第1页共7页北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A版5.2三角恒等变换考点三角恒等变换1.(2021全国乙文,6,5分)cos2π12−cos25π12=()A.12B.√33C.√22D.√32答案D解析解法一:cos2π12−cos25π12=cos2π12−cos2(π2−π12)=cos2π12−sin2π12=cosπ6=√32.解法二:cos2π12−cos25π12=cos2(π4−π6)−cos2(π4+π6)=(cosπ4cosπ6+sinπ4sinπ6)2−(cosπ4cosπ6−sinπ4sinπ6)2=(√22×√32+√22×12)2−(√22×√32−√22×12)2=(√6+√24)2−(√6−√24)2=(√6+√24+√6−√24)×(√6+√24−√6−√24)=√32.2.(2021全国甲理,9,5分)若α∈(0,π2),tan2α=cosα2−sinα,则tanα=()A.√1515B.√55C.√53D.√153答案A解题指导:先将切化弦,再将分式化为整式,利用两角差的余弦公式及二倍角公式将异角化为同角,最后利用同角三角函数的基本关系求解.解析 tan2α=cosα2−sinα,且α∈(0,π2),第2页共7页北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A版∴sin2αcos2α=cosα2−sinα,∴2sin2α=cosαcos2α+sinαsin2α,即4sinαcosα=cos(2α-α)=cosα,又cosα≠0,∴4sinα=1,∴sinα=14,∴cosα=√154,∴tanα=√1515.故选A.疑难突破将tan2α转化为sin2αcos2α是本题的突破口.3.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tanθ=-2,则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=()A.-65B.−25C.25D.65答案Csinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sin2θ+cos2θ+2sinθ·cosθ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)=sin2θ+sinθ·cosθ=sin2θ+sinθ·cosθsin2θ+cos2θ=tan2θ+tanθtan2θ+1=(−2)2−2(−2)2+1=25.故选C.4.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π4)sinβ,则()A.tan(α-β)=1B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1D.tan(α+β)=-1答案C因为sin(α+β)+cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ,2√2cos(α+π4)sinβ=(2cosα-2sinα)sinβ=2cosαsinβ-2sinαsinβ,所以sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=2cosαsinβ-2sinαsinβ,即sinαcosβ-cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0,进而得sin(α-β)+cos(α-β)=0,又知cos(α-β)≠0,所以tan(α-β)=-1,故选C.5.(2018课标Ⅲ,理4,文4,5分)若sinα=13,则cos2α=()A.89B.79C.-79D.-89第3页共7页北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A版答案B本题考查三角恒等变换.由sinα=13,得cos2α=1-2sin2α=1-2×(13)2=...
