1_3.2　二次函数与幂函数.docx

北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A版 3.2　二次函数与幂函数 基础篇 考点一　二次函数 1.(2023届兰州五十五中开学考,8)函数f(x)=x2-2|x|+5的单调增区间是(　　) A.(-∞,-1)和(0,1) B.(-∞,-1)和(1,+∞) C.[-1,0]和[1,+∞) D.(-1,0)和(0,1) 答案　C　 2.(2022湖南三湘名校、五市十校联考,5)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,则“a>b>c”是“函数f(x)=ax2+bx+c有两个零点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A　 3.(多选)(2022广东普宁段考,10)已知函数f(x)=x2-3x-4,则(　　) A.函数f(x)的图象与x轴有两个不同交点 B.函数f(x)有最大值 C.对任意x∈R, f(x)≥-254恒成立 D.∃x∈R,使得函数f(x)=π 答案　ACD　 4.(2021广东深圳一模,13)已知函数的图象关于y轴对称,且与直线y=x相切,则满足上述条件的二次函数可以为f(x)=　　　　.  答案　x2+14(答案不唯一) 5.(2022北京,14,5分)设函数f(x)=-ax+1,x<a,(x-2)2,x≥a.若f(x)存在最小值,则a的一个取值为　　　;a的最大值为　　　　.  答案　12([0,1]中任意一个实数都可以,答案不唯一)　1 6.(2023届安徽六安新安中学开学考,22)已知函数f(x)=x2+ax-2,a∈R. (1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集; (2)若关于x的不等式f(x)≥(2a-1)x-6在(0,2]上恒成立,求a的最大值. 解析　(1)当a=1时,由f(x)<0得x2+x-2<0, 即(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1, 所以不等式的解集为(-2,1). (2)由f(x)≥(2a-1)x-6得x2+(1-a)x+4≥0,所以问题转化为x2+(1-a)x+4≥0在(0,2]上恒成立,即a≤x+4x+1在(0,2]上恒成立, 因为x∈(0,2],所以x+4x+1≥2x·4x+1=5,当且仅当x=4x,即x=2时取等号,所以x+4x+1的最小值为5,所以a≤5,所以a的最大值为5. 考点二　幂函数 考向一　幂函数的图象问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(多选)(2022江苏盐城阜宁中学段测,9)若点A(m,n)在幂函数y=xa(a∈R)的图象上,则下列结论可能成立的是(　　) A.m>0n>0　　　　B.m<0n<0　　　　C.m<0n>0　　　　D.m>0n<0 答案　ABC　 2.(2021河北唐山二模,3)不等式12x≤x的解集是(　　) A.0,12　　　　B.12,+∞　　　　 C.0,22　　　　D.22,+∞ 答案　B　 3.(2022广东普通高中质检,15)若幂函数y=f(x)的图象过点(8,22),则函数f(x-1)-f 2(x)的最大值为　　　　.  答案　-34 4.(2022河北保定重点高中月考,14)若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数,且其图象过点(2,4),则函数g(x)=loga(x+m)的单调增区间为　　　　.  答案　(1,+∞) 考向二　幂函数性质的应用 1.(2021北京延庆一模,7)已知定义在R上的幂函数f(x)=xm(m为实数)的图象过点A(2,8),记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(m),则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c　　　　B.a<c<b　　　　C.c<a<b　　　　D.c<b<a 答案　A　 2.(2022湖南邵阳、郴州二模,4)“(a+1)12<(2-a)12”是“-2<a<12”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A　 3.(2023届兰州五十五中开学考,15)幂函数f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是减函数,则m=　　　.  答案　1 4.(2018上海,7,5分)已知α∈-2,-1,-12,12,1,2,3.若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=　　　　.  答案　-1 5.(2021新高考Ⅱ,14,5分)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):　　　　.  ①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0;③f '(x)是奇函数. 答案　f(x)=x4(x∈R)(答案不唯一) 综合篇 考法一　求二次函数在闭区间上的最值(值域)的方法 1.(2023届江西上饶、景德镇六校联考,19)函数f(x)=ax2+bx-3的图象与x轴交于点(3,0)且f(1-x)=f(1+x). (1)求该函数的解析式; (2)当x∈[-1,m]时,函数f(x)=ax2+bx-3有最小值2m,求m的值. 解析　(1)因为f(1-x)=f(1+x),所以函数f(x)=ax2+bx-3的图象关于直线x=1对称,所以-b2a=1,即b=-2a,又函数f(x)=ax2+bx-3的图象与x轴交于点(3,0),所以9a+3b-3=0,解得a=1,b=-2,所以f(x)=x2-2x-3. (2)f(x)=x2-2x-3图象的对称轴为直线x=1且开口向上. ①若-1<m<1,则当x=m时,函数f(x)=x2-2x-3取得最小值,即m2-2m-3=2m,解得m=2-7或m=2+7(舍去), ②若m≥1,则当x=1时,函数f(x)=x2-2x-3取得最小值,即2m=-4,解得m=-2(舍去). 综上所述,m的值为2-7. 2.(2022河北保定重点高中月考,20)设函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知f(x)<0的解集为(-1,3). (1)求b,c的值; (2)若函数g(x)=f(x)-ax在区间[0,2]上的最小值为-4,求实数a的值. 解析　(1)由f(x)<0的解集为(-1,3)可知x=-1和x=3是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的解,故-1+3=-b,-1×3=c,解得b=-2,c=-3. (2)g(x)=f(x)-ax=x2-(a+2)x-3的图象开口向上,对称轴为直线x=a+22. (i)当a+22≥2,即a≥2时,函数g(x)在[0,2]上单调递减,g(x)min=g(2)=-2a-3=-4,解得a=12(舍); (ii)当a+22≤0,即a≤-2时,函数g(x)在[0,2]上单调递增,g(x)min=g(0)=-3≠-4(舍); (iii)当0<a+22<2,即-2<a<2时,函数g(x)在[0,2]上先减后增,g(x)min=ga+22=-3-(a+2)24=-4,解得a=-4(舍)或a=0.综上,a=0. 3.(2022山东烟台莱州一中测试,21)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,且满足f(0)=2, f(x+1)-f(x)=2x+1. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若关于x的方程f(x)-m=0在x∈[-1,2]上有解,求实数m的取值范围; (3)当x∈[t,t+2](t∈R)时,求函数f(x)的最小值(用t表示). 解析　(1)∵f(x+1)-f(x)=2x+1,∴a(x+1)2+b(x+1)+c-ax2-bx-c=2ax+a+b=2x+1,∴2a=2,a+b=1,解得a=1,b=0,又f(0)=2,∴c=2,∴f(x)=x2+2. (2)由f(x)-m=0得,方程x2+2=m在x∈[-1,2]上有解,如图,由图可知2≤m≤6,∴m的取值范围为[2,6]. (3)∵x∈[t,t+2],∴①t≥0时, f(x)的最小值为f(t)=t2+2;②t<0且t+2>0,即-2<t<0时,f(x)的最小值为f(0)=2;③t+2≤0,即t≤-2时, f(x)的最小值为f(t+2)=(t+2)2+2=t2+4t+6.综上,t≥0时, f(x)的最小值为t2+2;-2<t<0时, f(x)的最小值为2;t≤-2时, f(x)的最小值为t2+4t+6. 考法二　一元二次方程根的分布 (2022重庆模拟,4)已知二次函数y=x2-4x+a的两个零点都在区间(1,+∞)内,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,4)　　　　B.(3,+∞) C.(3,4)　　　　D.(-∞,3) 答案　C　 第 5 页 共 5 页