基于有限元压缩方法的复合材料RVE创建.pdf

Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2023.55(7):1537-1547TianWenlong,QiLehua,ChaoXujiang.AnefficientFEcompression method for generating the RVEs of composites.Chinese引用格式：田文龙手有限元压缩方法的复合材料RVE创建，力学学55(7):1537-1547固体力学Chinese Journal of Theoretical and Applied MechanicsJul.,20232023年7 月Vol.55,No.7力第5 5 卷第7 期报学学基于有限元压缩方法的复合材料RVE创建田文龙*，t,2)齐乐华*晃许江*(西北工业大学机电学院，西安7 1 0 0 7 2)+（西北工业大学深圳研究院，广东深圳5 1 8 0 5 7)摘要文章提出一种有限元压缩方法，可以简单、高效地创建具有较高增强体体积分数的复合材料代表性体胞单元(RVE)，其具体步骤如下：(1)基于随机顺序吸附(RSA)法生成具有较低增强体体积分数的复合材料周期性RVE(2)在周期性边界条件约束下，采用有限元方法压缩前述创建的低增强体体积分数复合材料周期性RVE，得到有限元网格格式、具有较高增强体体积分数的复合材料周期性RVE；(3）通过后处理提取得到的高增强体体积分数复合材料周期性RVE中所有增强体的位置（和取向)，进而创建CAD格式的复合材料周期性RVE.采用提出的有限元压缩方法，成功创建了体积分数达5 0.0%的球形增强体复合材料的周期性RVE.采用最近邻距离的概率分布函数、最近邻取向角的累积概率分布函数、Ripleys-K函数和对关联函数对创建的复合材料周期性RVE中球形增强体分布规律进行了统计分析，发现创建的复合材料周期性RVE中球形增强体空间随机分布.基于创建的复合材料周期性RVE和有限元均质法预测了不同类型的球形增强体复合材料的弹性性能，并与实验测试和双夹杂模型预测的结果进行了对比，验证了创建的复合材料周期性RVE及提出的有限元压缩方法的有效性，关键词代代表性体胞单元，有限元压缩方法，球形增强体复合材料，弹性性能，有限元均质法中图分类号：TG156文献标识码：Adoi:10.6052/0459-1879-23-061ANEFFICIENT FE COMPRESSION METHOD FOR GENERATING THE RVES OFCOMPOSITESI)Tian Wenlong*,2)Qi Lehua*Chao Xujiang(School of Mechanical Engineering,Northwestern Polytechnical University,Xian 710072,China)f(Research&Development Institute of Northwestern Polytechnical University in Shenzhen,Shenzhen 518057,Guangdong,China)AbstractThis work proposes an finite element(FE)compression method to establish periodic representative volumeelements(RVEs)of composites with high inclusion volume fractions efficiently and simply.The main procedures of theproposed FE compression method are given as follows:(I)Generation of the RVEs of composites with periodic andsparse inclusions using the random sequential absorption(RSA)algorithm,(2)FE compression of the generated periodicand sparse RVEs in step-1 to obtain the RVEs of composites with periodic and packed inclusions(in the FE mesh format)under the constrain of a periodic boundary condition,and(3)postprocessing to obtain the centroids(and orientation)of2023-02-27收稿，2 0 2 3-0 4-1 8 录用，2 0 2 3-0 4-1 9网络版发表.1)国家自然科学基金(5 2 2 3 1 0 0 4，5 2 2 0 5 4 1 5)，广东省基础与应用基础研究基金区域联合基金(2 0 2 1 A1515110034)和陕西省自然科学基金(2022JQ-029)资助项目.2)通讯作者：田文龙，副教授，主要研究方向为复合材料细观力学.E-mail:tianwenlong_力15382023年第5 5 卷学报学all the inclusions in the compressed RVEs with periodic and packed inclusions and generate the periodic RVEs ofcomposites in the CAD format.Based on the proposed FE compression method,the periodic RVEs of sphericalinclusions composites with the inclusion volume fraction up to 50.0%are generated.The distribution of the sphericalinclusions in the generated periodic RVEs of composites is analyzed using the probability distribution function of nearestneighbor distance,the cumulative probability distribution function of nearest neighbor orientation angle,the Ripleys-Kfunction and the pair correlation function,and the results show that the distribution of the inclusions in the generatedperiodic RVEs of composites is completely spatial and random.The elastic properties of different types of composites arehomogenized using the FE homogenization method based on the generated periodic RVEs,and are then compared withthose of the double-inclusion model and available experimental tests.It is observed that the elastic properties of thestudied composites obtained using the FE homogenization method based on the generated periodic RVEs,theexperimental tests and the double-inclusion model agree well,and it thus concludes that the proposed FE compressionmethod is capable of generating the RVEs of composites with high inclusion volume fractions.Key words representative volume element,FE compression method,spherical inclusions composites,elastic properties,FE homogenization引言复合材料具有低密度、优异的力学性能（高比强度、高比刚度、低热膨胀系数和良好的耐磨性能等)及物理性能(优良的导电、导热和减振性能等),在航空、航天、国防和汽车等领域得到广泛的应用1-5 ,例如在著名的双发宽体远程客机空客A350和波音Boeing787中使用的复合材料的体积和质量占比分别达8 0.0%和5 0.0%.因此，准确表征复合材料的热-力学性能，建立其微观结构与热-力学性能的映射关系，具有非常重要的科学研究意义和工程应用价值，既可以为其工程应用提供理论指导，还有利于其微观结构优化及制备成形.实验测试法具有设备昂贵复杂、测试周期较长和不能得到复合材料微观变形场等缺点6 ,而传统分析方法不能充分考虑复合材料复杂的微观结构7-8 ,因此数值方法常被用来预测复合材料的热-力学性能.数值方法既可以充分地考虑复合材料复杂的微观结构、准确地预测复合材料的热-力学性能，还能够提供复合材料各组分的微观变形信息.当采用数值方法预测复合材料热-力学性能时，首先需要创建能够准确表征复合材料微观结构的代表性体胞单元(RVE)，而本文的侧重点就在于复合材料RVE的创建方法.目前，复合材料RVE的创建方法主要包括以下3类：（1）增强体非接触类方法，包括随机顺序吸附(RSA)法9-1 0 和基于分子动力学(MD)的方法-1 2 等；(2)增强体相交移除类方法，主要是增强体迁移法1 3-1 4 ;(3)基于图像三维重构技术的方法1 5-1 6 .基于图像三维重构技术的方法通过采用X射线断层摄影技术和三维图像分析技术获取复合材料微观结构的层析图像，然后使用专业的软件重构出复合材料RVE.该类方法创建的复合材料RVE与真实的复合材料微观结构非常接近，然而却需要昂贵、复杂的实验设备和专业的软件，且重构过程非常复杂，导致其应用范围较小.由于原理及执行算法的简单，RSA法是前述提到的复合材料RVE创建方法中应用最广泛的方法.然而，该类方法生成的复合材料RVE中增强体体积分数存在特定的极限值(jamminglimit)17,同时创建增强体数量较多的复合材料RVE时执行效率较低，且无法控制复合材料RVE中增强体的取向分布.基于MD法的复合材料RVE创建方法可以创建较高增强体体积分数的复合材料RVE及提高复合材料RVE创建效率.然而，该类方法的数值执行算法非常复杂，同时也无法控制复合材料RVE中增强体的取向分布.增强体迁移法能够创建具有高增强体体积分数的复合材料RVE、提高复合材料RVE的创建效率及控制复合材料RVE中增强体的取向分布，然而目前文献中报道的该类方法只能创建复合材料非周期性RVE，且创建增强体数量较多的复合材料RVE时执行效率也较低.近年来，相关学者提出了一种新型增强体非接触类复合材料RVE创建方法,即有限元压缩方法1 8-1 9:1539田文龙等：基于有限压缩方法的复合材料RVE创建第7 期首先创建具有较低增强体体积分数的复合材料RVE,然后采用有限元方法对其进行压缩，获取具有较高增强体体积分数的复合材料RVE.有限元压缩方法简单、高效，并且具有创建较高增强体体积分数复合材料RVE的能力.Islam等1 8 将RSA算法和有限元压缩方法相结合，创建了体积分数高达5 0.0%和大长径比的随机纤维增强复合材料的RVE(其他RVE创建方法很难达到).为创建平面纤维增强复合材料的RVE,Zhang等1 9 结合虚拟填装算法和有限元压缩方法，创建了纤维体积分数高达4 5.0%复合材料的RVE，且在纤维动态压缩过程中基本不改变其取向分布.然而，有限元压缩方法目前还无法创建复合材料周期性RVE.为创建具有较高增强体体积分数的复合材料周期性RVE,本文提出一种改进型有限元压缩方法，该方法主要包括3 个步骤：（1）利用RSA算法生成具有较低体积分数的复合材料周期性RVE;(2)基于周期性边界条件和有限元压缩方法得到有限元网格格式、具有较高体积分数的复合材料周期性RVE；(3)后处理有限元模拟结果以得到复合材料周期性RVE中所有增强体的位置及取向，进而创建CAD格式、具有较高体积分数的复合材料周期性RVE.采用提出的改进型有限元压缩方法成功创建了球形增强体复合材料的周期性RVE，其中增强体体积分数可达5 0%；然后，利用第1,2 和3 阶最近邻距离的概率分布函数2 0 和最近邻取向角的累积概率分布函数1 7 、Ripleys-K函数K(r)17和对关联函数G(r)21 来表征创建的复合材料周期性RVE中增强体的分布；最后，基于创建的复合材料周期性RVE和有限元均质法预测复合材料的弹性性能，并与实验测试和双夹杂模型2 2 预测的结果进行对比,验证提出的改进型有限元压缩方法的有效性.1复合材料RVE创建方法本文提出一种用于创建具有较高增强体体积分数的复合材料周期性RVE的有限元压缩方法，该方法的示意图如图1 所示，主要包括3 个步骤：（1)采用改进的RSA算法创建具有较低增强体体积分数的复合材料周期性RVE;(2)在周期性边界条件的约束下，采用有限元方法压缩第1 步创建的较低增强体积分数的复合材料周期性RVE，以得到有限元网1.sparseRVE2.FEcompression3.postprocessing图1 基于有限元压缩方法的复合材料周期性RVE创建过程示意图Fig.1 Schematic diagram of the generation process of periodic RVE ofcomposites using the FE compression method格格式、具有较高增强体体积分数的复合材料周期性RVE；（3)对第2 步的有限元模拟结果进行后处理，得到复合材料周期性RVE中所有增强体的位置及取向，然后创建CAD格式、具有较高增强体体积分数的复合材料周期性RVE.本文后续将以球形增强体复合材料RVE为研究对象，详细介绍提出的有限元压缩方法的基本原理1.1复合材料稀疏RVE创建方法由于RSA算法具有原理简单和执行效率高(当RVE中增强体体积分数较低时)的优点，本文采用改进RSA算法创建具有较低增强体体积分数的复合材料周期性RVE,其主要步骤如下：（1）创建尺寸为-1.5 L,1.5L-1.5L,1.5Lx-1.5L,1.5L（L 表示最后得到的复合材料周期性RVE的边长）的基体(注意：RVE的中心点为全局坐标系xyz的原点o);(2)在基体范围内随机(位置随机)生成一个球形增强体Ec;(3）检查增强体Ec是否超出基体的边界，若超出，则在基体的对应位置创建其周期性镜像Ep；否则，进行下一步操作；(4)检查增强体Ec及其周期性镜像E,与基体中已存在的增强体E;是否相交,若不相交,则在基体中保留增强体Ec及其周期性镜像Ep；否则，删除增强体E.及其周期性镜像Ep，并返回第2 步；(5)重复执行第(2)(4)步,直至基体中增强体体积分数或数量达到预设值.在创建上述复合材料周期性RVE过程中，需要保证后续添加的增强体(及其周期性映像）与基体中已存在的增强体之间不能发生相交，即IIrc-rill 2R+5,Ilrp-rll2R+$(1)式中，rc，r p 和r;分别表示后续添加的增强体Ec、其周期性镜像E,和基体中已存在的增强体E;的中心，力15402023年第5 5 卷报学学R表示增强体的半径，是预设置的增强体间最小分离距离2 3 .同时，若后续添加的增强体超出基体边界，则在基体相应的位置创建特定数量的周期性镜像.对于增强体Ec，其周期性镜像E,的数量Np及位置r，可以由下述方法确定，(1)(nx0,ny=nz=0)或(nx=0,ny0和nz=0)或(nx=ny=0 和 nz0):Np=1,r1,x,r1,y,r1,T=rix,riy,ri,T-nx,y,naT o2L,2L,2L JT.(2)nx#0,ny+0和 nz=0:Np=3,r1,1 y,r1,T=rix,riy,ri,T nx,0,0 2L,2L,2LT,r2.,2,r2,=rix,riy,r,-0,ny,2L,2,2LT,r3,3,3,T ri,x,riy,ri,T-nx,ny,OT o2L,2L,2LT.(3)x 0,n,=0 和 n2#0:Np=3,r1,x,1,y,1,T=rix,ri,ri,-n,T 2L,2L,2LT,r2,x,r2,y,2,=rix,riy,ri,T-0,na 2,2,2LT,r3,r3 y,r.,-rix,riy,ri,-nx,0,n,o2L,2L,2L JT.(4)nx=0,ny#0和n2 0:Np=3,r1,x,r1,y,r1,2T=rix,ri,i,-0,ny,T 2L,2L,2T,r2,x,r2.y,r2,=rix,riy,ri,T-0,na 2L,2L,2LT,r3,r3,y,r,-ri,riy,ri,e T-0,ny,n,2L,2L,2L T.(5)nx0,ny0和na0:Np=7,r1,r1.y,1,T=rix,riy,ri,-nx,0T 2L,2L,2,r2,2.y,r2.,=rix,riy,i,aT-0,y,0T 2L,2L,2LT,r.,r3,r.,=rix,riy,rieT-0,na 2,2,2LT,r4.,r4.y,4,-rix,iy,i T-nx,7y,2L,2L,2 rs,.,s,=rix,riy,riaT-nx,naT 2L,2L,2 r6.x,r6.y,r6,=rix,i y,i,-0,y,naT 2L,2L,2L,7,7 y,.,=1T其中符号/i,x.i,y,i,zlx,yz表示Hadamard乘积,而nk(kE(x,y,z)表征增强体超出基体表面的状态：若L-RrijL+R，则增强体超出基体的第j(j=2,4或6)个表面，此时nk=1(j=2,4或6 k=x,y或z);若-L-Rrik-L+R,则增强体超出基体的第j(j=1,3或5)个表面，此时nk=-1(j=1,3或5 k=x,y或z);其他情况下,nk=0.这里，基体的第j(j=1,2,3,4,5或6)个表面分别指其表面CDDiC1，A BB/A 1，A D D IA 1，BC C i B1,AiBiCiDi或ABCD,如图2 所示.在采用RSA算法创建复合材料RVE的过程中，最耗时的步骤是后续添加的增强体（及其周期性映像）与基体中已存在的增强体之间相交状态的判断.若基体中存在N个增强体，则后续添加的增强体(及ZD11C11BIDAB,图2 复合材料RVE基体表面标号示意图Fig.2Planar and vertex notations of an RVE of composites其周期性映像）与基体中已存在的增强体需要进行o(M)次相交判断.若在RSA算法中引入能够减少增强体之间相交判断次数的算法，则可以提高RSA算法创建复合材料RVE的效率.对于后续添加的增强体Ec(及其周期性映像E,），它们仅可能与其附近的增强体发生相交,因此本文引入RVE分区算法2 4 ,以排除基体中肯定不与增强体Ec（及其周期性映像Ep）发生相交的增强体，进而提高RSA算法创建复合材料周期性RVE的效率.在RVE分区算法中，基体被分割成NcNcNc个尺寸大于增强体直径的子区域；然后，根据分割的子区域与基体已存在的增强体之间的相交关系，将基体已存在的增强体分配到不同的子区域中；接下来，采用类似的方法，将后续添加的增强体Ec（及其周期性镜像E,）分配到相应的子区域中；最后，只需判断增强体Ec（及其周期性镜像Ep）与包含增强体Ec（及其周期性镜像Ep）的子区域中的增强体之间的相交关系.注意，单个增强体可以被分配到多个子区域中（最多可达8 个）1.2复合材料稠密RVE创建方法本文通过压缩具有较低增强体体积分数的复合材料RVE来生成具有较高增强体体积分数的复合材料RVE，而具有较低增强体体积分数的复合材料RVE的压缩过程在图1 示意给出：6 个不可穿透的刚性平面包围着具有较低增强体体积分数的复合材料RVE中所有增强体，并施加相应的位移边界条件以引导这些增强体进入目标框(图1 中的红线).本文采用有限元求解器Abaqus/Explicit模拟上述压缩过程，也就是增强体被压进入目标框的过程.注意：1541田文龙等：基压缩方法的复合材料RVE创建限第7 期本文的有限元模拟不是用于预测增强体的动态力学行为，而只是将增强体压缩到具有较低增强体体积分数的复合材料RVE的中心.在上述的有限元模拟中，增强体被设置为离散刚体，而RVE的表面被设置为解析刚体，则采用三维4 节点双线性刚性四边形单元（Abaqus/Explicit中的单元类型为R3D4,每个节点具有3 个平移自由度和3 个旋转自由度)对增强体进行离散.为准确模拟增强体之间的接触，需将增强体离散成足够数量的单元，在本文中增强体的网格尺寸s选择为s=R/5.为考虑增强体之间的接触，本文采用面-面接触算法1 8 ,其中接触发生在两个方向上：切向和法向（垂直于接触表面).对于法向接触，采用“硬 接触算法来保证零穿透及增强体之间接触压力的传递；对于切向接触，采用库伦摩擦算法来保证增强体表面的相对滑动，摩擦系数选择为0.3.此外，为了实现复合材料RVE压缩过程的准静态模拟，分析(压缩)步的时间分别选择为2 0 0 s，最小增量步长选择为0.1 s，增强体的质量设置为1.0 kg.复合材料RVE通常都是周期性的，在采用数值均质法预测复合材料热-力学性能时，这有利于施加周期性边界条件2 5-2 6 .为了生成复合材料周期性RVE,需将穿过基体边界的增强体复制并平移到基体的相应位置.因此，本文开发了一种基于周期性边界条件约束的有限元压缩方法创建具有较高增强体体积分数的复合材料周期性RVE，即对于增强体（Ei）及其周期性镜像（E）采用下述周期性边界条件进行约束.(1)(xx0，X=z=0)或(xx=Xz=0,x0)或(xx=Xy=0,Xz 0):uix-up.x=-(rix-rpx-Lx),ui.y-upy=-(riy-rp.y-Lxy)ui.z-up,z=-(riz-rp,z-Lxz).(2)Xx 0,Xy0 和 Xz=0:uix-up1.x=-(rix-rp1,x-Lxx),ui,y-up1y=-(riy-rp1y),uiz-upi,z=-(ri,z-rp1,z),uix-up2,x=-(ri,x-p2,x),ui,y-up2,y=-(ri.y-rp2,y-Lxy),uiz-up2,z=-(riz-p2,2),ui,x-up3.x=-(ri,x-p3.x-Lxx),uiy-up3.y=-(riy-rp3.y-Lxy),ui,z-upa,z=-(riz-rp3,z).(3)Xx0,Xy=0 和 xz0:ui,x-up1.x=-(ri,x-rpl.x-Lxx),uiy-uply=-(riy-rpiy),uiz-upiz=-(riz-Ip1,z),ui,x-up2,x=-(rix-rp2,t),ui,y-up2,y=-(riy-rp2,y),ui,z-up2,=-(ri,z-rp2,z-Lxz),ui,x-up3,x=-(ri,x-p3,-Lxx),uiy-up3,y=-(riy-rp3,y),ui,z-up3,z=-(ri,z-rp3,z-LX2).(4)Xx=0,xy 0 和 xz 0:uix-upi.x=-(ri,x-rp1,x),uiy-uply=-(riy-rply-Lxy),ui,z-up1,z=-(riz-rp1,z),ui,x-up2,r=-(ri,x-rp2,x),uiy-up2,y=-(ri,y-rp2,y),ui,z-up2z=-(ri,z-rp2,z-Lxz2),uj,x-up3.x=-(ri,x-rp.x),ui,y-up3.y=-(ri,y-rp3,y-Lxy),ui,z-up3,z=-(riz-p,z-LX2).(5)Xx0,xy0和0 :uix-upi.x=-(rix-rpi,x-Lxx),uiy-up1y=-(ri.y-rply),ui,z-up1,z=-(ri,z-rp1,z),uj,x-up2,x=-(rix-rp2,x),uiy-up2.y=-(riy-rp2,y-Lxy),ui,z-up2,z=-(ri,z-rp2z2),ui,x-up3,x=-(ri,x-rp3,x),uiy-up3,y=-(ri.y-rp3,y),ui,z-up3,z=-(ri,z-rp3,z-Lxz),ui,x-up4,x=-(ri,x-rp4,x-Lxx),ui.y-up4.y=-(riy-rp4,y-Lxy),uiz-up4z=-(riz-rp4,z),ui,x-upsx=-(ri,x-ps.x-Lxx),ui.y-ups.y=-(riy-ps.y),ui,z-ups,z=-(riz-rps,z-Lxz),uix-up6,x=-(ri,x-p6,x),ui.y-up6.y=-(ri,y-p.y-Lxy),ui,z-up6,z=-(riz-p6.z-Lx2),ui,x-up7.x=-(rix-rp7,x-Lxx),ui,y-up7,y=-(ri,y-rp7,y-Lxy),uiz-up7,z=甘十-(riz-rp7,z-Lx2).其中,xk(ke(x,y,z)表征增强体E;与复合材料稀疏周期性RVE的基体第j(j=1,2,3,4,5或6)个表面的相交状态.若rijL+R，则增强体E;与复合材料稀疏周期性RVE的基体第j个表面（j=2,4或6)相交，则xk=1(j=2,4或6 k=x,y或z);若rij-L-R，则增强体E;与复合材料稀疏周期性RVE的基体第j个表面（j=1,3或5）相交，则x=-1(j=1,3或5 k=x,y或z);其他情况下，增强体E与复合材料稀疏周期性RVE的基体的面不相交,则xk=0.1.3CAD格式复合材料RVE创建提出的有限元压缩方法创建的复合材料周期性RVE中增强体以R3D4单元的形式存在，需要将其转换为CAD格式的复合材料周期性RVE,以便用于预测复合材料的结构和功能性能.因此，本文通过开发两个AbaqusPythonAPI脚本来自动检测基于有限元压缩方法得到的复合材料周期性RVE中增强体的中心点和创建CAD格式的复合材料周期性RVE.注意：在较低增强体体积分数的复合材料RVE的压缩过程中，偶尔会出现一定数量（常小于1 0 对）的增强体相交现象，此时需要手动删除这些相交增强体.力1542学报学2023年第5 5 卷2结果与讨论2.1复合材料周期性RVE中增强体分布统计基于提出的有限元压缩方法，分别创建了增强体体积分数分别为3 0.0%，4 0.0%和5 0.0%的复合材料周期性RVE（如图3 所示，增强体的数量分别为579,764和95 5)，其中基体的尺寸为L=100.0m、增强体的半径为R=5.0m和最小分离距离为=0.05R.在这一部分，本文将分别采用第1、第2 和第3 阶最近邻距离的概率分布函数2 0 和最近邻取向角的累积概率分布函数1 7 、Ripleys-K函数K(r)17和对关联函数G(r)21来表征创建的复合材料周期性RVE中增强体的分布规律.增强体E;的第n阶最近邻距离dnth定义为该增强体中心点到它的第n阶最近邻增强体中心点的距离，而增强体E;的第n阶最近邻取向角nth和nth定义为该增强体中心点到它的第n阶最近邻增强体中心点的连线与z轴的夹角和该增强体中心点到它的第n阶最近邻增强体中心点的连线在xoy平面的投影与x轴的夹角.图4 和图5 给出了创建的复合材料周期性RVE中增强体的第1、第2 和第3 阶最近邻距离的概率分布函数和最近邻取向角的累积概率函数，可以发现：第1 阶最近邻距离的概率分布函数曲线初始非常尖锐，然后快速下降，第2 和第3 阶最近邻距离的概率分布函数曲线相对平滑，而最近邻取向角和的累积概率函数曲线与增强体空间随机分布的理论累积概率函数曲线(Y()=(1-cos)/2和Y()=/(2元)非常接近.因此,基于提出的有限元压缩方法创建的复合材料周期性RVE中增强体空间随机(CSR)分布.Ripleys-K函数K(r)计算半径为r的搜索球中包ZZXZX(a)30.0%(b)40.0%(c)50.0%图3 基于提出的有限元压缩方法创建的增强体体积分数分别为30.0%，4 0.0%和5 0.0%的复合材料周期性RVEFig.3 Periodic RVEs of composites with inclusion volume fractions of30.0%,40.0%and 50.0%generated using the proposed FE compressionmethod1.0RVE-1RVE-10.80.60.40.2010111213141510 1112131415101112131415d/md/md/m(a)30.0%1.0RVE-RVE-1RVE:10.8RVERVE-2RVE3RVE.30.60.40.20101112131415101112131415101112131415d/umd/md/m(b)40.0%1.00.8RVE-1RVE3RVE-RVE3RVE30.60.40.2010111213141510 1112131415101112131415d/md/md/m(c)50.0%图4 复合材料周期性RVE中增强体的第1、第2 和第3 阶最近邻距离的概率分布函数Fig.4 Probability distribution functions of the Ist,2nd and 3rd nearestneighbor distances of the inclusions in the generated periodic RVEs ofcomposites含的增强体中心点的数量与创建的复合材料周期性RVE中的增强体中心点密度的比值，即NNVI(Kijn)K(r)=ji(2)NN.w(rir)i=1 j=1式中，N表示创建的复合材料周期性RVE中的增强体中心点的数量，V是创建的复合材料周期性RVE的体积，Kij表示增强体F;和F;中心点之间的距离.对于I()，若括号中的条件为真，则1()的取值为1.0,否则I)的取值为0.对于w(ri;ri)，若中心点为ri，半径为lri-ril的球完全包含于创建的复合材料周期性RVE,则w(ri,ri)返回数值1.0,否则返回包含在创建的复合材料周期性RVE中球的体积比例.当创建的复合材料周期性RVE中增强体空间随机分布时，Ripleys-K函数K(r)的计算公式为Kv(r)=4元r3/3.对关联函数G(n)计算在距离给定的增强体中心点为r范围内找到另一个增强体中心点的概率，通常被视为Ripleys-K函数的空间导数2 1,因此具有下述形式1543田文龙等：基于有限元压缩方法的复合材料RVE创建第7 期的表达式1dK(n)G(r)(3)4元斤2dr式中，G(r)=1.0表示创建的复合材料周期性RVE中增强体的分布符合CSR分布.创建的复合材料周期性RVE中增强体的Ripleys-K函数K(r)和对关联函数G(r)见图6 和图7.可以发现：随着搜索半径r的增加,Ripleys-K函数K(r)和对关联函数G(r)的曲线逐渐趋于曲线K,(r)=4元r3/3和G(r)=1.0.因此,可以得到下述结论：基于提出的有限元压缩方法创建的复合材料周期性RVE中增强体空间随机分布.1.0CSRCSR0.8RVE-1RVE-1RVE-2RVE-2RVE-3RVE-30.60.40.20030609012015018060120180240300360/()(a)30.0%1.0CSRCSR0.8RVE-1RVE-1RVE-2RVE-2RVE-3RVE-30.60.40.200306090120150180601201802403003600/)(b)40.0%1.0CSRCSR0.8RVE-1RVE-1RVE-2RVE-2RVE-3RVE-30.60.40.20030 609012015018060120180 240 3003600/)/()(c)50.0%图5 复合材料周期性RVE中增强体的最近邻取向角的累积概率分布函数Fig.5Cumulative probability distribution functions of the 1st,2nd and3rd nearest neighbor orientation angles of the inclusions in the generatedperiodic RVEs ofcomposites106106106555CSRCSRCSR4-RVE-14RVE-14RVE-1-RVE-2RVE-2RVE-2333-RVE-3RVE-3RVE-3222111000020406080100020406080100020406080100r/mr/mr/m106100100555CSRCSRCSR4RVE-14RVE-14-RVE-1-RVE-2RVE-2-RVE-23-RVE-33-RVE-33RVE-3222111000020406080100020406080100020406080100r/umr/mr/m(a)30.0%(b)40.0%(c)50.0%图6 复合材料周期性RVE中增强体的Ripleys-K函数K(r)Fig.6Ripleys-K function of the inclusions in the generated periodic RVEs of composites力15442023年第5 5 卷报学学2.0CSRRVE-11.5川-RVE-2-RVE-31.00.510020406080100r/m(a)30.0%3.0CSR2.5-RVE-1-RVE-22.0-RVE-31.51.00.5020406080100r/m(b)40.0%3.0CSR2.5RVE-1-RVE-22.0-RVE-31.51.00.50020406080100r/m(c)50.0%图7 复合材料周期性RVE中增强体的对关联函数G(r)Fig.7 Pair correlation function G(r)of the inclusions in the generatedperiodic RVEs ofcomposites2.2基于RVE的复合材料弹性性能预测在这部分,基于前述创建的复合材料周期性RVE,采用有限元均质方法2 7-2 8 和周期性边界条件2 5-2 6 对随机分布球形增强体复合材料的弹性性能进行数值预测.复合材料周期性RVE的尺寸为L/R=20.0，网格单元选择4 节点四面体单元（即Abaqus/Standard中C3D4单元)，网格尺寸选为1=R/10.需要说明的是，上述给定的复合材料周期性RVE和网格的尺寸可以保证得到收敛的复合材料弹性性能.研究的第1 类SiC/A1复合材料由2 0 8 0 铝合金基体和随机分布的球形碳化硅(SiC)增强体组成2 9,其中基体和增强体的各向同性弹性模量和泊松比分别为Eo=74.0GPa,vo=0.33和E1=410.0GPa,V1=0.19.研究的第2 类复