立体的投影5 (2).pdf

1 第五章第五章 立体的投影立体的投影 立体由其表面确定范围及形状立体不管有无内表面，都是实体，占有一定空间根据表面几何性质，立体分为平面立体和曲面立体表面都是平面的，称为平面立体，常用的有棱柱和棱锥；表面含曲面的，称为曲面立体若曲面立体的表面是回转曲面，则称为回转体，常用的有圆柱、圆锥、圆球、圆环等 本章主要研究常见基本立体的投影及其表面取点线的问题，以及求截交线、相贯线的方法 5.1 平面立体 平面立体的表面都是平面多边形平面立体的投影可归结为其所有多边形表面的投影，也就是这些多边形的边和顶点的投影 一 棱柱和棱锥的投影一 棱柱和棱锥的投影 为便于表达，使棱柱中心轴线与某一投影面垂直图 51 示出的是中心轴线垂直于H 面的正五棱柱及其三面投影图正五棱柱的上、下底面为水平面，五个侧面均垂直于 H面，其中 DD1E1E 为正平面作投影图时，先画反映上、下底面实形的水平投影正五边形，而上下底面的正面和侧面投影分别积聚成水平的直线段；再画五个侧棱面的投影，水平投影积聚在正五边形的五条边上，正面和侧面投影为等高而不同宽度的矩形，其中，正平面 DDlElE 的侧面投影 d”d”1e”1e”积聚成线段对于正面投影来说，正平面 DDlElE 正处于正五棱柱的后面为不可见，故 dd1e1e应画成虚线 (a)(b)图 5.1 正五棱柱的投影及其表面取点 2 (a)(b)图 52 正三棱锥的投影及其表面取点 如果把正五棱柱看成是由上、下正五边形与五条侧棱线构成的，则作投影图时，只要在完成上、下底面的三面投影后，直接画出五条侧棱线的投影：水平投影积聚在正五边形的五个顶点上，正面和侧面投影为反映棱柱高的直线段 图 52 示出的是正三棱锥的三面投影图正三棱锥的底面 ABC 与 H 面平行，侧棱面SAC 为侧垂面，侧棱线 SB 为侧平线，其它侧棱面或侧棱线处于一般位置作投影图时，先画底面的投影：水平投影反映实形，正面和侧面投影都积聚为水平线段；再画锥顶 S 的投影：水平投影 s 在abc 的中心，正面、侧面投影由三棱锥的高度和 S 的位置确定；最后连接锥顶 S 和顶点 A、B、C 的同面投影即得该三棱锥的三面投影图可以看到，侧垂面 SAC 的侧面投影积聚为一线段，一般位置的侧棱面 SAB、SBC 的各个投影都分别是它们的类似三角形 二 棱柱和棱锥表面取点二 棱柱和棱锥表面取点 棱柱和棱锥的表面都是平面，所以其表面上取点的原理和方法与2 5 中的在平面上取点相同点的投影可见性决定于所在表面投影的可见性：点所在的表面投影可见，点的投影可见；否则，为不可见；表面投影积聚成线段时，则不需判别点在该表面投影中的可见性 例例 51 如图 51 所示，已知五棱柱表面上点 M 的水平投影 m，侧棱面 BB1C1C 上点 N 的正面投影n，求点M、N 的另外两个投影 解解 分析分析：由图 51(b)知，点 M 的水平投影 m 为可见，且在五棱柱水平投影的正五边形内，则点 M 必在五棱柱的顶面上，而顶面的正面、侧面投影均积聚成直线段，故 m、m”分属其上(a)(b)图 51 正五棱柱的投影及其表面取点 3 侧棱面 BBlClC 为铅垂面，其水平投影积聚成直线段，所以 N 的水平投影 n 必在该线段上，由 n和 n 可求得 N 点的侧面投影，因棱面 BBlClC 的侧面投影不可见，故 N 点的侧面投影不可见，用(n”)表示。作图作图：如图 51(b)所示。例例 52 如图 52 所示，已知三棱锥表面上点 K 的正面投影 k，求 K 的另外两个投影 解解 分析分析：由图 52(b)可知，点 K 的正面投影 k可见，则 K 点在侧棱面 SBC 上，可用一般位置平面上取点的方法求得 k 和 k”因侧棱面 SBC 位于三棱锥的右前面，其正面、水平投影可见，侧面投影不可见，所以，该面上的点 K，仅侧面投影不可见，用(k”)表示 作图作图：在 SBC 面上作过点 K 的辅助线 ST(T 在 BC 上)，即作出 st、st、s”t”，根据点的投影规律，由 kst求得 kst、k”s”t”本例中，也可过点 K，在侧棱面 SBC 上作平行于 BC 边的辅助线，根据它与 BC 边的同面投影相互平行，再由 k求得 k 和(k”)请读者自行完成 三 平面立体的截交线及切口三 平面立体的截交线及切口 平面截切立体称为截交，这个平面称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线 截平面与平面立体的截交线是一个多边形 多边形的边是截平面与平面立体表面的交线，多边形的顶点是截平面与平面立体棱线的交点因此，求平面立体的截交线问题，可归结为求两平面的交线或求直线与平面的交点问题 截交线的可见性，决定于各段交线所在表面的可见性：可见表面上的交线为可见，画成实线；否则，画成虚线；具有积聚性的投影不用判别 图 53 中的三棱锥 SABC 的正面、水平投影已知，并被正垂面 P 截切，如何求出截交线的两个投影?由于正垂面与三棱锥的三条侧棱线相交，所以截交线是三角形P 是正垂面，故 Pv有积聚性，则截交线的正面投影重合在 Pv上，且与三条侧棱线交点的正面投影为 1、2、3，由此求得交点的水平投影分别为 l、2、3依次连接各交点同面投影，即得截交线为(123，123)由于三棱锥三个侧棱面的水平投影都可见，故截交线水平投影123 为可见；正面投影123积聚在 Pv 线上，不再判别 下面来看一下三棱锥被两个平面截切形成缺口的投影情况如图 54 所示这是平面与平面立体相交的应用实例当平面立体被两个或两个以上的截平面截切时，不仅先要确定每个截平面与平面立体中的哪些平面相交，还要考虑截平面之间有无交线 分析分析：本例带缺口三棱锥的三面投影中，正面投影已完整可见，该缺口是由水平截平面和正垂截平面切割三棱锥后形成的其中，水平截平面与锥底平行，且与前、后棱面相交，交线是 DE、DF 分别平行于底边 AB、AC；正垂截平面也与前、后棱面相交，交线是 GE、GF两个截平面的交线 EF 为正垂线，且整个截交线的正面投影具有积聚性，为defg下面是求截交线另两个投影的过程 4 作图作图：(1)(1)作水平截平面与三棱锥的截交线的水平、侧面投影：因 DSA，由已知的 dsa得到 dsa由 DEAB、DFAC，可得到 deab、dfac，其中 ede、fdf 分别由 e、f确定 因水平截平面在侧面投影中有积聚性，所以，由 de、de 和 df、df，可作出 d”e”、d”f”重合在水平的直线段上(2)(2)作正垂截平面与三棱锥的截交线的水平、侧面投影：由 gsa，得到 gsa，g”s”a”，连接 ge、gf 和 g”e”、g”f”(3)(3)作两截平面交线的水平、侧面投影：连接 e 和 f，由于 ef 被三个侧棱面的水平投(a)(b)图 5.3 三棱锥的截交线 图 5.4 缺口三棱锥的投影 5 影挡住而不可见，故画成虚线；e”f”则与积聚成直线段的水平截平面的侧面投影重合。5.2 常见回转体 回转体是由母线绕回转轴旋转所形成的规则曲面立体在工程中常用的回转体有：圆柱、圆锥、圆球和圆环 一 回转体及其表面取点一 回转体及其表面取点(一)圆柱 1.1.形成圆柱由圆柱面及两端圆形平面所围成如图 55(a)所示，圆柱面可以看作是由直线 AAl绕与它平行的轴线 OOl回转而成直线 AAl称为母线，圆柱面上任意一条平行于轴线 OOl的直线，称为圆柱面的素线 2.2.投影图 55(b)所示是一轴线为铅垂线的圆柱显然，圆柱面的水平投影积聚为一圆，此圆也是圆柱两端面的投影 作图时，先用垂直相交的细点划线表示出圆的中心线 圆柱面的正面及侧面投影为大小相同的矩形，上、下两边为圆柱两端面的投影，长度等于圆的直径，图中的点划线表示圆柱轴线的投影正面投影矩形的左、右两边 aa1，bbl为圆柱正视转向线 AA1，BBl(它们是圆柱面前后两半可见与不可见的分界线)的投影正视转向线的侧面投影 a”a”1，b”b”1与点划线重合，不需画出；同理，侧面投影矩形的左、右两边c”c”1，d”d”1是圆柱侧视转向线 CCl，DDl(它们是圆柱面左右两半可见与不可见的分界线)的投影侧视转向线的正面投影 cc1，dd1与点划线重合，不需画出正视转向线和侧视转向线的水平投影积聚在圆周上的左、右、前、后四个点上如图 55(c)(a)(b)(c)图 55 圆柱的投影 6 3.3.圆柱表面上取点一般地，在回转面上取点、线，与在平面上取点、线的作图原理相同需强调的是，为取回转面上的点而作属于曲面的辅助线时，应选择简单易画的圆或直线所以，须熟悉常见回转曲面的形成及其几何性质 圆柱面上取点时，可采用辅助直素线方法。但当圆柱轴线垂直于某一投影面时，圆柱面在该投影面上的投影积聚成圆，可直接利用这一特性在圆柱表面上取点 例例 53 已知圆柱面上点 K 的正面投影 k，点 M 的水平投影 m，求点 K，M 的另两个投影(图 56)解解 由图可知：圆柱的轴线垂直于 W 面，故圆柱的侧面投影积聚成圆由 k及其可见性知，K 在圆柱面的前下方故由 k直接求出 k”，再由 k、k”求出(k)由 m 及其可见性知，M 点在圆柱面上边的正视转向线上故由正视转向线的正面、侧面投影，可求出 m和 m”例例 54 已知圆柱表面上曲线的正面投影 abc，求曲线的另外两个投影(图 57)解解 分析分析：曲线 AB 段的正面投影为虚线，故其在右后圆柱面上；曲线 BC 段的正面投 影为实线，则其在右前表面上所以，整段曲线 ABC 完全在右半圆柱面上，其侧面投 影为不可见因圆柱面的水平投影积聚成一圆，故曲线段 ABC 的水平投影与该圆的右 半圆重合仅 ABC 的侧面投影待求 作图作图：(1)(1)求曲线 AB 段的侧面投影：因A、B 分别在后侧视转向线和右正视转向 图 5.7 圆柱面上取线 图 5.6 圆柱面上取点 7 (a)(b)(c)图 58 圆锥的投影及其表面取点 线上，故由 a，(a)和 b，b可分别求得 a”，(b”)又因 AB 段位于圆柱面的等高线上，所以 AB 段必为 1/4 圆弧段因此，a”b”为直线段(用虚线连接)(2)(2)求曲线 BC 段的侧面投影：因 C 在前侧视转向线上，故由 c，c可求得 c”；在 b，c间插入 d，e，可直接求出 d，e，由 d，d和 e，e求出(d”)，(e”)最后用虚线光滑连接曲线(b”)-(d”)-(e”)-c”(二)圆锥 1.1.形成圆锥由圆锥面及底圆平面所围成如图 58(a)所示，圆锥面可以看作是直线 SA 绕与其相交的轴线 OOl回转而成直线 SA 称为母线，圆锥面上通过锥顶 S 的任一直线称为圆锥面的素线。2.2.投影图 58(b)所示是一轴线为铅垂线的圆锥显见，圆锥的水平投影为一圆，与锥底圆的投影重合，顶点的水平投影在圆心；正面、侧面投影均为等腰三角形，其中底边为圆锥面下边轮廓和底面的投影，长度等于底圆的直径，而两腰分别为圆锥面正视转向线 SA，SB 和侧视转向线 SC，SD 的投影正视转向线 SA，SB 为正平线，其在水平和侧面投影中与点划线重合；侧视转向线 SC、SD 为侧平线，其在水平和正面投影中与点划线重合如图 58(c)3.3.圆锥表面上取点圆锥面的三个投影都无积聚性，故其表面取点需利用其几何性质，采用作简单辅助线的方法一种是取过锥顶的辅助直素线法；另一种是辅助纬圆法(取垂直于圆锥轴线的圆)例例 55 已知圆锥表面上点 K 的正面投影 k，求其另外两个投影(图 58c)解解 方法一方法一 辅助直素线法 在正面投影中，过 k作直线 st，再作 ST 的水平和侧面投影：st 和 s”t”.由 kst求出 kst、k”s”t”因 K 在圆锥的左前面上，故 k、k”均可见 方法二方法二 辅助纬圆法 8 如图 58(c)所示，过 k作垂直于圆锥轴线的辅助纬圆的正面投影(因积聚性，图中是过 k的水平线段)，根据投影关系，画出该纬圆的水平投影(反映实形)和侧面投影(与正面投影等长的水平线段)因 K 在左前锥面上，故由 k向纬圆水平投影引投影连线交于左前圆周一点，即为 k，再由 k和 k 求得 k”，均可见。例例 56 已知圆锥面上过顶直线SA、曲线AD的正面投影，求其另外两个投影(图5 9)分折分折：过锥顶 S 的直线段 SA，其三个投影仍为直线段曲线 AD 的正面投影虽是直线段，但它是一段空间曲线，可由求点连线方法求得 作图作图：(1)(1)求SA段：利用辅助直素线(或纬圆)方法，由a求得a和(a”)，连直线段sa和s”a”因SA 线段在圆锥的右半部，其侧面投影不可见，故 s”a”画虚线。(2)(2)求 AD 段：曲线段 AD 通过选取四个点求出其中 B 点在前面侧视转向线上，故由 b直接求出 b”，由 b，b”求得 b；C，D 两点用辅助纬圆法，由 c，d求得 c,d 和 c”,d”最后光滑连接曲线段 abcd 和 a”b”c”d”由于 B 点是 AD 曲线段侧面投影可见与不可见的分界点，故位于圆锥右半表面的 AB 曲线段，其侧面投影为不可见，即 a”b”用虚线连接，而b”c”d”则因可见，用实线连接(三)圆球 1.1.形成圆球是完全由圆球面围成的立体如图 510(a)所示，圆球面可以看作是一半圆弧母线绕其直径 OOl回转而成 图 5.9 圆锥面上取线 9 (a)(b)(c)图 510 圆球的投影 2.2.投影图 510(b)所示的圆球，其三面投影均为直径等于圆球直径的圆，其中，正面投影 a是圆球正视转向线(前后半球面分界线)A 的投影，侧面投影 b”是侧视转向线(左右半球面分界线)B 的投影，水平投影 c 是俯视转向线(上下半球面分界线)C 的投影需指出的是，某条转向线只有在其所视方向的投影面上才画线，在另两个投影面上，它均与对应的点划线重合，不画其投影。如正视转向线 A 在 V 面上的投影为圆 a，在 H 面、W 面上，其投影 a、a”分别是水平方向的点划线和垂直方向的点划线如图 510(c)3.3.圆球表面上取点圆球表面上取点，只能采用辅助纬圆的方法为作图简单，即可采用作过点的并与各投影面平行的辅助纬圆的方法 例例 57 已知圆球面上点的投影 m、k”，求它们的另外两个投影(图 511)解解 分析分析：由图 511(a)可看出，因 m 在 H 面的垂直方向的点划线上，且可见，可知点 M位于侧视转向线的后半圆弧上因 k”在侧面投影圆内的左下方，且可见，故点 K 位于圆球面的左后下方，是一般位置的点，需采用辅助纬圆法求它的另两个投影这里采用的是辅(a)(b)图 511 圆球面上取点 10 助侧平纬圆法 作图作图见图 511(b)：(1)(1)在侧面投影上，过点 k”作一圆，求出该圆的正面、水平投影，即两垂直方向的直线段，它们的长度等于所作圆的直径则(k)、(k)必在该圆的同面投影上，且不可见(2)(2)根据 M 点从属于侧视转向线，由投影关系直接可求出 m”，然后求得(m)思考思考 本题中，如何采用作另两个辅助纬圆的方法，求点 K 的其它两个投影?(四)圆环 1.1.形成圆环是完全由圆环面围成的立体如图 512(a)所示，圆环面可以看作是圆母线绕与圆在同一平面内，但不通过圆心的轴线回转而成由圆母线外半圆回转形成的曲面称为外环面；内半圆回转形成的曲面称为内环面 内外环面之间的界线圆称为分界圆 2.2.投影图 512(b)示出的是圆环的投影图，其轴线为铅垂线画圆环投影图时，先画出轴线及母线圆中心回转形成的水平圆的投影和中心线，用细点划线表示在正面投影上要用点划线表示最左、最右位置素线圆的中心线，然后画出圆环面的正视转向线的投影，即前后半环面之间分界线和内外半环面之间分界圆的投影；外环面的前一半可见，后一半不可见，内环面均不可见，故内环面上的正视转向线应画成虚线在水平投影中，再画出圆环面的俯视转向线的投影，即上下半环面之间的分界线的投影；上半环面的投影可见，下半环面的投影不可见；点划线圆与分界圆的水平投影重合 3.3.圆环表面上取点圆环表面上取点，采用垂直于圆环轴线的辅助纬圆法作图最简单 例例 58 已知圆环面上点K、M的一个投影(k)、(m)，求它们的另一个投影(图5 12(b)解解 分析分析：由条件可知，点 K 在圆环面的上半部，但其正面投影不可见，故点 K 可能在内环面上(两个位置)或后半个外环面上；点(m)正好在母线圆中心轨迹的水平投影上，又不可见，表明该点位于圆环下方的内外环面的分界圆上 作图作图：(a)(b)图 512 圆环的投影及其表面取点 11(1)(1)求点 K 的水平投影：过点(k)作水平线(纬圆积聚而成)与内外环的正视转向线圆分别相交，求得内外环面上两辅助纬圆的直径，作出两辅助纬圆的水平投影，再由(k)作投影连线交它们于四个点，根据分析，其中三点(除了最前一点不满足条件)都满足条件，且都可见(2)(2)求点 M 的正面投影：按分析，由(m)直接求得 m，为可见 二 回转体表面的裁交线二 回转体表面的裁交线 截平面截切曲面立体所得的截交线，通常是一条封闭的平面曲线，或是由曲线和直线组成的平面图形，特别情况下也可以是多边形其形状取决于曲面立体的几何性质及其与截平面的相对位置 截交线既在截平面上，又在曲面立体表面上，所以截交线上的每个点都是截平面和曲面立体表面的共有点求截交线时，先求出能确定截交线形状和范围的特殊点，如：最高、最低、最前、最后、最左、最右点，可见不可见的分界点等；再利用作辅助线方法，求出若干的一般点；最后，按可见性，依次光滑地连接成截交线 当截平面处于特殊位置时，可利用共有积聚性的投影直接求出交点、交线的投影 这里只介绍特殊位置平面截切回转体形成截交线、切口的画法(一)圆柱的截交线及切口 截平面截切圆柱时，如果与圆柱底面相交，则截得直线段交线；与圆柱面相交，则根据其相对圆柱轴线的位置不同，截交线有三种情形，见表 51 表表 5.1 平面与圆柱面相交平面与圆柱面相交 与轴线平行 与轴线垂直 与轴线倾斜 截 平 面 位 置 投 影 图 交线形状 两条平行于轴线的直线 圆 椭圆 交 在积聚成圆的投影中,求出两交垂直于轴线的投影面上的投影仍为圆，正面投影积聚在 PV上,水平投影积聚 12 图 5.14 开槽圆筒的投影 线 的 投 影 线的投影（这里是圆与 PH的交点），由此求出交线的另两个投影，均为平行于点划线的直线段.另两个投影为垂直于点划线的直线段,长度等于圆的直径。在圆上,求侧面投影：求特殊点：由椭圆长、短轴四个端点的投影(1，1)，（2，2）,(3，3),(4，4)求得 1”，2”，3”，4”；求一般点：在特殊点之间插入四个点，由它们的投影(5，5),(6，6),(7，7),(8，8)求得 5”，6”，7”，8”；光滑连接：按水平投影中各点顺序光滑连接各点侧面投影。例例 5.9 求开槽后圆柱的投影(图 5.13)解解 分析分析：圆柱轴线为侧垂线，其左中部被平行于圆柱轴线的水平截面 P、Q 和垂直于轴线的侧平截面 R 截去一块由表 51 知，圆柱被 P、Q 所截的交线为两对侧垂线、和、；圆柱面被 R 所截的交线为一对圆弧段、因三个截面的正面投影有积聚性，所以截交线的正面投影是三直线段 12，56，26(分别与 34，78，48重合)；侧面投影因圆柱面的积聚性积聚在圆周上如图 513 作图作图：(1)(1)求截交线的水平投影：两水平截面与圆柱的截交线是侧垂线段，其水平投影为12(与 56 重合)和 34(与 78 重合)；侧平截面与圆柱截交线的水平投影分别是 2(与 6 重合)到前俯视转向线和 4(与 8 重合)到后俯视转向线的直线段(2)(2)截平面之间的交线：侧平截面与两水平截面的交线是两条正垂线，其水平投影为 24(与 68 重合)，因被槽口上部挡住为不可见，所以画成虚线；侧面投影为2”4”和 6”8”分别重合于两水平截平面与圆柱左端面的交线侧面投影 l”3”和 5”7”(3)(3)整体检查：由于圆柱槽口从侧平截面以左前后开通，故俯视转向线的水平投影这部分已不存在，故不画。图 5.13 求开槽后圆柱的投影 13 思考思考 假如圆柱槽口位置向上偏一些，其投影如何变化?图 514 示出的是圆筒开槽后的投影图这是与前例相似的情形，把实心圆柱改成了圆筒，即在原圆柱中间挖了一个内圆柱孔，这时平面 P，Q，R 不仅与外圆柱面相交，也与内圆柱面相交，从而产生了两层交线具体过程请读者自行分析，特别是水平投影要分析清楚 例例 510 完成带切口圆柱的投影(图 515)。解解 分析分析：圆柱切口由三个截平面截切而成，其中正垂截面 Q 倾斜于圆柱轴线，截交线是部分椭圆；侧平截面 R 平行于圆柱轴线，截交线是两直线段；水平截面 P 垂直于圆柱轴线，截交线是圆弧段由于三截面均垂直于正面，故截面间的交线均是正垂线，三截面所得的截交线的正面投影分别积聚成三直线段又因圆柱面的水平投影积聚成圆，所以截交线的水平投影都在该圆周上仅侧面投影待求 作图作图：(1)(1)求特殊点：利用已知的 V、H 面投影，求出特殊点的侧面投影：1”，2”，3”，4”,5”，6”，7”，8”，9”，10”截面 R 截得的交线侧面投影为一矩形 1”2”9”8”，P 截得的交线侧面投影积聚成直线段 6”8”10”9”7”；Q 截得的交线侧面投影为部分椭圆 1”4”3”5”2”(2)(2)求一般点：为光滑连接椭圆弧，在，之间分别插入一般点 A、B，由 a，a和 b，b求得 a”，b”(3)(3)判可见性：水平投影中，因切口的侧平截面限定在圆柱体中间，故三截面间的两条正垂方向的交线不可见，画成虚线；侧面投影中，l”2”和椭圆弧 1”4”、2”5”均被挡住，1”8”和 2”9”上端部分被挡住，为不可见，应画成虚线(4)(4)整体检查：侧面投影中 4”6”和 5”7”之间，因切口前后贯通、侧视转向线被切掉而不画 图 5.15 带切口圆柱的投影 14 图 516 切口圆锥的投影(二)圆锥的截交线及切口 截平面截切圆锥表面时，根据其相对圆锥轴线的位置不同，截交线有五种情形，见表 52 例例 511 已知切口圆锥的正面投影，补全另两个投影(图 516)解解 分析分析：圆锥切口由水平截面 P 和侧平截面 Q 截切而成P 垂直于轴线，其截交线为圆弧，水平投影反映实形，侧面投影积聚成直线段；Q 平行于轴线，截得交线为双曲线，侧面投影反映实形，水平投影积聚成直线段P 与 Q 相交，交线为正垂线，其水平和侧面投影均反映实长 表表 52 平面与圆锥面相交平面与圆锥面相交 垂直于轴线 与所有素线相交 平行于一条素线 平行于轴线 过锥顶 截 平 面 位 置 投 影 图 交线形状 圆 椭圆 抛物线 双曲线 一对相交直线 作图作图：15(1)(1)求截面 P 的截交线投影：由 PV知交线的纬圆半径，即得水平投影圆弧 213，侧面投影为水平直线段 2”3”(2)(2)求截面 Q 的截交线投影：截交线水平投影随 Q 的水平投影积聚在直线段 23 上，其侧面投影为反映实形的双曲线找特殊点：最高点为，由 4得 4”、4，最低点(也是最前、最后点)为、，已求得求一般点(本题只求，两点)：取 5，6，再利用纬圆法(或直素线法)求得水平投影 5、6，进而求出 5”、6”，光滑连成双曲线(3)(3)判断可见性：因切口在圆锥的正左侧，且上下无遮挡，故投影全部可见，均画实线 思考思考 若将截平面 Q 改成过锥顶的正垂面，P 位置不变，则截交线及其投影将怎样?(三)圆球的截交线及切口 截平面截切圆球所得的截交线都是圆，但其投影情况，视截平面相对于投影面的位置而定，见表 53 表表 53 平面与圆球相交平面与圆球相交 与 V 面平行 与 H 面平行 与 V 面垂直 截 平 面 位 置 投 影 图 交线形状 圆 圆 圆 例例 512 已知圆球被截切后的正面投影，补全其水平投影(图 517)解解 分析分析：正垂截面 P 截切圆球得截交线是一正垂圆其正面投影积聚在 PV上，反映圆的直径实长，其水平投影为椭圆 作图作图图 517(b)：(1)(1)求特殊点的投影：截交线的最低(也是最左)点、最高(也是最右)点的正面投影为 l，2；取 12的中点，得最前、最后点的正面投影 3，(4)由此得，四个点的水平投影 1，2，3，4，它们是截交线水平投影椭圆的长、短轴四个端点截交线与俯视转向线的交点正面投影为 5，6，其水平投影为 5，6，是截交线水平投影椭圆与球面水平投影圆的前后对称的两个切点 16 图 5.18 切口半圆球的投影(2)(2)求一般点的投影：在正面投影的 23和 24之间插入 7、(8)，用辅助纬圆法求得它的水平投影 7、8同理，可以求出若干一般点的投影(图中未示出)(3)(3)依次光滑连接各点水平投影，得到截交线水平投影为椭圆因球被截去左上方，所以截交线水平投影可见，且球面俯视转向线水平投影的 5、6 左侧部分已不存在结果如图 517(c)思考思考 本题若为圆球与正垂面相交，其结果怎样?(注意是相交)例例 513 求切口半圆球的投影(图 518)解解 分析分析：半圆球上的切口由两个侧平截面和一个水平截面切得三个截面截得的截交线均是圆弧这些圆弧的正面投影都积聚成直线段三截面间产生的两条交线均为正垂线 作图作图：(1)(1)求水平截面与半球的截交线投影：此截交线在水平投影中反映圆弧实形，为弧 174 和弧 286，其半径由水平截面处的纬圆得到；截交线的侧面投影是两直线段 l”7”和 2”8”(2)(2)求两侧平截面与半球的截交线投影：该截交线在侧面投影中反映圆弧实形，为弧1”3”2”和弧 4”5”6”(两者重合)，其半径由侧平截面处的纬圆得到；该截交线的水平投影积聚成两直线段 12 和 46(3)(3)求截面间交线的投影：两条正垂交线的水平投影与两侧平截面的截交线水平投影重合；侧面投影为 1”2”，因在切口底部而不可见，画成虚线(4)(4)整体检查：半球侧视转向线的侧面投影的弧 7”8”段因切口断开不画线 (a)(b)(c)图 5.17 圆球被截切的投影 17 图 519 平面垂直截切圆环和回转体的截交线(四)其它回转体的截交线 除了上述三种基本回转体以外，常见的还有圆环、一般回转体及组合回转体等 当截平面垂直于圆环或其它回转体的轴线时，截交线是圆，如图 519 所示当截平面不垂直于圆环或其它回转体的轴线时，截交线是平面曲线 图 520 示出圆弧回转体被正平面 P 截切，截交线的水平投影积聚在 PH上成直线段12；对于正面投影，可根据回转面性质，采用辅助纬圆法表面取点，求得特殊点的正面投影 l，2，3和一般点的正面投影 4，5，6，7，并依次光滑连接成曲线得到 思考思考 图 520 中将正平面改成铅垂面，其截交线将如何变化?组合回转体是指具有共同轴线的几个基本回转体组合而成的形体 组合回转体的截交线是截平面与构成组合回转体的各段回转面的交线和该截平面与组合回转体本身的各平面表面的交线组合而成所以在求截交线时，必须先分析组合回转体是由哪些基本回转体组成，截平面与哪些回转体表面相交，这些回转体表面之间的分界线在哪里，再分段求出截交线，最后拼接各段交线 例例 514 求组合回转体被两正平截面截切所得的截交线(图 521)解解 分析分析：该组合回转体由圆柱、圆环和球同轴组成，轴线为侧垂线，被前后两个对称的 图 5.20 正平面与圆弧回转体的截交线 18 图 5.22 三面共点法求相贯线示意图 正平截面截切截平面与圆环、球相交，分别得交线为一段平面曲线和圆弧，两段交线的分界点是、截交线的水平和侧面投影随截平面都积聚成直线段，仅正面投影待求 作图作图：(1)(1)求两段交线分界点的投影：圆环与球面的分界线是一侧平的纬圆，其正面投影为一侧平直线段，其位置通过球心 O 与圆环正视转向线正面投影的圆弧圆心 O1（图中未示出）连线与正视转向线的交点 k得到则正平截面与该分界圆交点的正面投影为 l,2(2)(2)求球面上的截交线：两正平截面前后对称，与圆球交得的截交线正面投影重合，且反映实形为圆弧，即 l，2右侧的大圆弧，其半径由正平截面处的正平纬圆确定。(3)(3)求圆环面上的截交线：截交线最左点的正面投影 3可由水平投影 3 直接求出；在正面投影 13和 23之间分别求出一般点的正面投影 4和 5，可利用辅助侧平纬圆与截面相交的方法求得(4)(4)依次光滑连接 l，4，3，5、2，连同圆弧 12，即为所求截交线的正面投影 因前后两截交线完全重合，且前面的截交线可见，所以用实线画出 5.3 两曲面立体相交 两立体相交称为相贯，两立体表面的交线称为相贯线根据立体的形状不同，两立体相贯分三种情况：两平面立体、平面立体与曲面立体以及两曲面立体的相贯由于平面立体可以看作为若干个平面围成的实体，所以，前两种相贯情况可归结到前两节所述的内容中本节只讨论求两曲面立体相贯线的问题 一 相贯线概述一 相贯线概述 相贯线性质 两曲面立体的相贯线，在一般情况下是封闭的空间曲线；特殊情况下，可以是不封闭的，或者是平面曲线，甚至是直线相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面的共有点 相贯线求法 求相贯线的实质是求两曲面立体表面上的一系列共有点，再按可见性、依次光滑地连接、求相贯线方法可分为两类：一类是利用积聚性法求相贯线即，相贯两曲面立体之一是具有积聚性的圆柱时，可直接找到相贯线的一个投影，再通过表面取点法求出相贯线的其它投影另一类是利用辅助面的三面共点法这是求共有点的一般方法，如图 522 所示柱面与锥面的相贯线为 MN，欲求出其上的点 K，可作一辅助面 R，与柱面交于 SK 与锥面交于 TK，两者的交点 K 即为相贯线 MN 上的一点 再作若干个辅助面，求得一系列这样的共有点，然后依次光滑连接。即为所求的相贯线 辅助面选择原则 辅助面截切两立体表面应都能获得最简单易画的截交线投影(如直线或圆)因此，所选辅助面一般为平面，也可用球面、柱面等；同时要选择好辅助面相对 19 图 5.23 两正交圆柱相贯线 于两曲面立体的位置 求相贯线共有点原则 先求能决定相贯线投影范围、特征和转向点等的特殊点；再适当求出若干一般点，以便光滑连接 可见性判别原则 只有当相贯线同时位于两立体可见表面投影方向时，相贯线的这段投影才为可见，否则为不可见 二 相贯线求法二 相贯线求法 1.1.利用积聚性法求相贯线 例例 515 求轴线正交两圆柱的相贯线(图 523)解解 分析分析：两圆柱轴线垂直相交，直立小圆柱完全穿入侧立大圆柱，故相贯线为一条封闭的空间曲线，且前后、左右对称因小圆柱的水平投影积聚为圆，所以相贯线的水平投影与该圆重合；大圆柱的侧面投影积聚为圆，故相贯线的侧面投影为该圆周上的小圆柱侧面投影范围内的一段圆弧。所以，仅相贯线的正面投影待求。作图作图：(1)(1)求特殊点：由水平投影可知，相贯线的最左、最右点(两点也为最高点)、最前、最后点(两点也为最低点)的水平投影分别为 1，2，3，4，在侧面投影上作出 1”，2”，3”，4”，由此求得 1，2，3，4 (2)(2)求一般点：在相贯线的水平投影上，取左右、前后对称的四点 5，6，7，8 作出它们的侧面投影 5”，6”，7”，8”，由此求得 5，6，7，8。(3)(3)光滑连线：按相贯线水平投影各点的顺序；连接各点的正面投影，即为相贯线的正面投影由于相贯线正面投影的前半可见部分与后半不可见部分相重，故只画实线。思考思考 在本题中，若小圆柱直径渐渐增大，变到与大圆柱直径相等，再渐变到超过大圆柱直径，在这一变化过程中，相贯线将如何变化?对于两正交圆柱表面相贯情况，除了上例以外，还有实心圆柱与圆柱孔相贯、两圆柱 20 图 5.25 垂直交叉两圆柱的相贯线 孔相贯的情况，如图 524 所示这些情况除了可见性不同以外，相贯线的形状是一样的。思考思考 若将图 524 中的钻圆孔改成钻方孔，相贯线将是怎样的?例例 5.16 求轴线垂直交叉的两圆柱相贯线。(图 5.25)解解：分析分析：两圆柱轴线垂直交叉，相贯线为一条前后不对称的空间封闭曲线，其正面投影前后段不重合。由于两圆柱分别与 H 面和 W 面垂直，故相贯线的水平投影和侧面投影分别积聚在圆周和圆弧上，只有相贯线的正面投影待求。作图作图：(1)(1)求特殊点：由水平投影，取得相贯线的最左、最右、最前、最后点的投影为 1，2，5，6，侧立大圆柱正视转向线上与相贯线的共有点的水平投影 3，4，作出它们的侧面投影为 l”，2”，5”，6”，和 3”，4”，由此求出 l，2，5，6和 3，4(2)(2)求一般点：根据需要，求出若干一般点如图中，取出两一般点的水平投影 7、8(左右对称)，作出其侧面投影 7”、8”(重合)，由此求出 7，8(3)(3)光滑连线：按各点水平投影的顺序，连接各点的正面投影连接时，因 1一 5 (a)(b)图 5.24 圆柱与孔及孔之间的相贯 21 一 2为直立小圆柱的前半部分，故可见，画实线；1一(6)一 2为直立小圆柱的后半部分，故不可见，画成虚线(4)(4)整体检查：侧立大圆柱上边的正视转向线的正面投影左、右分别画到(3)、(4)，与相贯线正面投影相切，但(3)左边和(4)右边一部分转向线正面投影被直立小圆柱挡住，应画成虚线；而直立小圆柱的左右转向线正面投影因可见,故用实线分别画到 1、2为止，并与相贯线的正面投影相切(见图 525 右下方的局部放大图)思考思考 当本题中的直立小圆柱位置渐渐前移时，它们的相贯线将如何变化?2.2.辅助平面法求相贯线 例例 517 求轴线正交的圆柱与圆锥的相贯线(图 526)解解 分析分析：圆柱轴线垂直于 W 面，故相贯线的侧面投影积聚为一圆，只需求相贯线的正面及水平投影又圆锥轴线垂直于 H 面，故可选择水平面作为辅助面，与圆柱面的截交线是两条平行于轴线的侧垂线，与圆锥面的截交线是一水平圆，它们的交点即为相贯线上的点(如直观图中的两点)作图作图：(1)(1)求特殊点：过锥顶 S 作辅助正平面 Q，与圆锥面交于两条正视转向线 SA 和 SB，与圆柱面也交于两条正视转向线，两者交于点 I(1，l，l”)，(2，2，2”)，即为相贯线的最高、最低点过圆柱轴线作辅助水平面 P，与圆柱面交于两条俯视转向线，与圆锥交于一水平圆，两者交于点(3，3，3”)，(4，4，4”)，为相贯线的最前、最后点(2)(2)求一般点：在点与、之间，作一辅助水平面 Pl，与圆锥面截交线为一水平圆，与圆柱面截交线为两条素线，两者交于点(5，5，5”)，(6，6，6”)，即为所求；同理，再作辅助水平面 P2，又可得两个一般点(7，7，7”)，(8，8，8”)根据需要，可求出若干的一般点(3)(3)光滑连线，判别可见性：因相贯线前后对称，其正面投影前后半重合，故用实线 图 5.26 圆柱与圆锥正交的相贯线 22 图 5.27 圆台与半圆球的相贯线 连接；水平投影中，圆柱上半部分的相贯线同时处于圆柱和圆锥的可见表面上，其水平投影可见，其余部分不可见，故连线时，以 3、4 为界，35164 用实线光滑连接，48273 用虚线光滑连接(4)(4)整体检查：因相贯体为整体，圆锥正视转向线 SA 的正面投影上 l一 2之间不应连线；圆柱面的前后俯视转向线的水平投影应从左分别画到 3，4 为止；圆锥底圆中被圆柱面挡住的部分，其水平投影应画成虚线 例例 518 求圆锥台和半圆球的相贯线(图 527)解解 分析分析：圆锥台的铅垂轴线与半圆球的铅垂轴线同处于一个正平面内，且圆锥台完全被半球面包围，故相贯线是前后对称，且封闭的空间曲线，但三面投影均无积聚性。可选用水平面作为辅助平面，由两个截交线圆的交点求得相贯线上的点；通过圆锥台轴线的正平面、侧平面作为辅助面，求得相贯线上的一些特殊点 作图作图：(1)(1)求特殊点：过圆锥台轴线作辅助正平面 R，与圆锥台交于两条正视转向线，与圆球面交于一条正视转向线，两者交点的正面投影分别是 1，2，由此求得 l，2 和 l”，2”；过圆锥台轴线作辅助侧平面 T，与圆锥面交于两条侧视转向线，与圆球面交于一条侧平的半圆弧，两者交点的侧面投影是 3”，4”，由此求得 3，4 和 3，4 (2)(2)求一般点：在适当位置作辅助水平面，以求得若干一般点本例选择正面投影中2，3之间作一辅助水平面 P，交圆锥台