1第四章投影变换§4.1概述在前三章中，我们分别讨论了点、线、面及其相对位置的投影。我们知道，当直线或平面相对于某投影面处于平行或垂直的特殊位置时，它们的投影能反映实长、实形或倾角，见表4．1；当直线或平面相对投影面处于一般位置时，它们的投影就不具有这些特性。从这里我们可以看出，如果能把一般位置的几何元素变换成特殊位置，那么其定位和度量问题就容易解决了，投影变换就是为了这个目的。表4．1空间几何元素对投影面处于特殊位置时度量问题实长(形)问题距离问题线段的实长平面是实形点到直线的距离两直线间的距离点到平面的距离距离问题角度问题直线到平面的距离两平面之间的距离两直线的夹角直线与平面的夹角两平面之间的夹角投影变换的方法很多，常用的有两种：换面法和旋转法。2(a)(b)(c)图4．1点的一次换面（更换V面）．§4.2换面法一换面法的基本概念换面法就是保持空间几何元素的位置不动，通过改变投影面的位置来改变空间几何元素与投影面的位置关系，从而有利于解题。如图4．1(a)所示：点A在V/H体系中，正面投影为a’,水平投影为a。现H面不变，取一铅垂面Vl代替正立面V，构成新的两投影面体系V1/H。过点A向V1面作垂线，得到点A在Vl面上的投影a’1，V/H体系为旧投影体系，X轴为旧投影轴，而V1/H体系为新投影体系，Xl轴为新投影轴，V面为旧投影面，H面为不变投影面，V1面为新投影面。相应地，V面上的投影a’为旧投影，H面上的投影a为不变投影、V1面上的投影a1’为新投影。在新投影体系V1/H中，新投影面Vl必须与旧体系V/H中不变投影面H垂直，才能继续保持两投影面体系中的投影规律。当然，也可以用一个垂直于V面的新投影面Hl替换V/H中的H面，从而组成如图4．2(a)所示的V/H1体系。因此，用换面法解题时，新投影面必须垂直于不变投影面。二点的换面投影规律(一)点的一次换面1.更换V面．如图4．1(a)所示，A点在V/H体系中的两投影是a’和a，在V1/H体系中的两投影是a’l和a，现在为了使它们能够画在同一平面上，规定保持V面不动，顺次将H面绕X轴旋转，Vl面绕Xl轴旋转，展开如图4．1(b)所示。由于点A在V1面上的新投影a’l是按正投影原理作出的，所以a’1ax1＝a’ax,,将新投影面展开后，点的换面投影规律可归纳如下：(1)点A的新投影a’l和不变投影a的连线垂直于新投影轴Xl，即aa’1⊥Xl。3(a)(b)(c)图4．2点的一次换面(更换H面)(2)点A的新投影a’l到新投影轴Xl的距离等于被更换的旧投影a’到旧投影轴X的距离，即a’1ax1＝a’ax。根据...
