基于小增益定理的非线性系统的事件触发控制.pdf

收稿日期2 0 2 2-1 0-1 3;修改日期2 0 2 3-0 3-0 1 基金项目国家自然科学基金资助项目(1 1 7 7 1 2 9 5)作者简介余璐璐(1 9 9 6-)女,硕士在读,应用数学专业.E-m a i l:y u l u l u m a i l.h f u t.e d u.c n第3 9卷第3期大 学 数 学V o l.3 9,.32 0 2 3年6月C O L L E G E MATHEMAT I C SJ u n.2 0 2 3基于小增益定理的非线性系统的事件触发控制余璐璐,柏晓明(合肥工业大学 数学学院,合肥2 3 0 6 0 1)摘 要利用一个指数小增益定理,对一类非线性控制系统提出一种事件触发控制策略.利用该策略,实现了该系统指数渐近稳定,同时有效避免了Z e n o现象的发生,最后数值模拟验证了结论的有效性.关键词小增益定理;非线性控制系统;事件触发控制;Z e n o现象 中图分类号T P 2 7 3 文献标识码A 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 3)0 3-0 0 1 4-0 61 引 言事件触发控制是一种新的控制策略,与传统的周期控制1-2不同,其控制任务将在每隔一个固定时间就执行一次.并且只有在特定的外部事件发生后,才会执行其控制任务,这很好的避免了在计算资源这方面的浪费.文献3-4 从不同方面阐述了事件触发控制相比周期性的时间触发控制的一些优势,同时也激发了大量研究者对事件触发控制研究的热情5-1 0.人们对事件触发控制进行了深入的研究,提出了许多方法.如基于L y a p u n o v函数和比较原理的事件触发机制1 1-1 4,基于驻留时间的事件触发机制1 5-1 6,基于阈值信号的事件触发机制1 7和基于周期驱动的事件触发机制1 8等.文献1 9 基于经典的非线性小增益定理,对一类非线性系统提出了一种事件触发控制方法.用该方法使这类系统的状态全局渐近收敛到原点且无Z e n o现象发生.文献2 0 基于非线性循环小增益定理对一类大尺度系统也给出了类似的设计.然而在实际中收敛速度是非常重要的.受文献1 9-2 0 启发,本文也利用小增益定理,设计一种事件触发控制,使系统状态指数收敛到原点.为此本文首先将经典的非线性小增益定理扩展到指数输入稳定的情形,然后借助于这个新的小增益定理对一类非线性控制系统给出事件驱动控制策略,并证明在该策略下系统指数收敛于平衡点和无Z e n o现象发生.本文的结构如下:第一部分包括基础知识以及符号的介绍,第二部分处理相关问题给出基础定理,第三部分介绍了本文的主要结果,第四部分给出相关模拟,最后一部分是对文章进行了总结.2 数学符号在本文中,是实数,是整数,+是非负整数集,n是n维实向量空间.|是欧几里得范数.对于函数V,?V表示其梯度.T是矩阵的转置.系统状态x(t)在原点是指数稳定的,它意味着存在常数a1,a2,使得不等式|x(t)|a1e-a2t|x(0)|成立.3 基础定理考虑系统x=fi(x,ui),i=1,2,(1)其中,x=xT1,xT2T,x1n1和x2n2是系统的状态,u1m1和u2m2是外部输入,f1n1+n2m1n1和f2n1+n2m2n2是局部利普希茨函数,满足恰当的增长条件以保证系统(1)的解全局存在.f1(0,0)=0,f2(0,0)=0.令u=uT1,uT2T,u是局部有界的可测函数.现对系统(1)作如下假设:假设1 当i=1,2时,对任何初始状态xi(0)和任何可测局部有界输入ui,存在正常数i,i,i和uiK类函数,使得解xi(t)满足|xi(t)|m a xie-it|xi(0)|,i|x3-i(t)|,ui(ui).(2)定理1 令假设1成立,如果满足小增益条件120,0使得|x|w|?V(x)f(x,w)-3V(x).(1 0)那么有x(t)满足|x(t)|m a x21e-123t|x(0)|,|w|.(1 1)证 注意到当|x(t)|w(t)|,由(1 0)式可得dV(x(t)dt-3V(x(t),即得V(x)e-3tV(x(0).再根据(9)式可得1|x(t)|2V(x)e-3tV(x(0)e-3t2|x(0)|2,从而有|x(t)|21e-123t|x(0)|.现在对系统(8)设计事件触发器如下:|w(t)|x(t)|,t0,0.命题1 对上述系统(8)如果存在一个光滑函数V满足(i)和(i i)且tkx(t)-w(t)=0 .显然对某个特定的k1+,x(tk1)=0或ttkx(t)-w(t)=0 =时,不会发生触发事件.设f(0,W(0)=0,如 果x(tk1)=0,那 么u(t)=W x(tk1)=0.对 所 有ttk1,有u(t)=W(x(tk1)=0保持系统状态在原点.给定tk和x(tk)0,tk+1表示在时刻tk之后的,使等式x(t)-w(t)=0成立的首个瞬间.由于对任何x(tk)0,x(t)-w(t)0,其中x(t)是在0,)上连续的.根据x(t)-w(t)0,此时所有ttk,tk+1 ,kS.从而当所有tkStk,tk+1 时,有|w(t)|x(t)|.命题2 考虑系统(8),函数f满足f(0,0)=0.如果存在一个光滑函数V满足(i)和(i i),那么存在一个常数0,使得(i)满足不等式(1 2);(i i)i n ftk+1-tk 0;(1 3)(i i i)系统状态x(t)满足|x(t)|Me-t|x(0)|,t0.(1 4)61大 学 数 学 第3 9卷证 先证明(1 3)式,然后再证明kStk,tk+1 =0,.对一个正常数0,显然存在.令=1,则有1.定义1x(tk)=xnx-x(tk)1-x(tk),2x(tk)=xnx-x(tk)x ,那么2x(tk)1x(tk).事实上当x2x(tk)时,可以得出x-x(tk)x(t)x-x(tk)+x(tk)x(t)-x(tk)+x(tk),(1-)x(t)-x(tk)x(tk).再根据00,使f(x,w)L1x(tk).于是有ddtw(t)2x(t)2 2(1+)|x|x|2(1+)L1x(tk)|x|2(1+)L1x+w|x|2(1+)2L1.接下来推算2=w(tk+1)2x(tk+1)2=tk+1tkddtw2|x|2 dt2(1+)2L1(tk+1-tk),那么可得tk+1-tk22(1+)2L1.因此性质(1 3)成立.现证明kStk,tk+1 =0,考虑以下三种情况:(i)S=+且l i mKtk;(i i)S=+且l i mKtk=;(i i i)S=0,1,k*,k*+.在情况(i)中,显然i n ftk+1-tk =0,这与性质(1 3)相矛盾,所以情况(i)是不可能的.在情形(i i)中,容易看出kStk,tk+1)=0,).根据定理1和引理1,这意味着(1 4)对所有t0,)成立.在情况(i i i)中,令tk*+1=Tm a x,其中0Tm a x,因此根据定理1和引理1,(1 4)式对所有t 0,Tm a x 都成立.根据解的延拓定理,x(t)对所有t0,)都有定义.5 应 用本节应用上述理论来研究一个具体的控制系统,该系统如下所示:x1=2x2-x2c o s2x2+u1,x2=-x1+x1c o s2x2+u2,71第3期 余璐璐,等:基于小增益定理的非线性系统的事件触发控制其中x=(x1,x2)T为系统状态,u=(u1,u2)T是控制输入,u1(t)=-x1(tk)-x2(tk),u2(t)=-x2(tk),时间序列(tk)kS由下面给出.根据(7)式,u1(t)=-x1(t)-w1(t)-x2(t)-w2(t),u2(t)=-x2(t)-w2(t),从而上述系统可变为x1=x2(t)s i n2x2(t)-x1(t)-w1(t)-w2(t),x2=-x2(t)-x1(t)s i n2x2(t)-w2(t).构造如下李雅普诺夫函数V(x)=12(x21+x22),故13|x|2V(x)23|x|2,|x|4|w|?V(x)f x,w -34V(x),其中f(x,w)=x2s i n2x2-x1-w1-w2,-x2-x1s i n2x2-w2 T.因此1=13,2=23,3=34,=4.事件触发器如下:|w(t)|x(t)|,t0,0tkx(t)-w(t)=0 ,014.由命题1和2知系统的解是指数收敛的且无Z e n o现象发生.如图1所示,数值模拟显示系统解也是指数收敛的,这与理论结果是一致的,表明事件触发控制是可行的.图16 结 论本文利用小增益定理,设计了一种事件触发控制方案,证明了在该方案下一类非线性控制系统的解指数收敛到平衡点且无Z e n o现象发生.与文献1 9 相比,这大大地增加了系统解的收敛速度.最后,通过对具体的控制系统的应用,体现了方案的可行性.致谢 作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.参 考 文 献1 Z HANGW,L I UY.D i s t r i b u t e dc o n s e n s u s f o r s a m p l e d-d a t a c o n t r o lm u l t i-a g e n t s y s t e m sw i t hm i s s i n gc o n t r o l i n p u t sJ.A p p l i e dM a t h e m a t i c sa n dC o m p u t a t i o n,2 0 1 4,2 4 0:3 4 8-3 5 7.81大 学 数 学 第3 9卷2 Z HAN J X.C o n s e n s u so fs a m p l e d-d a t a m u l t i-a g e n tn e t w o r k i n gs y s t e m sv i a m o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o lJ.A u t o m a t i c a,2 0 1 3,4 9(8):2 5 0 2-2 5 0 7.3 A R Z E N K E.A s i m p l ee v e n t-b a s e dp i dc o n t r o l l e rJ.P r o c e e d i n g so fI f a c W o r l d C o n g r e s s,1 9 9 9,3 2(2):8 6 8 7-8 6 9 2.4 A S T RM KJ,B O B.C o m p a r i s o no fp e r i o d i ca n de v e n tb a s e ds a m p l i n gf o rf i r s to r d e rs t o c h a s t i cs y s t e m sJ.P r o c e e d i n g so f I f a cW o r l dC o n g r e s s,1 9 9 9,3 2(2):5 0 0 6-5 0 1 1.5 T A B UA D A P.E v e n t-T r i g g e r e dR e a l-T i m eS c h e d u l i n go fS t a b i l i z i n gC o n t r o lT a s k sJ.I E E E T r a n s a c t i o n so nA u t o m a t i cC o n t r o l,2 0 0 7,5 2(9):1 6 8 0-1 6 8 5.6 L UN Z EJ,L EHMANN D.As t a t e-f e e d b a c ka p p r o a c ht oe v e n t-b a s e dc o n t r o lJ.A u t o m a t i c a,2 0 1 0,4 6(1):2 1 1-2 1 5.7 WANGX,L EMMON M D.O ne v e n td e s i g n i ne v e n t-t r i g g e r e df e e d b a c ks y s t e m sJ.A u t o m a t i c a,2 0 1 1,4 7(1 0):2 3 1 9-2 3 2 2.8 丁三波,刘旭,王勇,等.不确 定 系统 的事 件触 发 控制:近 似 解输 入法J.控 制 理 论 与 应 用,2 0 2 1,3 8(9):1 3 9 9-1 4 0 6.9 陈烁,樊渊.基于采样的线性不确定系统事件触发控制J.控制工程,2 0 2 1,2 8(5):9 9 9-1 0 0 4.1 0 L I U K Z,T E E L A R,S UN X M.E v e n t-t r i g g e r e dn o n l i n e a rs y s t e m sw i t hs t o c h a s t i cd y n a m i c s,t r a n s m i s s i o nt i m e s,a n dp r o t o c o l sJ.I E E ET r a n s a c t i o n so nA u t o m a t i cC o n t r o l,2 0 2 1,6 7(4):1 9 7 3-1 9 7 9.1 1 ME N G X Y,CHE N T W.E v e n tb a s e da g r e e m e n tp r o t o c o l sf o rm u l t i-a g e n tn e t w o r k sJ.A u t o m a t i c a,2 0 1 3,4 9(7):2 1 2 5-2 1 3 2.1 2 Z HAOR,Z UO ZQ,WANGYJ.E v e n t-T r i g g e r e dC o n t r o l f o rS w i t c h e dS y s t e m sW i t hD e n i a l-o f-S e r v i c eA t t a c kJ.I E E ET r a n s a c t i o n so nA u t o m a t i cC o n t r o l,2 0 2 2,6 7(8):4 0 7 7-4 0 9 0.1 3 HANYC,L I ANJ,HUANG X.E v e n t-t r i g g e r e dH-i n f i n i t yc o n t r o lo fn e t w o r k e ds w i t c h e ds y s t e m ss u b j e c tt od e n i a l-o f-s e r v i c ea t t a c k sJ.N o n l i n e a rA n a l y s i s.H y b r i dS y s t e m s:A nI n t e r n a t i o n a lM u l t i d i s c i p l i n a r yJ o u r n a l,2 0 2 0,3 8:1-1 4.1 4 L IB,WAN G Z,MA L,e ta l.O b s e r v e r-B a s e dE v e n t-T r i g g e r e dC o n t r o lf o rN o n l i n e a rS y s t e m s W i t h M i x e dD e l a y sa n dD i s t u r b a n c e s:T h eI n p u t-t o-S t a t eS t a b i l i t yJ.C y b e r n e t i c s,I E E E T r a n s a c t i o n so n,2 0 1 9,4 9(7):2 8 0 6-2 8 1 9.1 5 D O L KVS,B O R G E R SDP,HE EME L SW.O u t p u t-B a s e da n dD e c e n t r a l i z e dD y n a m i cE v e n t-T r i g g e r e dC o n t r o lW i t hG u a r a n t e e dL-p-G a i nP e r f o r m a n c ea n dZ e n o-F r e e n e s sJ.I E E ET r a n s a c t i o n so nA u t o m a t i cC o n t r o l,2 0 1 6,6 2(1):3 4-4 9.1 6 A B D E L R AH I M M,P O S T OVAN R,D AA F OU ZJ,e ta l.S t a b i l i z a t i o no fN o n l i n e a rS y s t e m s U s i n g E v e n t-T r i g g e r e dO u t p u tF e e d b a c kC o n t r o l l e r sJ.I E E ET r a n s a c t i o n so nA u t o m a t i cC o n t r o l,2 0 1 6,6 1(9):2 6 8 2-2 6 8 7.1 7 孙帅,王磊,王志文.基于事件触发的航天器变周期控制方法研究J.空间控制技术与应用,2 0 1 8,4 4(2):3 1-3 6.1 8 S E L I VAN OVA,F R I DMANE.E v e n t-T r i g g e r e dH C o n t r o l:AS w i t c h i n gA p p r o a c hJ.I E E ET r a n s a c t i o n so nA u t o m a t i cC o n t r o l,2 0 1 6,6 1(1 0):3 2 2 1-3 2 2 6.1 9 L I UT,J I ANGZP.AS m a l l-G a i nA p p r o a c ht oR o b u s tE v e n t-T r i g g e r e dC o n t r o l o fN o n l i n e a rS y s t e m sJ.I E E ET r a n s a c t i o n so nA u t o m a t i cC o n t r o l,2 0 1 5,6 0(8):2 0 7 2-2 0 8 5.2 0 L I U T,J I ANG Z P.E v e n t-b a s e dc o n t r o lo fn o n l i n e a rs y s t e m s w i t hp a r t i a ls t a t ea n do u t p u tf e e d b a c kJ.A u t o m a t i c a,2 0 1 5,5 3:1 0-2 2.E v e n tT r i g g e r e dC o n t r o l o fN o n l i n e a rS y s t e m sB a s e do nS m a l lG a i nT h e o r e mYUL u l u,B A IX i a o m i n g(C o l l e g eo fM a t h e m a t i c s,H e f e iU n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g y,H e f e i 2 3 0 6 0 1,C h i n a)A b s t r a c t:T h i sp a p e ru s e s a ne x p o n e n t i a l s m a l l g a i n t h e o r e mt op r o p o s e a ne v e n t t r i g g e r e dc o n t r o l s t r a t e g y f o r a c l a s so fn o n l i n e a rc o n t r o l s y s t e m s.B yu s i n gt h i ss t r a t e g y,t h ee x p o n e n t i a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f t h es y s t e mi sr e a l i z e d,a n dZ e n op h e n o m e n o n i se f f e c t i v e l ya v o i d e d.K e yw o r d s:s m a l l g a i nt h e o r e m;n o n l i n e a rc o n t r o l s y s t e m;e v e n t t r i g g e rc o n t r o l;Z e n op h e n o m e n o n91第3期 余璐璐,等:基于小增益定理的非线性系统的事件触发控制