1_3.5 函数的零点与方程的根（十年高考）.docx

北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A版 3.5函数与方程及函数的综合应用 考点一　函数的零点 1.(2015天津文,8,5分)已知函数f(x)=2−|x|,　　x≤2,(x−2)2,　　　x>2,函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为(　　) A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5 答案　A　由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)=|x−2|+1,x≥0,3−x2,　　　x<0.函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数,在平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示. 由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图象有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2,选A. 2.(2014北京文,6,5分)已知函数f(x)=6x-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(　　) A.(0,1)　　　　　B.(1,2) C.(2,4)　　　　　D.(4,+∞) 答案　C　∵f(1)=6-log21=6>0, f(2)=3-log22=2>0,f(4)=64-log24=32-2<0,∴包含f(x)零点的区间是(2,4),故选C. 3.(2011课标,10,5分)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为(　　) A.−14,0　　　　　B.0,14 C.14,12　　　　　D.12,34 答案　C　显然f(x)为定义域R上的连续函数.如图作出y=ex与y=3-4x的图象,由图象知函数f(x)=ex+4x-3的零点一定落在区间0,34内,又f14=4e-2<0, f12=e-1>0.故选C. 评析　本题考查函数零点的概念及求解方法,考查学生分析问题、解决问题的能力,属中等难度试题. 4.(2016山东文,15,5分)已知函数f(x)=|x|,x≤m,x2−2mx+4m,x>m,其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是　　　　.  答案　(3,+∞) 解析　f(x)的图象如图所示, 若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,只需4m-m2<m,解之得m>3或m<0,又m>0,所以m>3. 方法总结　分段函数问题、函数零点个数问题或方程根的个数问题通常采用数形结合的思想方法来解决. 评析　本题考查基本初等函数及分段函数的图象,考查数形结合的思想方法,属于难题. 5.(2016天津文,14,5分)已知函数f(x)= x2+(4a−3)x+3a,x<0,loga(x+1)+1,　　　x≥0(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x3恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是　　　　.  答案　13,23 解析　∵函数f(x)在R上单调递减,∴−4a−32≥0,0<a<1,3a≥1,解得13≤a≤34.在同一直角坐标系下作出函数y=|f(x)|与y=2-x3的图象,如图所示. 方程|f(x)|=2-x3恰有两个不相等的实数解等价于y=|f(x)|的图象与y=2-x3的图象恰有两个交点,则需满足3a<2,得a<23,综上可知,13≤a<23. 易错警示　(1)f(x)在R上单调递减,需满足−4a−32≥0,0<a<1,3a≥1,缺少条件是失分的一个原因; (2)由方程解的个数求参数范围往往利用数形结合思想将问题转化为两个函数图象交点个数的问题是解决这类问题常用的方法. 评析　　本题主要考查分段函数的单调性及函数与方程,利用数形结合思想,将方程解的个数问题转化为两个函数图象交点个数的问题是求解这类问题的常用方法. 6.(2015湖南理,15,5分)已知函数f(x)=x3,x≤a,x2,x>a.若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是　　　　.  答案　(-∞,0)∪(1,+∞) 解析　当a<0时,若x∈(a,+∞),则f(x)=x2,当b∈(0,a2)时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x1=-b,x2=b. 当0≤a≤1时,f(x)的图象如图所示, 易知函数y=f(x)-b最多有一个零点. 当a>1时, f(x)的图象如图所示, 当b∈(a2,a3]时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x1=3b,x2=b. 综上,a∈(-∞,0)∪(1,+∞). 7.(2015北京理,14,5分)设函数f(x)=2x−a,　　　　　x<1,4(x−a)(x−2a),　　　x≥1. ①若a=1,则f(x)的最小值为　　　　;  ②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是　　　　.  答案　①-1　②12,1∪[2,+∞) 解析　①当a=1时, f(x)=2x−1,x<1,4(x−1)(x−2),x≥1,其大致图象如图所示: 由图可知f(x)的最小值为-1. ②当a≤0时,显然函数f(x)无零点; 当0<a<1时,易知f(x)在(-∞,1)上有一个零点,要使f(x)恰有2个零点,则当x≥1时, f(x)有且只有一个零点,结合图象可知,2a≥1,即a≥12,则12≤a<1; 当a≥1时,2a>1,由二次函数的性质可知,当x≥1时, f(x)有2个零点, 则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-∞,1)上无零点,则2-a≤0,即a≥2. 综上可知,满足条件的a的取值范围是12,1∪[2,+∞). 8.(2015湖北文,13,5分)函数f(x)=2sin xsinx+π2-x2的零点个数为　　　　.  答案　2 解析　f(x)=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2,函数f(x)的零点个数可转化为函数y1=sin 2x与y2=x2图象的交点个数,在同一坐标系中画出y1=sin 2x与y2=x2的图象如图所示: 由图可知两函数图象有2个交点,则f(x)的零点个数为2. 9.(2021北京,15,5分)已知f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论: ①若k=0,则f(x)有两个零点; ②∃k<0,使得f(x)有一个零点; ③∃k<0,使得f(x)有三个零点; ④∃k>0,使得f(x)有三个零点. 以上正确结论的序号是　　　　.  答案　①②④ 解析　令f(x)=|lg x|-kx-2=0,得|lg x|=kx+2, 令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2, 所以f(x)的零点个数即函数g(x)与h(x)图象的交点个数. 当k=0时,如图a,g(x)与h(x)的图象有两个交点,则f(x)有两个零点,故①正确; 当k>0时,如图b,存在h(x)=k0x+2的图象与函数g(x)=lg x(x>1)的图象相切,此时h(x)与g(x)的图象有两个交点,当0<k<k0时,g(x)与h(x)的图象有三个交点,则f(x)有三个零点,故④正确; 当k<0时,如图c,g(x)与h(x)的图象最多有两个交点,g(x)与h(x)相切时有一个交点,如图d,故②正确,③不正确. 综上,正确结论的序号为①②④. 图a 图b 图c 图d 解题指导:由f(x)=0得|lg x|=kx+2,令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2,则f(x)零点个数转化为g(x)与h(x)图象的交点个数,再利用图象解决问题. 考点二　函数模型及应用 1.(2020课标Ⅱ文,3,5分)如图,将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,…,a12,设1≤i<j<k≤12.若k-j=3且j-i=4,则称ai,aj,ak为原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3,则称ai,aj,ak为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为(　　) A.5　　　B.8　　　C.10　　　D.15 答案　C　根据已知条件可知原位大三和弦有a1,a5,a8;a2,a6,a9;a3,a7,a10;a4,a8,a11;a5,a9,a12,共5个.原位小三和弦有a1,a4,a8;a2,a5,a9;a3,a6,a10;a4,a7,a11;a5,a8,a12,共5个,所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10,故选C. 2.(2013课标Ⅰ理,11,5分)已知函数f(x)=−x2+2x,x≤0,ln(x+1),x>0.若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,0]　　　　　B.(-∞,1] C.[-2,1]　　　　　D.[-2,0] 答案　D　由题意作出y=|f(x)|=x2−2x(x≤0),ln(x+1)(x>0)的图象: 由题意结合图象知,当a>0时,y=ax与y=ln(x+1)在x>0时必有交点,所以a≤0.当x≥0时,|f(x)|≥ax显然成立;当x<0时,|f(x)|=x2-2x≥ax,则a≥x-2恒成立,又x-2<-2,∴a≥-2.综上,-2≤a≤0,故选D. 评析　　本题考查了函数的综合应用,考查了数形结合的能力.借助基本初等函数的图象缩小参数范围是解题关键. 3.(2012课标理,12,5分)设点P在曲线y=12ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为(　　) A.1-ln 2　　　　　B.2(1-ln 2) C.1+ln 2　　　　　D.2(1+ln 2) 答案　B　由y=12ex得ex=2y,所以x=ln(2y),所以y=12ex的反函数为y=ln(2x),所以y=12ex与y=ln(2x)的图象关于直线y=x对称,所以两条曲线上的点的距离的最小值是两条曲线上切线斜率为1的切点之间的距离,令[ln(2x)]'=1x=1,解得x1=1,令12ex'=1,解得x2=ln 2,所以两切点分别为(1,ln 2)和(ln 2,1),故d=2(1-ln 2),故选B. 评析　本题考查了导数的应用,互为反函数的两函数图象的性质,考查了数形结合的思想. 4.(2011课标理,12,5分)函数y=11−x的图象与函数y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　) A.2　　　B.4　　　C.6　　　D.8 答案　D　函数y=11−x=−1x−1和y=2sin πx的图象有公共的对称中心(1,0),画出二者图象如图所示,易知y=11−x与y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象共有8个交点,不妨设其横坐标为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7<x8,由对称性得x1+x8=x2+x7=x3+x6=x4+x5=2,∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=8,故选D. 5.(2011课标文,12,5分)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图象的交点共有(　　) A.10个　　　B.9个　　　C.8个　　　D.1个 答案　A　在同一平面直角坐标系中分别作出f(x)和y=|lg x|的图象,如图.又lg10=1,由图象知选A. 评析　本题考查函数的图象、周期等相关知识,考查学生作图、用图能力,体现了数形结合思想. 6.(2022北京,7,4分,应用性)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是(　　) A.当T=220,P=1 026时,二氧化碳处于液态 B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态 C.当T=300,P=9 987时,二氧化碳处于超临界状态 D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态 答案　D　对于A,当T=220,P=1 026时,lg P=lg 1 026=3+lg 1.026∈(3,4),由题图可知,二氧化碳处于固态,∴A错误. 对于B,当T=270,P=128时,lg P=lg 128=2+lg 1.28∈(2,3),由题图可知,二氧化碳处于液态,∴B错误. 对于C,当T=300,P=9 987时,lg P=3+lg 9.987≈4, 由题图可知,二氧化碳处于固态,∴C错误. 对于D,当T=360,P=729时,lg P=lg 729=2+lg 7.29∈(2,3),由题图可知,二氧化碳处于超临界状态,∴D正确. 故选D. 7.(2020新高考Ⅰ,6,5分)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　) A.1.2天　　　　B.1.8天　　　　 C.2.5天　　　　D.3.5天 答案　B　因为R0=3.28,T=6且R0=1+rT,所以指数增长率r=R0−1T=0.38,设累计感染病例增加1倍需要的时间为t天,则I(t)=2I(0),即ert=2,即e0.38t=2,两边取自然对数得ln e0.38t=ln 2,即0.38t=ln 2,又ln 2≈0.69,所以t=ln20.38≈0.690.38≈1.8.故选B. 8.(2020北京,15,5分)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用- f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示. 给出下列四个结论: ①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强; ②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强; ③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标; ④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是　　　　.  答案　①②③ 命题意图:本题以环保部门要求相关企业加强污水处理,排放未达标的企业要限期整改这个情境为载体,贴近生活,要求考生能够在短时间内审清题意,理清解决问题的思路,建立适当的数学模型来解决问题,体现试题的教育价值.考查学生的抽象概括、直观想象、分析和解决具有实际意义问题的能力,同时考查了数形结合思想. 审题指导:与函数和导数有关的实际应用问题,需要先把实际问题翻译成数学问题,理解一段时间内企业污水治理能力的强弱的计算式,并把这个计算式与其几何意义联系起来,再逐步对四个结论去伪存真. 解题思路:设y=-f(b)−f(a)b−a,由已知条件可得甲、乙两个企业在[t1,t2]这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为-f(t2)−f(t1)t2−t1(难点:准确理解表达式的几何意义是解题的关键),由题图易知y甲>y乙,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,所以①对; 由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示,所以②对; 在t3时刻,由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以③对; 由计算式-f(b)−f(a)b−a可知,甲企业在[0,t1]这段时间内污水治理能力最弱,所以④错. 9.(2011湖北文,15,5分)里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为　　　　级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的　　　　倍.  答案　6;10 000 解析　A=1 000=103,A0=0.001=10-3, M=lg 103-lg 10-3=3-(-3)=6. 设9级地震,5级地震的最大振幅分别为A1,A2,则lg A1-9=lg A2-5,得lg A1-lg A2=4,即lgA1A2=4,∴A1A2=10 000. 第 10 页 共 10 页