1_11.3　二项分布与正态分布.docx

北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A版 11.3　二项分布与正态分布 基础篇 考点一　条件概率、相互独立事件及二项分布、全概率公式 考向一　相互独立事件、二项分布 1.(2018课标Ⅲ,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=(　　) A.0.7　　　　B.0.6　　　　C.0.4　　　　D.0.3 答案　B　 2.(2015课标Ⅰ,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为(　　) A.0.648　　　　B.0.432　　　　C.0.36　　　　D.0.312 答案　A　 3.(2023届江苏常州一中检测,7)袋子里装有形状、大小完全相同的4个小球,球上分别标有数字1,2,3,4,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,A表示事件“第一次取出的球上数字是1”,B表示事件“第二次取出的球上数字是2”,C表示事件“两次取出的球上数字之和是5”,D表示事件“两次取出的球上数字之和是6”,通过计算,则可以得出(　　) A.B与D相互独立　　　　B.A与D相互独立 C.B与C相互独立　　　　D.C与D相互独立 答案　C　 4.(多选)(2023届哈尔滨七十三中月考,9)一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1,2,3,4,抛掷该正四面体两次,记事件A为“第一次向下的数字为偶数”,事件B为“两次向下的数字之和为奇数”,则下列说法正确的是(　　) A.P(A)=13 B.事件A和事件B互为对立事件 C.P(B|A)=12 D.事件A和事件B相互独立 答案　CD　 5.(多选)(2023届浙江“山水联盟”联考,9)若P(A)=12,P(B)=13,则(　　) A.若A,B为互斥事件,则P(A+B)=56 B.P(A+B)≥56 C.若A,B相互独立,则P(AB)=13 D.若P(B|A)=13,则A,B相互独立 答案　AD　 6.(多选)(2022山东质量检测,11)拋掷一枚质地均匀的骰子,观察向上的面出现的点数,在下列事件中与事件“出现的点数为偶数”相互独立的事件为(　　) A.“出现的点数为奇数” B.“出现的点数大于2” C.“出现的点数小于4” D.“出现的点数小于3” 答案　BD　 　　　　　　　　　　　　　　　　 7.(2021新高考Ⅰ,8,5分)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(　　) A.甲与丙相互独立　　　　B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立　　　　D.丙与丁相互独立 答案　B　 8.(2022全国乙理,10,5分)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则(　　) A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大 C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大 答案　D　 9.(2022山东济宁一中开学考试,14)已知随机变量ξ~B6,13,则P(ξ=4)=　　　　,D(ξ)=　　　　.(用数字作答)  答案　20243　43 10.(2015广东,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=　　　　.  答案　13 11.(2020天津,13,5分)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为　　　　;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为　　　　.  答案　16　23 12.(2020课标Ⅰ,19,12分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率; (2)求需要进行第五场比赛的概率; (3)求丙最终获胜的概率. 解析　(1)甲连胜四场的概率为116. (2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为116;乙连胜四场的概率为116;丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1-116−116−18=34. (3)丙最终获胜,有两种情况: 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18; 比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为116,18,18. 因此丙最终获胜的概率为18+116+18+18=716. 13. (2023届江苏百校联考,19)近年来,师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿(第一个院校专业组的第一个专业)填报情况,经统计,首选志愿填报与性别情况如表:(单位:人) 首选志愿为师范专业 首选志愿为非师范专业 女性 25 35 男性 5 25 (1)根据小概率值α=0.05的独立性检验,能否认为首选志愿为师范专业与性别有关? (2)用样本估计总体,用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率,从2022年全国文科考生中随机抽取3人,设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为X,求X的分布列、数学期望E(X)和方差D(X). 附:χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d. α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析　(1)零假设为H0:首选志愿为师范专业与性别无关.根据题表中数据可得χ2=90×(25×25−35×5)260×30×30×60=5.625>3.841=x0.05, 根据小概率值α=0.05的独立性检验,推断H0不成立,即认为首选志愿为师范专业与性别有关,此推断犯错误的概率不大于0.05. (2)某个考生首选志愿为师范专业的概率P=3090=13, X的所有可能取值为0,1,2,3,X~B3,13. P(X=0)=233=827,P(X=1)=C31×13×232=49, P(X=2)=C32×132×23=29,P(X=3)=133=127, ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 827 49 29 127 E(X)=3×13=1,D(X)=3×13×1−13=23. 考向二　条件概率、全概率公式 1.(2023届广东普宁华美实验学校月考,3)从5名男生2名女生中任选3人参加学校组织的“喜迎二十大,奋进新征程”的演讲比赛,则在男生甲被选中的条件下,男生乙和女生丙至少一人被选中的概率是(　　) A.12　　　　B.47　　　　C.35　　　　D.23 答案　C　 2.(2022广东清远阳山中学月考,5)根据历年气象统计资料,某地四月份吹东风的概率为310,下雨的概率为1130,既吹东风又下雨的概率为830,则在吹东风的条件下下雨的概率为(　　) A.89　　　　B.25　　　　C.911　　　　D.811 答案　A　 3.(2022长沙市明德中学二模,4)学校从高一3名男数学老师和3名女数学老师中选派4人,承担本次模拟考试数学阅卷任务,则在选派的4人中至少有2名男老师的条件下,有2名女老师的概率为(　　) A.45　　　　B.34　　　　C.35　　　　D.1225 答案　B　 4.(2023届湖北应城第一高级中学热身考试,14)两批同种规格的产品,第一批占30%,次品率为5%;第二批占70%,次品率为4%,将两批产品混合,从混合产品中任取1件,则取到这件产品是合格品的概率为　　　　.  答案　0.957 5.(2023届辽宁鞍山质量监测,15)根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下的效果:若以A表示事件“试验反应为阳性”,以C表示事件“被诊断者患有癌症”,则有P(A|C)=0.9,P(A|C)=0.9.现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.01,即P(C)=0.01,则P(C|A)=　.  答案　112 6.(2023届辽宁渤海大学附中月考,14)某考生回答一道四选一的考题,假设他知道正确答案的概率为0.5,知道正确答案时,答对的概率为100%,而不知道正确答案时猜对的概率为0.25,那么他答对题目的概率为　　　.  答案　0.625 7.(2023届福建漳州质检,20)漳州某地准备建造一个以水仙花为主题的公园.在建园期间,甲、乙、丙三个工作队负责采摘及雕刻水仙花球茎.雕刻时会损坏部分水仙花球茎,假设水仙花球茎损坏后便不能使用,无损坏的全部使用.已知甲、乙、丙工作队所采摘的水仙花球茎分别占采摘总量的25%,35%,40%,甲、乙、丙工作队采摘的水仙花球茎的使用率分别为0.8,0.6,0.75水仙花球茎的使用率=能使用的水仙花球茎数采摘的水仙花球茎总数. (1)从采摘的水仙花球茎中有放回地随机抽取三次,每次抽取一颗,记甲工作队采摘的水仙花球茎被抽取到的次数为ξ,求随机变量ξ的分布列及期望; (2)已知采摘的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用,求它是由丙工作队所采摘的概率. 解析　(1)在采摘的水仙花球茎中,任取一颗是由甲工作队采摘的概率是14. 依题意,ξ的所有取值为0,1,2,3,且ξ~B3,14, 所以P(ξ=k)=C3k14k343−k,k=0,1,2,3, 即P(ξ=0)=2764,P(ξ=1)=2764,P(ξ=2)=964,P(ξ=3)=164, 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 2764 2764 964 164 所以E(ξ)=3×14=34. (2)用A1,A2,A3分别表示水仙花球茎由甲,乙,丙工作队采摘,B表示采摘的水仙花球茎经雕刻后能使用,则P(A1)=0.25,P(A2)=0.35,P(A3)=0.4, 且P(B|A1)=0.8,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=0.75, 故P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =0.25×0.8+0.35×0.6+0.4×0.75=0.71, 所以P(A3|B)=P(A3B)P(B)=P(A3)P(BA3)P(B)=0.30.71=3071. 即采摘出的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用,它是由丙工作队所采摘的概率为3071. 考点二　正态分布 1.(2023届广东东莞四中月考,4)某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有20 000名学生参赛,统计得考试成绩X(满分150分)服从正态分布N(110,100).考试成绩140分及以上者可以进入决赛.本次考试可以进入决赛的人数大约为(　　) 附:P(μ-σ<X<μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997 3 A.27　　　　B.52　　　　C.456　　　　D.13 答案　A　 2.(2011湖北,5,5分)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=(　　) A.0.6　　　　B.0.4　　　　C.0.3　　　　D.0.2 答案　C　 3.(2021新高考Ⅱ,7,5分)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是(　　) A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大 B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5 C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等 D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等 答案　D　 4.(2015山东,8,5分)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(　　) (附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%) A.4.56%　　　　B.13.59%　　　　 C.27.18%　　　　D.31.74% 答案　B　 5.(2022新高考Ⅱ,13,5分)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=　　　　.  答案　0.14 综合篇 考法一　条件概率的求法 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2023届湖北应城第一高级中学热身考试,6)将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①,②,③三个村庄进行义诊,每个村庄至少派1名医生,A表示事件“医生甲派往①村庄”;B表示事件“医生乙派往①村庄”;C表示事件“医生乙派往②村庄”,则(　　) A.事件A与B相互独立 B.事件A与C相互独立 C.P(B|A)=512 D.P(C|A)=512 答案　D　 2.(2023届广州仲元中学月考,7)为了提升全民身体素质,学校十分重视学生体育锻炼.某校一篮球运动员进行投篮练习.如果他前一球投进则后一球投进的概率为34;如果他前一球投不进则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34,则他第2球投进的概率为(　　) A.34　　　　B.58　　　　C.716　　　　D.916 答案　B　 3.(多选)(2022湖北开学考,10)已知P(A)=12,P(BA)=13,P(B|A)=34,则下列结论正确的是(　　) A.P(B|A)=23　　　　B.P(BA)=14 C.P(B)=23　　　　D.P(A|B)=37 答案　AD　 4.(多选)(2022广东阶段练,10)英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯统计理论,随机事件A、B存在如下关系:P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B).某高校有甲、乙两家餐厅,王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅,那么第二天去甲餐厅的概率为0.6;如果第一天去乙餐厅,那么第二天去甲餐厅的概率为0.5,则王同学(　　) A.第二天去甲餐厅的概率为0.54 B.第二天去乙餐厅的概率为0.44 C.第二天去了甲餐厅,则第一天去乙餐厅的概率为59 D.第二天去了乙餐厅,则第一天去甲餐厅的概率为49 答案　AC　 5.(2023届安徽十校联考,15)现有5名同学站成一排拍毕业照留念,在“甲不站最左边,乙不站最右边”的前提下,丙站最左边的概率为　　　　.  答案　313 6. (2022新高考Ⅰ,20,12分)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据: 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异? (2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,P(B|A)P(BA)与P(BA)P(B|A)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R. (i)证明:R=P(A|B)P(AB)·P(A|B)P(AB); (ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值. 附:K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 解析　(1)由题中数据可知K2=200×(40×90−10×60)2100×100×50×150=24>6.635,所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. (2)(i)证明:因为R=P(B|A)P(BA)·P(B|A)P(BA)=P(AB)P(A)·P(A)P(BA)·P(B　A)P(A)·P(A)P(BA)=P(AB)·P(B　A)P(BA)·P(BA), 且P(A|B)P(AB)·P(A|B)P(AB)=P(AB)P(B)·P(B)P(AB)·P(A　B)P(B)·P(B)P(AB)=P(AB)·P(A　B)P(AB)·P(AB), 所以R=P(A|B)P(AB)·P(A|B)P(AB). (ii)由题表中数据可知P(A|B)=40100=25,P(A|B)=10100=110,P(A|B)=60100=35,P(A|B)=90100=910, 所以R=P(A|B)P(AB)·P(A|B)P(AB)=2535×910110=6. 考法二　n重伯努利试验及二项分布问题的求解方法 1.(2022山东质量检测,5)现有3道四选一的单选题,学生李明对其中的2道题有思路,1道题完全没有思路,有思路的题答对的概率为0.8,没有思路的题只好任意猜一个答案,猜对答案的概率为0.25,若每题答对得5分,不答或答错得0分,则李明这3道题得分的期望为(　　) A.9310　　　　B.374　　　　C.394　　　　D.21120 答案　B　 2.(2023届湖北“宜荆荆恩”起点考,8)一个袋子中装有形状、大小完全相同的4个小球,其中2个黑球,2个白球.第一步:从袋子里随机取出2个球,将取出的白球涂黑后放回袋中,取出的黑球直接放回袋中;第二步:再从袋子里随机取出2个球,记第二步取出的2个球中白球的个数为X,则E(X)=(　　) A.56　　　　B.34　　　　C.23　　　　D.12 答案　D　 3.(多选)(2022山东济宁一中开学考,11)某单位举行建党100周年党史知识竞赛,在必答题环节共设置了5道题,每道题答对得20分,答错扣10分(每道题都必须回答,但相互不影响).设某选手每道题答对的概率均为23,其必答题环节的总得分为X,则(　　) A.该选手恰好答对2道题的概率为49 B.E(X)=50 C.D(X)=1003 D.P(X>60)=112243 答案　BD　 4.(多选)(2022福建莆田一中模拟,9)甲、乙两位同学做纸牌游戏(纸牌除了颜色有不同,没有其他任何区别),他们手里先各持4张牌,其中甲手里有2张黑牌,2张红牌,乙手里有3张黑牌,1张红牌,现在两人都各自随机地拿出一张牌进行交换,交换后甲、乙手中的红牌数分别为X、Y,则(　　) A.P(X=2)=12　　　　B.P(X=3)=14 C.E(X)=E(Y)　　　　D.D(X)=D(Y) 答案　AD　 5.(2022福州一中三模,15)产品质量检验过程主要包括进货检验(IQC),生产过程检验(IPQC),出货检验(OQC)三个环节.已知某产品IQC单独通过率为34,IPQC单独通过率为p(0<p<1),规定上一类检验不通过则不进入下一类检验,未通过可修复后再检验一次(修复后无需从头检验,通过率不变且每类检验最多两次),且各类检验间相互独立.若该产品能进入OQC的概率为56,则p=　　　　.  答案　23 6.(2017课标Ⅱ理,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)=　　　　.  答案　1.96 7.(2022广东清远阳山中学月考,13)随机变量X的概率分布列为 X 0 1 m P 15 n 310 且E(X)=1.1,则D(X)=　　　　.  答案　0.49 8.(2023届山东高密三中月考,18)某校为了缓解高三学子复习压力,举行“趣味数学”闯关活动,规定每人从10道题中至少随机抽3道回答,至少答对2题即可闯过第一关.某班有5位同学参加闯关活动,假设每位同学都能答对10道题中的6道题,且每位同学能否闯过第一关相互独立. (1)求B同学闯过第一关的概率; (2)求这5位同学闯过第一关的人数X的分布列和数学期望. 解析　(1)B同学闯过第一关的情况有答对2题和答对3题,故B同学闯过第一关的概率 P=C63+C62C41C103=23. (2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,且X服从二项分布,即X~B5,23. P(X=0)=135=1243,P(X=1)=C51×23×134=10243,P(X=2)=C52×232×133=40243, P(X=3)=C53×233×132=80243,P(X=4)=C54×234×13=80243,P(X=5)=235=32243. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 1243 10243 40243 80243 80243 32243 所以E(X)=0×1243+1×10243+2×40243+3×80243+4×80243+5×32243=103或E(X)=5×23=103. 9.(2023届南京雨花台中学调研,20)某企业拥有3条相同的生产线,每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立,且出现故障的概率均为13. (1)求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率; (2)为提高生产效益,该企业决定招聘n名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力,且每月固定工资为1万元.此外,统计表明,每月在不出故障的情况下,每条生产线创造12万元的利润;如果出现故障能及时维修,每条生产线创造8万元的利润;如果出现故障不能及时维修,该生产线将不创造利润,以该企业每月实际获利的期望值为决策依据,在n=1与n=2之中选其一,应选哪个?(实际获利=生产线创造利润-维修工人工资) 解析　(1)设3条生产线中出现故障的条数为X,则X~B3,13,因此P(X=1)=C31131232=49. (2)①当n=1时,设该企业每月的实际获利为Y1万元, 若X=0,则Y1=12×3-1=35;　 若X=1,则Y1=12×2+8×1-1=31; 若X=2,则Y1=12×1+8×1+0×1-1=19; 若X=3,则Y1=8×1+0×2-1=7, 又P(X=0)=C30130233=827,P(X=1)=C31131·232=1227,P(X=2)=C32132231=627,P(X=3)=C33133230=127, 此时,实际获利Y1的均值E(Y1)=35×827+31×1227+19×627+7×127=77327(万元). ②当n=2时,设该企业每月的实际获利为Y2万元, 若X=0,则Y2=12×3-2=34; 若X=1,则Y2=12×2+8×1-2=30; 若X=2,则Y2=12×1+8×2-2=26; 若X=3,则Y2=8×2+0×1-2=14. E(Y2)=34×827+30×1227+26×627+14×127=80227(万元), 因为E(Y1)<E(Y2), 所以以该企业每月实际获利的期望值为决策依据,在n=1与n=2之中选其一,应选n=2. 10.(2023届广西北海一模,19)某校为了了解学生每天完成数学作业所需的时间收集了相关数据(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中,学生完成数学作业时间的范围是(0,100](单位:分钟).其统计数据分组区间为(0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]. (1)求直方图中x的值; (2)以直方图中的频率作为概率,从该校学生中任选4人,这4名学生中完成数学作业所需时间少于20分钟的人数记为X,求X的分布列和数学期望. 解析　(1)由直方图中小矩形面积之和为1,可得20x+0.025×20+0.006 5×20+0.003×2×20=1,解得x=0.012 5. (2)X的可能取值为0,1,2,3,4. 由直方图可知,每位学生完成数学作业所需时间少于20分钟的概率为14, 则P(X=0)=344=81256,P(X=1)=C4114343=2764,P(X=2)=C42142342=27128,P(X=3)=C4314334=364,P(X=4)=144=1256, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 81256 2764 27128 364 1256 E(X)=4×14=1. 11.(2018课标Ⅰ,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是不是不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0. (2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X); (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验? 解析　(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C202p2(1-p)18. 因此f '(p)=C202[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C202p(1-p)17(1-10p). 令f '(p)=0,得p=0.1,当p∈(0,0.1)时, f '(p)>0; 当p∈(0.1,1)时, f '(p)<0. 所以f(p)的最大值点为p0=0.1. (2)由(1)知,p=0.1, (i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y, 所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490. (ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于E(X)>400,故应该对余下的产品作检验. 考法三　正态分布问题的求解方法 1.(2022重庆二模,4)已知某批零件的尺寸X(单位:mm)服从正态分布N(10,4),其中X∈[8,14]的产品为“合格品”,若从这批零件中随机抽取一件,则抽到合格品的概率约为(　　) (附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3) A.0.341 4　　　　B.0.477 3　　　　 C.0.512　　　　D.0.818 6 答案　D　 2.(多选)(2023届重庆南开中学质检,9)已知随机变量X~N(1,22),且P(X≤0)+P(1≤X<m)=12,则下列说法正确的是(　　) A.m=2 B.m=4 C.函数y=x(m-x)的最大值为1 D.X的正态曲线关于直线x=2对称 答案　AC　 3.(2023届河北河间一中开学考,16)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从生产线上随机抽取10个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期的生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(200,150).现假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的10个零件中尺寸在(187.8,212.2)之外的零件数,则E(X)=　　　　.  (附:150≈12.2,P(μ-σ<X<μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 5) 答案　3.173 4.(2023届湖北应城第一高级中学热身考试,21)数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分,数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现.为全面推动数学建模活动的开展,某学校举行了一次数学建模竞赛活动,已知该竞赛共有60名学生参加,他们成绩的频率分布直方图如图. (1)为了对数据进行分析,将60分以下的成绩定为不合格,60分以上(含60分)的成绩定为合格.为科学评估该校学生数学建模水平,决定利用分层随机抽样的方法从这60名学生中选取10人,然后从这10人中抽取4人参加座谈会.记ξ为抽取的4人中,成绩不合格的人数,求ξ的分布列和数学期望; (2)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可用样本平均数近似代替,σ2可用样本方差近似代替(每组数据以区间的中点值作代表),若本次数学建模竞赛满分为100分,成绩在46分以上的学生均能得到奖励,试估计此次竞赛中得到奖励的人数.(结果根据四舍五入保留到整数位) 附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 3. 解析　(1)由题中频率分布直方图和分层随机抽样的方法,可知抽取的10人中合格的人数为(0.01+0.02)×20×10=6,不合格的人数为10-6=4. 因此,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4, P(ξ=0)=C64C104=114,P(ξ=1)=C41C63C104=821,P(ξ=2)=C42C62C104=37,P(ξ=3)=C43C61C104=435,P(ξ=4)=C44C104=1210. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 114 821 37 435 1210 所以ξ的数学期望E(ξ)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85. (2)由题意可知,μ=(30×0.005+50×0.015+70×0.02+90×0.01)×20=64,σ2=(30-64)2×0.1+(50-64)2×0.3+(70-64)2×0.4+(90-64)2×0.2=324,所以σ=18. 由X服从正态分布N(μ,σ2),得P(64-18<X≤64+18)=P(46<X≤82)≈0.682 7,则P(X>82)=12×(1-0.682 7)=0.158 65,P(X>46)=0.682 7+0.158 65=0.841 35,60×0.841 35≈50,所以估计此次竞赛中得到奖励的人数为50. 5.(2017课标Ⅰ,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2). (1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (i)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸: 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x=116i=116xi=9.97,116i=116(xi−x)2=116(i=116xi2−16x 2)s116i=116(xi−x)2=116(i=116xi2−16x 2)=≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16. 用样本平均数x作为μ的估计值μ^,用样本标准差s作为σ的估计值σ^,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^−3σ^,μ^+3σ^)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01). 附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z< μ+3σ)=0.997 4. 0.997 416≈0.959 2,0.008≈0.09. 解析　(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.002 6,故X~B(16,0.002 6). 因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 416≈0.040 8. X的数学期望为EX=16×0.002 6=0.041 6. (2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的. (ii)由x=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为μ^=9.97,σ的估计值为σ^=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^−3σ^,μ^+3σ^)之外,因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除(μ^−3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02,因此μ的估计值为10.02.i=116xi2=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134, 剔除(μ^−3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008, 因此σ的估计值为0.008≈0.09. 第 17 页 共 17 页