1_5.2　三角恒等变换（十年高考）.docx

北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A版 5.2　三角恒等变换 考点　三角恒等变换 1.(2021全国乙文,6,5分)cos2π12−cos25π12=(　　) A.12　　　　B.33　　　　C.22　　　　D.32 答案　D　解析　解法一:cos2π12−cos25π12=cos2π12−cos2π2−π12=cos2π12−sin2π12=cosπ6=32. 解法二:cos2π12−cos25π12=cos2π4−π6−cos2π4+π6 =cosπ4cosπ6+sinπ4sinπ62−cosπ4cosπ6−sinπ4sinπ62 =22×32+22×122−22×32−22×122 =6+242−6−242 =6+24+6−24×6+24−6−24=32. 2.(2021全国甲理,9,5分)若α∈0,π2,tan 2α=cosα2−sinα,则tan α=(　　) A.1515　　　　B.55　　　　C.53　　　　D.153 答案　A　解题指导:先将切化弦,再将分式化为整式,利用两角差的余弦公式及二倍角公式将异角化为同角,最后利用同角三角函数的基本关系求解. 解析　∵tan 2α=cosα2−sinα,且α∈0,π2, ∴sin2αcos2α=cosα2−sinα, ∴2sin 2α=cos αcos 2α+sin αsin 2α, 即4sin αcos α=cos(2α-α)=cos α,又cos α≠0, ∴4sin α=1,∴sin α=14,∴cos α=154,∴tan α=1515.故选A. 疑难突破　将tan 2α转化为sin2αcos2α是本题的突破口. 3.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tan θ=-2,则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=(　　) A.-65　　　　B.−25　　　　C.25　　　　D.65 答案　C　sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ =sinθ(sin2θ+cos2θ+2sinθ·cosθ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θ·cos θ=sin2θ+sinθ·cosθsin2θ+cos2θ=tan2θ+tanθtan2θ+1=(−2)2−2(−2)2+1=25.故选C. 4.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin(α+β)+cos(α+β)=22cosα+π4sin β,则(　　) A.tan(α-β)=1　　　　B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1　　　　D.tan(α+β)=-1 答案　C　因为sin(α+β)+cos(α+β)=sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β,22cosα+π4sin β=(2cos α-2sin α)sin β=2cos αsin β-2sin αsin β,所以sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2cos αsin β-2sin αsin β,即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,进而得sin(α-β)+cos(α-β)=0,又知cos(α-β)≠0,所以tan(α-β)=-1,故选C. 5.(2018课标Ⅲ,理4,文4,5分)若sin α=13,则cos 2α=(　　) A.89　　　　　B.79 C.-79　　　　　D.-89 答案　B　本题考查三角恒等变换.由sin α=13,得cos 2α=1-2sin2α=1-2×132=1-29=79.故选B. 6.(2017课标Ⅲ文,4,5分)已知sin α-cos α=43,则sin 2α=(　　) A.-79　　　B.-29　　　C.29　　　D.79 答案　A　∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α=432=169,∴sin 2α=-79. 解后反思　涉及sin α±cos α,sin αcos α的问题,通常利用公式(sin α±cos α)2=1±2sin α·cos α进行转换. 7.(2017山东文,4,5分)已知cos x=34,则cos 2x=(　　) A.-14　　　B.14　　　C.-18　　　D.18 答案　D　本题考查二倍角余弦公式. 因为cos x=34,所以cos 2x=2cos2x-1=2×342-1=18. 8.(2016课标Ⅲ理,5,5分)若tan α=34,则cos2α+2sin 2α=(　　) A.6425　　　B.4825　　　C.1　　　D.1625 答案　A　当tan α=34时,原式=cos2α+4sin αcos α=cos2α+4sinαcosαsin2α+cos2α=1+4tanαtan2α+1=1+4×34916+1=6425,故选A. 解后反思　将所求式子的分母1用sin2α+cos2α代替,然后分子、分母同除以cos2α,得到关于tan α的式子,这是解决本题的关键. 评析　本题主要考查三角恒等变换,用sin2α+cos2α代替1是解题关键.. 9.(2016课标Ⅲ文,6,5分)若tan θ=-13,则cos 2θ=(　　) A.-45　　　B.-15　　　C.15　　　D.45 答案　D　解法一:cos 2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ−sin2θcos2θ+sin2θ =1−tan2θ1+tan2θ=45.故选D. 解法二:由tan θ=-13,可得sin θ=±110, 因而cos 2θ=1-2sin2θ=45. 评析　本题考查化归与转化的能力.属中档题. 10.(2015课标Ⅰ理,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=(　　) A.-32　　　B.32　　　C.-12　　　D.12 答案　D　原式=sin 20°cos 10°+cos 20°@sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=12,故选D. 11.(2015重庆理,9,5分)若tan α=2tan π5,则cosα−3π10sinα−π5=(　　) A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4 答案　C　cosα−3π10sinα−π5=sinπ2+α−3π10sinα−π5=sinα+π5sinα−π5=sinαcos π5+cosαsin π5sinαcos π5−cosαsin π5=tanα+tan π5tanα−tanπ5 , ∵tan α=2tan π5,∴cosα−3π10sinα−π5=3tan π5tan π5=3.故选C. 12.(2015重庆文,6,5分)若tan α=13,tan(α+β)=12,则tan β=(　　) A.17　　　B.16　　　C.57　　　D.56 答案　A　tan β=tan[(α+β)-α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)·tanα=12−131+12×13=17,故选A. 13.(2013课标Ⅱ文,6,5分)已知sin 2α=23,则cos2α+π4=(　　) A.16　　　B.13　　　C.12　　　D.23 答案　A　cos2α+π4=1+cos2α+π22=1−sin2α2,把sin 2α=23代入,原式=16.选A. 评析　本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用. 14.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cosπ4−α=35,则sin 2α=(　　) A.725　　　B.15　　　C.-15　　　D.-725 答案　D　∵cosπ4−α=35, ∴sin 2α=cosπ2−2α=cos2π4−α =2cos2π4−α-1=2×352-1=-725.故选D. 思路分析　利用诱导公式化sin 2α=cosπ2−2α,再利用二倍角的余弦公式即可得答案. 一题多解　cosπ4−α=22(cos α+sin α)=35⇒cos α+sin α=325⇒1+sin 2α=1825, ∴sin 2α=-725.故选D. 导师点睛　求解三角函数的给值求值问题,关键是把待求三角函数值的角用已知角表示出来: (1)已知角有两个时,待求三角函数值的角一般表示为已知角的和或差; (2)已知角有一个时,待求三角函数值的角一般与已知角成“倍数关系”或“互补、互余关系”. 15.(2022浙江,13,6分)若3sin α-sin β=10,α+β=π2,则sin α=　　　　,cos 2β=　　　　.  答案　 31010;45 解析　设a=sin α,b=sin β=cos α, 则3a−b=10,a2+b2=1, 解得a=31010,b=-1010. ∴sin α=a=31010, cos 2β=1-2sin2β=1-2b2=45. 16.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=　　　　,b=　　　　.  答案　2;1 解析　∵2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=2sin2x+π4+1,∴A=2,b=1. 17.(2018课标Ⅱ文,15,5分)已知tanα−5π4=15,则tan α=　　　　.  答案　32 解析　本题主要考查两角差的正切公式. tanα−5π4=tanα−tan5π41+tanαtan5π4=tanα−11+tanα=15, 解得tan α=32. 18.(2016课标Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sinθ+π4=35,则tanθ−π4=　　　　.  答案　-43 解析　解法一:∵sinθ+π4=22×(sin θ+cos θ)=35, ∴sin θ+cos θ=325①, ∴2sin θcos θ=-725. ∵θ是第四象限角,∴sin θ<0,cos θ>0, ∴sin θ-cos θ=-1−2sinθcosθ=-425②, 由①②得sin θ=-210,cos θ=7210,∴tan θ=-17, ∴tanθ−π4=tanθ−11+tanθ=-43. 解法二:∵θ+π4+π4−θ=π2, ∴sinθ+π4=cosπ4−θ=35, 又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z, ∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k∈Z, ∴cosθ+π4=45,∴sinπ4−θ=45, ∴tanπ4−θ=sinπ4−θcosπ4−θ=43, ∴tanθ−π4=-tanπ4−θ=-43. 评析　本题主要考查了三角恒等变换,熟练掌握同角三角函数关系式及诱导公式是解题的关键. 19.(2016四川理,11,5分)cos2π8-sin2π8=　　　　.  答案　22 解析　由二倍角公式易得cos2π8-sin2π8=cosπ4=22. 20.(2015江苏,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为　　　　.  答案　3 解析　tan β=tan[(α+β)-α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=17−(−2)1+17×(−2)=3. 21.(2015四川理,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是　　　　.  答案　62 解析　sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°=2sin(15°+45°)=2sin 60°=62. 22.(2015四川文,13,5分)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是　　　　.  答案　-1 解析　由sin α+2cos α=0得tan α=-2. 2sin αcos α-cos2α=2sinαcosα−cos2αsin2α+cos2α=2tanα−1tan2α+1=2×(−2)−1(−2)2+1=−55=-1. 23.(2015广东文,16,12分)已知tan α=2. (1)求tanα+π4的值; (2)求sin2αsin2α+sinαcosα−cos2α−1的值. 解析　(1)因为tan α=2, 所以tanα+π4=tanα+tanπ41−tanα·tanπ4=2+11−2×1=-3. (2)因为tan α=2,所以sin2αsin2α+sinαcosα−cos2α−1 =2sinαcosαsin2α+sinαcosα−(cos2α−sin2α)−(sin2α+cos2α) =2sinαcosαsin2α+sinαcosα−2cos2α=2tanαtan2α+tanα−2=2×222+2−2=1. 24.(2014江苏,15,14分)已知α∈π2,π,sin α=55. (1)求sinπ4+α的值; (2)求cos5π6−2α的值. 解析　(1)因为α∈π2,π,sin α=55, 所以cos α=-1−sin2α=-255. 故sinπ4+α=sinπ4cos α+cosπ4sin α =22×−255+22×55=-1010. (2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2×55×−255=-45, cos 2α=1-2sin2α=1-2×552=35, 所以cos5π6−2α=cos5π6cos 2α+sin5π6sin 2α =−32×35+12×−45=-4+3310. 评析　本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式,考查运算求解能力. 第 7 页 共 7 页