第1页共15页北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A版6.2平面向量的数量积及其应用考点平面向量的数量积1.(2022全国乙理,3,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=√3,|a-2b|=3,则a·b=()A.-2B.-1C.1D.2答案C由|a-2b|=3,可得|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=9,又|a|=1,|b|=√3,所以a·b=1,故选C.2.(2022新高考Ⅱ,4,5分)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若
=,则t=()A.-6B.-5C.5D.6答案C由题意可得c=(3+t,4),由=得cos=cos,即3(3+t)+4×45√(3+t)2+42=3+t√(3+t)2+42,解得t=5,故选C.3.(2022北京,10,4分)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则⃗PA·⃗PB的取值范围是()A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]答案D解法一:取AB的中点D,⃗PA·⃗PB=(⃗PC+⃗CA)·(⃗PC+⃗CB)=⃗PC2+(⃗CA+⃗CB)·⃗PC+⃗CA·⃗CB=⃗PC2+2⃗CD·⃗PC=1+5×1×cosθ=1+5cosθ(θ为⃗CD与⃗PC的夹角),因为θ∈[0,π],所以⃗PA·⃗PB∈[-4,6].解法二:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,3),B(-4,0),设P(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),则⃗PA·⃗PB=(-cosθ,3-sinθ)·(-4-cosθ,-sinθ)=cos2θ+4cosθ+sin2θ-3sinθ=1+4cosθ-3sinθ=1+5cos(θ+φ),其中tanφ=34,因为θ∈[0,2π),所以⃗PA·⃗PB∈[-4,6].故选D.第2页共15页北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A版4.(2020新高考Ⅰ,7,5分)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则⃗AP·⃗AB的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)答案A解法一:如图,过点P作PP1⊥直线AB于P1,过点C作CC1⊥直线AB于C1,过点F作FF1⊥直线AB于F1,⃗AP·⃗AB=¿⃗AP∨·∨⃗AB|·cos∠PAB,当∠PAB为锐角时,|⃗AP∨·cos∠PAB=¿⃗AP1|,当∠PAB为钝角时,|⃗AP∨·cos∠PAB=−∨⃗AP1|,所以当点P与C重合时,⃗AP·⃗AB最大,此时⃗AP·⃗AB=¿⃗AC1∨¿⃗AB|=6,当点P与F重合时,⃗AP·⃗AB最小,此时⃗AP·⃗AB=−∨⃗AF1∨¿⃗AB|=-2,又因为点P是正六边形ABCDEF内的一点,所以-2<⃗AP·⃗AB<6.故选A.解法二:连接AE,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,建立平面直角坐标系(图略),则A(0,0),B(2,0),设P(x0,y0),则-1
