第1页共56页北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A版8.5空间角与距离、空间向量及其应用考点用向量法求空间角和空间距离1.(2020新高考Ⅰ,4,5分)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为()A.20°B.40°C.50°D.90°答案B由题意作出如图所示的截面图,设所求角为α,由图易知α=40°.故选B.2.(2022全国甲,理7,文9,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°,则()A.AB=2ADB.AB与平面AB1C1D所成的角为30°C.AC=CB1D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45°答案D如图,连接BD.由题可知,BB1⊥平面ABCD,AD⊥平面AA1B1B,易知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角分别为∠B1DB,∠AB1D,∴∠B1DB=∠AB1D=30°.第2页共56页北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A版设AD=1,则AB1=√3,B1D=2,∴BB1=1,BD=√3,∴AB=√2,∴AB=√2AD,故A错误.过B作BH⊥AB1,交AB1于H,易知∠HAB为AB与平面AB1C1D所成的角. BH=AB·BB1AB1=√63,∴sin∠HAB=BHAB=√33,故B错误.易知AC=√3,CB1=√2,∴AC≠CB1,故C错误.易知∠DB1C为B1D与平面BB1C1C所成的角,∴sin∠DB1C=DCB1D=√22,∴∠DB1C=45°,故D正确.3.(多选)(2022新高考Ⅰ,9,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则()A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°答案ABD连接B1C,交BC1于O, A1D∥B1C,∴∠B1OC1(或其补角)为直线BC1与DA1所成的角,又B1C⊥BC1,∴∠B1OC1=90°,即直线BC1与DA1所成角为90°.故选项A正确.由A1B1⊥平面BB1C1C,BC1⊂平面BB1C1C知A1B1⊥BC1,又BC1⊥B1C,A1B1∩B1C=B1,∴BC1⊥平面A1B1C,又CA1⊂平面A1B1C,∴BC1⊥CA1,∴直线BC1与CA1所成角为90°.故选项B正确.第3页共56页北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A版连接A1C1,交B1D1于点O1,连接O1B,易证C1O1⊥平面BB1D1D,∴BC1在平面BB1D1D内的射影为O1B,∴BC1与平面BB1D1D所成角为∠C1BO1.在Rt△BO1C1中,sin∠C1BO1=C1O1BC1=12,则∠C1BO1=30°,故选项C错误. CC1⊥平面ABCD,∴∠C1BC是BC1与平面ABCD所成的角,而∠C1BC=45°,故选项D正确.故选ABD....
