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第2 6 卷第3期2023年5月doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2023.03.004高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.26,No.3May,2023级数求和的一个常见错误及解析焦红英，郭艳，刘妙华，孙强（空军工程大学基础部，陕西西安7 10 0 51)摘要本文针对级数求和问题展开讨论从一个级数求和的例子出发，列举了两种常见的解题方法，得到了两种不同的结果.问题的根源是函数项级数是否一致收敛最后本文给出了第三种解法。关键词级数求和；绝对收敛；一致收敛中图分类号0 17 2.1JIAO Hongying,GUO Yanli,LIU Miaohua,and SUN Qiang(School of Science,Air Force Engineering University,Xian 710051,China)Abstract This paper discusses the summing of a series.With an example,two approaches are used whichlead to two different results.The problem relates to whether or not the uniform convergence holds.Final-ly,a third approach is presented.Keywords summing a series,absolute convergence,uniform convergence文献标识码AA Common Error in Summing a Series文章编号10 0 8-1399(2 0 2 3)0 3-0 0 0 8-0 2女a，的和，可以先构X为了求收敛的数项级数n=1造一个幂级数，比如an，然后设法在收敛区间n=1内求得其和函数f(）=2an2,(la/1,则有aCa,=f(1);如果R=1,则有a,=n=1lim f().1上述方法是无穷级数求和的一种常用方法，其理论依据是收敛半径R的幂级数,如果在=R处收敛,那么幂级数在0,R上一定是一致收敛的，从而其和函数在=R处一定左连续1。由于大多数的工科高等数学教材中都没有函数项级数一致收敛的概念与性质，而仅仅只是把上述方法作为一个结论告诉给读者2 ，这往往导致读者在具体应用时产生错误。收稿日期：2 0 2 2-0 5-0 5作者简介：焦红英（198 1一），女，陕西宝鸡，硕士研究生，副教授，代数,Email:.1主主要结果通过上面的分析，相信大家已经清楚本文要探讨的问题.接下来，我们来看一个具体的级数求和例子。例求级数2（822n-1n=1n=1常见的做法是构造幂级数，然后求和再代人相应的的值，从而求得无穷级数的和下面我们来看两种常见的解法.解法1首首先设(a)-2(2n=12n则当 1时,逐项求导，即得()=(2-2-1)n=12所以修改日期：2 0 2 2-10-2 0f()=f(O)+=f(0)+ln(1+)，ll1的和.n111+d.1+第2 6 卷第3期由于f(0)=0,所以f(）=ln(1+)，|1.又因为当=1时，有2,2m-12nn=1显然数项级数n=1n(2n-1)21n=12n-1n=1n2,解法2设g(a)-2(2n一则当|1时，逐项求导，即得g()=(2a2-2-2a2-1)n=121-2?1-1+所以2g()=g(0)+。1+dr=2ln(1+),l 1.由于g(0)=0,所以g()=2ln(1十)，l|1.又当=1时,有2n故80n=1(2n-1n=21n2同一个级数的求和问题，这两种常见解法得到了两个不同的结果，说明这两种解法中至少有一种是错误的事实上，这两种解法都存有问题.解法1中构造的函数项级数不是幂级数，因此只有在证明了它的和函数在=1处左连续后，才能得到2)=limf(),但它的和函数在=1(2n-1n2处却并非左连续（证明在文末给出）解法2 中的函数项级数虽然也不是幂级数,但它是幂级数2(-1)n=1n每两现加括号后所得数.由于2 二1在=1n=1n时收敛，所以它在区间0,1上一致收敛，加括号后焦红英，郭艳鹏，刘妙华，孙强：级数求和的一个常见错误及解析2仍是一致收敛，从而2m一2n-n=1函数在=1处左连续，故有212n-1nnn=18n(2n-1):n=11收敛.故limf()=limln(1+)11212nn222n22n-1nn=11n=1n(2n-1)21912n的和nX2n=12n-1n1=lim2ln(1+)=2ln2.1综上所述，解法1错误，解法2 不完整.但是要把解法2 修改成完整的解法，需要用到一致收敛的概念与性质，这又超出了工科数学的知识要求.为此，我们再提供另一种解法.2解法3由于n2n-18(2-1,则当 1 1 时,有2n1设h()=n=12h()=22-1.继续逐项求导得2n一1n=180h()2元2 1-2一n=1两边积分，得h()=h(0)+=ln(1+)-ln(1-)因为 h(0)=0,则h()=ln(1 十)-ln(1).再次逐项积分，得1h()=h(0)+=(1+)ln(1+)+(1-)ln(l一)由于h(0)=0,则h()=(l+)ln(1+)+(1-)ln(l一)因为幂级数(2 1)处收微,所以1limg()=lim2ln(1+)1211limg()1=1n(2n-1)211-21+d.cln(1+)-In(1-)dx它在=1处左连续，故有2:lim h()2n-1n7一=lim(1+)ln(1+)+(1一)ln(1-)21=21n2这个结果也告诉我们，解法1中的函数项级数X22n1n=1左连续.这是因为，如果S()=2n=12n则 S(1)=(22n-1n111的和函数在=1处并非nn1=21n2.当11时,(下转第7 页)第2 6 卷第3期由施笃兹（Stolz）公式2-(b:-b1)梁亦孔：一类级数敛散性的若干结论加的有界的正数数列，则级数k17（16bk收敛，nolimk-1又limb,=+80,故liman=lims,-lims,+0=07一逆否命题若数列(b,)严格单调增加,且limb，=+8o,若liman0,则级数ak-ak-1k=1bk注定理的条件只是充分条件，并非充要条Su-1(b,-br-1)lim6nob,-b,-1lims.1=lims,n80bk-1发散.是为萨波果夫(前苏联）判别法4.3应用举例例1若数列（an）为严格单调增加且lima，=+8,则级数Z(a:-ak-2)发散.k=1证明取b#=k-1，则an，b,满足逆否命题条件.因为2（ak-ak-1bk-1bk=(a-al-2),所以=1k=1件.也就是说，如果逆否命题中其它条件不变，当8lima,=0时,级数akak-1k=1bk1如取an，b，=n l n n，此时liman=O,数列1nn(bn)严格单调增加，且limb，=十o，但是级数2(a:-a1bk-)k=1bk1k=1InkIn(k-1)X1k=1klnk发散.若取k三1,则得下面的推论.推论若数列(b,)严格单调增加，且limb，=bk-1+8,则级数1bkk=1注对于级数（1k=1级数(ak一at-2)发散.k-1可能发散.比例2证明调和级数n=1n发散.证明取b，=n，则（b，）满足推论条件，于是2-2(1-调和级数n发散.注用定理的逆否命题或者推论，选取适当的.b.就可证明级数(ak-ak-11(k-1)n(k-1)klnk发散.D一),若(b.）是单调增bk1bk-1发散，如何k=1bk构造an，b n 是难点.参考文献1朱士信，唐烁.高等数学（下册)M.北京：高等教育出版社，2 0 2 0.2华东师范大学数学系.数学分析（下册）MI.5版北京：高等教育出版社，2 0 19.3蔡燧林高等数学例题精选：高等数学竞赛培训教程M.北京：清华大学出版社，2 0 11.4菲尔金哥尔茨微积分学教程M.北京：高等教育出版社，2 0 14.(上接第9 页)容易求得2z2r-1=ln(1+)-ln(1-),n=12n 一又1=一ln(1一）且均为绝对收敛,从而n=1nS()=n=12n22n-1n一1显然limS(）S(1)，故S(）在=1处并非左连续.综上所述，大家在级数求和时要弄清楚定理的适用范围，不可盲目解答。参考文献211李成章，黄玉民.数学分析（上册）M.2版.北京：科n学出版社，2 0 0 7.12同济大学数学教研室.高等数学（下册）M.6版.北=ln(1+)nn=1京：高等教育出版社，2 0 0 7.