (4)ΔE小于W,因为传送带与木板之间有滑动摩擦,电能有一部分转化为内能。 6.(2022广西柳州二模,14)如图所示,动摩擦因数μ=0.5的水平地面与半径为R的光滑圆弧轨道平滑相连,B、C、D为圆弧轨道上的三个点,B点为最低点,C点与圆心O等高,D点为圆弧轨道的最高点,而且D点的切线方向与倾斜传送带平行,已知长度为5R的传送带与水平面的夹角为θ=37°,传送带表面的动摩擦因数也为μ,正以v0顺时针转动。现位于水平面上A处一可视为质点的物体,其质量为m,在水平向右的恒力F作用下从静止开始向右运动,当物体运动到B点时轨道对物体的支持力为11mg,物体运动到C点时撤去外力F,其中A、B的距离为L=10R,重力加速度为g,F和v0均未知。 (1)求水平恒力F的大小。 (2)判断物体能否到达D点,写出判断过程。 (3)讨论物体在传送带上运动过程中摩擦力做的功与传送带速度的关系。 答案　(1)mg　(2)(3)见解析 解析　(1)对物体在B点进行受力分析得11mg-mg=mvB2R,又由A到B运动过程应用动能定理有 FL-μmgL=12mvB2,联立可得F=mg (2)若在D点恰好脱离轨道,向心力由重力指向圆心方向的分量提供:mg cos 37°=mvD2R 解得vD2=0.8gR,B到D的过程应用动能定理: FR-mg(R+R cos 37°)=12mvD'2-12mvB2 解得vD'2=8.4gR,vD'2>vD2,可得物体能到达D点 (3)对初始时传送带上的物体进行受力分析: mg sin 37°+μmg cos 37°=ma,解得a=g 物体在传送带上运动到速度为零时位移x1=vD'22a=4.2R,未脱离传送带 ①若v0≥vD',根据运动的对称性,可知物体在传送带向上和向下的位移相等,摩擦力做正功与负功相等,故摩擦力做的总功W总=0。 ②若v0<vD',物体沿斜面向上运动的时间 t减=vD'a=8.4gRg 向上运动的位移为x1=12at减2=4.2R 物体沿斜面向下与传送带共速前做匀加速运动的时间t加=v0g x2=12at加2=v022g 物体与传送带共速后由于mg sin 37°>μmg cos 37°, 物体继续向下加速运动,x3=x1-x2=4.2R-v022g 所以摩擦力做功W=-μmg cos 37°·(x1+x3)+μmg cos 3