1_4.1　导数的概念及运算.docx

北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A版 专题四　导数及其应用 4.1　导数的概念及运算 基础篇 考点　导数的概念及运算 1.(多选)(2023届辽宁鞍山质量监测,9)设函数f(x)在x=2处的导数存在,则-12f '(2)=(　　) A.limΔx→0f(2+Δx)−f(2)2Δx　　　　B.limΔx→0f(2)−f(2+Δx)2Δx C.limΔx→0f(2−Δx)−f(2)2Δx　　　　D.limΔx→0f(2)−f(2−Δx)2Δx 答案　BC　 2.(2023届长沙长郡中学月考,3)已知函数y=f(x)的图象在点P(3,f(3))处的切线方程是y=-2x+7,则f(3)-f '(3)=(　　) A.-2　　　　B.2　　　　C.-3　　　　D.3 答案　D　 3.(2022海南学业水平诊断一,5)已知函数f(x)=2f '(3)x-29x2+ln x(f '(x)是f(x)的导函数),则f(1)=(　　) A.-209　　　　B.−119　　　　C.79　　　　D.169 答案　D　 　　　　　　　　　　　　　　　　 4.(2020课标Ⅰ理,6,5分)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1))处的切线方程为(　　) A.y=-2x-1　　　　B.y=-2x+1 C.y=2x-3　　　　D.y=2x+1 答案　B　 5.(多选)(2022湖北襄阳五中阶段考,9)下列各式正确的是(　　) A.sin π3'=cos π3　　　　B.[ln(-x)]'=1x C.(e2x)'=2e2x　　　　D.(x)'=-12x 答案　BC　 6.(2022重庆巴蜀中学测试,5)若曲线y=x的一条切线经过点(8,3),则此切线的斜率为(　　) A.14　　　　B.12　　　　C.14或18　　　　D.12或14 答案　C　 7.(2020课标Ⅲ文,15,5分)设函数f(x)=exx+a.若f '(1)=e4,则a=　　　　.  答案　1 8.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=ex·ln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为　　　　　.  答案　e 9.(2022江苏无锡期初,14)若经过点P(1,2)作曲线f(x)=x3-x+2的切线,则切线方程为　　　　　　　　　.  答案　y=2x或y=-14x+94 10.(2023届甘肃张掖诊断,15)设函数f(x)=x3+ax2+(a+2)x.若f(x)的图象关于原点(0,0)对称,则曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线方程为　　　　.  答案　5x-y-2=0 综合篇 考法　利用导数的几何意义求曲线的切线方程及参数的方法 考向一　求切线的方程 1.(2018课标Ⅰ理,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　) A.y=-2x　　　　B.y=-x　　　　C.y=2x　　　　D.y=x 答案　D　 2.(多选)(2023届沈阳四中月考,10)已知y=kx是曲线f(x)=xsin x的一条切线,则实数k的值可以为(　　) A.0　　　　B.1　　　　C.12　　　　D.-1 答案　ABD　 3.(2022福建长汀一中月考,6)已知函数f(x)=x+a2x.若曲线y=f(x)存在两条过点(2,0)的切线,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,1)∪(8,+∞) B.(-∞,-1)∪(8,+∞) C.(-∞,0)∪(8,+∞) D.(-∞,-8)∪(0,+∞) 答案　D　 4.(2019课标Ⅲ,文7,理5,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则(　　) A.a=e,b=-1　　　　B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1　　　　D.a=e-1,b=-1 答案　D　 5.(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则(　　) A.eb<a　　　　B.ea<b C.0<a<eb　　　　D.0<b<ea 答案　D　 6.(2023届福建泉州质量监测一,14)曲线f(x)=excos x在x=0处的切线方程是　　　　.  答案　y=x+1 7.(2023届福建漳州质检,14)已知直线x+y+a=0是曲线xy-1=0的切线,则a=　　　　.  答案　±2 8.(2022新高考Ⅱ,14,5分)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为　　　　,　　　　.  答案　y=1ex　y=−1ex(不分先后) 9.(2022新高考Ⅰ,15,5分)若曲线y=(x+a)·ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　　　　.  答案　(-∞,-4)∪(0,+∞) 10.(2021全国甲理,13,5分)曲线y=2x−1x+2在点(-1,-3)处的切线方程为　　　　.  答案　y=5x+2 11.(2019江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是　　　　.  答案　(e,1) 12.(2021新高考Ⅱ,16,5分)已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1, f(x1))和点B(x2, f(x2))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则|AM||BN|的取值范围是　　　　.  答案　(0,1) 13.(2023届山东潍坊五县联考,23)已知函数f(x)=x3+λx2-32x(λ∈R)为奇函数. (1)若f(x)≤m2+4m对x∈−12,2恒成立,求实数m的取值范围; (2)过点A1,−12且与曲线y=f(x)相切的直线为l,l与x轴、y轴分别交于点B,C,O为坐标原点,求△BOC的面积. 解析　(1)因为f(x)=x3+λx2-32x(λ∈R)为奇函数, 所以f(-x)=-f(x),即-x3+λx2+32x=−x3−λx2+32x, 解得λ=0,所以f(x)=x3-32x,f '(x)=3x2-32,令f '(x)=0,得x=-22或22,f(x),f '(x)随x的变化情况如表. x -12 −12,22 22 22,2 2 f '(x) - 0 + f(x) 58 ↘ 极小值-22 ↗ 5 由表知,f(x)max=f(2)=5,由f(x)≤m2+4m对x∈−12,2恒成立,得m2+4m≥5,解得m≤-5或m≥1. 故m的取值范围是(-∞,-5]∪[1,+∞). (2)因为f(1)=-12,所以点A1,−12在曲线y=f(x)上, 当A为切点时,kl=f '(1)=32,切线l的方程为y=32x-2,所以B43,0,C(0,-2),则S△BOC=12×43×2=43; 当A不是切点时,设切点坐标为x0,x03−32x0, kl=f '(x0)=3x02−32=x03−32x0+12x0−1, 整理得(x0−1)2(2x0+1)=0,解得x0=-12或x0=1(舍去),所以kl=f '−12=−34,切线l的方程为y=-34x+14,所以B13,0,C0,14,则S△BOC=12×13×14=124. 综上,△BOC的面积为43或124. 考向二　两曲线的公切线问题 1.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,11)若直线y=kx+b是曲线y=ex+1的切线,也是y=ex+2的切线,则k=(　　) A.ln 2　　　　B.-ln 2　　　　C.2　　　　D.-2 答案　C　 2.(2022广州执信中学月考,6)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与抛物线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a的值为(　　) A.0　　　　B.0或8　　　　C.8　　　　D.1 答案　C　 3.(2022山东滕州一中期中,8)已知f(x)=ex-1(e为自然对数的底数),g(x)=ln x+1,则曲线f(x)与g(x)的公切线条数为(　　) A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 答案　C　 4.(2022武汉开学考,5)若函数f(x)=3x+1x-3(x>0)的图象与函数g(x)=txex的图象有公切线l,且直线l与直线y=-12x+2互相垂直,则实数t=(　　) A.1e　　　　 B.e2　　　　 C.1e或2e　　　　D.1e或4e 答案　D　 5.(2022南京外国语学校模拟,6)若两曲线y=x2-1与y=aln x-1存在公切线,则正实数a的取值范围为(　　) A.(0,2e]　　　　B.(0,e]　　　　 C.[2e,+∞)　　　　D.(e,2e] 答案　A　 6.(2022海南琼海嘉积三中月考,15)若曲线f(x)=aln x(a∈R)与g(x)=x在公共点处有共同的切线,则实数a的值为　　　　.  答案　e2 7.(2022全国甲文,20,12分)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线. (1)若x1=-1,求a; (2)求a的取值范围. 解析　解法一:由题意可知f '(x)=3x2-1, f(x1)=x13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线方程为y-(x13-x1)=(3x12-1)(x-x1),即y=(3x12-1)x-2x13①. 因为曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以y=(3x12−1)x−2x13,y=x2+a有且仅有一组解,即方程x2-(3x12-1)x+2x13+a=0有两个相等的实数根, 从而Δ=(3x12-1)2-4(2x13+a)=0⇔4a=9x14−8x13−6x12+1. (1)若x1=-1,则4a=12,a=3. (2)4a=9x14−8x13−6x12+1, 令h(x)=9x4-8x3-6x2+1, 则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1), 令h'(x)>0,得-13<x<0或x>1,令h'(x)<0,得x<-13或0<x<1,所以h(x)在−13,0和(1,+∞)上单调递增,在−∞,−13和(0,1)上单调递减, 又h(1)=-4,h−13=2027,所以h(x)≥-4, 所以a≥-1. 解法二:由题意可知f '(x)=3x2-1, f(x1)=x13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线方程为y-(x13-x1)=(3x12-1)(x-x1),即y=(3x12-1)x-2x13①, 设公切线与曲线y=g(x)的切点为(x2,x22+a), 又g'(x2)=2x2,则切线可表示为y-(x22+a)=2x2(x-x2),即y=2x2x-x22+a②,因为①②表示同一直线方程,所以3x12−1=2x2,−2x13=−x22+a, 则(3x12-1)2-8x13=4a⇔4a=9x14−8x13−6x12+1. 下面同解法一. 易错警示:不能认为两曲线的公切线切点相同. 第 6 页 共 6 页