5_05-专题五　三角函数与解三角形.docx

北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A版 专题五　三角函数与解三角形 一、单项选择题 1.(2023届黑龙江牡丹江绥芬河高级中学月考,4)已知tan α=cosα2−sinα,则sin α=(　　) A.154 B.12 C.32 D.14 答案　B　由tan α=cosα2−sinα=sinαcosα,可得cos2α=2sin α-sin2α,所以2sin α=cos2α+sin2α=1,则sin α=12.故选B. 2.(2023届贵州联考,9)若cos α-3cos β=22,sin α+3sin β=1,则cos(α+β)=(　　) A.-16 B.16 C.-14 D.14 答案　B　由cos α-3cos β=22,两边平方可得cos2α-6cos αcos β+9cos2β=8①. 由sin α+3sin β=1,两边平方可得sin2α+6sin αsin β+9sin2β=1②. ①+②可得1+9+6(sin αsin β-cos αcos β)=9, 所以cos αcos β-sin αsin β=16, 即cos(α+β)=16,故选B. 3.(2023届长春第二实验中学月考,6)已知sinα+π12=28,则sin2α+2π3=(　　) A.116 B.23 C.12 D.1516 答案　D　因为sinα+π12=28, 所以sin2α+2π3=sinπ2+2α+π6=cos2α+π6=1−2sin2α+π12=1−2×282=1516.故选D. 4.(2023届山西临汾期中,5)为了得到y=sin 3x的图象,只需将y=cos3x−π4的图象(　　) A.向左平移3π4个单位长度 B.向左平移7π12个单位长度 C.向右平移5π4个单位长度 D.向右平移π4个单位长度 答案　B　设f(x)=cos3x−π4, 则fx+3π4=cos3x+3π4−π4=cos(3x+2π)=cos 3x, fx+7π12=cos3x+7π12−π4=cos3x+3π2=sin 3x, fx−5π4=cos3x−5π4−π4=cos(3x-4π)=cos 3x,fx−π4=cos3x−π4−π4=cos(3x-π)=-cos 3x,所以只需将y=cos3x−π4的图象向左平移7π12个单位长度,即可得到y=sin 3x的图象.故选B. 5.(2023届昆明一中双基检测三,4)若函数f(x)=1−cosxsinxx∈π3,π2,则f(x)的值域为(　　) 　　　　 　　　　 　　　　 A.[3,+∞) B.33,+∞ C.[1,3] D.33,1 答案　D　f(x)=1−cosxsinx=1−1+2sin2x22sinx2·cosx2=sinx2cosx2=tanx2,∵x∈π3,π2,∴x2∈π6,π4,∴tanπ6≤tanx2≤tanπ4,即f(x)∈33,1,故选D. 6.(2023届皖南八校开学考,9)函数f(x)=tan2x−π3的图象的一个对称中心为(　　) A.π12,0 B.7π12,0 C.−5π12,0 D.−π12,0 答案　D　令2x-π3=kπ2,k∈Z,则x=π6+kπ4,k∈Z,当k=-1时, f(x)的一个对称中心为−π12,0.故选D. 7.(2023届赣南五校期中,6)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=4,A=π4,C=5π12,则b=(　　) 　　　　 　　　　 　　　　 A.23 B.25 C.26 D.6 答案　C　由已知得B=π-A-C=π3,由正弦定理得b=asinBsinA=4×sinπ3sinπ4=4×3222=26.故选C. 8.(2022哈尔滨三中二模,12)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若sin(A+C)=2Sb2−a2,则tan A+13tan(B−A)的取值范围为(　　) A.233,+∞ B.233,43 C.233,43 D.233,43 答案　C　在△ABC中,sin(A+C)=sin B,S=12acsin B, 故由sin(A+C)=2Sb2−a2得b2-a2=ac,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得c=2acos B+a, 所以由正弦定理得sin C=2sin Acos B+sin A, 又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin(B-A)=sin A, 故B-A=A或B-A=π-A(舍去),得B=2A. 又△ABC为锐角三角形,所以0<A<π2,0<2A<π2,0<π−3A<π2,解得π6<A<π4,故33<tan A<1, 故tan A+13tan(B−A)=tan A+13tanA∈233,43,故选C. 二、多项选择题 9.(2022河北仿真模拟卷(二),9)已知tan θ=2,则下列结论正确的是(　　) A.tan(π-θ)=-2 B.tan(π+θ)=-2 C.sinθ−3cosθ2sinθ+3cosθ=−17 D.sin 2θ=45 答案　ACD　对于A,tan(π-θ)=-tan θ=-2,故A正确;对于B,tan(π+θ)=tan θ=2,故B错误;对于C,sinθ−3cosθ2sinθ+3cosθ=tanθ−32tanθ+3=2−34+3=−17,故C正确;对于D,sin 2θ= 2sin θcos θ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1=44+1=45,故D正确.故选ACD. 10.(2022重庆巴蜀中学3月适应性月考(八),10)已知cos(α+β)=-55,cos 2α=-45,其中α,β为锐角,则以下命题正确的是(　　) A.sin 2α=35 B.cos(α-β)=255 C.cos αcos β=510 D.tan αtan β=13 答案　ABC　因为cos(α+β)=-55,cos 2α=-45(α,β为锐角),故sin(α+β)=255, sin 2α=1−cos22α=35,故A正确;cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+ sin 2αsin(α+β)=−45×−55+35×255=255,故B正确;由cos(α-β)=cos αcos β+ sin αsin β=255,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-55,得cos αcos β=12·[cos(α+β)+cos(α-β)]=12×−55+255=510,故C正确; sin αsin β=12×[cos(α-β)-cos(α+β)]=12×255−−55=3510,所以tan αtan β=sinαsinβcosαcosβ=3,故D错误,故选ABC. 11.(2022山东烟台、德州一模,9)将函数y=sin 2x的图象向右平移π6个单位长度后得到函数f(x)的图象,则(　　) A. f(x)=cos2x+π6 B.π6,0是f(x)图象的一个对称中心 C.当x=-π12时, f(x)取得最大值 D.函数f(x)在区间π,5π4上单调递增 答案　BD　A,将函数y=sin 2x的图象向右平移π6个单位长度后得到函数f(x)=sin 2x−π6=sin2x−π3=−cos2x+π6,错误; B,f π6=sin2×π6−π3=0,则π6,0是f(x)图象的一个对称中心,正确; C,f −π12=sin−2×π12−π3=-1,故当x=-π12时, f(x)取得最小值,错误; D,由x∈π,5π4,可得2x-π3∈5π3,13π6⫋3π2,5π2,易知函数y=sin x在3π2,5π2上单调递增,则函数f(x)=sin2x−π3在区间π,5π4上单调递增,正确.故选BD. 12.(2022新高考信息检测原创卷(七),12)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,a(cos C-2cos B)=cos A(ab-c),则以下四个结论中正确的是(　　) A.b=2c B.△ABC面积的取值范围为0,43 C.已知M是BC边的中点,则MA·MB的取值范围为13,3 D.当A=2C时,△ABC的周长为2+23 答案　ABD　对于A,∵a(cos C-2cos B)=cos A(ab-c),a=2,∴a(cos C-2cos B)=cos A(2b-c),∴sin Acos C+cos Asin C=2(sin Acos B+cos Asin B), 即sin(A+C)=2sin(A+B),所以sin B=2sin C,∴b=2c,故A正确;对于B,如图,以BC的中点O为坐标原点,BC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系, 则B(-1,0),C(1,0),设A(m,n),因为b=2c,所以(m−1)2+n2=2(m+1)2+n2,化简得m+532+n2=169,所以点A在以−53,0为圆心,43为半径的圆上运动(B、C除外),所以点A到BC边的距离的最大值为43,所以△ABC面积的最大值为12×2×43=43, ∴△ABC面积的取值范围为0,43,故B正确;对于C,由上述分析知,点A在以−53,0为圆心,43为半径的圆上运动(B、C除外),则-53−43<m<−53+43,即-3<m<-13,又MA=(m,n),MB=(-1,0),所以MA·MB=−m∈13,3,故C错误; 对于D,由A=2C,可得B=π-3C,由A中分析得b=2c,由bsinB=csinC,得2csin(π−3C)=csinC,所以sin 3C=2sin C,即sin C·cos 2C+2cos2Csin C=2sin C, 易知sin C≠0,所以化简得cos2C=34,因为b=2c,所以B>C,所以cos C=32,则sin C=12,所以sin B=2sin C=1,所以B=π2,C=π6,A=π3,即△ABC为直角三角形, 所以c=233,b=433,所以△ABC的周长为2+23,故D正确.故选ABD. 三、填空题 13.(2023届山西临汾期中,13)已知sin θcos θ=13,则sin4θ+cos4θ=　　　　.  答案　79 解析　因为sin θcos θ=13,所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×132=79. 14.(2018北京,11,5分)设函数f(x)=cosωx−π6(ω>0).若f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立,则ω的最小值为　　　　.  答案　23 解析　∵f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立, ∴fπ4=1,∴π4·ω−π6=2kπ,k∈Z,整理得ω=8k+23,k∈Z.又ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值23. 15.(2022西宁一模,15)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)=　　　　.  答案　2 解析　由题中图象可得A=2,2πω=2×(6-2), 解得ω=π4,由图象过原点,且|φ|<π2,得φ=0, ∴f(x)=2sinπ4x,这是一个周期为8的周期函数,且f(1)+f(2)+…+f(8)=0, 则f(1)+f(2)+…+f(2 022)=252×[f(1)+f(2)+…+f(8)]+f(1)+f(2)+…+f(6)=2+2+2+0−2−2=2. 16.(2020课标Ⅰ,16,5分)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=　　　　.  答案　-14 解析　将平面图形还原成三棱锥P-ABC(如图), 在△PAB中,∠PAB=90°,PA=3,AB=3,∴PB=6,在△PAC中,PA=3,AC=1,∠PAC=30°,由余弦定理得PC2=3+1-23·cos 30°, ∴PC=1, 在Rt△BAC中,易知BC=2, 在△PCB中,由余弦定理的推论得cos∠PCB=1+4−62×1×2=−14,即cos∠FCB=-14. 四、解答题 17.(2022北京,16,13分)在△ABC中,sin 2C=3sin C. (1)求∠C; (2)若b=6,且△ABC的面积为63,求△ABC的周长. 解析　(1)∵sin 2C=3sin C,∴2sin Ccos C=3sin C, 又sin C≠0,∴cos C=32. ∵∠C∈(0,π),∴∠C=π6. (2)∵S△ABC=12absin C=12a×6×sinπ6=32a=63, ∴a=43. 由余弦定理得c2=(43)2+62-2×43×6×32=12, ∴c=23,∴△ABC的周长为a+b+c=6+63. 18.(2023届赣南五校期中,18)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示,将f(x)的图象先向右平移π12个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数g(x)的图象. (1)求g(x)的解析式; (2)求g(x)在−π6,13π24上的值域. 解析　(1)由题图可知A=2,T4=7π12−π3=π4,即T=π,则ω=2πT=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),因为函数f(x)的图象过点7π12,−2, 所以-2=2sin2×7π12+φ, 即2×7π12+φ=3π2+2kπk∈Z,所以φ=π3+2kπ(k∈Z),因为|φ|<π2,所以φ=π3,所以f(x)=2sin2x+π3. 将f(x)的图象向右平移π12个单位长度得到y=2sin2x−π12+π3=2sin2x+π6的图象,再向下平移1个单位长度,得到y=2sin2x+π6-1的图象, 所以g(x)=2sin2x+π6-1. (2)因为x∈−π6,13π24,所以2x+π6∈−π6,5π4.令θ=2x+π6,则θ∈−π6,5π4.所以sin θ∈−22,1,所以2sin2x+π6∈[-1,2],所以g(x)∈[-2,2-1]. 19.(2022中原名校联盟4月联考,19)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin C=2sin B,C=2A,c=2. (1)求证:△ABC是等腰直角三角形; (2)已知点P在△ABC的内部,且PB=PC,PA=AC,求cos∠PAB. 解析　(1)证明:由C=2A可得sin C=sin 2A=2sin Acos A,即c=2a·b2+c2−a22bc,又sin C=2sin B,所以c=2b,又c=2,所以b=2,故a3-22=6a−62, 即(a-2)(a2+2a+2)=6(a-2), 化简可得(a-2)2(a+22)=0, 因为a>0,所以a=2,所以a=b. 又a2+b2=c2,故△ABC是等腰直角三角形. (2)由(1)可知,∠ACB=π2,设∠PAC=α,其中α∈0,π4, 因为PA=AC,所以∠PCA=π2−α2,则∠PCB=α2. 取BC的中点D,连接PD,则PD⊥BC,故PC=22cosα2. 又AP=AC=2,在△APC中,由正弦定理得, 22cosα2sinα=2sinπ2−α2.化简可得,sin α=12. 因为α∈0,π4,所以α=π6, 故cos∠PAB=cosπ4−π6=6+24. 20.(2022郑州二模,18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.△ABC的面积为S,若4aStanA=(2b-a)(a2+b2-c2). (1)求角C; (2)求sin A+sin B的取值范围. 解析　(1)由4aStanA=(2b-a)(a2+b2-c2)可得 4aScosAsinA=(2b-a)(a2+b2-c2),因为S=12bcsin A,a2+b2-c2=2abcos C,所以ccos A=(2b-a)cos C. 由正弦定理得sin Ccos A=(2sin B-sin A)cos C, 则sin Ccos A+sin Acos C=2sin Bcos C, 所以sin(A+C)=2sin Bcos C. 在△ABC中,sin(A+C)=sin B,sin B≠0, 所以cos C=12,所以C=π3. (2)sin A+sin B=sin A+sin(A+C)=sin A+sinA+π3 =32sin A+32cos A=3sinA+π6. 因为0<A<2π3,所以π6<A+π6<5π6, 所以sinA+π6∈12,1,故sin A+sin B∈32,3. 21.(2023届四川内江六中月考,17)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asinA+C2=bsin A,b=23. (1)求角B的大小; (2)求2a-c的取值范围. 解析　(1)∵A+B+C=π,∴A+C=π-B,∴asinπ−B2=bsin A,即acosB2=bsin A,由正弦定理得sin AcosB2=sin Bsin A,∵sin A≠0,∴cosB2=sin B=2sinB2cosB2, ∴sinB2=12,又B为锐角,∴B2=π6,即B=π3. (2)由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2332=4, ∴a=4sin A,c=4sin C=4sin2π3−A=4×32cosA+12sinA=23cos A+2sin A. ∴2a-c=8sin A-23cos A−2sin A=6sin A−23cos A=43×32sinA−12cosA=43sinA−π6. ∵0<A<π2,0<C=2π3−A<π2,∴π6<A<π2,∴0<A-π6<π3. ∴sinA−π6∈0,32,∴2a-c∈(0,6). 22.(2023届河南部分重点中学测试,20)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式,并求出f(x)图象的对称轴方程; (2)是否存在实数a,使得函数F(x)=f(x)-a在[0,nπ](n∈N*)上恰有2 023个零点?若存在,求出a和对应的n的值;若不存在,请说明理由. 解析　(1)由题图可得A=1,34T=5π6−π12=3π4,所以T=π.因为T=2πω=π,所以ω=2. 因为f(x)=sin(2x+φ)的图象过点π12,1,所以2×π12+φ=π2+2kπ,k∈Z, 又|φ|<π2,所以φ=π3,则f(x)=sin2x+π3, 所以f(x)图象的对称轴方程为2x+π3=kπ+π2,k∈Z,即x=kπ2+π12,k∈Z. (2)假设同时存在实数a和正整数n满足条件,则y=f(x)的图象与直线y=a在[0,nπ](n∈N*)上恰有2 023个交点,且函数y=f(x)的周期是π,当x∈[0,π]时,2x+π3∈π3,7π3. ①当a<-1或a>1时,y=f(x)的图象与直线y=a在[0,nπ](n∈N*)上无交点. ②当a=-1或a=1时,y=f(x)的图象与直线y=a在[0,π]上仅有一个交点,此时要使y=f(x)的图象与直线y=a在[0,nπ](n∈N*)上恰有2 023个交点,则n=2 023. ③当-1<a<32或32<a<1时,y=f(x)的图象与直线y=a在[0,π]上恰有2个交点, 此时y=f(x)的图象与直线y=a在[0,nπ](n∈N*)上有偶数个交点,不可能有2 023个交点. ④当a=32时,y=f(x)的图象与直线y=a在[0,π]上恰有3个交点,在[0,2π]上恰有5个交点,……找规律可得y=f(x)的图象与直线y=a在[0,nπ](n∈N*)上有(2n+1)个交点,则2n+1=2 023,解得n=1 011. 综上,当a=-1或a=1时,n=2 023;当a=32时,n=1 011. 第 10 页 共 10 页