1_9.3　双曲线及其性质（十年高考）.docx

北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A版 9.3　双曲线及其性质 考点一　双曲线的定义及标准方程 1.(2021北京,5,4分)若双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为2,且过点(2,3),则双曲线的方程为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.2x2-y2=1　　　　B.x2-y23=1 C.5x2-3y2=1　　　　D.x22−y26=1 答案　B　设双曲线的半焦距为c,由题意可知2a2−3b2=1,e=ca=2,c2=a2+b2,解得a2=1,b2=3,则双曲线的方程为x2-y23=1. 2.(2017课标Ⅲ理,5,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为　(　　) A.x28-y210=1　　　　　B.x24-y25=1 C.x25-y24=1　　　　　D.x24-y23=1 答案　B　本题考查双曲线的方程. 由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x24-y25=k(k>0),即x24k-y25k=1,∵双曲线与椭圆x212+y23=1有公共焦点,∴4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为x24-y25=1.故选B. 一题多解　∵椭圆x212+y23=1的焦点为(±3,0),双曲线与椭圆x212+y23=1有公共焦点,∴a2+b2=(±3)2=9①,∵双曲线的一条渐近线为y=52x,∴ba=52②,联立①②可解得a2=4,b2=5.∴双曲线C的方程为x24-y25=1. 3.(2017课标Ⅰ文,5,5分)已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为(　　) A.13　　　B.12　　　C.23　　　D.32 答案　D　本题考查双曲线的几何性质. 易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图. ∵PF⊥x轴, ∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3), ∴|AP|=1,AP⊥PF, ∴S△APF=12×3×1=32.故选D. 4.(2015安徽理,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是(　　) A.x2-y24=1　　　　　B.x24-y2=1 C.y24-x2=1　　　　　D.y2-x24=1 答案　C　由于焦点在y轴上,故排除A、B.由于渐近线方程为y=±2x,故排除D.故选C. 5.(2014天津理,5,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(　　) A.x25-y220=1　　　B.x220-y25=1　　　C.3x225-3y2100=1　　　D.3x2100-3y225=1 答案　A　由题意得ba=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为x25-y220=1. 6.(2014江西文,9,5分)过双曲线C:x2a2-y2b2=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为(　　) A.x24-y212=1　　　　　B.x27-y29=1 C.x28-y28=1　　　　　D.x212-y24=1 答案　A　由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y=bax,因此可设点A的坐标为(a,b).设右焦点为F(c,0),由已知可知c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,得a2-2ac+b2=0,又知c2=a2+b2,所以得a2-2ac+c2-a2=0,即a=c2=2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故双曲线的方程为x24-y212=1,故选A. 评析　本题考查双曲线的标准方程的求法、双曲线的几何性质以及圆的定义,考查学生的运算求解能力和逻辑推理能力. 7.(2016课标Ⅰ,5,5分)已知方程x2m2+n-y23m2−n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(　　) A.(-1,3)　　　　　B.(-1,3) C.(0,3)　　　　　D.(0,3) 答案　A　解法一:由题意可知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c为半焦距,∴2c=2×2|m|=4,∴|m|=1,∵方程x2m2+n-y23m2−n=1表示双曲线,∴(m2+n)·(3m2-n)>0, ∴-m2<n<3m2,∴-1<n<3.故选A. 解法二:∵原方程表示双曲线,且焦距为4, ∴m2+n>0,3m2−n>0,m2+n+3m2−n=4,① 或m2+n<0,3m2−n<0,−(3m2−n)−(m2+n)=4,② 由①得m2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A. 知识拓展　对于方程mx2+ny2=1,若表示椭圆,则m、n均为正数且m≠n;若表示双曲线,则m·n<0. 8.(2016天津,6,5分)已知双曲线x24-y2b2=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为(　　) A.x24-3y24=1　　　　　B.x24-4y23=1 C.x24-y24=1　　　　　D.x24-y212=1 答案　D　设A(x0,y0),不妨令其在第一象限, 由题意得x02+y02=22,y0=b2x0, 可得x02=164+b2,y02=b24×164+b2=4b24+b2, 结合2x0·2y0=2b,可得b2=12. 所以双曲线的方程为x24-y212=1.故选D. 9.(2015课标Ⅰ文,16,5分)已知F是双曲线C:x2-y28=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,66).当△APF周长最小时,该三角形的面积为　　　　.  答案　126 解析　由已知得双曲线的右焦点F(3,0).设双曲线的左焦点为F',则F'(-3,0).由双曲线的定义及已知得|PF|=2a+|PF'|=2+|PF'|.△APF的周长最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF'|≥|AF'|+2=17,即当A、P、F'三点共线时,△APF的周长最小. 设P点坐标为(x0,y0),y0>0,由x0−3+y066=1,x02−y028=1得y02+66y0-96=0,所以y0=26或y0=-86(舍去). 所以当△APF的周长最小时,该三角形的面积S=12×6×66-12×6×26=126. 10.(2015课标Ⅱ文,15,5分)已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y=±12x,则该双曲线的标准方程为　　　　.  答案　x24-y2=1 解析　根据渐近线方程为x±2y=0,可设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4,3),所以42-4×(3)2=λ,即λ=4.故双曲线的标准方程为x24-y2=1. 考点二　双曲线的几何性质 1.(2021全国甲文,5,5分)点(3,0)到双曲线x216−y29=1的一条渐近线的距离为(　　) A.95　　　　B.85　　　　C.65　　　　D.45 答案　A　双曲线x216−y29=1的渐近线方程为y=±34x,根据对称性,不妨取y=34x,即3x-4y=0,点(3,0)到直线3x-4y=0的距离d=|3×3−4×0|32+(−4)2=95,故选A. 易错警示　在写渐近线方程时首先要根据双曲线的标准方程判断双曲线焦点位置:双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上,渐近线方程为y=±bax;双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的焦点在y轴上,渐近线方程为y=±abx. 2.(2021全国甲理,5,5分)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为(　　) A.72　　　　B.132　　　　C.7　　　　D.13 答案　A　设双曲线C的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),由题意知|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=3|PF2|,两式联立解得|PF1|=3a,|PF2|=a,又|F1F2|=2c,所以在△PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2,即4c2=9a2+a2-2×3a·a·cos 60°,可得ca=72,所以双曲线C的离心率e=ca=72.故选A. 方法总结　求圆锥曲线的离心率,一般是利用条件得到a,c或a,b的关系式,然后利用离心率的定义得出结论. 3.(多选)(2020新高考Ⅰ,9,5分)已知曲线C:mx2+ny2=1.(　　) A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上 B.若m=n>0,则C是圆,其半径为n C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±−mnx D.若m=0,n>0,则C是两条直线 答案　ACD　A选项中,若m>n>0,则方程mx2+ny2=1可变形为x21m+y21n=1,因为m>n>0,所以0<1m<1n,所以此曲线表示椭圆,且焦点在y轴上,所以A正确. B选项中,若m=n>0,则方程mx2+ny2=1可变形为x2+y2=1n,所以此曲线表示圆,半径为1n,所以B不正确. C选项中,若mn<0,则此曲线应为双曲线,mx2+ny2=0可化为y2=-mx2n,即y=±−mnx,即双曲线的渐近线方程为y=±−mnx,所以C正确. D选项中,若m=0,n>0,则方程mx2+ny2=1可化为y2=1n(x∈R),即y=±1n,表示两条直线,所以D正确. 故选ACD. 4.(2019北京文,5,5分)已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率是5,则a=(　　) A.6　　　B.4　　　C.2　　　D.12 答案　D　由题意得e=ca=5,又a2+b2=c2,∴b2a2=c2−a2a2=e2-1=4, ∵b2=1,∴a2=14.∵a>0,∴a=12. 易错警示　把双曲线的离心率错认为e=1−b2a2而出错. 5.(2018浙江,2,4分)双曲线x23-y2=1的焦点坐标是(　　) A.(-2,0),(2,0)　　　　　B.(-2,0),(2,0) C.(0,-2),(0,2)　　　　　D.(0,-2),(0,2) 答案　B　∵a2=3,b2=1,∴c=a2+b2=2.又∵焦点在x轴上,∴双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0). 易错警示　求双曲线焦点坐标的易错点 (1)焦点在x轴上还是y轴上,容易判断错误; (2)双曲线与椭圆的标准方程中a,b,c的关系式容易混淆. 6.(2015课标Ⅰ理,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是(　　) A.−33,33　　　　　B.−36,36 C.−223,223　　　　　D.−233,233 答案　A　若MF1·MF2=0,则点M在以原点为圆心,半焦距c=3为半径的圆上,则x02+y02=3,x022−y02=1,解得y02=13.可知:MF1·MF2<0⇒点M在圆x2+y2=3的内部⇒y02<13⇒y0∈−33,33.故选A. 7.(2015课标Ⅱ理,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为(　　) A.5　　　B.2　　　C.3　　　D.2 答案　D　设双曲线E的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M在第一象限内,则易得M(2a,3a),又M点在双曲线E上,于是(2a)2a2-(3a)2b2=1,解得b2=a2,∴e=1+b2a2=2. 8.(2015湖南文,6,5分)若双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为(　　) A.73　　　B.54　　　C.43　　　D.53 答案　D　双曲线x2a2-y2b2=1的两条渐近线方程为y=±bax,则点(3,-4)在直线y=-bax上,即-4=-3ba,所以4a=3b,即ba=43,所以e=1+b2a2=53.故选D. 9.(2015重庆文,9,5分)设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为(　　) A.±12　　　B.±22　　　C.±1　　　D.±2 答案　C　不妨令B在x轴上方,因为BC过右焦点F(c,0),且垂直于x轴,所以可求得B,C两点的坐标分别为c,b2a,c,−b2a,又A1,A2的坐标分别为(-a,0),(a,0), 所以A1B=c+a,b2a,A2C=c−a,−b2a, 因为A1B⊥A2C,所以A1B·A2C=0, 即(c+a)(c-a)-b2a·b2a=0, 即c2-a2-b4a2=0,所以b2-b4a2=0, 故b2a2=1,即ba=1,又双曲线的渐近线的斜率为±ba,故该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C. 10.(2014课标Ⅰ理,4,5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为(　　) A.3　　　B.3　　　C.3m　　　D.3m 答案　A　由题意知,双曲线的标准方程为x23m-y23=1,其中a2=3m,b2=3,故c=a2+b2=3m+3,不妨设F为双曲线的右焦点,故F(3m+3,0).其中一条渐近线的方程为y=1mx,即x-my=0,由点到直线的距离公式可得d=|3·m+1|1+(−m)2=3,故选A. 评析　本题考查双曲线的方程、性质以及点到直线的距离公式等基础知识,考查考生对知识的灵活运用能力和运算求解能力. 11.(2014课标Ⅰ文,4,5分)已知双曲线x2a2-y23=1(a>0)的离心率为2,则a=(　　) A.2　　　B.62　　　C.52　　　D.1 答案　D　由双曲线方程知b2=3,从而c2=a2+3,又e=2,因此c2a2=a2+3a2=4,又a>0,所以a=1,故选D. 12.(2013课标Ⅰ理,4,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52,则C的渐近线方程为(　　) A.y=±14x　　　　　B.y=±13x C.y=±12x　　　　　D.y=±x 答案　C　∵ba=e2−1=54−1=12,∴C的渐近线方程为y=±12x.故选C. 13.(2011课标全国理,7,5分)设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为(　　) A.2　　　B.3　　　C.2　　　D.3 答案　B　不妨设双曲线C为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),并设l过F2(c,0)且垂直于x轴,则易求得|AB|=2b2a, ∴2b2a=2×2a,b2=2a2,∴离心率e=ca=1+b2a2=3,故选B. 14.(2016课标Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:x2a2-y2b2=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=13,则E的离心率为(　　) A.2　　　B.32　　　C.3　　　D.2 答案　A　解法一:不妨设M在第二象限,由MF1⊥x轴,可得M−c,b2a,∴|MF1|=b2a.由sin∠MF2F1=13,可得cos∠MF2F1=1−132=223,又tan∠MF2F1=|MF1||F1F2|=b2a2c,∴b2a2c=13223,∴b2=22ac,∵c2=a2+b2⇒b2=c2-a2,∴c2-a2-22ac=0⇒e2-22e-1=0,∴e=2.故选A. 解法二:不妨设M在第二象限,由MF1⊥x轴,得M−c,b2a,∴|MF1|=b2a,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+b2a,又sin∠MF2F1=|MF1||MF2|=b2a2a+b2a=13⇒a2=b2⇒a=b,∴e=1+ba2=2.故选A. 15.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C1:x2m2+y2=1(m>1)与双曲线C2:x2n2-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则(　　) A.m>n且e1e2>1　　　　　B.m>n且e1e2<1 C.m<n且e1e2>1　　　　　D.m<n且e1e2<1 答案　A　在椭圆中,a1=m,c1=m2−1,e1=m2−1m.在双曲线中,a2=n,c2=n2+1,e2=n2+1n.因为c1=c2,所以n2=m2-2.从而e12·e22=(m2−1)(n2+1)m2·n2=(m2−1)2m2·(m2−2),令t=m2-1,则t>1,e12·e22=t2t2−1>1,即e1e2>1.结合图形易知m>n,故选A. 思路分析　根据焦点重合可得m2与n2之间的关系,进而建立e12e22关于m的解析式,然后判定范围即可. 16.(2022北京,12,5分)已知双曲线y2+x2m=1的渐近线方程为y=±33x,则m=　　　　.  答案　 -3 解析　由题意知双曲线的焦点在y轴上,且m<0,所以渐近线方程为y=±−1mx,所以-1m=13,所以m=-3. 17.(2022浙江,16,4分)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为b4a的直线交双曲线于点A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点B(x2,y2)且x1<0<x2.若|FB|=3|FA|,则双曲线的离心率是　　　　.  答案　 364 解析　如图所示, 由题意得双曲线左焦点为F(-c,0),点B所在的渐近线方程为y=bax,过F且斜率为b4a的直线方程为y=b4a(x+c),联立y=b4a(x+c),y=bax,得Bc3,bc3a, 由|FB|=3|FA|,可得A−59c,bc9a,又A在双曲线上,所以25c281a2−b2c281a2b2=1,化简得c2a2=278,则e=364. 18.(2021全国乙文,14,5分)双曲线x24−y25=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为　　　　.  答案　5 解析　由x24−y25=1得右焦点的坐标为(3,0),则由点到直线的距离公式得所求距离d=|3−8|12+22=5. 易错警示　不能正确地写出右焦点坐标以及记错点到直线的距离公式导致出错. 19.(2021全国乙理,13,5分)已知双曲线C:x2m-y2=1(m>0)的一条渐近线为3x+my=0,则C的焦距为　　　　.  答案　4 解析　由双曲线C:x2m-y2=1(m>0), 得渐近线方程为y=±mmx, 结合题设得-3m=−mm,∴m=3,∴双曲线C的方程为x23-y2=1, ∴C的焦距为23+1=4. 20.(2022全国甲文,15,5分)记双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值　　　　.  答案　 2(答案不唯一,在(1,5]范围内取值均可) 解析　欲使直线y=2x与双曲线C无公共点,则0<ba≤2,所以e=ca=a2+b2a=1+ba2∈(1,5]. 所以当e∈(1,5]时,直线y=2x与双曲线C无公共点.答案不唯一,可取e=2. 21.(2018上海,2,4分)双曲线x24-y2=1的渐近线方程为　　　　.  答案　y=±12x 解析　本题主要考查双曲线的渐近线方程. 解法一:由双曲线x24-y2=1知a2=4,b2=1, ∴a=2,b=1,∴该双曲线的渐近线方程为y=±12x. 解法二:令双曲线x24-y2=1中的“1”为“0”,即可得到双曲线的渐近线方程,即x24-y2=0,∴该双曲线的渐近线方程为y=±12x. 22.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为32c,则其离心率的值是　　　　.  答案　2 解析　本题考查双曲线的性质. 双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为|bc|b2+(−a)2=32c,∴b=32c,∴b2=34c2,又b2=c2-a2,∴c2=4a2,∴e=ca=2. 23.(2017课标Ⅰ理,15,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为　　　　.  答案　233 解析　本题考查双曲线的几何性质和圆的性质. 不妨设点M、N在渐近线y=bax上,如图,△AMN为等边三角形,且|AM|=b, 则A点到渐近线y=bax的距离为32b,又将y=bax变形为一般形式为bx-ay=0,则A(a,0)到渐近线bx-ay=0的距离d=|ba|a2+b2=|ab|c,所以|ab|c=32b,即ac=32, 所以双曲线离心率e=ca=233. 24.(2017课标Ⅲ文,14,5分)双曲线x2a2-y29=1(a>0)的一条渐近线方程为y=35x,则a=　　　　.  答案　5 解析　由题意可得3a=35,所以a=5. 25.(2017北京理,9,5分)若双曲线x2-y2m=1的离心率为3,则实数m=　　　　.  答案　2 解析　本题考查双曲线的性质. 由题意知,a2=1,b2=m. ∵e=ca=1+b2a2=1+m1=3,∴m=2. 26.(2016山东理,13,5分)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是　　　　.  答案　2 解析　由已知得|AB|=|CD|=2b2a,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因为2|AB|=3|BC|,所以4b2a=6c,又b2=c2-a2,所以2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=-12(舍去). 评析　本题考查了双曲线的基本性质,利用2|AB|=3|BC|和b2=c2-a2构造关于离心率e的方程是求解的关键. 27.(2016北京理,13,5分)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=　　　　.  答案　2 解析　由OA、OC所在直线为渐近线,且OA⊥OC,知两条渐近线的夹角为90°,从而双曲线为等轴双曲线,则其方程为x2-y2=a2.OB是正方形的对角线,且点B是双曲线的焦点,则c=22,根据c2=2a2可得a=2. 评析　本题考查等轴双曲线及其性质. 28.(2015北京理,10,5分)已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的一条渐近线为3x+y=0,则a=　　　　.  答案　33 解析　由双曲线x2a2-y2=1(a>0)知其渐近线方程为y=±1ax,又因为a>0,所以1a=3,解得a=33. 29.(2014浙江理,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是　　　　.  答案　52 解析　由x−3y+m=0,y=bax得Aam3b−a,bm3b−a, 由x−3y+m=0,y=−bax得B−am3b+a,bm3b+a,则线段AB的中点为Ma2m9b2−a2,3b2m9b2−a2.由题意得PM⊥AB,∴kPM=-3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2=54,∴e=52. 考点三 直线与双曲线的位置关系 1.(2022新高考Ⅰ,21,12分)已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0. (1)求l的斜率; (2)若tan∠PAQ=22,求△PAQ的面积. 解析　(1)∵点A在双曲线上,∴4a2−1a2−1=1, 解得a2=2.∴C的方程为x22-y2=1.① 设直线l:y=kx+m.② 联立①②,消去y得(1-2k2)x2-4kmx-2(m2+1)=0. 设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则x1+x2=4km1−2k2,x1x2=-2m2+21−2k2, kPA=y1−1x1−2,kQA=y2−1x2−2, 由kPA+kQA=0,得y1−1x1−2+y2−1x2−2=0, 化简得2kx1x2+(m-2k-1)(x1+x2)-4(m-1)=0, 即2k·−2m2+21−2k2+(m-2k-1)·4km1−2k2-4(m-1)=0, 化简得(2k+m-1)(k+1)=0, ∴2k+m-1=0或k+1=0. 若2k+m-1=0,则l:y=k(x-2)+1, 这时直线l过点A,不合题意, ∴k+1=0,∴k=-1. (2)由(1)知k=-1,从而l:y=-x+m, 设直线PA的倾斜角为α,直线QA的倾斜角为β, 则∠PAQ=α-β, ∴|tan(α-β)|=22,即kPA−kQA1+kPA·kQA=22, 由题意知kQA=-kPA,解得kPA2=2或kPA2=12. ∵双曲线C的渐近线斜率为±22, ∴kPA2=2,由对称性可取kPA=-2,则kQA=2, ∴直线PA的方程为y=-2(x-2)+1, 联立y=−2(x−2)+1,x22−y2=1,得x1=10+423, 同理,x2=10−423, ∴|PA|=1+kPA2|x1−2|=43(2+1)3, |QA|=1+kQA2|x2−2|=43(2−1)3, 由tan∠PAQ=22得sin∠PAQ=223, ∴S△PAQ=12|PA||QA|sin∠PAQ =12×43(2+1)3×43(2−1)3×223=1629. 2.(2022新高考Ⅱ,21,12分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±3x. (1)求C的方程; (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.过P且斜率为-3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立. ①M在AB上;②PQ∥AB;③|MA|=|MB|. 注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分. 解析　(1)由题意知c=2,ba=3,c2=a2+b2,解得a=1,b=3, ∴C的方程为x2-y23=1. (2)易知直线PQ的斜率存在,设其方程为y=kx+b(k>3), 由y=kx+b,3x2−y2−3=0,得(3-k2)x2-2kbx-b2-3=0,由Δ>0,得b2+3-k2>0, ∴x1+x2=2kb3−k2,x1x2=−b2−33−k2, ∴x1-x2=(x1+x2)2−4x1x2=23(b2+3−k2)3−k2, 设点M的坐标为(x0,y0),则直线PM、QM的方程分别为y-y0=-3(x-x0),y-y0=3(x-x0), 故y1−y0=−3(x1−x0),(∗)y2−y0=3(x2−x0),(∗∗) (*)-(**)得y1-y2=-3(x1+x2-2x0), 即k(x1-x2)=-3(x1+x2-2x0), 解得x0=kb2+3−k2+kb3−k2, 又(*)+(**)得y1+y2-2y0=3(x2-x1),而y1+y2=k(x1+x2)+2b,∴k(x1+x2)+2b-2y0=3(x2-x1), 解得y0=3b2+3−k2+3b3−k2=3kx0. 故点M的轨迹方程为y=3kx,其中k为直线PQ的斜率. 若选择①②作为条件,③作为结论, 设直线AB的方程为y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),不妨设点A在渐近线y=3x上,则由y=k(x−2),y=3x,得x=2kk−3,y=23kk−3,∴A2kk−3,23kk−3, 同理B2kk+3,−23kk+3, 又由y=k(x−2),y=3kx,得x=2k2k2−3,y=6kk2−3,∴M2k2k2−3,6kk2−3, ∴xM=xA+xB2,yM=yA+yB2,即M为AB的中点, ∴|MA|=|MB|. 若选择①③作为条件,②作为结论, 当直线AB的斜率不存在时,点M即为F(2,0),此时M不在直线y=3kx上,不符合题意,舍去; 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=m(x-2),m≠0,±3.不妨设点A在渐近线y=3x上,且A(xA,yA),B(xB,yB). 由y=m(x−2),y=3x,得x=2mm−3,y=23mm−3,∴A2mm−3,23mm−3, 同理B2mm+3,−23mm+3,此时xM=xA+xB2=2m2m2−3,yM=yA+yB2=6mm2−3, ∵点M在直线y=3kx上,∴6mm2−3=3k·2m2m2−3,解得k=m, 故PQ∥AB. 若选择②③,作为条件,①作为结论, 设直线AB的方程为y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),不妨设点A在渐近线y=3x上, 则yA=k(xA−2),yA=3xA,解得xA=2kk−3,yA=23kk−3, 同理,得xB=2kk+3,yB=-23kk+3, 设线段AB的中点为C(xC,yC), 则xC=xA+xB2=2k2k2−3,yC=yA+yB2=6kk2−3, 由于|MA|=|MB|,故点M在线段AB的中垂线上, 即点M在直线y-yC=-1k(x-xC)上, 将该直线方程与y=3kx联立,得xM=2k2k2−3=xC,yM=6kk2−3=yC,即点M恰为线段AB的中点, 故点M在直线AB上. 第 15 页 共 15 页