重庆市西南大学附属中学2023年高三拔尖强基定时期中质检数学.docx

2023年高三拔尖强基定时期中质检 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、姓名” 与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时150分钟。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．如果复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A．0 B．2 C．0或3 D．2或3 3．若函数同时满足：(1)对于定义域内的任意，有；(2)对于定义域内的任意，当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数：①；②；③；④. 其中是“理想函数”的序号是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 4.已知函数f (x)为偶函数，定义域为R，当x>0时，f ′ (x)<0，则不等式f (x2－x)－f (x)>0的解集为（ ） A. B. C. D. 5.石碾子是我国传统粮食加工工具．如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚(圆柱形)和碾架组成．碾盘中心设竖轴(碾柱)，连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为（ ） A.3∶2 B.5∶4 C.5∶3 D.4∶3 6.已知等差数列{an}的首项a1≠0，而a9＝0，则＝（ ） A.0 B.2 C.－1 D. 7.已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8.四面体的各个顶点都在球的表面上，两两垂直，且是线段上一点，且，过作四面体外接球的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分。 9.已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A.为函数的一个周期 B.是曲线的一个对称中心 C.若函数在区间上单调递增，则实数的最大值为 D.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象 10.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，下列说法正确的有（ ） A.线段长度的最小值为4 B.过点与抛物线只有一个交点的直线有两条 C.直线交抛物线的准线于点，则直线平行轴 D.可能为直角三角形 11．已知A（4，2），B（0，4），圆，P为圆C上的动点，下列结论正确的是（  ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．最大时， 12.已知，则有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，直三棱柱，，，侧棱长为，点是侧面内一点．当最大时，过、、三点的截面面积的最小值为______． 14．若函数y＝sin ωx在区间上单调递减，则ω的取值范围是________. 15.已知直线l：y＝kx＋b是函数f (1)＝ax2与函数g＝ex的公切线，若 （1，f(1)）是直线l与函数f 相切的切点，则b＝________． 16.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，c＝3b，则△ABC面积的最大值是__________；若r，R分别为△ABC的内切圆和外接圆半径，则rR的取值范围为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10分）已知数列的前项和为，且满足. （1）求证：数列是等比数列； （2）若，数列的前项和为，求证：. 18.（12分）已知的内角的对边分别为，且向量与向量共线. （1）求； （2）若的面积为，求的值. 19.（12分）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)若侧面是正方形，求直线与平面所成角的正弦值. 20．（12分）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率； (2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记为选出“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？ 21．（12分）已知点F（0，1）和直线：y=-1，直线过直线上的动点M且与直线垂直，线段MF的垂直平分线l与直线相交于点P． （1）求点P 轨迹C的方程； （2）过点F的直线l与C交于A，B两点．若C上恰好存在三个点，使得的面积等于，求l的方程． 22．（12分）已知函数，． （1）证明：f（x）存在唯一零点； （2）设，若存在，，使得，证明： 2023年高三拔尖强基定时期中质检 数学试卷参考答案 选择题：CACCBAAA ABD AC AC BCD 填空题：13．3 14．[－4,0) 15.－ 16.3；（，2） 解答题： 17.（1）由，得①， 当时，②， ①-②整理得， 当时，，即， 数列是以9为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）可知， ，即， . 18．（1）因为向量与向量共线， 故，　　　　　　　　　　　　 即，　　　　　 ，　　　　　　　　 ，∴， 　　　　　　　　　　　　 又， ．　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 （2） 由已知， 所以． 　　 由余弦定理得， 即，联立 解得或，　　　　　　　　　　　　　　 　　 所以． 19.（1）取中点为，连接， 因为点分别为的中点， 故，， 又点为的中点，且四边形为矩形， 故，， 故，， 故四边形为平行四边形， 则，又平面平面， 所以平面； （2）因为为正方形，故可得， 又因为平面平面，且平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以，又，， 如图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设与平面所成角为，则. 故直线与平面所成角的正弦值为. 20.（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30， 其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4个，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件， 则，， 所以，. （2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为， 所以，， ，， 所以的分布列如下表： 0 1 2 3 所以 （3）记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件，则， 由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布， 由题意列式，得，因为，所以的最小值为11，故至少要进行11轮测试 21．（1）连接PF，因为MF的垂直平分线l交于点P，所以，即点P到定点F（0，1）的距离等于点P到直线：y=-1的距离，由抛物线的定义，点P的轨迹为抛物线； （2）如图，作与l平行且与C相切的直线，切点为D． 由题知的面积等于． 设l的方程为y=kx+1，方程可化为，则，令，解得x=2k， 将x=2k代入，得，故，所以D到l的距离， 由消去y，得，从而，， 所以， 故的面积，从而，解得=或． 所以l的方程为或． 22．（1）证明：，． ，， 因为时，恒成立，所以在上单调递增，因为， 所以在（-1，0）上恒小于0，在上恒大于0，所以f（x）在（-1，0）上单调递减，在上单调递增，因为，所以有唯一零点0． （2）证明：因为，所以， 若是方程的根，则是方程的根． 因为，都单调递增，所以， 所以，设，， 所以的解为，的解为（-1，1）， 所以h（x）在（-1，1）上递减，在上递增， 所以h（x）的最小值为h（1）=1-2ln2，即的最小值为1-2ln2． 学科网（北京）股份有限公司