1_专题十二　数系的扩充与复数的引入（十年高考）.docx

北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A版 专题十二　数系的扩充与复数的引入 考点一　复数的概念与几何意义 1.(2021浙江,2,4分)已知a∈R,(1+ai)i=3+i(i为虚数单位),则a=(　　) A.-1　　　　B.1　　　　C.-3　　　　D.3 答案　C　解题指导:先将等式左边化成a+bi(a,b∈R)的形式,然后利用复数相等的充要条件得出结果. 解析　由(1+ai)i=3+i,得-a+i=3+i,所以-a=3,即a=-3.故选C. 方法总结　设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1=z2的充要条件是a=c,b=d. 2.(2022浙江,2,4分)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则(　　) A.a=1,b=-3　　　　B.a=-1,b=3 C.a=-1,b=-3　　　　D.a=1,b=3 答案　B　∵a+3i=bi+i2=-1+bi,∴a=-1,b=3.故选B. 3.(2022北京,2,4分)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|=(　　) A.1　　　　B.5　　　　C.7　　　　D.25 答案　B　由i·z=3-4i可知,z=3−4ii=(3−4i)·(−i)i(−i)=-4-3i,故|z|=(−4)2+(−3)2=5.故选B. 2.(2022新高考Ⅰ,2,5分)若i(1-z)=1,则z+z=(　　) A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2 答案　D　由题意知1-z=1i=-i,所以z=1+i,则z=1-i,所以z+z=(1+i)+(1-i)=2,故选D. 4.(2022全国乙文,2,5分)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则(　　) A.a=1,b=-1　　　　B.a=1,b=1 C.a=-1,b=1　　　　D.a=-1,b=-1 答案　A　由题意知(a+b)+2ai=2i, 所以a+b=0,2a=2,解得a=1,b=−1,故选A. 5.(2022全国乙理,2,5分)已知z=1-2i,且z+az+b=0,其中a,b为实数,则(　　) A.a=1,b=-2　　　　B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2　　　　D.a=-1,b=-2 答案　A　由题意知z=1+2i,所以z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i,又z+az+b=0,所以a+b+1+(2a-2)i=0,所以a+b+1=0,2a−2=0,解得a=1,b=−2,故选A. 6.(2021全国乙理,1,5分)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.1-2i　　　　B.1+2i　　　　C.1+i　　　　D.1-i 答案　C　设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,代入2(z+z)+3(z-z)=4+6i,得4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,故z=1+i.故选C. 7.(2019课标Ⅱ文,2,5分)设z=i(2+i),则z=(　　) A.1+2i　　　　　B.-1+2i C.1-2i　　　　　D.-1-2i 答案　D　本题主要考查复数的有关概念及复数的运算;考查学生的运算求解能力;考查数学运算的核心素养. ∵z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,∴z=-1-2i,故选D. 解题关键　正确理解共轭复数的概念是求解的关键. 8.(2017课标Ⅲ文,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于(　　) A.第一象限　　　B.第二象限　　　C.第三象限　　　D.第四象限 答案　C　z=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以复数z在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限.故选C. 9.(2017课标Ⅲ理,2,5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=(　　) A.12　　　B.22　　　C.2　　　D.2 答案　C　本题考查复数的运算及复数的模. ∵(1+i)z=2i,∴z=2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=2(1+i)2=1+i. ∴|z|=12+12=2. 一题多解　∵(1+i)z=2i,∴|1+i|·|z|=|2i|,即12+12·|z|=2,∴|z|=2. 10.(2017课标Ⅰ文,3,5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　) A.i(1+i)2　　　B.i2(1-i)　　　C.(1+i)2　　　D.i(1+i) 答案　C　本题考查复数的运算和纯虚数的定义. A.i(1+i)2=i×2i=-2; B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i; C.(1+i)2=2i; D.i(1+i)=-1+i,故选C. 11.(2016课标Ⅰ理,2,5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=(　　) A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.2 答案　B　∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi, ∴x=1,y=1,∴|x+yi|=|1+i|=12+12=2.故选B. 评析　本题考查复数相等的条件,属容易题. 12.(2016课标Ⅰ文,2,5分)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=(　　) A.-3　　　B.-2　　　C.2　　　D.3 答案　A　∵(1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i, ∴a-2=2a+1,解得a=-3,故选A. 解后反思　将复数化为x+yi(x,y∈R)的形式,然后建立方程是解决问题的关键. 评析　本题主要考查复数的运算及复数的有关概念,将复数化为x+yi(x,y∈R)的形式是解题关键. 13.(2016课标Ⅱ文,2,5分)设复数z满足z+i=3-i,则z=(　　) A.-1+2i　　　B.1-2i　　　C.3+2i　　　D.3-2i 答案　C　z=3-2i,所以z=3+2i,故选C. 14.(2016课标Ⅲ文,2,5分)若z=4+3i,则z|z|=(　　) A.1　　　B.-1　　　C.45+35i　　　D.45-35i 答案　D　由z=4+3i得|z|=32+42=5,z=4-3i,则z|z|=45-35i,故选D. 15.(2015安徽理,1,5分)设i是虚数单位,则复数2i1−i在复平面内所对应的点位于(　　) A.第一象限　　　B.第二象限　　　C.第三象限　　　D.第四象限 答案　B　∵2i1−i=2i(1+i)2=-1+i,∴复数2i1−i在复平面内所对应的点是(-1,1),它位于第二象限. 16.(2015课标Ⅰ理,1,5分)设复数z满足1+z1−z=i,则|z|=(　　) A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.2 答案　A　由已知1+z1−z=i,可得z=i−1i+1=(i−1)2(i+1)(i−1)=−2i−2=i,∴|z|=|i|=1,故选A. 17.(2015湖北理,1,5分)i为虚数单位,i607的共轭复数····为(　　) A.i　　　B.-i　　　C.1　　　D.-1 答案　A　∵i607=i4×151+3=(i4)151·i3=-i, ∴i607的共轭复数为i. 18.(2014课标Ⅱ理,2,5分)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=(　　) A.-5　　　B.5　　　C.-4+i　　　D.-4-i 答案　A　由题意得z2=-2+i,∴z1z2=(2+i)(-2+i)=-5,故选A. 19.(2014重庆理,1,5分)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于(　　) A.第一象限　　　B.第二象限　　　C.第三象限　　　D.第四象限 答案　A　i(1-2i)=i-2i2=2+i,对应复平面上的点为(2,1),在第一象限.选A. 20.(2014课标Ⅰ文,3,5分)设z=11+i+i,则|z|=(　　) A.12　　　B.22　　　C.32　　　D.2 答案　B　z=11+i+i=1−i2+i=12+12i,因此|z|=122+122=12=22,故选B. 21.(2013课标Ⅰ理,2,5分)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为(　　) A.-4　　　B.-45　　　C.4　　　D.45 答案　D　∵|4+3i|=42+32=5,∴z=53−4i=5(3+4i)25=35+45i,虚部为45,故选D. 22.(2013课标Ⅱ文,2,5分)21+i=(　　) A.22　　　B.2　　　C.2　　　D.1 答案　C　21+i=2(1−i)2=|1-i|=2.选C. 23.(2012课标理,3,5分)下面是关于复数z=2−1+i的四个命题: p1:|z|=2,　　　　　p2:z2=2i, p3:z的共轭复数为1+i,　　　　　p4:z的虚部为-1. 其中的真命题为(　　) A.p2,p3　　　B.p1,p2　　　C.p2,p4　　　D.p3,p4 答案　C　z=2−1+i=2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=-1-i,所以|z|=2,p1为假命题;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2为真命题;z=-1+i,p3为假命题;p4为真命题.故选C. 评析　本题考查了复数的运算及复数的性质,考查了运算求解能力. 24.(2012课标文,2,5分)复数z=−3+i2+i的共轭复数是(　　) A.2+i　　　B.2-i　　　C.-1+i　　　D.-1-i 答案　D　z=−3+i2+i=(−3+i)(2−i)(2+i)(2−i)=−5+5i5=-1+i,z=-1-i,故选D. 评析　本题考查了复数的运算,易忽略共轭复数而错选. 25.(2011课标理,1,5分)复数2+i1−2i的共轭复数是(　　) A.-35i　　　B.35i　　　C.-i　　　D.i 答案　C　2+i1−2i=(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=i,其共轭复数为-i,故选C. 评析　本题考查复数的除法运算和共轭复数的概念,属容易题. 26.(2016课标Ⅱ,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是(　　) A.(-3,1)　　　　　B.(-1,3) C.(1,+∞)　　　　　D.(-∞,-3) 答案　A　由已知可得m+3>0,m−1<0⇒m>−3,m<1⇒-3<m<1.故选A. 方法总结　复数的实部、虚部分别是其在复平面内对应点的横坐标、纵坐标,所以研究复数在复平面内的对应点的位置时,关键是确定复数的实部和虚部. 27.(2016山东,1,5分)若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z=(　　) A.1+2i　　　　　B.1-2i C.-1+2i　　　　　D.-1-2i 答案　B　设z=a+bi(a、b∈R),则2z+z=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,∴a=1,b=-2,∴z=1-2i,故选B. 28.(2019江苏,2,5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是　　　　.  答案　2 解析　本题考查了复数的概念及运算,考查了学生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算. ∵(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的实部为0, ∴a-2=0,解得a=2. 解题关键　掌握复数的有关概念及代数形式的四则运算是解题的关键. 29.(2017江苏,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是　　　　.  答案　10 解析　本题考查复数的运算. ∵z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1, ∴|z|=32+(−1)2=10. 30.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是　　　　.  答案　5 解析　(1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的实部为5. 31.(2016北京理,9,5分)设a∈R.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=　　　　.  答案　-1 解析　(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,∵a∈R,该复数在复平面内对应的点位于实轴上,∴a+1=0,∴a=-1. 32.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为　　　　.  答案　-2 解析　∵(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i为纯虚数, ∴1−2a≠0,2+a=0,解得a=-2. 33.(2015重庆理,11,5分)设复数a+bi(a,b∈R)的模为3,则(a+bi)(a-bi)=　　　　.  答案　3 解析　复数a+bi(a,b∈R)的模为a2+b2=3,则a2+b2=3,则(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2·i2=a2+b2=3. 考点二　复数的运算 1.(2021新高考Ⅰ,2,5分)已知z=2-i,则z(z+i)=(　　) A.6-2i　　　　B.4-2i　　　　C.6+2i　　　　D.4+2i 答案　C　∵z=2-i,∴z=2+i, ∴z(z+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i.故选C. 2.(2022新高考Ⅱ,2,5分)(2+2i)(1-2i)=(　　) A.-2+4i　　　　B.-2-4i　　　　C.6+2i　　　　D.6-2i 答案　D　(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i,故选D. 3.(2022全国甲文,3,5分)若z=1+i,则|iz+3z|=(　　) A.45　　　　B.42　　　　C.25　　　　D.22 答案　D　∵z=1+i,∴iz=i-1,3z=3(1-i)=3-3i, ∴iz+3z=2-2i,∴|iz+3z|=22.故选D. 4.(2021全国甲理,3,5分)已知(1-i)2z=3+2i,则z=(　　) A.-1-32i　　　　B.−1+32i C.-32+i　　　　D.−32-i 答案　B　解法一:由题意得z=3+2i(1−i)2=3+2i−2i=(3+2i)·i(−2i)·i=−2+3i2=−1+32i. 解法二:设z=a+bi(a,b∈R). 由(1-i)2z=3+2i得(1-i)2(a+bi)=3+2i, ∴-2i(a+bi)=2b-2ai=3+2i, ∴a=-1,b=32,∴z=-1+32i.故选B. 5.(2022全国甲理,1,5分)若z=-1+3i,则zzz−1=(　　) A.-1+3i　　　　B.−1−3i　　　　C.−13+33i　　　　D.−13−33i 答案　C　因为z=-1+3i,所以zzz−1=−1+3i(−1+3i)(−1−3i)−1=−1+3i1+3−1=−13+33i,故选C. 6.(2021全国乙文,2,5分)设iz=4+3i,则z=(　　) A.-3-4i　　　　B.-3+4i　　　　C.3-4i　　　　D.3+4i 答案　C　解题指导:解法一:直接用复数的除法运算求解; 解法二(待定系数法):利用方程思想求解. 解析　解法一:由题意得z=4+3ii=(4+3i)ii2=4i−3−1=3-4i,故选C. 解法二:由题意,设z=a+bi(a,b∈R),则iz=i(a+bi)=-b+ai,又iz=4+3i,所以a=3,b=-4,则z=3-4i,故选C. 易错警示　学生不熟悉复数的除法法则,在运算中出错. 7.(2021北京,2,4分)若复数z满足(1-i)·z=2,则z=(　　) A.-1-i　　　　B.-1+i　　　　 C.1-i　　　　D.1+i 答案　　D　解法一:设z=a+bi(a,b∈R),因为(1-i)·z=2,即a+b+(b-a)i=2,所以a+b=2,b−a=0,解得a=b=1,所以z=1+i.故选D. 解法二:因为(1-i)·z=2,所以z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i,故选D. 8.(2020新高考Ⅰ,2,5分)2−i1+2i=(　　) A.1　　　　B.-1　　　　C.i　　　　D.-i 答案　D　2−i1+2i=(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i5=-i.故选D. 9.(2019课标Ⅰ文,1,5分)设z=3−i1+2i,则|z|=(　　) A.2　　　B.3　　　C.2　　　D.1 答案　C　本题考查复数的四则运算;考查了运算求解能力;考查的核心素养为数学运算. ∵z=3−i1+2i=(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i) =3−7i+2i21−(2i)2=1−7i5=15-75i, ∴|z|=152+−752=2,故选C. 易错警示　易将i2误算为1,导致计算出错. 10.(2019北京,理1,文2,5分)已知复数z=2+i,则z·z=(　　) A.3　　　B.5　　　C.3　　　D.5 答案　D　本题主要考查复数的运算,共轭复数的概念,考查学生运算求解的能力,考查的核心素养是数学运算. ∵z=2+i,∴z=2-i,∴z·z=(2+i)·(2-i)=4+1=5,故选D. 11.(2018课标Ⅱ文,1,5分)i(2+3i)=(　　) A.3-2i　　　B.3+2i　　　C.-3-2i　　　D.-3+2i 答案　D　本题主要考查复数的四则运算. i(2+3i)=2i-3=-3+2i,故选D. 12.(2018课标Ⅲ,理2,文2,5分)(1+i)(2-i)=(　　) A.-3-i　　　B.-3+i　　　C.3-i　　　D.3+i 答案　D　本题考查复数的运算. (1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,故选D. 13.(2018北京理,2,5分)在复平面内,复数11−i的共轭复数对应的点位于(　　) A.第一象限　　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　　D.第四象限 答案　D　本题主要考查复数的概念、运算和几何意义. ∵11−i=1+i(1−i)(1+i)=12+12i,∴其共轭复数为12-12i,又12-12i在复平面内对应的点12,−12在第四象限,故选D. 14.(2017课标Ⅱ文,2,5分)(1+i)(2+i)=(　　) A.1-i　　　B.1+3i　　　C.3+i　　　D.3+3i 答案　B　本题考查复数的基本运算. (1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i.故选B. 15.(2017山东文,2,5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=(　　) A.-2i　　　B.2i　　　C.-2　　　D.2 答案　A　本题考查复数的运算. 由zi=1+i得z=1+ii=1-i, 所以z2=(1-i)2=-2i,故选A. 16.(2016课标Ⅲ理,2,5分)若z=1+2i,则4izz−1=(　　) A.1　　　B.-1　　　C.i　　　D.-i 答案　C　∵zz=(1+2i)(1-2i)=5,∴4izz−1=4i4=i,故选C. 17.(2016北京文,2,5分)复数1+2i2−i=(　　) A.i　　　B.1+i　　　C.-i　　　D.1-i 答案　A　1+2i2−i=(1+2i)(2+i)(2−i)(2+i)=2+i+4i+2i24−i2=5i5=i,故选A. 18.(2015课标Ⅱ理,2,5分)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=(　　) A.-1　　　B.0　　　C.1　　　D.2 答案　B　∵(2+ai)(a-2i)=-4i⇒4a+(a2-4)i=-4i, ∴4a=0,a2−4=−4,解得a=0. 19.(2015课标Ⅰ文,3,5分)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=(　　) A.-2-i　　　B.-2+i　　　C.2-i　　　D.2+i 答案　C　由已知得z=1+ii+1=2-i,故选C. 20.(2015课标Ⅱ文,2,5分)若a为实数,且2+ai1+i=3+i,则a=(　　) A.-4　　　B.-3　　　C.3　　　D.4 答案　D　由已知得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i,所以a=4,故选D. 21.(2015安徽文,1,5分)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=(　　) A.3+3i　　　B.-1+3i　　　C.3+i　　　D.-1+i 答案　C　(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i2=3+i. 22.(2015湖南文,1,5分)已知(1−i)2z=1+i(i为虚数单位),则复数z=(　　) A.1+i　　　B.1-i　　　C.-1+i　　　D.-1-i 答案　D　z=(1−i)21+i=−2i1+i=−2i(1−i)(1+i)(1−i)=-i(1-i)=-1-i.故选D. 23.(2014课标Ⅰ理,2,5分)(1+i)3(1−i)2=(　　) A.1+i　　　B.1-i　　　C.-1+i　　　D.-1-i 答案　D　(1+i)3(1−i)2=(1+i)2(1−i)2·(1+i)=1+i2+2i1+i2−2i·(1+i)=-1-i,故选D. 24.(2014课标Ⅱ文,2,5分)1+3i1−i=(　　) A.1+2i　　　 B.-1+2i　　　C.1-2i　　　D.-1-2i 答案　B　1+3i1−i=(1+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=−2+4i2=-1+2i,故选B. 25.(2013课标Ⅱ理,2,5分)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=(　　) A.-1+i　　　B.-1-i　　　C.1+i　　　D.1-i 答案　A　由题意得z=2i1−i=2i·(1+i)2=-1+i,故选A. 26.(2013课标Ⅰ文,2,5分)1+2i(1−i)2=(　　) A.-1-12i　　　B.-1+12i　　　C.1+12i　　　D.1-12i 答案　B　1+2i(1−i)2=1+2i−2i=(1+2i)i(−2i)i=−2+i2=-1+12i,故选B. 27.(2011课标文,2,5分)复数5i1−2i=(　　) A.2-i　　　B.1-2i　　　C.-2+i　　　D.-1+2i 答案　C　5i1−2i=5i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5(i−2)5=-2+i,故选C. 评析　本题主要考查复数的基本运算,分母实数化是解答本题的关键,属容易题. 28.(2018天津,理9,文9,5分)i是虚数单位,复数6+7i1+2i=　　　　.  答案　4-i 解析　本题主要考查复数的四则运算. 6+7i1+2i=(6+7i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=20−5i5=4-i. 29.(2018上海,5,4分)已知复数z满足(1+i)z=1-7i(i是虚数单位),则|z|=　　　　.  答案　5 解析　本题主要考查复数的运算.由(1+i)z=1-7i得z=1−7i1+i=(1−7i)(1−i)(1+i)(1−i)=−6−8i2=-3-4i, ∴|z|=(−3)2+(−4)2=5. 30.(2016天津理,9,5分)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则ab的值为　　　　.  答案　2 解析　由(1+i)(1-bi)=a得1+b+(1-b)i=a,则b+1=a,1−b=0, 解得a=2,b=1,所以ab=2. 第 11 页 共 11 页