[收稿日期]2021-10-28;[修改日期]2023-01-06[基金项目]湖北工业大学校内资助项目(337/187)[作者简介]陈坤(1997-),男,硕士在读,电子信息专业.E-mail:2690382199@qq.com[通讯作者]罗志刚(1981-),男,博士,讲师,从事数学物理、经典分析、非标准分析研究.E-mail:luozg@pku.edu.cn第39卷第3期大学数学Vol.39,№.32023年6月COLLEGEMATHEMATICSJun.2023计算重积分的一般截面法陈坤,罗志刚(湖北工业大学理学院,武汉430068)[摘要]将通常求重积分的截面法推广到了一般情况:用曲面族(对二重积分是曲线族)去截积分区域,先在截得的曲面片上完成积分,然后对曲面族参数积分,就可以求出重积分的值.用微分形式的计算技巧完成了相关定理的证明,并举了若干例子来说明该定理的具体应用.[关键词]重积分;截面法;微分形式[中图分类号]O172.2[文献标识码]C[文章编号]1672-1454(2023)03-0083-051引言本文中出现的函数,都在所论及的区域上具有连续的一阶偏导数.截面法是计算重积分的一种重要方法.考虑三重积分∭Ωf(x,y,z)dxdydz,用垂直于z轴的平面族去截积分区域Ω,则有∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∫badz∬Dzf(x,y,z)dxdy,(1)其中,DZ是截得的平面片.如果将积分看作对被积式在区域Ω的每个点上的值在某种意义上“求和”(这种说法自然没有任何严格性可言),那么上式的直观意义就是:为了得到这个“求和值”,可以先对截面DZ上的每个点完成“求和”,然后再将所有截面的贡献“求和”起来.然而,具体计算重积分时,常常要顾及到被积函数的形式以及积分区域的形状,用垂直于坐标轴的平面去截积分区域并非总是最好的办法.某些情况下,或许应该考虑用更一般的曲面族(比如不垂直于坐标轴的平面)去截积分区域.如果参数ξ从α增加到β,曲面族Φ(x,y,z;ξ)=0正好覆盖了区域Ω,根据上面对积分的直观解释,类比(1)式,此种情况下,有望得到∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∫βαdξ∬Sξ(…)dS,(2)其中Sξ是曲面族Φ(x,y,z;ξ)=0在Ω上截得的曲面片(可称为“截曲面”),dS是Sξ上的面积元.一旦确定了(2)中的被积式,就将通常的截面法(1)进行了推广,不妨称之为一般截面法.2主要结果上述问题的答案包含在以下定理中:定理1若曲面族Φ(x,y,z;ξ)=0覆盖了区域Ω,其中α≤ξ≤β,则有∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∫βαdξ∬Sξf(x,y,z)ΦξdSΦ2x+Φ2y+Φ2z,(3)其中,Sξ是截曲面,dS是Sξ上的面积元.证对Φ(x,y,z;ξ)=0两边微分,得到Φξdξ+Φxdx+Φydy+Φzdz=0,在区域Ω上Φx,Φy,Φz不能都为零,不妨设Φz≠0,所以dz=-ΦξΦzdξ-ΦxΦz...
