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射洪中学高2020级高三下期第一次月考 数学(理科)参考答案 一、选择题答案：CCBCD BCACA DB 二、填空题答案： -40 ; ; ; ①③④ 三，解答题 17解：（1）参加课后活动的时间位于区间的概率…………4分 （2）活动的时间在区间的概率，的可能取值为， ，， ，. 故分布列为： .……………………12分 18. 解：（1），∴，∴，∴，又∵，∴，所以数列是以为首项和公差的等差数；.……………………6分 （2）由(1)知：，所以，∴，，又满足上式，∴， 因，所以， 所以，记，又在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以，所以， 所以的最大值为．.……………………12分 19. 解：（1）连接、交于，连接，由正四棱锥性质可得平面，底面为正方形，则，所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系， 则， ，， 所以，，又， 得，，所以，所以、、、四点共面，即点在平面内．.………………6分 （2） 由（1）可得，设平面的法向量，由， 得，令，则，，所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为．.……………………12分 20. 解：（1）由条件可知，， 解得：，，所以椭圆C的方程是；.……………………4分 （2）假设在轴上存在点，使且， 联立，设，，方程整理为， ，解得：或， ，， 则线段的中点的横坐标是，中点纵坐标， 即中点坐标，，则，即， 化简为，①又,则， ，整理为， ，化简为② 由①得，即，代入②得， 整理得③，又由①得，代入③得， 即，整理得，即. 当时，，当时，，满足，所以存在定点, 此时直线方程是，当定点, 此时直线方程是..……………………12分 21.解：（1）由题意，函数的定义域为.则. 令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，且极小值为， 而，故在上存在唯一零点， 因为，，故在上存在唯一的零点， 综上所述，有且仅有2个零点. .……………………5分 （2） 设，，则，可得当时，单调递增， 当时，单调递减，所以，所以.即（当且仅当时， 取等号）. 令，得（，当且仅当时，取等号） 所以依次令，得到 ，，，…， 所以 即.……………………12分 22. 解：（1）曲线C的参数方程为（为参数，）， 所以，所以即曲线C的普通方程为． 直线l的极坐标方程为，则， 转换为直角坐标方程为．.……………………5分 （2）直线l过点，直线l的参数方程为（t为参数）令点A，B对应的参数分别为，，由代入，得，则，，即t1、t2为负，故．………10分 23.解：（1）当时，， 故即或或， 解得， 即原不等式的解集为.……………………5分 （2）由题意得， 即，，即， 而， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为.……………………12分 5