1_8.1　空间几何体的表面积和体积（十年高考）.docx

北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A版 专题八　立体几何 8.1　空间几何体的表面积和体积 考点一　空间几何体的结构特征 1.(2021新高考Ⅰ,3,5分)已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为(　　) A.2　　　　B.22　　　　C.4　　　　D.42 答案　B　设圆锥的母线长为l,由题意得πl=2π·2, ∴l=22.故选B. 易错警示　1.不清楚圆锥侧面展开图是扇形;2.记不清扇形弧长公式. 2.(2020课标Ⅰ理,3,5分)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　) A.5−14　　　　B.5−12　　　　C.5+14　　　　D.5+12 答案　C如图,设正四棱锥的底面边长BC=a,侧面等腰三角形底边上的高PM=h,则正四棱锥的高PO=ℎ2−a24, ∴以|PO|为边长的正方形面积为h2-a24, 一个侧面三角形面积为12ah, ∴h2-a24=12ah, ∴4h2-2ah-a2=0, 两边同除以a2可得4ℎa2−2·ℎa-1=0, 解得ℎa=1±54, 又∵ℎa>0,∴ℎa=5+14.故选C. 解题关键　利用以四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,求得底面边长a与侧面等腰三角形底边上的高h之间的关系是求解本题的关键. 考点二 空间几何体的表面积与体积 1.(2021北京,8,4分)对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义: 平地降雨量(mm) 0~10 10~25 25~50 50~100 降雨等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 如图所示,小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水,那么这24小时降雨的等级是(　　) A.小雨　　　　B.中雨　　　　 C.大雨　　　　D.暴雨 答案　B　命题意图:本题以测量24小时内降水在平地上的积水厚度为载体,考查学生的空间想象能力、运算求解能力以及应用意识,考查的核心素养是数学运算、直观想象,落实了应用性、综合性和创新性的考查要求. 解题思路:作圆锥的轴截面如图,设圆锥形容器中水面的半径为r mm,由题意得r100=150300,所以r=50,则容器内的雨水的体积V=13π×502×150=125 000π(mm3).所以24小时内降水在平地上的积水厚度为125 000ππ×1002=12.5(mm),所以这24小时降雨的等级是中雨,故选B. 2.(2022新高考Ⅰ,4,5分,应用性)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(7≈2.65)(　　) A.1.0×109 m3　　　　B.1.2×109 m3 C.1.4×109 m3　　　　D.1.6×109 m3 答案　C　140 km2=140×106 m2,180 km2=180×106 m2,由棱台体积公式V=13(S+S'+SS')h可得V增加水量=13×(140+180+140×180)×106×(157.5-148.5)=3×(320+607)×106≈3×(320+60×2.65)×106=1 437×106≈1.4×109(m3),故选C. 3.(2021全国甲理,11,5分)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为(　　) A.212　　　　B.312　　　　C.24　　　　D.34 答案　A　解题指导:本题的关键点为O到平面ABC的距离的求解.先求出小圆(△ABC的外接圆)的半径,通过球半径和小圆半径,结合勾股定理得出O到平面ABC的距离,然后利用体积公式得出结果. 解析　如图所示,由AC⊥BC可知,△ABC是以AB为斜边的直角三角形,又知AC=BC=1,∴AB=2,∴Rt△ABC的外接圆圆心为AB的中点O1,半径r=AB2=22,连接OO1,∵点O为球心,∴OO1⊥平面ABC,即OO1的长为O到平面ABC的距离. 在Rt△OO1B中,OB=1,O1B=22, ∴OO1=12−222=22, ∴VO-ABC=13×12×12×22=212.故选A. 易错警示　牢记锥体的体积公式中的“13”.易错选C. 4.(2022新高考Ⅱ,7,5分)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为33和43,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　) A.100π　　　　B.128π　　　　C.144π　　　　D.192π 答案　A　设正三棱台为A'B'C'-ABC,△A'B'C',△ABC的外心分别为D',D,则A'D'=3,AD=4,又知D'D=1,所以正三棱台的外接球球心在线段D'D的延长线上,设球心为O,半径为R,如图所示,在Rt△A'D'O中,R2=32+(DO+1)2①,在Rt△ADO中,R2=42+DO2②,由①②得R=5,所以该球的表面积为4π×52 =100π,故选A. 5.(2022新高考Ⅰ,8,5分)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π,且3≤l≤33,则该正四棱锥体积的取值范围是(　　) A.18,814　　　　B.274,814 C.274,643　　　　D.[18,27] 答案　C　如图,S-ABCD是正四棱锥,连接AC,BD, 交于点O,设正方形ABCD的边长为a,SO=h,SE是外接球的直径,则SE=2R=6. 由AO2=SO·OE,得a22=h(6-h),又l2=a22+h2,∴l2=6h,∴h=l26. 则a2=2h(6-h)=l236−l26, ∴正四棱锥的体积V=13a2ℎ=13·l236−l26·l26 =19l4−l6324, ∴V'=49l3−l554,令V'=0,得l=26. V在[3,26)上单调递增,在(26,33]上单调递减, 而l=3时,V=274,l=33时,V=814,l=26时,V=643, ∴该正四棱锥体积的取值范围是274,643. 6.(2022全国乙,理9,文12,5分)已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为(　　) A.13　　　　B.12　　　　C.33　　　　D.22 答案　C　如图,设∠AO1D=α1,∠AO1B=α2,∠BO1C=α3,∠CO1D=α4,球O的半径为R,四棱锥的底面所在圆O1的半径为r, 则R=1,S四边形ABCD=12r2(sin α1+sin α2+sin α3+sin α4), 当且仅当α1=α2=α3=α4=π2时,四边形ABCD的面积最大,最大为2r2,此时四边形ABCD为正方形. 在△OO1C中,设高OO1=h,则h=R2−r2=1−r2, V四棱锥O-ABCD=13S四边形ABCDh=13×2r21−r2(0<r<1), 令r2=t,则V四棱锥O-ABCD=23t1−t=23t2−t3(0<t<1), 设f(t)=t2-t3,则f '(t)=2t-3t2=t(2-3t), 当t∈0,23时, f '(t)>0,则f(t)单调递增, 当t∈23,1时, f '(t)<0,则f(t)单调递减, ∴t=23时, f(t)取得最大值,且f(t)max=427, ∴(V四棱锥O-ABCD)max=4327,此时高h=1−r2=33,故选C. 一题多解:由题意知S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=12BD·ℎ1+12BD·ℎ2=12BD(h1+h2),其中h1,h2分别表示点A与点C到BD的距离,要使四边形ABCD的面积取最大值,则BD与AC均为四边形ABCD所在圆的直径,且BD⊥AC,此时BD取得最大值,h1+h2也取得最大值,所以S四边形ABCD取最大值时,四边形ABCD为正方形,设其边长为a,四棱锥O-ABCD的高为h(0<h<1),体积为V,则有12a2+h2=1,即a2=2-2h2,所以V=13a2·ℎ=13(2-2h2)·h(0<h<1),∴V=23(h-h3),∴V'=23(1-3h2),令1-3h2>0,解得0<h<33,令1-3h2<0,解得33<h<1,∴函数V=23(h-h3)在0,33上单调递增,在33,1上单调递减,∴当h=33时,V取得最大值.故选C. 7.(2022全国甲,理9,文10,5分)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若S甲S乙=2,则V甲V乙=(　　) A.5　　　　B.22　　　　C.10　　　　D.5104 答案　C　设甲、乙两个圆锥的侧面展开图的圆心角分别为θ甲和θ乙,母线长均为l,底面半径分别为r甲,r乙,高分别为h甲,h乙.由S甲S乙=2得r甲r乙=2,即r甲=2r乙,所以θ甲=2θ乙.又θ甲+θ乙=2π,所以θ甲=4π3,θ乙=2π3,所以r甲=23l,r乙=13l,所以h甲=53l,h乙=223l,所以V甲V乙=13πr甲2·ℎ甲13πr乙2·ℎ乙=13π·49l2·53l13π·19l2·223l=10,故选C. 8. (多选)(2022新高考Ⅱ,11,5分)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则(　　) A.V3=2V2　　　　B.V3=V1 C.V3=V1+V2　　　　D.2V3=3V1 答案　CD　因为ED⊥平面ABCD,且FB∥ED,所以FB⊥平面ABCD. 设AB=ED=2FB=2a,则FB=a,则V1=13S△ACD·ED=13×12·2a·2a·2a=43a3, 所以V2=12V1=23a3.如图,连接BD,交AC于O,连接OE,OF. 易证AC⊥平面BDEF.S△EOF=S梯形BDEF-S△ODE-S△OBF=12(a+2a)×22a−12×2a×2a−12×a×2a=322a2,故V3=13S△EOF·AO×2=13×322a2×2a×2=2a3, 故V1+V2=V3,2V3=3V1成立,故选CD. 一题多解:由ED⊥平面ABCD,ED∥FB知FB⊥平面ABCD,设AB=ED=2FB=2a,则FB=a.由于S△ACD=S△ABC=2a2,所以V2=12V1=23a3.连接BD,交AC于点O,连接OE,OF,则有OE=6a,OF=3a,EF=3a, 所以OE2+OF2=EF2,即OE⊥OF,易知AC⊥平面BDEF,所以OF⊥AC,又OE∩AC=O,所以OF⊥平面EAC,则OF为三棱锥F-ACE的高.所以V3=13S△ACE·OF=13×12×22a×6a×3a=2a3,所以V1+V2=V3,2V3=3V1成立,故选CD. 9.(2018课标Ⅲ,理10,文12,5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为(　　) A.123　　　B.183　　　C.243　　　D.543 答案　B　本题考查空间几何体的体积及与球有关的切接问题. 设等边△ABC的边长为a, 则有S△ABC=12a·a·sin 60°=93,解得a=6. 设△ABC外接圆的半径为r,则2r=6sin60°,解得r=23, 则球心到平面ABC的距离为42−(23)2=2, 所以点D到平面ABC的最大距离为2+4=6, 所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×93×6=183,故选B. 方法总结　解决与球有关的切、接问题的策略: (1)“接”的处理: ①构造正(长)方体,转化为正(长)方体的外接球问题. ②空间问题平面化,把平面问题转化到直角三角形中,作出适当截面(过球心,接点等). ③利用球心与截面圆心的连线垂直于截面定球心所在直线. (2)“切”的处理: ①体积分割法求内切球半径. ②作出合适的截面(过球心,切点等),在平面上求解. ③多球相切问题,连接各球球心,转化为处理多面体问题. 10.(2017课标Ⅲ,理8,文8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(　　) A.π　　　B.3π4　　　C.π2　　　D.π4 答案　B　本题考查球的内接圆柱的体积. 设圆柱的底面半径为r,则r2+122=12,解得r=32, ∴V圆柱=π×322×1=34π,故选B. 思路分析　利用勾股定理求圆柱的底面半径,再由体积公式求圆柱的体积. 解题规律　有关球的切或接问题,要重视利用勾股定理求解. 11.(2015山东理,7,5分)在梯形ABCD中,∠ABC=π2,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　) A.2π3　　　B.4π3　　　C.5π3　　　D.2π 答案　C　如图,此几何体是底面半径为1,高为2的圆柱挖去一个底面半径为1,高为1的圆锥,故所求体积V=2π-π3=5π3. 评析　本题主要考查几何体的体积及空间想象能力. 12.(2014陕西理,5,5分)已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为(　　) A.32π3　　　B.4π　　　C.2π　　　D.4π3 答案　D　如图为正四棱柱AC1.根据题意得AC=2,∴对角面ACC1A1为正方形,∴外接球直径2R=A1C=2,∴R=1,∴V球=4π3,故选D. 13.(2018课标Ⅰ文,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(　　) A.122π　　　B.12π　　　C.82π　　　D.10π 答案　B　本题主要考查圆柱的表面积及圆柱的轴截面. 设圆柱的底面半径为r,高为h,由题意可知2r=h=22,∴圆柱的表面积S=2πr2+2πr·h=4π+8π=12π.故选B. 解题关键　正确理解圆柱的轴截面及熟记圆柱的表面积公式是解决本题的关键. 14.(2016课标Ⅱ文,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　) A.12π　　　　　B.323π C.8π　　　　　D.4π 答案　A　设正方体的棱长为a,则a3=8,解得a=2. 设球的半径为R,则2R=3a,即R=3,所以球的表面积S=4πR2=12π.故选A. 方法点拨　对于正方体与长方体,其体对角线为其外接球的直径,即外接球的半径等于体对角线的一半. 15.(2015课标Ⅱ,理9,文10,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为(　　) A.36π　　　B.64π　　　C.144π　　　D.256π 答案　C　∵S△OAB是定值,且VO-ABC=VC-OAB, ∴当OC⊥平面OAB时,VC-OAB最大,即VO-ABC最大.设球O的半径为R,则(VO-ABC)max=13×12R2×R=16R3=36,∴R=6,∴球O的表面积S=4πR2=4π×62=144π. 思路分析　由△OAB的面积为定值分析出当OC⊥平面OAB时,三棱锥O-ABC的体积最大,从而根据已知条件列出关于R的方程,进而求出R值,利用球的表面积公式即可求出球O的表面积. 导师点睛　点C是动点,在三棱锥O-ABC中,如果以面ABC为底面,则底面面积与高都是变量,而S△OAB为定值,因此转化成以面OAB为底面,这样高越大,体积越大. 16.(2014福建文,5,5分)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(　　) A.2π　　　B.π　　　C.2　　　D.1 答案　A　由题意得圆柱的底面半径r=1,母线l=1. ∴圆柱的侧面积S=2πrl=2π.故选A. 17.(2021全国甲文,14,5分)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为　　　　.  答案　39π 解题指导:先利用圆锥的体积公式求出圆锥的高h,再利用母线长l=ℎ2+r2求出母线长l,最后利用S侧=πrl求出结果. 解析　设圆锥的底面圆半径为r,高为h,母线长为l. 由圆锥的体积V=13πr2h得h=52, ∴母线长l=r2+ℎ2=132, ∴圆锥的侧面积S侧=πrl=39π. 18.(2013课标Ⅱ,15,5分,0.158)已知正四棱锥O-ABCD的体积为322,底面边长为3,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为　　　　.  答案　24π 解析　设底面中心为E,连接OE,AE, 则|AE|=12|AC|=62, ∵体积V=13×|AB|2×|OE|=|OE|=322, ∴|OA|2=|AE|2+|OE|2=6. 从而以OA为半径的球的表面积S=4π·|OA|2=24π. 思路分析　先根据已知条件直接利用锥体的体积公式求得正四棱锥O-ABCD的高,再利用勾股定理求出|OA|,最后根据球的表面积公式计算即可. 19.(2013课标Ⅰ,15,5分,0.123)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为　　　　.  答案　9π2 解析　平面α截球O所得截面为圆面,圆心为H,设球O的半径为R,则由AH∶HB=1∶2得OH=13R, 由圆H的面积为π,得圆H的半径为1, 所以R32+12=R2,得出R2=98,所以球O的表面积S=4πR2=4π·98=92π. 20.(2014山东理,13,5分)三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则V1V2=　　　　.  答案　14 解析　如图,设S△ABD=S1,S△PAB=S2,E到平面ABD的距离为h1,C到平面PAB的距离为h2,则S2=2S1,h2=2h1,V1=13S1h1,V2=13S2h2,∴V1V2=S1ℎ1S2ℎ2=14. 评析　本题考查三棱锥的体积的求法以及等体积转化法在求空间几何体体积中的应用.本题的易错点是不能利用转化与化归思想把三棱锥的体积进行适当的转化,找不到两个三棱锥的底面积及相应高的关系,从而造成题目无法求解或求解错误. 21.(2011课标理,15,5分)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=6,BC=23,则棱锥O-ABCD的体积为　　　　.  答案　83 解析　如图,连接AC,BD,交于O1,则O1为矩形ABCD所在小圆的圆心,连接OO1,则OO1⊥面ABCD, 易求得O1C=23,又OC=4, ∴OO1=OC2−O1C2=2, ∴棱锥体积V=13×6×23×2=83. 失分警示　立体感不强,空间想象能力差,无法正确解出棱锥的高而得出错误结论. 评析　本题主要考查球中截面圆的性质及空间几何体的体积的计算,通过球这个载体考查学生的空间想象能力及推理运算能力. 22.(2011课标文,16,5分)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的316,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为　　　　.  答案　13 解析　如图,设球的半径为R,圆锥底面半径为r,由题意得πr2=316×4πR2. ∴r=32R,∴OO1=12R.体积较小的圆锥的高AO1=R-12R=12R,体积较大的圆锥的高BO1=R+12R=32R. 故这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为13. 评析　本题考查球、球内接圆锥的相关问题,考查R,r的关系,由题意得到r=32R是解答本题的关键. 23.(2022全国甲文,19,12分)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD, △HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直. (1)证明:EF∥平面ABCD; (2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度). 解析　取AB、BC、CD、DA的中点M、N、P、Q,连接EM、FN、GP、HQ、MN、NP、PQ、QM. (1)证明:在正三角形ABE中,M为AB的中点,所以EM⊥AB.又平面ABE∩平面ABCD=AB,且平面ABE⊥平面ABCD,所以EM⊥平面ABCD. 同理FN⊥平面ABCD,所以EM∥FN, 又EM=FN, 所以四边形EMNF为平行四边形,所以EF∥MN. 又MN⊂平面ABCD,且EF⊄平面ABCD, 所以EF∥平面ABCD. (2)如图,可将包装盒分割为长方体MNPQ-EFGH和四个全等的四棱锥. 易得MN=42 cm,EM=43 cm. 所以V长方体MNPQ-EFGH=(42)2×43=1283 cm3, V四棱锥B-MNFE=13×43×42×22=6433 cm3, 所以该包装盒的容积为1283+4×6433=64033 cm3. 易错警示:线面平行的判定中,不能忽略线不在平面内这一条件. 24.(2021全国甲文,19,12分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,BF⊥A1B1. (1)求三棱锥F-EBC的体积; (2)已知D为棱A1B1上的点.证明:BF⊥DE. 解题指导:(1)首先证明AB⊥平面BCC1B1,即可得AB⊥BC,从而得到S△EBC=1,再利用三棱锥的体积公式计算即可. (2)由线面垂直的判定定理及性质定理得出BE⊥A1E,根据角的正切值的计算可得∠AA1E=∠FEC,从而证得A1E⊥EF,根据线面垂直的判定定理可得BF⊥平面A1B1E,从而可得BF⊥DE. 解析　(1)∵侧面四边形AA1B1B为正方形,∴A1B1⊥BB1, ∵BF⊥A1B1且BB1∩BF=B,BB1,BF⊂平面BB1C1C, ∴A1B1⊥平面BB1C1C, 又∵AB∥A1B1,∴AB⊥平面BB1C1C, 又∵BC⊂平面BB1C1C,∴AB⊥BC, ∵AB=BC=2,E为AC的中点, ∴S△EBC=12S△ABC=12×12×2×2=1. 由直三棱柱知CF⊥平面ABC. ∵F为CC1的中点,∴CF=12CC1=12BB1=12AB=1, ∴VF-EBC=13S△EBC·CF=13×1×1=13. (2)证明:连接A1E,B1E, ∵AB=BC,E为AC的中点,∴BE⊥AC. ∵AA1⊥平面ABC,BE⊂平面ABC,∴AA1⊥BE. ∵AA1∩AC=A,AA1,AC⊂平面AA1C1C, ∴BE⊥平面AA1C1C,又A1E⊂平面AA1C1C, ∴BE⊥A1E. 在Rt△ECF中,tan∠FEC=CFCE=12=22, 在Rt△A1AE中,tan∠AA1E=AEAA1=22, ∴tan∠FEC=tan∠AA1E,∴∠FEC=∠AA1E, ∵∠AA1E+∠AEA1=90°, ∴∠FEC+∠AEA1=90°, ∴∠A1EF=90°,即A1E⊥EF. ∵EF∩EB=E,又EF,EB⊂平面BEF, ∴A1E⊥平面BEF,又BF⊂平面BEF,∴A1E⊥BF, 又∵A1B1⊥BF,A1E∩A1B1=A1,A1E⊂平面A1B1E,A1B1⊂平面A1B1E,∴BF⊥平面A1B1E. ∵DE⊂平面A1B1E,∴BF⊥DE. 方法总结:判断或证明直线与直线垂直的方法: 1.利用线线垂直的定义进行判断(计算两直线的夹角为90°). 2.利用平面几何中证明线线垂直的方法:①特殊图形(正方形、长方形、直角梯形等)中的垂直关系;②等腰(边)三角形底边中线的性质;③勾股定理的逆定理;④圆中直径的性质. 3.线面垂直的性质:①a⊥α,b⊂α⇒a⊥b(主要方法);②a⊥α,b∥α⇒a⊥b. 25.(2021新高考Ⅰ,20,12分)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点. (1)证明:OA⊥CD; (2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积. 解题指导:(1)正确利用面面垂直的性质定理是证明第一问的关键.(2)可用二面角定义找出二面角的平面角,进而求出三棱锥A-BCD底面BCD上的高及体积,也可选择建立空间直角坐标系,根据已知条件求出三棱锥A-BCD底面BCD上的高,进而求出其体积. 解析　(1)证明:在△ABD中,∵AB=AD,O为BD的中点,∴AO⊥BD,又∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO⊂平面ABD,∴AO⊥平面BCD,又CD⊂平面BCD,∴AO⊥CD. (2)在△ABD中,过E作EN∥AO交BD于N, 则由AO⊥平面BCD得EN⊥平面BCD,∴EN⊥BC, ∵OB=OD=OC=1,∴∠BCD=90°,即DC⊥BC. 在△BCD中,过N作NM∥CD交BC于M,则NM⊥BC. 连接EM,∵BC⊥EN,BC⊥NM,EN∩NM=N,∴BC⊥平面EMN, ∴EM⊥BC, ∴∠EMN为二面角E-BC-D的平面角,又知二面角E-BC-D的大小为45°, ∴∠EMN=45°,∴△EMN为等腰直角三角形, 又由DE=2EA得DN=2NO,∴MN=23CD=23=EN=ND, ∴AO=OD=1,∴VA-BCD=13S△BCD·AO=13×12×1×3×1=36. 故三棱锥A-BCD的体积为36. 一题多解　(2)由OC=OD=OB得BC⊥CD,由(1)知AO⊥平面BCD,以C为原点,CD,CB,OA的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示,则C(0,0,0),B(0,3,0),设AO=a. 则E23,33,23a,∴CB=(0,3,0),CE=23,33,23a,设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),则n·CB=0,n·CE=0,即3y=0,23x+33y+23az=0,令x=a,则z=-1, ∴n=(a,0,-1), 易知平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1), 由题可知|cos<m,n>|=m·n|m|·|n|=−1a2+1=22, ∴a=1,即AO=1. ∴VA-BCD=13S△BCD·AO=13×12×1×3×1=36, 故三棱锥A-BCD的体积为36. 第 16 页 共 16 页