1_5.2　三角恒等变换.docx

北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A版 5.2　三角恒等变换 基础篇 考点　三角恒等变换 考向一　两角和与差的三角函数公式 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2022海南北京师范大学附中月考,3)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=(　　) A.-32　　　　B.32　　　　C.−12　　　　D.12 答案　D　 2.(2023届福建漳州质检,5)已知cosπ4−α=55,则sin 2α=(　　) A.15　　　　B.−15　　　　C.−25　　　　D.−35 答案　D　 3.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin(α+β)+cos(α+β)=22cosα+π4sin β,则(　　) A.tan(α-β)=1　　　　B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1　　　　D.tan(α+β)=-1 答案　C　 4. (2022广东江门陈经纶中学月考,6)已知α,β为锐角,sin α=45,cos(α+β)=-22, 则cos β=(　　) A.3210　　　　B.210　　　　C.7210　　　　D.9210 答案　B　 5.(2023届河北衡水部分学校月考,14)已知tanα−π4=13,则cosπ2−2α=　　　　.  答案　45 6.(2018课标Ⅱ理,15,5分)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　.  答案　-12 7.(2017课标Ⅰ文,15,5分)已知α∈0,π2,tan α=2,则cosα−π4=　　　　.  答案　31010 考向二　二倍角公式的应用 1.(2011福建,3,5分)若tan α=3,则sin2αcos2α的值等于(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6 答案　D　 2.(2022湖北黄冈中学三模,2)已知cos θ=13,则sin2θ+π2=(　　) A.-79　　　　B.79　　　　C.23　　　　D.−23 答案　A　 3.(2023届重庆南开中学月考,13)已知sinα+π3=45,则sin2α+π6=　　　　.  答案　725 4.(2020江苏,8,5分)已知sin2π4+α=23,则sin 2α的值是　　　　.  答案　13 5.(2022广东江门陈经纶中学月考,17)已知cos α=13,且α是第四象限角. (1)求sin 2α和cos 2α的值; (2)求tanα−π4的值. 解析　(1)由cos α=13,sin 2α+cos 2α=1得,sin 2α=1-cos 2α=89,又∵α是第四象限角, ∴sin α=-89=−223,∴sin 2α=2sin αcos α=-429,cos 2α=cos 2α-sin 2α=-79. (2)由(1)可知tan α=sinαcosα=−22, ∴tanα−π4=tanα−tan π41+tanα·tan π4=−22−11+(−22)×1=9+427. 考向三　辅助角公式的应用 1.(2022湖南益阳三模,4)已知sin α-cos α=13,则cosα+π4=(　　) A.-13　　　　B.−26　　　　C.13　　　　D.26 答案　B　 2.(2020课标Ⅲ文,5,5分)已知sin θ+sinθ+π3=1,则sinθ+π6=(　　) A.12　　　　B.33　　　　C.23　　　　D.22 答案　B　 3.(2023届哈尔滨师大附中月考,15)4cos 50°-tan 40°=　　　　.  答案　3 综合篇 考法　三角函数式的求值和化简 考向一　给角求值 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2021江苏盐城二模,5)计算2cos10°−sin20°cos20°所得的结果为(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.2 答案　C　 2.(2021全国乙,6,5分)cos2π12−cos25π12=(　　) A.12　　　　B.33　　　　C.22　　　　D.32 答案　D　 3.(2023届辽宁鞍山质量监测,14)2cos50°−3sin10°cos10°的值为　　　　.  答案　1 4.(2022湖南新高考教学教研联盟联考,13)tan 67.5°×(1-tan222.5°)=　　　　.  答案　2 5.(2022江苏南通如皋教学质量调研,14)tan 39°+tan 81°+tan 240°tan 39°tan 81°=　　　　.  答案　3 6.(2022辽宁滨城期中,13)tan 70°cos 10°·(3tan 20°-1)等于　　　　.  答案　-1 考向二　给值求角 1.(2022武汉部分重点中学联考,6)已知0<α<π2<β<π且sin α=45,cos(β-α)=210,则β=(　　) A.π3　　　　B.2π3　　　　C.π4　　　　D.3π4 答案　D　 2.(2022辽宁滨城期中,4)已知α,β为锐角,tan α=34,cos(α+β)=-45,则2α+β的值为(　　) A.5π6　　　　B.π　　　　C.2π3　　　　D.π2 答案　B　 3.(2022沈阳期中,6)已知α为锐角,β为钝角且cos α=255,tan β=-3,则α+β的值为(　　) A.34π　　　　B.23π　　　　C.π3　　　　D.π4 答案　A　 4.(2022湖北部分重点中学联考,7)已知tan α=13,tan β=-17,且α,β∈(0,π),则2α-β=(　　) A.π4　　　　B.−π4　　　　 C.-3π4　　　　D.−3π4或π4 答案　C　 5.(2023届哈尔滨师大附中月考,18)已知2sin α=2sin2α2-1. (1)求sin αcos α+cos 2α的值; (2)已知α∈(0,π),β∈0,π2,且tan2β-6tan β=1,求α+2β的值. 解析　(1)由已知得2sin α=-cos α,所以tan α=-12, 则sin αcos α+cos 2α=sinαcosα+cos2α−sin2αsin2α+cos2α=tanα+1−tan2αtan2α+1=15. (2)由tan2β-6tan β=1,可得tan 2β=2tanβ1−tan2β=−13, 则tan(α+2β)=tanα+tan2β1−tanαtan2β=−12−131−−12×−13=-1. 因为β∈0,π2,所以2β∈(0,π),又tan 2β=-13>−33,则2β∈5π6,π,因为α∈(0,π), tan α=-12>−33,所以α∈5π6,π,则α+2β∈5π3,2π,所以α+2β=7π4. 考向三　给值求值 1.(2023届甘肃张掖诊断,4)已知sin 2α=13,则cos2α−π4=(　　) A.16　　　　B.13　　　　C.12　　　　D.23 答案　D　 2.(2023届辽宁六校期初,6)若tanπ4−α=-2,则sinαsin2αcosα+3cos3α=(　　) A.52　　　　B.2　　　　C.−52　　　　D.−12 答案　C　 3.(多选)(2022重庆巴蜀中学月考八,10)已知cos(α+β)=-55,cos 2α=-45,其中α,β为锐角,则(　　) A.sin 2α=35　　　　B.cos(α-β)=255 C.cos αcos β=510　　　　D.tan αtan β=13 答案　ABC　 4.(2020浙江,13,6分)已知tan θ=2,则cos 2θ=　　　　,tanθ−π4=　　　　.  答案　-35　13 5.(2023届重庆八中入学考,17)已知α,β∈0,π2,cos α=35,cos(α+β)=513. (1)求sin β的值; (2)求cos(α+2β)的值. 解析　(1)因为α,β均为锐角,cos α=35,所以0<α+β<π,sin α=1−cos2α=45,又cos(α+β)=513>0,所以0<α+β<π2,sin(α+β)=1−cos2(α+β)=1213. 所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)·sin α=1213×35−513×45=1665. (2)因为sin β=1665,且β为锐角, 所以cos β=1−sin2β=6365, 所以cos(α+2β)=cos[(α+β)+β] =cos(α+β)cos β-sin(α+β)sin β=513×6365−1213×1665=123845. 6.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tan α=43,cos(α+β)=-55. (1)求cos 2α的值; (2)求tan(α-β)的值. 解析　(1)因为tan α=43,tan α=sinαcosα,所以sin α=43cos α.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=925, 所以cos 2α=2cos2α-1=-725. (2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π). 又因为cos(α+β)=-55, 所以sin(α+β)=1−cos2(α+β)=255,因此tan(α+β)=-2.因为tan α=43, 所以tan 2α=2tanα1−tan2α=−247. 因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α−tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=−211. 第 5 页 共 5 页