1_3.5　函数与方程及函数的综合应用.docx

北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A版 3.5　函数与方程及函数的综合应用 基础篇 考点一　函数的零点 1.(2022华大新高考联盟3月教学质量测评,5)函数f(x)=4x-4x2的零点个数为(　　) A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 答案　D　 2.(2019课标Ⅲ,5,5分)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 答案　B　 3.(2022南京师范大学附中期中,7)用二分法研究函数f(x)=x3+2x-1的零点时,第一次计算,得f(0)<0,f(0.5)>0,第二次应计算f(x1),则x1等于(　　) A.1　　　　B.-1　　　　C.0.25　　　　D.0.75 答案　C　 4.(多选)(2022湖南师大附中三模,11)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x-2).当x∈[0,2)时,f(x)=1−x,x∈[0,1),23−x−1,x∈[1,2).若函数g(x)=f(x)-k在[0,+∞)上的零点从小到大恰好构成一个等差数列,则k的可能取值为(　　) A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.2-1 答案　ABD　 5.(2014北京文,6,5分)已知函数f(x)=6x-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(　　) A.(0,1)　　　　B.(1,2) C.(2,4)　　　　D.(4,+∞) 答案　C　 6.(2021北京,15,5分)已知函数f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论: ①当k=0时, f(x)恰有2个零点; ②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点; ③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点; ④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是　　　　.  答案　①②④ 考点二　函数模型及应用 1.(2023届河北衡水部分学校月考,3)已知某种食品保鲜时间与储存温度有关,满足函数关系y=ekx+b(y为保鲜时间,x为储存温度).若该食品在冰箱中0 ℃的保鲜时间是144小时,在常温20 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在高温40 ℃的保鲜时间是(　　) A.16小时　　　　B.18小时 C.20小时　　　　D.24小时 答案　A　 2.(2022广东惠州调研,8)某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d(每层玻璃的厚度相同)及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响,利用热传导定律得到热传导量q满足关系式q=λ1|ΔTdλ1lλ2d+2,其中玻璃的热传导系数λ1=4×10-3焦耳/(厘米·度),不流通、干燥空气的热传导系数λ2=2.5×10-4焦耳/(厘米·度),|ΔT|为室内外温度差,q值越小,保温效果越好,现有4种型号的双层玻璃窗户,具体数据如下表: 型号 每层玻璃厚度d(单位:厘米) 玻璃间夹空气层厚度l(单位:厘米) A型 0.4 3 B型 0.3 4 C型 0.5 3 D型 0.4 4 则保温效果最好的双层玻璃的型号是(　　) A.A型　　　　B.B型　　　　C.C型　　　　D.D型 答案　D　 3.(2020课标Ⅲ理,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e−0.23(t−53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3)(　　) A.60　　　　B.63　　　　C.66　　　　D.69 答案　C　 4.(2020新高考Ⅰ,6,5分)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　) A.1.2天　　　　B.1.8天　　　　C.2.5天　　　　D.3.5天 答案　B　 5.(2022山东潍坊安丘等三县测试,6)某投资机构从事一项投资,先投入本金a(a>0)元,得到的利润是b(b>0)元,收益率为ba(%),假设在第一次投资的基础上,此机构每次都定期追加投资x(x>0)元,得到的利润也增加了x元,若使得该项投资的总收益率是增加的,则(　　) A.a≥b　　　　B.a≤b　　　　C.a>b　　　　D.a<b 答案　C　 6.(2022山东德州一中期中,20)某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元,每生产x千件,需另投入成本C(x)万元,当年产量不足50千件时,C(x)=12x2+10x,当年产量不小于50千件时,C(x)=52x+7 200x+1-1 200,已知每千件商品售价为50万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 解析　(1)当0<x<50时,L(x)=50x-12x2+10x−200=−12x2+40x-200, 当x≥50时,L(x)=50x-52x-7 200x+1+1 200−200=1 000−2x+7 200x+1, 所以L(x)=−12x2+40x−200,0<x<50,1 000−2x+7 200x+1,x≥50. (2)当0<x<50时,L(x)=-12x2+40x−200=−12(x-40)2+600,当x=40时,L(x)取得最大值,L(x)max=600, 当x≥50时,L(x)=1 000-2x+7 200x+1,其中2x+7 200x+1=2(x+1)+7 200x+1−2≥22(x+1)·7 200x+1-2=238,当且仅当2(x+1)=7 200x+1,即x=59时,等号成立, 所以L(x)=1 000-2x+7 200x+1≤1 000-238=762. 因为600<762,所以当年产量为59千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,为762万元. 综合篇 考法一　判断函数零点所在区间和零点的个数 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2022辽宁葫芦岛协作校月考,7)已知a是函数f(x)=ln x+x2-2的零点,则ea-1+a-5的值为(　　) A.正数　　　　B.0　　　　 C.负数　　　　D.无法判断 答案　C　 2.(2022山东省实验中学诊断性训练,8)已知函数f(x)=lnx−1x,x>0,x2+2x,x≤0,则函数y=f[f(x)+1]的零点个数是(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 答案　D　 3.(2022海南直辖县级单位三模,8)设函数f(x)的定义域为R,f(x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当x∈(-1,1]时,f(x)=-x2+1,则函数y=f(x)+lg x有　　　个零点(　　)  A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7 答案　C　 4.(多选)(2021山东枣庄三中月考一)已知函数f(x)=kx+1,x≤0,log2x,x>0,下列是函数y=f(f(x))+1的零点个数的4个判断,其中正确的是(　　) A.当k>0时,有3个零点　　　　 B.当k<0时,有2个零点 C.当k>0时,有4个零点　　　　 D.当k<0时,有1个零点 答案　CD　 5.(2023届湖湘名校教育联合体大联考,13)已知函数f(x)=2ln(2x)-x2+14,则函数f(x)的零点个数为　　　　.  答案　2 6.(2023届重庆一中月考,15)函数f(x)=sin πx-ln|2x-3|的所有零点之和为　　　　.  答案　9 考法二　已知函数有零点(方程有根)求参数值(或取值范围) 1.(2023届长春六中月考,7)若函数f(x)=ln x+x2+a-1在区间(1,e)内有零点,则实数a的取值范围是(　　) A.(-e2,0)　　　　B.(-e2,1) C.(1,e)　　　　D.(1,e2) 答案　A　 2.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=(　　) A.-12　　　　B.13　　　　C.12　　　　D.1 答案　C　 3.(2022重庆缙云教育联盟诊断,7)已知函数f(x)=|x+1|+|x-1|+2cos x,若函数g(x)=f(x)-a恰有三个零点,m+n=a(其中m,n为正实数),则7m+1+28n+2的最小值为(　　) A.9　　　　B.7　　　　C.307　　　　D.4 答案　A　 4.(2019天津文,8,5分)已知函数f(x)=2x,0≤x≤1,1x,　　　　x>1.若关于x的方程f(x)=-14x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为(　　) A.54,94　　　　B.54,94 C.54,94∪{1}　　　　D.54,94∪{1} 答案　D　 5.(多选)(2022辽宁抚顺三模,10)已知函数f(x)=xex,x≤1,exx,x>1,下列选项正确的是(　　) A.点(0,0)是函数f(x)的零点 B.∃x1∈(0,1),∃x2∈(1,3),使f(x1)>f(x2) C.函数f(x)的值域为[-e-1,+∞) D.若关于x的方程[f(x)]2-2af(x)=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是(0,+∞)∪−12e 答案　CD　 6.(2022山东青州打靶,6)对实数m与n定义新运算“”:mn=m,m−n≤1,n,m−n>1.设函数f(x)=(x-x2)(x2-2),x∈R.若方程f(x)-c=0有两个不相等的实数根,则实数c的取值范围是(　　) A.(-∞,-2]∪−1,32 B.(-∞,-2)∪−1,−34 C.−∞,−14∪14,+∞ D.−1,−14∪14,+∞ 答案　B　 7.(2022广东肇庆一中月考,14)若函数f(x)=x2-ax+1在区间12,3上有零点,则实数a的取值范围是　　　　.  答案　2,103 8.(2023届哈尔滨师大附中月考,16)设a∈R,函数f(x)=log2(1−x),x<0,x+ax−4,x>0.若函数f(x)的最小值为0,则a的取值范围是　　　　;若函数y=f(x)-1有4个零点,则a的值是　　　　.  答案　 (-∞,4]　94 专题综合检测 一、单项选择题 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2022海南学业水平诊断一,3)已知函数f(x)=2x−1,x≤0,1−x4,x>0,若f(x)=-34,则x=(　　) A.7　　　　B.-2　　　　C.2　　　　D.7或-2 答案　D　 2.(2022海南三亚华侨学校月考,5)y=x−12x-log2(4-x2)的定义域是(　　) A.(-2,0)∪(1,2)　　　　B.(-2,0]∪(1,2) C.(-2,0)∪[1,2)　　　　D.[-2,0]∪[1,2] 答案　C　 3.(2022重庆七中期中,3)已知函数f(x)=f(x−3),x≥0,log2(−x)+1,x<0,则f(2 021)=(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.log26　　　　D.3 答案　A　 4.(2022重庆云阳江口中学期末,5)已知函数f(x)=x-4x,若f(x)≤m对任意x∈[1,4]恒成立,则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞,-3)　　　　B.(-∞,-3] C.(3,+∞)　　　　D.[3,+∞) 答案　D　 5.(2022河北衡水中学模拟一,2)已知幂函数f(x)=x2+m是定义在区间[-1,m]上的奇函数,则f(m+1)=(　　) A.8　　　　B.4　　　　C.2　　　　D.1 答案　A　 6.(2022广东江门陈经纶中学月考,5)已知函数f(x)=x-4+9x+1,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=1ax+b的图象为(　　) A　　　　B C　　　　D 答案　B　 7.(2022海南海口四中期中,4)已知f(x)是定义在R上的偶函数且f(x+3)=f(x-1),若当x∈[-2,0]时,f(x)=3-x+1,则f(2 021)=(　　) A.6　　　　B.4　　　　C.2　　　　D.1 答案　B　 8.(2022重庆涪陵实验中学期中,8)已知y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且对任意x∈R,都有f(x-1)=f(3-x)成立,当x∈[-1,0)时,f(x)=2x2,则f(2 021)=(　　) A.-8　　　　B.-2　　　　C.0　　　　D.2 答案　B　 9.(2022广东华附、省实、广雅、深中四校联考,6)已知函数f(x)=ln(x2+1-x)+1,定义域为R的函数g(x)满足g(-x)+g(x)=2,若函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6),则i=16(xi+yi)=(　　) A.0　　　　B.6　　　　C.12　　　　D.24 答案　B　 二、多项选择题 10.(2022湖北襄阳四中考试,9)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,是解析数论的创始人之一,以其命命名的函数f(x)=1,x为有理数,0,x为无理数称为狄利克雷函数,则关于f(x),下列说法正确的是(　　) A.f(x)的值域为[0,1] B. f(x)的定义域为R C.∀x∈R,f(f(x))=1 D.任意一个非零有理数T, f(x+T)=f(x)对任意x∈R恒成立 答案　BCD　 11.(2022重庆南开中学月考,9)下列函数中,既是奇函数,又是增函数的是(　　) A.y=2x-2-x　　　　B.y=x-1x C.y=x2,x≥0−x2,x<0　　　　D.y=ln(x2+1+x) 答案　ACD　 12.(2022广东江门陈经纶中学月考,12)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x-1)是奇函数,f(x+1)为偶函数,当-1<x≤1时,f(x)=x2,则(　　) A.函数f(x)不是偶函数 B.函数f(x)的最小正周期为4 C.函数f(x)在[-2,2]上有4个零点 D. f(5)>f(4) 答案　AC　 13.(2022辽宁六校协作体期中,12)已知函数f(x)=x+1x−4,x>0,x+1x,x<0,若关于x的方程f(|x|-2)=k有6个不同的实数根,则实数k的值可以是(　　) A.0　　　　B.12　　　　C.23　　　　D.1 答案　ACD　 三、填空题 14.(2022河北邢台期末,13)已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=-ln(ax).若f(-e2)=2,则a=　　　　.  答案　1 四、解答题 15.(2022沈阳三十一中月考,19)已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且满足f(x)-g(x)= 21-x. (1)求f(x)、g(x)的解析式; (2)若方程mf(x)=[g(x)]2+2m+9有解,求实数m的取值范围; (3)若h(x)=12[f(x)+g(x)]−1,且方程[h(x)]2-2k+12h(x)+k=0有三个解,求实数k的取值范围. 解析　(1)因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数, 所以由已知可得f(-x)-g(-x)=21+x, 即f(x)+g(x)=21+x,所以f(x)−g(x)=21−x,f(x)+g(x)=21+x, 解得f(x)=2x+2−x,g(x)=2x−2−x. (2)由mf(x)=[g(x)]2+2m+9可得m(2x+2-x)=(4x+4-x)+2m+7, 令t=2x+2-x,则t≥22x·2−x=2,当且仅当x=0时,等号成立,则t2=4x+4-x+2, 故有t2-mt+2m+5=0,其中t≥2, 令F(t)=t2-mt+2m+5,其中t≥2,则函数F(t)在[2,+∞)上有零点, ①当m2≤2,即m≤4时,F(t)在[2,+∞)上单调递增,所以F(t)≥F(2)=9>0,不合题意; ②当m2>2,即m>4时,有Δ=m2-8m-20≥0,解得m≥10或m≤-2,此时m≥10. 综上所述,实数m的取值范围是[10,+∞). (3)h(x)=12[f(x)+g(x)]−1=|2x-1|= 1−2x,x≤0,2x−1,x>0,作出函数h(x)的图象如图所示, 由[h(x)]2-2k+12h(x)+k=0可得ℎ(x)−12·[h(x)-2k]=0, 由图可知,方程h(x)=12有两个不等的实根, 由题意可知,方程h(x)=2k有且只有一个根,故2k=0或2k≥1,解得k=0或k≥12. 因此,实数k的取值范围是{0}∪12,+∞. 第 9 页 共 9 页