线面间的相对位置3 (2).pdf

1第三章第三章 直线与平面、平面与平面的相对位置直线与平面、平面与平面的相对位置 直线与平面，平面与平面之间的相对位置关系可分为平行、相交和垂直三种情况，下面分别介绍。3.1 直线与平面平行、平面与平面平行 直线与平面平行 直线与平面平行的几何条件是：若一直线平行于平面上的一条直线，则该直线平行于该平面。利用这一几何关系，可解决如下作图问题：判别直线与平面是否平行。过已知点作直线平行已知平面。过已知点作平面平行已知直线。例例 31 试判别直线 EF 与ABC 平面是否平行，见图 31。分析分析：若在ABC 平面上能作出一条直线与EF 平行，则直线 EF 与ABC 平面平行 反之，则不平行。作图作图：在ABC 平面上作直线 CD，使 cdef。1.1.求出 CD 的水平投影 cd。判别判别：由于 cd 和 ef 不平行，所以，直线 EF 与ABC 平面不平行。例例 32 已知ABC 平面及平面外一点 M 的投影，见图 32(a)试过 M 点作一水平线 MN(长度任取)，使 MN 与ABC 平面平行。分析分析：根据直线与平面平行的几何条件，只需先在ABC 平面上任作一条水平线，如 BD，然后过 M 点作 MNBD，则 MN 即为所求。作图作图：见图 32(b)。1.1.过 b作 bdox 轴，并求得 bd。2.2.分别过 m 和 m作 mnbd，mnbd，作图毕。例 33例 33 已知直线 AB 和线外一点 C 的投影，见图 33(a)，试过 C 点作平面平行于直线 AB。图 3.1 判别直线与平面是否平行 2分析分析：因直线与平面平行，直线只需平行平面上的一条直线，故可以过C点作一条直线平行已知直线。根据平面表示法，为简化作图，将所作直线作为所作平面的一条组成线。如无特殊要求，所作平面的其它组成线(或点)可任意作。作图作图：见图 33(b)。1.1.分别过 c 和 c作 cdab，cdab，则 CDAB 2.2.任意给定 E 点的投影 e 和 e，并连 ec，ed 和 ec，ed，作图毕。所作CDE平面平行于直线 AB。注意注意：由于 E 点是任意定的，所以，作三角形亦可以是投影面的垂直面，见图33(c)这里过 C 点作的是铅垂面，还可以作正垂面，读者可自行作图 一 平面与平面平行一 平面与平面平行 平面与平面平行的几何条件是：若一个平面上的两条相交直线对应平行另一个平面上的两条相交直线，则这两个平面互相平行 利用这一几何关系，可解决如下作图问题 1.1.判别两平面是否平行 2.2.过定点作平面平行已知平面 例例 34 判别ABC 平面与DEF 平面是否平行，见图 34 分析分析：先在一个平面(如ABC)上确定两条相交直线，然后在另一个平面(如DEF)上作两条相交直线与第一个平面上的两条相交直线对应平行如能作出，则两平面互相平 (a)(b)图 3.2 过 M 点作水平线平行已知平面 (a)(b)(c)图 33 过 C 点作平面平行己知直线 3行反之，则不平行 作图作图：1.1.为简化作图，在ABC 平面上作正平线 AN 和水平线 CM 2.2.在DEF 平面上作正平线 EL 和水平线 DK 判别判别：检查两平面上的正平线 ELAN，且水平线 DKCM，故ABC 平面与DEF 平面互相平行 本题的作图，在确定第一个平面上的两条相交直线时，亦可利用平面上的已知边，如 AB、AC 等，结果相同读者可自行作图验证 例例 35 35 过 K 点作平面平行于已知平面ABC，见图 35 分析分析：过点作平面平行已知平面，只需过点作两条相交直线分别平行已知平面上的两条相交直线为简化作图，已知平面上的相交直线可利用已知边 作图作图：1.1.过 K 点作直线 KNAB 2.2.过 K 点作直线 KMBC KN 和 KM 两相交直线确定的平面即为所求，故作图毕 3.2 直线与平面相交、平面与平面相交 直线与平面相交，是求交点问题，交点是直线与平面的公共点平面与平面相交，是求交线问题，交线是平面与平面的公共线 下面分别介绍相交的几种情况 一 一般位置直线与特殊位置平面相交一 一般位置直线与特殊位置平面相交 图 34 判别两平面是否平行 图 35 过点 K 作平面平行已知平面 4 由于直线与平面相交的交点是直线与平面的公共点，而特殊位置平面至少有一个投影是积聚的如图 36 所示，ABC 平面是铅垂面，水平投影积聚成直线 abc，它与 mn 的交点 k 就是直线 MN 与ABC 平面的公共点，亦即是交点的水平投影根据直线上点的投影规律，即可确定 k的投影，也就求得了直线 MN 与铅垂面ABC 的交点 K(k，k)交点求出后，为增强图形的清晰和直观感，还需对直线和平面重叠部分进行可见性区分直线与平面的交点是区分可见与不可见的分界点本题水平投影由于平面积聚成直线，故直线 MN 均为可见但从图中可以看出，MK 在ABC 平面的后面，故 MK 的正面投影 mk与abc的重叠部分为不可见，应画成虚线，或干脆不画 二 一般位置平面与特殊位置平面相交二 一般位置平面与特殊位置平面相交 两平面相交，交线一定是直线在求交线时，只需分别求得该交线上的两个点，即可连成直线如图 37，一般位置平面ABC，可看成两条一般位置直线 AC 和 BC 相交组成的平面此时，只需分别求 AC 和 BC 与特殊位置平面DEF 的交点，与图 3.6完全一致，即可方便地求得两个交点 K 和 L连接 K 和 L，线段 KL 就是一般位置平面ABC 与特殊位置平面DEF 的交线交线求出后，亦需判别两平面重叠部分的可见性，方法同图 36。三 一般位置直线与一般位置平面相交三 一般位置直线与一般位置平面相交 图 3.6 一般位置直线与特殊位置平面相交 图 37 一般位置平面与特殊位置平面相交 5由于一般位置平面的投影无积聚性，所以，一般位置直线与一般位置平面相交求交点时，无法直接从投影图上定出交点要找交点，可按照下列步骤进行，见图 38 第一步：包含直线 AB 作一个辅助平面 P，辅助平面应为特殊位置平面这里是铅垂面见图 38(a).第二步：求辅助平面 P 与一般位置平面DEF 的交线 MN，见图 38(b)第三步：求直线 AB 与 MN 的交点 K由于 K 点在直线 MN 上，而直线 MN 又在DEF 上，故 K 点在平面DEF 上同时，K 点又在直线 AB 上所以，K 点就是直线AB 与DEF 平面的交点，见图 38(b)交点求出后，应判别可见性，判别可见性的基本方法是利用重影点见图 38(c)，利用正面重影点 1(2)，判别正面投影可见性通过水平投影可知，AB 上的点在 DF上的点之前，故线段 AK 在DEF 之前，则 BK 在DEF 之后，重叠部分为不可见，画虚线正面投影判完后，水平投影还需判，正面投影判前后关系，而水平投影判上下关系 利用水平重影点 3(4)，通过正面投影可知，DF 上的点在 AB 上的点之上，故 BK 在DEF 之下，重叠部分不可见，画虚线 四 两个一般位置平面相交四 两个一般位置平面相交 1.1.用求一般位置直线和一般位置平面交点的方法求两平面的交线此法适用于两平面直接相交 求两个一般位置平面的交线，同样可引用求一般位置直线与一般位置平面交点的方法如图 39 所示，可将DEF 看成 DE 和 DF 两相交直线，分别求得与ABC 的交 (a)(b)(c)图 38 求一般位置直线与一般位置平面的交点 图 3.9 求两个一般位置平面的交线 6点 K 和 L，则 KL 就是ABC 与DEF 的交线 2.2.用三面共点法求两平面的交线此法适用于两平面不直接相交(分离)的情况 如图 310 所示，ABC 和 DE、FG 两平行直线各决定一个平面为求它们的交线，作一个辅助平面 P（此处平面为一水平面）P 面与ABC 的交线为，与 DE、FG 的交线为，交线和相交于 K1，Kl即为三平面的共有点同理，作另一辅助平面 Q（此处 Q 面也为水平面），求得第二个共有点 K2连 K1K2即为两平面的交线 为方便作图，通常取特殊位置平面作为辅助面 3.3 直线与平面垂直、平面与平面垂直 一 直线与平面垂直一 直线与平面垂直 直线与平面垂直的几何条件是：若一直线垂直于平面内的任意两条相交直线，则该直线一定垂直于该平面同时，该直线也垂直于平面内的所有直线 图 311 所示，由 M 点向ABC 平面作垂线为便于作图，先在ABC 平面上作水平线 AD 和正平线 AE，这是因为AD和AE是ABC平面上两条不同方向的相交直线，有了水平线和正平线，就可以利用直角投影定理来作平面的垂线过 M 点作 mnad,mnae，则 MN既垂直 AD，又垂直 AE，亦即垂直ABC 平面 值得注意的是：MN 仅仅是向ABC 平面作了一条垂直的方向线 由于水平线AD和正平线AE是任意作的，它们与 MN 除了巧合以外是不相交的因此，要想知道MN 的垂足，还需用求直线与平面交点的方法求得 图 310 三面共点法求两平面的交线 图 3.11 由 M 点向平面作垂线 7二 平面与平面垂直二 平面与平面垂直 平面与平面垂直的几何条件是：若一条直线垂直于一个平面则包含这条直线的所有平面都垂直于这个平面反之，若两个平面互相垂直，则由第一个平面上的任意点向第二个平面作垂线，该垂线一定在第一个平面上 例例 36 过已知点 M 作平面垂直于已知ABC 平面，见图 312 分析分析：根据平面与平面垂直的几何条件，只需由 M 点向ABC 平面作垂线，然后包含垂线任作一个平面即可所以，本题有无穷解 作图作图：1.1.过 M 点作 MF 垂直于ABC 平面 2.2.过 M 点任作一条直线 MN 则 MF 与 MN 两条相交直线决定的平面即为所求 例例 37 试判断由 AB 和 CD 两相交直线所决定的平面与GMN 平面是否垂直 见图 313 分析分析：判断两平面是否垂直，只需在第一个平面(任取)上任取一点，向第二个平面作垂线，然后判断垂线是否在第一个平面上。若在，则垂直；反之，不垂直。作图作图：由GMN 上任一点 M 作 MS 垂直于 AB 和 CD 两相交直线决定的平面 判别判别：先把 ms与 gn的交点 h看成是 MS 与 GN 的交点 H然后由 h向下引垂线，检查h是否是真正的交点结果发现 h只是 MS 与 GN 在正面的重影点，故 MS 不在GMN上，亦即两平面不垂直 图 312 过 M 点向平面作垂面 图 313 判断两平面是否垂直 8 3.4 点、线、面综合题解 前面已经对空间几何元素的定位和度量问题的基本作图原理和方法作了详细的论述，熟练掌握这些基本作图方法对解综合题无疑是极其重要的但是，在具体解综合题时，往往感到无从下手，时找不到合适的解题思路解题思路本质上是观察问题和解决问题的能力以及抽象思维能力的综合体现能力反映在对基本作图方法的熟练程度、灵活应用以及解题技巧等方面能力的提高需要在不断解题中加以总结和提炼为了能比较容易找到解题思路，这里介绍两种较为常用的解综合题的思考方法 一 轨迹法一 轨迹法 所谓轨迹法，就是从轨迹的角度去考虑如为了画一个点，就设法把这个点的轨迹线找到；为了画条线，就设法把这条线的轨迹面找到轨迹找到后，再根据已知条件就比较容易解题 例例 38 已知直线 AB 和 AC 互相垂直，试完成 AC 的 V 面投影，见图 314(a)分析分析：由于 ACAB，所以，AC 一定在垂直于 AB 的平面上包含 AC 作一个平面垂直于AB，这是利用直角投影定理作直线与平面垂直的基本作图法其次，AC 在所作平面上，根据直线在平面上的几何条件，即可确定直线在平面上的位置，这是平面上作直线的基本方法 作图作图：见图 314(b)1.1.过 A 作水平线 ADAB，正平线 AEAB，则ADE 平面垂直 AB 2.2.任连 DE，并根据 DE 与 AC 交点的水平投影 f 确定其正面投影 f 3.3.连 af，并延长至 c则 ac即为所求 例例 39 过已知点 K 作一直线使与直线 AB 相交而与平面 CDE 平行 分析分析：(a)(b)图 3.14 作 AC 垂直 AB 91.1.因所作直线与平面 CDE 平行，故该直线一定在过 K 点且与平面 CDE 平行的平面上。2.2.因所作直线与直线 AB 相交，故该直线一定在 K 点与直线 AB 组成的平面上 采用不同的基本作图方法，就有不同的作图步骤 作图一作图一 见图 3.15 1.1.过 K 点作平面 KMN 平行于平面 CDE。2.2.求直线 AB 与平面 KMN 的交点 L 3.3.连KL，即所求 图 315 作 KLCDE，且与 AD 相交 图 316 作 KLCDE，且与 AB 相交 10作图二作图二 见图 316 1.1.连平面 ABK 2.2.求平面 ABK 与平面 CDE 的交线 MN 3.3.过 K 点作直线 KLMN，KL 即所求 作图三作图三 见图 317 1.1.过 K 作平面 KMN 平行于平面 CDE。2.2.连平面 ABK 3.3.求平面 KMN 与平面 ABK 的交线 KL，即所求 二 反推法二 反推法 反推法是先假设答案已经作出，然后根据有关的几何原理进行分析，反过来推断答案必须具备的几何条件，从而得出解题方法和步骤 例例 310 已知等边ABC 的一边 AB 的两面投影，见图 318(a)，顶点 C 在 H面上求ABC 的两面投影 分析分析：根据题意，由于 C 点在 H 面上，故 C 点的 V 面投影一定在 X 轴上，则 A，C 之间和 B，C 之间的 Z 坐标差实际是已知的再根据等边三角形三边相等的条件求出 AB实长 并用直角三角形法求出 AC、BC 边的水平投影长度，即可求出ABC 的两面投影 作图作图：见图 318(b)1.1.利用直角三角形法求出 AB 的实长 2.2.再利用直角三角形法分别求出 AC 和 BC 边的水平投影长度 axc1和 bxc2 3.3.取 ac=axc1，bc=bxc2，完成ABC 的水平投影 abc 4.4.求出 c，完成ABC 的两面投影 例例 311 已知直线 AB 的两面投影，试过 AB 作一平面，使其45 见图 3 19(a)分析分析：(a)(b)图 3.18 画等边三角形的两投影 11 (a)(b)图 319 作平面 ABC，使其45 根据题意，所作平面上对 H 面的最大斜度线的角等于 45，要满足这个条件，最大斜度线的水平投影长度应等于该线两端点的 Z 坐标差；且最大斜度线垂直于平面上的水平线，水平投影反映直角 作图作图：见图 319(b)1.1.以 ab 为直径作半圆 2.2.以 b 为圆心，ZAB为半径作弧，交半圆于 C 3.3.由 c 求得 c，acX 轴，则所作ABC 的两面投影即为所求 总结归纳总结归纳：通过上述两种方法，四个例子的讨论，我们可以大致归纳出各种方法的适用范围 不难看出，所求结果为点或直线时，常采用轨迹法；所求结果为平面时，常采用反推法；如所求结果为角度时，则常采用实形法，这里没有举例，读者可自行推论 上述两种方法四个例子的讨论，还充分说明了解综合题既要有考虑解题思路的基本方法，也要有熟练的基本作图方法，两者缺一不可