1_9.4　抛物线及其性质.docx

北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A版 9.4　抛物线及其性质 基础篇 考点一　抛物线的定义及标准方程 1.(2022重庆市涪陵高级中学质检,3)抛物线y=4x2上的A点到焦点F的距离为1716,则点A的纵坐标为(　　) A.1　　　　B.1716　　　　C.116　　　　D.916 答案　A　 2.(2022广州花都调研,3)已知抛物线x2=ay的焦点为F,且M(2,1)为抛物线上的点,则|MF|=(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 答案　B　 3.(2022全国乙,理5,文6,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=(　　) A.2　　　　B.22　　　　C.3　　　　D.32 答案　B　 　　　　　　　　　　　　　　　　 4.(2019课标Ⅱ,文9,理8,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.8 答案　D　 5.(2022河北邯郸二模,4)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,点B满足OB=5OF(O为坐标原点),且线段AB的中垂线经过点F,则|AB||AF|=(　　) A.32　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 答案　B　 　　　　　　　　　　　　　　　　 6.(2021石家庄3月质检,7)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,MF的延长线交y轴于点N.若MF=2FN,则|MF|为(　　) A.8　　　　B.6　　　　C.4　　　　D.2 答案　A　 7.(2020课标Ⅰ理,4,5分)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.9 答案　C　 8.(2021北京,12,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为　　　;△MNF的面积为　　　　.  答案　5　45 考点二　抛物线的几何性质 1.(2023届辽宁鞍山质量监测,4)抛物线y=43x2的焦点坐标为(　　) A.0,13　　　　B.13,0 C.0,316　　　　D.0,23 答案　C　 2.(2022广东茂名测试,2)抛物线x=43y2的焦点坐标为(　　) A.13,0　　　　B.0,13　　　　C.316,0　　　　D.0,23 答案　C　 3.(2021山东枣庄二模,4)已知点(1,1)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,则C的焦点到其准线的距离为(　　) A.14　　　　B.12　　　　C.1　　　　D.2 答案　B　 4.(2020课标Ⅲ,文7,理5,5分)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为(　　) A.14,0　　　　B.12,0　　　　C.(1,0)　　　　D.(2,0) 答案　B　 5.(2021辽宁朝阳一模,8)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F与x轴垂直的直线交C于点M,N,有下列四个命题: 甲:点F的坐标为(1,0); 乙:抛物线C的准线方程为x=-2; 丙:线段MN的长为4; 丁:直线y=x+1与抛物线C相切. 如果只有一个命题是假命题,则该命题是(　　) A.甲　　　　B.乙　　　　C.丙　　　　D.丁 答案　B　 6.(2021新高考Ⅰ,14,5分)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为　　　　.  答案　x=-32 考点三　直线与抛物线的位置关系 1.(2023届海南琼海嘉积中学月考,6)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A为抛物线C上一点,直线AF交抛物线C的准线l于点B,且FA+2FB=0,则|AF|=(　　) A.103　　　　B.4　　　　C.112　　　　D.6 答案　D　 2.(2022广东深圳三中检测,7)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,延长FB交准线于点C,若|BC|=2|BF|,则|BF||AF|=(　　) A.14　　　　B.13　　　　C.12　　　　D.23 答案　B　 3.(多选)(2023届浙江嘉兴一中期中,10)直线l与抛物线y2=2x相交于A(x1,y1),B(x2,y2),若OA⊥OB,则(　　) A.直线l的斜率为定值 B.直线l过定点 C.△OAB面积的最小值为4 D.y1y2=-4 答案　BCD　 4.(多选)(2023届湖湘名校教育联合体大联考,11)已知抛物线C:y2=2px(p>0),直线l与抛物线C交于A,B两点,且A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,且OA⊥OB,若直线l恒过点(4,0),则下列说法正确的是(　　) A.抛物线方程为y2=4x B.x1x2=16,y1y2=-16 C.△OAB面积的最小值为32 D.弦AB中点的轨迹为一条抛物线 答案　ABD　 5.(多选)(2022山东师大附中开学考试,11)过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点,则下列结论正确的是(　　) A.以线段AB为直径的圆与直线x=-12相交 B.以线段BM为直径的圆与y轴相切 C.当AF=2FB时,|AB|=92 D.|AB|的最小值为4 答案　ACD　 6.(2021济南二模,7)已知抛物线x2=2py(p>0),过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限).若直线AB的斜率为33,点A的纵坐标为32,则p的值为(　　) A.14　　　　B.12　　　　C.1　　　　D.2 答案　C　 7.(2019课标Ⅰ理,19,12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程; (2)若AP=3PB,求|AB|. 解析　设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2). (1)由题设得F34,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+32, 由题设可得x1+x2=52. 由y=32x+t,y2=3x可得9x2+12(t-1)x+4t2=0, 则x1+x2=-12(t-1)9. 从而-12(t-1)9=52,得t=-78. 所以l的方程为y=32x-78. (2)由AP=3PB可得y1=-3y2.由y=32x+t,y2=3x可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3. 代入C的方程得x1=3,x2=13.故|AB|=4133. 综合篇 考法一　利用抛物线的定义解题 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2023届山西长治质量检测,4)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标为(　　) A.1716　　　　B.1516　　　　C.78　　　　D.0 答案　B　 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.(2022福建莆田华侨中学月考,4)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P为抛物线C上一点,点A(2,2),则|PA|+|PF|的最小值为(　　) A.5　　　　B.2　　　　C.10　　　　D.3 答案　D　 3.(2022辽宁辽阳模拟,14)已知P为抛物线y2=4x上的一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上的一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是　　　　.  答案　17-1 考法二　直线与抛物线的位置关系问题 1.(2023届广东六校联考一,3)直线y=x-1过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与C交于A、B两点,则|AB|=(　　) A.6　　　　B.8　　　　C.2　　　　D.4 答案　B　 2.(2023届河南安阳调研,11)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A,B在C上(A在第四象限,B在第一象限),满足AF⊥BF,且2|AF|=|BF|,则直线AB的斜率为(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.1 答案　A　 3.(2022湖北部分学校质检,6)已知抛物线y2=4x,直线l与抛物线交于A,B两点,若线段AB中点的纵坐标为2,则直线AB的斜率为(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.33　　　　D.1 答案　D　 4.(多选)(2022新高考Ⅰ,11,5分)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则(　　) A.C的准线为y=-1　　　　 B.直线AB与C相切 C.|OP|·|OQ|>|OA|2　　　　 D.|BP|·|BQ|>|BA|2 答案　BCD　 5.(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则　(　　) A.直线AB的斜率为26　　　　 B.|OB|=|OF| C.|AB|>4|OF|　　　　 D.∠OAM+∠OBM<180° 答案　ACD　由题意得Fp2,0,如图,设FM的中点为N,连接AN,则AN与x轴垂直,且N3p4,0,将x=3p4代入y2=2px,解得y=62p(舍负),故A3p4,62p,故直线AB的斜率为62p-03p4-p2=26,选项A正确.对于B,直线AB的方程为y=26·x-p2,与抛物线方程联立并整理得12x2-13px+3p2=0, 设B(x1,y1),则x1+3p4=13p12,解得x1=p3, 则Bp3,-63p,所以|OB|=7p3≠|OF|,故B错误.对于C,因为|AB|=13p12+p=2512p,|OF|=p2, 所以|AB|>4|OF|成立,故C正确.对于D,因为OA=34p,62p,OB=p3,-63p,MA=-p4,62p,MB=-23p,-63p, 所以OA·OB=p24-p2=-34p2<0, MA·MB=p26-p2=-56p2<0,所以∠AOB与∠AMB均为钝角,即∠AOB+∠AMB>180°.所以在四边形OAMB中,∠OAM+∠OBM<180°,故D正确,故选ACD. 6.(多选)(2021湖南衡阳联考一,11)已知抛物线C:x2=2py(p>0),过其准线上的点T(1,-1)作C的两条切线,切点分别为A、B,下列说法正确的是(　　) A.p=1 B.TA⊥TB C.直线AB的斜率为12 D.线段AB中点的横坐标为1 答案　BCD　 7.(2023届重庆南开中学月考,14)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A为抛物线上第一象限内一点,直线AF与y轴交于点B,且AF=FB,则直线AB的斜率为　　　　.  答案　22 8.(2020新高考Ⅰ,13,5分)斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=　　　　.  答案　163 9.(2022全国甲,理20,文21,12分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3. (1)求C的方程; (2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-β取得最大值时,求直线AB的方程. 解析　(1)当直线MD垂直于x轴时,|MF|=p+p2=3,∴p=2,∴C的方程为y2=4x. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4), 易知直线MN不可能与x轴重合,∴设直线MN的方程为x=ny+1,与y2=4x联立,得y2-4ny-4=0, ∴y1+y2=4n,y1y2=-4,且tan α=kMN=1n, 易知直线MA不可能与x轴重合,∴设直线MA的方程为x=my+2,与y2=4x联立,得y2-4my-8=0, ∴y1y3=-8,即y3=-8y1,同理y4=-8y2, ∴tan β=kAB=y4-y3x4-x3=y4-y3y424-y324=4y3+y4=4-81y1+1y2= y1y2-2(y1+y2)=12n, ∴tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=1n-12n1+1n·12n=12n+1n≤24,当且仅当n=22时,等号成立,此时kAB=22. 不妨设M位于第一象限,由y1+y2=22,y1y2=-4,解得y1=6+2,则y3=2(2-6),则A(8-43,2(2-6)), 又kAB=22,∴直线AB的方程为y+2(6-2)=22[x-(8-43)],整理得y=22x-22. 10.(2021全国乙文,20,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程; (2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值. 解析　(1)∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,∴p=2.∴抛物线C的方程为y2=4x. (2)由已知不妨设点P(4x02,4x0),Q(x1,y1), 则PQ=(x1-4x02,y1-4x0), ∵F(1,0),∴QF=(1-x1,-y1), ∵PQ=9QF,∴x1-4x02=9(1-x1),y1-4x0=9(-y1), 整理得x1=110(9+4x02),y1=410x0,∴kOQ=y1x1=4x09+4x02, 当kOQ最大时,x0>0,∴kOQ=49x0+4x0≤4236=13,当且仅当4x0=9x0时取“=”,此时x0=32,点P的坐标为(9,6),因此kOQ的最大值为13. 第 8 页 共 8 页