1_3.1　函数的概念及表示（十年高考）.docx

北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A版 专题三　函数的概念与基本初等函数 3.1　函数及其性质 考点一　函数的概念及表示 1.(2015湖北文,7,5分)设x∈R,定义符号函数sgn x=1,x>0,0,x=0,−1,x<0.则(　　) A.|x|=x|sgn x|　　　　　B.|x|=xsgn|x| C.|x|=|x|sgn x　　　　　D.|x|=xsgn x 答案　D　由已知可知xsgn x=x,x>0,0,x=0,−x,x<0,而|x|=x,x>0,0,x=0,−x,x<0,所以|x|=xsgn x,故选D. 2.(2014江西理,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=(　　) A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.-1 答案　A　由已知条件可知: f[g(1)]=f(a-1)=5|a-1|=1,∴|a-1|=0,得a=1.故选A. 评析　本题主要考查函数的解析式,正确理解函数的定义是解题关键. 3.(2017山东理,1,5分)设函数y=4−x2的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=(　　) A.(1,2)　　　　　B.(1,2] C.(-2,1)　　　　　D.[-2,1) 答案　D　由4-x2≥0,解得-2≤x≤2,由1-x>0,解得x<1,∴A∩B={x|-2≤x<1}.故选D. 4.(2015重庆文,3,5分)函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是(　　) A.[-3,1] B.(-3,1) C.(-∞,-3]∪[1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 答案　D　由x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,故选D. 5.(2015湖北文,6,5分)函数f(x)=4−|x|+lgx2−5x+6x−3的定义域为(　　) A.(2,3)　　　　　B.(2,4] C.(2,3)∪(3,4]　　　　　D.(-1,3)∪(3,6] 答案　C　要使函数f(x)有意义,需满足4−|x|≥0,x2−5x+6x−3>0, 即|x|≤4,(x−3)(x−2)x−3>0,解之得2<x<3或3<x≤4,故选C. 6.(2014山东理,3,5分)函数f(x)=1(log2x)2−1的定义域为(　　) A.0,12　　　　　B.(2,+∞) C.0,12∪(2,+∞)　　　　　D.0,12∪[2,+∞) 答案　C　要使函数f(x)有意义,需使(log2x)2-1>0,即(log2x)2>1,∴log2x>1或log2x<-1.解之得x>2或0<x<12. 故f(x)的定义域为0,12∪(2,+∞). 7.(2016课标Ⅱ文,10,5分)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是(　　) A.y=x　　　B.y=lg x　　　C.y=2x　　　D.y=1x 答案　D　函数y=10lg x的定义域、值域均为(0,+∞),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lg x的值域为R,排除B,故选D. 易错警示　利用对数恒等式将函数y=10lg x变为y=x,将其值域认为是R是失分的主要原因. 评析　本题考查函数的定义域和值域,熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解题的关键. 8.(2022北京,4,4分)已知函数f(x)=11+2x,则对任意实数x,有(　　) A. f(-x)+f(x)=0　　　　B. f(-x)-f(x)=0 C. f(-x)+f(x)=1　　　　D. f(-x)-f(x)=13 答案　C　∵f(x)=11+2x,∴f(-x)=11+2−x=2x2x+1,∴f(x)+f(-x)=11+2x+2x2x+1=1.故选C. 一题多解:若对任意实数x,使得选项中式子成立,则可任取x值,代入验证,进行排除.当x=0时, f(0)+f(0)=12+12=1, f(0)-f(0)=0,故A,D选项错误.当x=1时, f(-1)-f(1)=11+2−1−11+21≠0,故B选项错误.根据排除法可知选C. 9.(2022北京,11,5分)函数f(x)=1x+1−x的定义域是　　　　　　.  答案　(-∞,0)∪(0,1] 解析　由题意得x≠0,1−x≥0,解得x≤1且x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,1]. 10.(2015课标Ⅱ文,13,5分)已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),则a=　　　　.  答案　-2 解析　因为函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),所以4=a×(-1)3-2×(-1),故a=-2. 11.(2016江苏,5,5分)函数y=3−2x−x2的定义域是　　　　.  答案　[-3,1] 解析　若函数有意义,则3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1. 考点二　分段函数 1.(2015陕西文,4,5分)设f(x)=1−x,x≥0,2x,　　　x<0,则f(f(-2))=(　　) A.-1　　　B.14　　　C.12　　　D.32 答案　C　∵f(-2)=2-2=14,∴f(f(-2))=f 14=1-14=12,选C. 2.(2015山东文,10,5分)设函数f(x)=3x−b,　x<1,2x,　　　x≥1.若f f56=4,则b=(　　) A.1　　　B.78　　　C.34　　　D.12 答案　D　f56=3×56-b=52-b, 当52-b≥1,即b≤32时,f52−b=252−b, 即252−b=4=22,得到52-b=2,即b=12; 当52-b<1,即b>32时,f52−b=152-3b-b=152-4b, 即152-4b=4,得到b=78<32,舍去. 综上,b=12,故选D. 3.(2014江西文,4,5分)已知函数f(x)=a·2x,x≥0,2−x,　　　x<0(a∈R),若f [f(-1)]=1,则a=(　　) A.14　　　B.12　　　C.1　　　D.2 答案　A　由f[f(-1)]=f(2)=4a=1,得a=14,故选A. 4.(2022浙江,14,6分)已知函数f(x)=−x2+2,x≤1,x+1x−1,x>1,则ff12=　　　　;若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是　　　　.  答案　 3728;3+3 解析　∵f12=−122+2=74, ∴ff12=f74=74+47−1=3728. f(x)的大致图象如图. ∵当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3, ∴由图可得b>1且b+1b-1=3,∴b=2+3, ∵f(a)=1,∴-a2+2=1,解得a=1或a=-1, ∴(b-a)max=2+3-(-1)=3+3. 一题多解:第二空:∵当x≤1时,y=-x2+2≤2, ∴f(x)=3⇒x+1x-1=3(x>1),故x=2+3, 令-x2+2=1(x≤1),解得x=1或x=-1, 令x+1x-1=1(x>1),无解, ∴amin=-1,b=2+3, ∴(b-a)max=2+3-(-1)=3+3. 5.(2014课标Ⅰ文,15,5分)设函数f(x)=ex−1,　x<1,x13,　　　x≥1,则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是　　　　.  答案　(-∞,8] 解析　f(x)≤2⇒x<1,ex−1≤2或x≥1,x13≤2⇒x<1,x≤ln2+1或x≥1,x≤8⇒x<1或1≤x≤8⇒x≤8,故填(-∞,8]. 考点三 函数的单调性与最值 1.(2021全国甲文,4,5分)下列函数中是增函数的为(　　) A. f(x)=-x　　　　B. f(x)=23x C. f(x)=x2　　　　D. f(x)=3x 答案　D　解题指导:排除法,利用基本初等函数的性质逐一判断四个选项. 解析　对于f(x)=-x,由正比例函数的性质可知, f(x)是减函数,故A不符合题意; 对于f(x)=23x,由指数函数的单调性可知, f(x)是减函数,故B不符合题意; 对于f(x)=x2,由二次函数的图象可知, f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故C不符合题意; 对于f(x)=3x=x13,由幂函数的性质可知, f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故选D. 方法总结:一次函数y=kx+b(k≠0)单调性的判断:若k>0,则函数在R上单调递增;若k<0,则函数在R上单调递减. 指数函数y=ax(a>0且a≠1)单调性的判断:若a>1,则函数在R上单调递增;若0<a<1,则函数在R上单调递减. 幂函数y=xα单调性的判断:若α>0,则函数在(0,+∞)上单调递增;若α<0,则函数在(0,+∞)上单调递减. 2.(2021全国乙文,8,5分)下列函数中最小值为4的是(　　) A.y=x2+2x+4　　　　B.y=|sin x|+4|sinx C.y=2x+22-x　　　　D.y=ln x+4lnx 答案　C　解题指导:对于A,利用配方法或二次函数的单调性求最值,对于B,C,D,利用换元法转化为对勾函数进行判断. 解析　对于A,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以它的最小值为3,所以A不符合题意;对于B,设|sin x|=t,则0<t≤1,y=|sin x|+4|sinx=t+4t,t∈(0,1],易知y=t+4t在(0,1]上单调递减,故t=1时,ymin=1+41=5,所以B不符合题意;对于C,令2x=t(t>0),则y=2x+22-x=t+4t,t>0,易知y=t+4t在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,y取最小值,ymin=2+42=4,故C符合题意;对于D,令ln x=t,t∈R且t≠0,则y=ln x+4lnx=t+4t,显然t<0时,函数值小于0,不符合题意.故选C. 3.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　) A.[-1,1]∪[3,+∞)　　　　B.[-3,-1]∪[0,1] C.[-1,0]∪[1,+∞)　　　　D.[-1,0]∪[1,3] 答案　D　∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致图象如图: 当-1≤x≤0时,f(x-1)≤0,∴xf(x-1)≥0;当1≤x≤3时,f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0. 综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D. 4.(2019北京文,3,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.y=x12　　　　　B.y=2-x C.y=log12x　　　　　D.y=1x 答案　A　本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性,考查数形结合的思想.考查的核心素养是直观想象. A选项,12>0,所以幂函数y=x12在(0,+∞)上单调递增. B选项,指数函数y=2-x=12x在(0,+∞)上单调递减. C选项,因为0<12<1,所以对数函数y=log12x在(0,+∞)上单调递减. D选项,反比例函数y=1x在(0,+∞)上单调递减. 解题关键　熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解决本题的关键. 5.(2016北京文,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是(　　) A.y=11−x　　　　　B.y=cos x C.y=ln(x+1)　　　　　D.y=2-x 答案　D　选项A中,y=11−x=1−(x−1)的图象是将y=-1x的图象向右平移1个单位得到的,故y=11−x在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cos x在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C中,y=ln(x+1)的图象是将y=ln x的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项D符合题意. 评析　本题考查了基本函数的图象和性质以及图象的变换,属中档题. 6.(2015课标Ⅱ文,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-11+x2,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(　　) A.13,1 B.−∞,13∪(1,+∞) C.−13,13 D.−∞,−13∪13,+∞ 答案　A　当x>0时,f(x)=ln(1+x)-11+x2,∴f '(x)=11+x+2x(1+x2)2>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,由f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|), ∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得13<x<1,故选A. 7.(2016浙江,7,5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.(　　) A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤b C.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b 答案　B　依题意得f(a)≥2a, 若f(a)≤2b,则2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b, 又y=2x是R上的增函数,∴a≤b.故选B. 8.(2016北京文,10,5分)函数f(x)=xx−1(x≥2)的最大值为　　　　.  答案　2 解析　解法一:∵f '(x)=−1(x−1)2,∴x≥2时, f '(x)<0恒成立, ∴f(x)在[2,+∞)上单调递减, ∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2. 解法二:∵f(x)=xx−1=x−1+1x−1=1+1x−1, ∴f(x)的图象是将y=1x的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.∵y=1x在[2,+∞)上单调递减, ∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,故f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2. 解法三:由题意可得 f(x)=1+1x−1. ∵x≥2,∴x-1≥1,∴0<1x−1≤1, ∴1<1+1x−1≤2,即1<xx−1≤2. 故f(x)在[2,+∞)上的最大值为2. 评析　本题考查函数的最值,有多种解法,属中档题. 9.(2015浙江文,12,6分)已知函数f(x)=x2,　　　x≤1,x+6x−6,　　　x>1,则f(f(-2))=　　　　, f(x)的最小值是　　　　.  答案　-12;26-6 解析　f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2))=f(4)=4+64-6=-12. 当x≤1时, f(x)=x2≥0, 当x>1时,f(x)=x+6x-6≥26-6, 当且仅当x=6时,等号成立, 又26-6<0,所以f(x)min=26-6. 10.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-2),则a的取值范围是　　　　.  答案　12,32 解析　由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2|a-1|)>f(-2), f(-2)=f(2),所以f(2|a-1|)>f(2),所以2|a-1|<212,解之得12<a<32. 考点四　函数的奇偶性 1.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是(　　) A.y=x2sin x　　　　　B.y=x2cos x C.y=|ln x|　　　　　D.y=2-x 答案　B　A中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B. 2.(2014课标Ⅰ,理3,文5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 答案　C　由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C. 评析　本题考查函数奇偶性的定义及其应用,考查学生的知识应用能力及逻辑推理论证能力,准确理解函数奇偶性的定义是解决本题的关键. 3.(2011课标,理2,文3,5分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是(　　) A.y=x3　　　　　B.y=|x|+1 C.y=-x2+1　　　　　D.y=2-|x| 答案　B　y=x3是奇函数,y=-x2+1和y=2-|x|在(0,+∞)上都是减函数,故选B. 评析　本题考查函数的奇偶性和单调性的判定,属容易题. 4.(2021全国乙理,4,5分)设函数f(x)=1−x1+x,则下列函数中为奇函数的是(　　) A.f(x-1)-1　　　　B.f(x-1)+1　　　　C.f(x+1)-1　　　　D.f(x+1)+1 答案　B　解题指导:思路一:将函数f(x)的解析式分离常数,通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称,此函数即为奇函数; 思路二:由函数f(x)的解析式,求出选项中的函数解析式,由函数奇偶性定义来判断. 解析　解法一:f(x)=-1+2x+1,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位,再沿y轴向上平移1个单位可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数,故选B. 解法二:选项A, f(x-1)-1=2x-2,此函数为非奇非偶函数;选项B, f(x-1)+1=2x,此函数为奇函数;选项C, f(x+1)-1=−2x−2x+2,此函数为非奇非偶函数;选项D, f(x+1)+1=2x+2,此函数为非奇非偶函数,故选B. 5.(2021全国甲理,12,5分)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f92=(　　) A.-94　　　　B.−32　　　　C.74　　　　D.52 答案　D　解题指导:利用奇偶性得到f(x+2)=-f(x),将出现的自变量0,3,92对应的函数值转化为[1,2]内自变量对应的函数值,进而得到a,b以及f92的值. 解析　由题知f(−x+1)=−f(x+1),f(−x+2)=f(x+2),即f(−x)=−f(x+2),f(−x)=f(x+4), 从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x), 所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.① 又由题知f(x+1)为奇函数,x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0.② 由①②得a=−2,b=2,从而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2]. 所以f92=f52+2=−f52=f12=−f32=−(−2)×322+2=52.故选D. 一题多解　因为f(x+1)与f(x+2)分别为奇函数和偶函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)和直线x=2对称,且f(x)为周期函数,周期T=4, 从而f(0)=-f(2),① f(3)=f(1)=0,② f92=f12=−f32, 由①②结合f(0)+f(3)=6,知a=-2,b=2, 所以f92=−(−2)×322+2=52. 6.(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)及其导函数f '(x)的定义域均为R,记g(x)=f '(x).若f32−2x,g(2+x)均为偶函数,则(　　) A. f(0)=0　　　　B.g−12=0 C. f(-1)=f(4)　　　　D.g(-1)=g(2) 答案　BC　解法一:若设f(x)=1,则g(x)=0,易知所设f(x)符合题意,此时f(0)=1,故选项A错误. 设f(x)=sin(πx),则g(x)=f '(x)=πcos(πx), 由于f32−2x=sinπ32−2x=sin3π2−2πx=-cos(2πx), g(2+x)=πcos[π(2+x)]=πcos(2π+πx)=πcos(πx), 所以f32−2x,g(2+x)均为偶函数,则所设f(x)符合题意. 于是g(-1)=πcos(-π)=-π≠g(2),故选项D错误. 由于f32−2x是偶函数,所以f '32−2x是奇函数, 即g32−2x是奇函数,则g32=0,注意到g(2+x)是偶函数,于是g−12=g32−2=−g32+2 =-g−32+2=−g12=−g32−2×12 =g32+2×12=g2+12=g2−12=g32=0, 故选项B正确. 由f32−2x=f32+2x,取x=54,则f(-1)=f(4),故选项C正确. 故选BC. 解法二:由题意知f32−2x=f32+2x⇔f32−x=f32+x⇔f(-x)=f(3+x)①, 取x=1,知f(-1)=f(4),C正确. 对①两边求导知-f '(-x)=f '(3+x)⇔f '(-x)=-f '(3+x),即g(-x)=-g(3+x)②, 取x=-32,知g32=0. g(2+x)=g(2-x)⇔g(-x)=g(x+4)③, 由②③知g(x+4)=-g(x+3),即g(x+1)=-g(x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x). 从而g−12=g2−12=g32=0,B正确. 同解法一可判断A,D错误.故选BC. 7.(2017课标Ⅱ文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)=　　　　.  答案　12 解析　本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值. 由题意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12. 8.(2015课标Ⅰ理,13,5分)若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,则a=　　　　.  答案　1 解析　由已知得f(-x)=f(x),即-xln(a+x2-x)=xln(x+a+x2),则ln(x+a+x2)+ln(a+x2-x)=0, ∴ln[(a+x2)2-x2]=0,得ln a=0,∴a=1. 9.(2014课标Ⅱ文,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则f(-1)=　　　　.  答案　3 解析　∵函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, ∴f(2+x)=f(2-x)对任意x恒成立, 令x=1,得f(1)=f(3)=3, ∴f(-1)=f(1)=3. 10.(2012课标文,16,5分)设函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　.  答案　2 解析　f(x)=x2+1+2x+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1,令g(x)=2x+sinxx2+1,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2. 考点五 函数的周期性 1.　(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x>12时, fx+12=fx−12.则f(6)=(　　) A.-2　　　B.-1　　　C.0　　　D.2 答案　D　当x>12时,由fx+12=fx−12可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=f(1)=2,故选D. 2.(2021全国甲文,12,5分)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f−13=13,则f53=(　　) A.-53　　　　B.−13　　　　C.13　　　　D.53 答案　C　解题指导:求出函数f(x)的周期再进行转化,即可求解. 解析　由f(1+x)=f(-x),且f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(1+x)=f(-x)=-f(x),所以f(2+x)=-f(1+x)=f(x),所以f(x)的周期为2,则f53=f53−2=f−13=13,故选C. 知识延伸:若函数f(x)为奇函数,且满足f(a+x)=f(-x),则f(x)图象的对称轴为直线x=a2,周期为2a;若函数f(x)为偶函数,且满足f(a+x)=f(-x),则f(x)图象的对称轴为直线x=a2,周期为a. 3.(2022新高考Ⅱ,8,5分)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则k=122f(k)=(　　) A.-3　　　　B.-2　　　　C.0　　　　D.1 答案　A　令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)①,故f(x+2)+f(x)=f(x+1)②.由①②得f(x+2)+f(x-1)=0,故f(x+2)=-f(x-1),所以f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函数f(x)的周期为6. 令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),故f(0)=2, 同理,令x=1,y=1,得f(2)=-1; 令x=2,y=1,得f(3)=-2; 令x=3,y=1,得f(4)=-1;令x=4,y=1,得f(5)=1; 令x=5,y=1,得f(6)=2. 故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0, 所以k=122f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3.故选A. 4.(2022全国乙理,12,5分)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则k=122f(k)=(　　) A.-21　　　　B.-22　　　　C.-23　　　　D.-24 答案　D　由y=g(x)的图象关于直线x=2对称,得g(2+x)=g(2-x),故g(x)=g(4-x),由g(x)-f(x-4)=7,得g(2+x)-f(x-2)=7①,又f(x)+g(2-x)=5②,所以由②-①,得f(x)+f(x-2)=-2③,则f(x+2)+f(x)=-2④,所以由④-③,得f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数. 对于④,分别令x=1,2,得f(1)+f(3)=-2, f(2)+f(4)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-4. 对于①,令x=-1,得g(1)-f(-3)=7,则g(1)-f(1)=7⑦, 对于②,令x=1,得f(1)+g(1)=5⑧, 由⑦⑧,得f(1)=-1. 对于②,令x=0,得f(0)+g(2)=5, 又g(2)=4,所以f(0)=1. 对于③,令x=2,得f(2)+f(0)=-2, 所以f(2)=-3. 则i=122f(k)=5×(-4)+f(1)+f(2)=-20+(-1)+(-3)=-24.故选D. 5.(2021新高考Ⅰ,13,5分)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　　.  答案　1 解题指导:利用偶函数的定义,取定义域内的特殊值即可求出a的值. 解析　∵f(x)=x3(a·2x-2-x)为偶函数, ∴f(1)=f(-1), ∴2a-12=−12a−2, ∴a=1. 当a=1时, f(x)=x3(2x-2-x),定义域为R,且满足f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数. 一题多解　y=x3和y=2x-2-x为奇函数,利用结论:奇函数×奇函数=偶函数,可快速判断出a=1. 6.(2022全国乙文,16,5分)若f(x)=lna+11−x+b是奇函数,则a=　　　　,b=　　　　.  答案　 -12;ln 2 解析　∵f(x)是奇函数,∴f(x)的定义域关于原点对称. 由已知得x≠1,∴x≠-1,即当x=-1时,a+11−x=0, ∴a+12=0,∴a=-12,此时f(x)=ln1+x2(1−x)+b, ∵f(x)为奇函数且在x=0处有意义, ∴f(0)=0,即ln1+02(1−0)+b=ln12+b=0, ∴b=-ln12=ln 2. 综上可知,a=-12,b=ln 2. 7.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f −52+ f(1)=　　　　.  答案　-2 解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x),又∵f(x)的周期为2, ∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x),即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0.又∵f−52=f−12=-f12=-412=-2,∴f−52+f(1)=-2. 第 14 页 共 14 页