基于虚拟激励法的多激励振动试验数值分析.pdf

第 6 卷 第 2 期2023 年 6 月空天防御AIR&SPACE DEFENSEVol.6，No.2Jun.，2023基于虚拟激励法的多激励振动试验数值分析王肇喜，翟师慧，赵凡，王者蓝，谢夏阳（上海航天精密机械研究所，上海201600）摘要：针对细长型飞行器双台振动试验开展仿真计算与控制效果分析。根据模态叠加原理，建立细长型飞行器多输入多输出（multi-input multi-output，MIMO）随机振动试验中的动力学模型；采用虚拟激励法和逆虚拟激励法计算方法，分析细长型飞行器MIMO随机振动试验中不同控制测点数量、控制谱矩阵设置的可实现性及影响效果，并以其模拟件为研究对象，完成其两点、多点控制试验方式下不同控制谱矩阵设置的振动试验的数值模拟。经分析，虚拟激励法大幅提升了振动仿真计算精度，且双台振动系统在不同控制点组合下振动响应差异性加大。关键词：振动试验；虚拟激励法；多输入多输出（MIMO）；数值模拟中图分类号：TJ761 文献标志码：A 文章编号：2096-4641（2023）02-0069-08Numerical Simulation of the Multi-Input Multi-Output Random Vibration Tests Based on Pseudo Excitation MethodWANG Zhaoxi，ZHAI Shihui，ZHAO Fan，WANG Zhelan，XIE Xiayang（Shanghai Spaceflight Precision Machinery Institute，Shanghai 201600，China）Abstract:In this paper,the numerical simulation and control effect of double-vibration test for the slender aerocraft were studied.Using the Mode-superposition method,a dynamic model of the slender aerocraft under multi-input multi-output random vibration tests was proposed in this paper.The pseudo excitation method and inverse pseudo excitation method were adopted to study the influence of the reference point number and the reference spectral density matrix.The numerical simulation of the Multi-Input Multi-Output random vibration tests of a simulator of the slender aerocraft under different reference point numbers and reference spectral density matrices was acquired.Finally,the numerical simulation results were promoted through the pseudo excitation method,and the vibration responses of the various control point combinations were different for the double-vibration system.Keywords:vibration test；pseudo excitation method；MIMO（multi-input multi-output）；numerical simulation0引言振动环境试验是目前航天产品可靠性和环境适应性最主要的检验手段，用于发现产品设计上的缺陷、工艺上的不成熟及可靠性的薄弱环节，为产品设计及工艺上的改进与优化指明方向1。细长型飞行器的振动环境试验为工程中的一大难题，由于此类飞行器外形细长，振动试验中其超出振动台面的悬臂部位过多，振动响应悬臂端低频放大、高频衰减，使试验室状态下飞行器的振动环境较之飞行状态有较大失真，飞行器各部位的过试验、欠试验现象异常严重。多输入多输出（multi-input multi-output，MIMO）振动试验技术采用两（多）个振动台提供激振力，使试件不同部位产生不同的振动响应。这种试验方式能够更加准确地模拟细长型飞行器各种飞行状态下的振动环境，有效地避免传统单振动台试验方法中振动应力集中的现象，为力学环境试验技术的重大进步和收稿日期：2022-12-14；修订日期：2023-04-21作者简介：王肇喜（1986），男，硕士，高级工程师，主要研究方向为振动、冲击试验理论与技术研究。空天防御第 6 卷未来发展趋势1。目前，国内少数航空、航天单位已经开始应用MIMO振动试验方法。但由于我国现有的试验标准对该类型试验的描述较为笼统，并且国内对互谱的作用、双振动台模拟互谱的可实现性及其效果的研究不够透彻1-2，加之此项技术的军事背景，使得国外相关的技术资料难以获得，因此，我国工程人员在进行MIMO振动试验时，面对控制参数的选取和试验条件的制定等问题，大多凭借工程经验，采用试验中不断变换、试探、摸索的方法，这将会走很多弯路，造成大量人力、物力、财力的浪费，而最终的试验效果也难以达到最优。本文基于虚拟激励法、逆虚拟激励法原理3-5，研究MIMO随机振动试验中控制谱矩阵设置的可实现性，并对某一细长型飞行器模拟件在不同控制点数量、控制参数设置情况下的振动试验进行数值模拟，分析控制点数量及控制互功率谱对双台振动试验的影响。应用此方法，在正式试验前对各种试验方案进行预试验，使试验人员提前了解振动试验中不同控制点位置、参数设置所产生的效果，提前知晓试件在试验过程中各部位振动响应情况，提前评判所选用的试验仪器设备能否顺利完成试验，避免在试验条件定制过程中的盲目性，由此可降低大型复杂试件振动试验的风险，获取最优的试验设计方案。1随机振动问题的分析方法1.1随机振动基本理论对于多输入多输出振动系统，其输入、输出谱密度矩阵为5-6Sxx()=Sx1x1()Sx2x1()Sxnx1()Sx1x2()Sx2x2()Sxnx2()Sx1xn()Sx2xn()Sxnxn()（1）式中：为圆频率；n为系统的输入或输出个数。对角线元素为各点的自功率谱，它表述随机振动在频域的能量分布，非对角线元素为两点间的互功率谱，它含有相干系数和相位这两个参数的信息，表达式为Sxixj=SxixiSxjxjxixjejxixj（2）式中：xixj为相干系数；xixj为相位差；i，j为公式索引变量。激励与响应的功率谱密度矩阵的关系式为6-7Syy()=-H()Sxx()HT()（3）式中：-H()为传递函数矩阵H()的共轭；HT()为传递函数矩阵的转置；Sxx()为系统的输出功率谱密度矩阵；Syy()为系统的输入功率谱密度矩阵。1.2虚拟激励法理论直接使用式（3）计算MIMO随机振动问题，计算量太大，因此林家浩等8提出虚拟激励法，这种方法在不降低计算精度的前提下，大大降低了求解该类问题的计算量。虚拟激励法3-4基本手段为矩阵的对角化变换，MIMO 系统的输入、输出功率谱密度矩阵Sxx()为Hermite矩阵，根据矩阵理论，Hermite矩阵一定酉相似于对角形矩阵，且其特征值为实数。则功率谱密度矩阵可转化为Sxx()=U1()U2()Un()1()2()k()00nnU*1()U*2()U*n()（4）式中：1()k()为矩阵Sxx()的特征值；k为矩阵Sxx()的秩；U1()Un()为酉矩阵的列向量；Ui*()为Ui()的共轭转置。式（4）可转化为Sxx()=i=1kUi()i()U*i()（5）令-xi()=i()Ui()，则Sxx()=i=1k-xi()xTi()（6）1）各激振力相互之间完全相干时，Sxx()的秩k=1，式（6）可改写为Sxx()=-x()xT()（7）70第 2 期王肇喜，等：基于虚拟激励法的多激励振动试验数值分析2）各激振力相互之间完全不相干时，Sxx()为对角线矩阵，式（6）可改写为Sxx()=-x1()xT1()+-x2()xT2()+-xn()xTn()（8）3）激振力部分相干时，Sxx()的秩为k（kn），式（6）可改写为Sxx()=-x1()xT1()+-x2()xT2()+-xk()xTk()（9）由于xi()为列向量，且相互正交，则可将MIMO随机振动系统的输入项视为几个相互正交的虚拟简谐激励力xi()eit叠加的效果。将式（6）代入式（3）得：Syy()=-H()i=1k-xi()xTi()HT()=i=1k-H()-xi()H()xi()T（10）则Syy()=i=1k-yi()yTi()（11）其中yi()=H()xi()（12）同理，根据式（11），可将MIMO系统的振动响应视为虚拟简谐激励xi()eit产生的虚拟简谐响应yi()eit叠加的效果，其虚拟激励与虚拟响应的关系见式（12）。应用虚拟激励法，求解 MIMO 系统随机振动响应的基本流程为：将输入的谱密度矩阵分解为式（6）的形式，构造虚拟激励xi()；由式（12）得出虚拟响应yi()；由式（11）输出功率谱密度矩阵。1.3逆虚拟激励法理论逆虚拟激励法5多用于随机振动载荷识别问题领域，即已知结构的随机振动响应和结构的固有特性（频响函数矩阵），反推结构所受的激振力。逆虚拟激励法的计算流程为：将Syy()改写为式（11）的形式，构造虚拟响应yi()；由式（12）构造方程，求解xi()；由式（6）得出激振力的功率谱密度矩阵。2双振动台试验模型分析两个振动台组成的双台振动试验系统如图 1 所示，其中加速度传感器、电荷放大器、计算机、功率放大器、振动台构成一个闭环反馈控制系统。试验过程中闭环控制系统不断反馈修正，调整两振动台输出的激振力，使试件上控制测点的振动响应功率谱与预设值相等。不同厂家的振动控制系统，其控制器的控制迭代算法各有不同，但经反馈修正，最终稳定时，两个振动台输出的激振力都使控制点实际振动响应与预设值相等或者偏差最小。根据此原理，假设控制器性能理想，对细长型飞行器双振动台试验建立力学模型，并进行分析。图1双台振动试验系统Fig.1The system of double vibration test 71空天防御第 6 卷2.1双振动台试验分析模型的建立由于球头（见图1）的作用，将试件与振动台连接处的转动自由度释放，且弹簧绳的拉力与试件的重力相抵消，则试件的边界条件可视为自由状态，其受力模型如图2所示，图中fi、fj分别为i、j位置点所受的力。该受力模型的动力学方程为9-10Mx +Cx +Kx=F（13）式中：M、C、K、F分别为飞行器的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵、所受的力矩阵。式（13）经傅里叶变换表示为(-2M+jC+K)X()=F()（14）即X()=H()F()（15）其中，F()为F()=00fi()00fj()00T（16）式中：fi()、fj()分别为图 2 中 i、j 位置点所受的力谱。结构的整个传递函数矩阵，可由模态测试的结果，根据模态叠加法11-12近似得到：H()=Hq()T（17）=123n（18）Hq()=112-2+211j122-2+222j1n2-2+2nnj（19）式中：i为第i阶固有频率；i为第i阶模态阻尼比；i为关于质量阵归一化的第i阶模态阵型。2.2双振动台试验控制谱矩阵可实现性分析对于双振动台试验系统，可视为一个两输入多输出的系统，输入的谱密度矩阵为22的矩阵。若控制点的个数为 m 时，则控制谱密度矩阵Syy()的维数为mm，将Syy()分解为式（11）的形式，yi()为m维列向量。双台振动试验系统下，逆虚拟激励法中式（12）为yi()m1=H()m2xi()21（20）1）当控制点的个数=2时，H()m2为方阵，在H()非奇异的情况下有唯一解（若矩阵H()奇异，则有无穷多解），由式（20）可直接求出xi()，解得使控制测点的实际振动响应与预设的谱值完全一致的两激振力。2）当控制点的个数2时，H()m2为长方振，此时式（20）理论上无解，只能求其最小二乘解，即试验控制系统经反复修正迭代后，产生的最优激振力，只能保证控制测点的实际振动响应值与预设的值差异最小，不能实现真实响应值与预设值完全一致。因此，采用多点（控制点数2）控制方式，一般情况下无法使各控制测点的实际振动响应值与预设值完全一致；双振动台试验系统采用两点控制方法，输入完整的控制谱矩阵，无论控制测点互功率谱的相干系数与相角为多少，理论上都可以使测点的实际振动响应与预设的功率谱密度矩阵完全一致。3不同试验条件下双台振动试验的数值模拟工程中，双振动台试验主要分为两点和多点（大于两点）两大类控制方式，控制测点的相干性又分为完全相干、完全不相干及部分相干等情况。针对工程中常用的控制方式，选取具有代表性的情况进行数值模拟。研 究 对 象 为 某 细 长 型 飞 行 器 模 拟 件，其 长3 100 mm、外径 200 mm、壁厚 65 mm，为铝质结构。该试件的模态参数由有限元分析软件MSC.Nastran计算得到，计算时将试件划分为20个梁单元、21个节点，约束其纵向自由度。飞行器模拟件有限元离散后模型如图 3 所示，飞行器模拟件前十阶固有频率见表1，其中前两阶为刚体模态。图2细长型飞行器的受力模型Fig.2The mechanical model of slender aircraft 72第 2 期王肇喜，等：基于虚拟激励法的多激励振动试验数值分析应用Matlab软件编程计算，模拟各种控制方式下的试验结果，计算流程如下：1）取模态阻尼比为0.03，由前十阶模态参数，根据式（17）式（19）得整个结构的频响函数矩阵；2）由控制点的控制谱密度矩阵，采用1.3节逆虚拟激励法计算流程，计算控制点位置振动响应达到控制谱值时，两激振力的自、互功率谱密度；3）由计算得到的激振力的自、互功率谱密度，采用1.2节虚拟激励法计算流程，计算得到试件各点的振动响应。3.1两点控制方式的模拟取试件上点1、21为控制点（见图3），两个控制点的自功率谱密度如图4所示。控制测点的互功率谱分别采用3种控制方式13-15：控制点全相干，两控制点的相干系数为1，相角为零；控制点完全不相干，两控制点的相干系数为零；控制点部分相干，两控制点的相干系数为0.5，相位差45。3 种控制方式的自功率谱相同，互功率谱各异。3种控制方式下，试件上各点振动响应的自功率谱密度、加速度均方根值分别如图5和图6所示。控制测点的互功率谱值，对试件振动响应的影响显著。各种控制方式下，控制点位置振动响应达到控制谱时，试件所受激振力的自功率谱密度、相干系数、相图3试件的有限元模型Fig.3The finite element model of the test specimen表1试件固有频率Tab.1The inherent frequency of analog sample阶数频率值/Hz10.0020.00399.184271.955530.396872.2871 296.3681 801.3092 385.70103047.89图4控制点的振动谱Fig.4The vibration spectral of the control points图5各种控制条件下试件上各点振动响应的自功率谱Fig.5The auto-power spectral density of various response points under different control conditions 73空天防御第 6 卷位差如图7图9所示。其中，控制点完全相干时，两激振力也完全相干，如图8（a）所示；当控制点不完全相干时，两激振力在频域内的相干系数起伏变化，如图8（b）、图8（c）所示。图6各种控制条件下试件上各点振动响应的加速度均方根值（RMS）Fig.6The acceleration RMS of various response points under different control conditions图9各种控制条件下试件所受两激振力的相位差Fig.9The phase difference of the exciting force under different control conditions图8各种控制条件下试件所受两激振力的相干系数Fig.8The coherence coefficient of the exciting force under different control conditions图7各种控制条件下试件所受激振力的自功率谱Fig.7The auto-power spectral density of the exciting force under different control conditions 74第 2 期王肇喜，等：基于虚拟激励法的多激励振动试验数值分析3.2多点（三点）控制方式的模拟多点控制方式：取试件上点1、10、21为控制点（见图3），各点的自功率谱密度如图10所示。点1、点21的相干系数为0.2，相位差为0，点10与1、21的相干系数为0.5，相位差为90。该种控制方式下，控制测点处的实际振动响应无法与预设值完全一致，如图11所示。试件各点振动响应的均方根值如图12所示。由图可见，这种控制方式各控制测点无法与控制谱完全一致，但可使试件各点振动响应分布比较均匀。试件所受的激振力的自谱、相干系数、相角如图13图15所示。3.3分析总结由3.1节与3.2节的算例可知，两点控制方法可以使控制点位置的振动响应与预设值完全一致（图5中，点1、点21的实际振动响应），多点（控制点数2）控制方式无法使控制测点的实际振动响应值与预设值完全一致（图11）。在振动试验前，可对各种控制方式进行预试验模拟分析，根据试件各点的振动响应自功率谱及加速度均方根值，选择合适的控制方式。除此之外，还需考图10控制点控制谱Fig.10Reference Auto-power spectral density图11试件上各点的振动响应Fig.11Auto-power spectral density of the simulated sample图12试件各点振动响应的加速度均方根值（RMS）Fig.12Acceleration RMS of the simulated sample图13试件所受激振力的自功率谱Fig.13Auto-power spectral density of the exciting force图14试件所受激振力的相干系数Fig.14Coherence coefficient of the exciting force图15试件所受激振力的相位差Fig.15Phase-difference of the exciting force 75空天防御第 6 卷虑激振力的因素，如图7（a）所示，这种控制方式下所需的激振力自功率谱密度跳变较大，有可能超出试验硬件设备的允许范围，使控制效果变差。因此，应尽可能选择所需的激振力自功率谱变化相对缓和的控制方式，如图7（b）、图7（c）所示。受激振点位置距离的影响，实际试验时激振力之间相互干扰，两激振力在低频段的相干系数较大，受这一因素的制约，应尽量避免选择所需的激振力低频段相干系数过小的控制方式，如图8（b）所示，该种控制方式所需激振力在2050 Hz之间的相干系数约为0.55，实际试验有可能无法实现，使控制效果变差。4结束语通过针对细长型飞行器开展基于虚拟激励法的多点激励振动仿真分析，可得到如下结论：1）虚拟激励法、逆虚拟激励法的应用可有效确保细长型飞行器MIMO随机振动试验的数值模拟计算精度，大大降低了问题的计算量，使试验前对各种试验条件的预试验分析成为可能。2）双台振动试验系统在采用两点控制方法时，输入完整的控制谱矩阵后，理论上控制点的实际振动响应与预设的功率谱密度矩阵完全一致。3）采用多点（控制点数大于激励点数）控制方法时，一般情况下各控制测点的实际振动响应值无法与预设值一致，输出的激振力只能保证控制测点实际的振动响应与预设值的偏差尽可能小。参考文献1 高贵福，王刚，赵保平.细长体复杂结构双振动台振动试验方法标准编制若干问题研究 J.航天器环境工程，2009，26（S1）：116-117.2 常研.随机振动试验的几个工程问题 J.电子机械工程，2002，18（2）：46-48.3 林家浩，张亚辉，赵岩.虚拟激励法在国内外工程界的应用回顾与展望 J.应用数学和力学，2017，38（1）：1-32.4 廖俊.随机振动的虚拟激励法研究 D.哈尔滨：哈尔滨工业大学，2007.5 李东升，郭杏林.逆虚拟激励法随机载荷识别试验研究 J.工程力学，2004，21（2）：134-139.6 SMALLWOOD D O.Extreme inputs/outputs for multiple input multiple output linear systemsR.Albuquerque，NM：Sandia National Laboratories，2005：875611.7 SMALLWOOD D O.Generation of time histories with a specified auto spectral density，skewness，and kurtosisR.Albuquerque，NM：Sandia National Laboratories，1996：224249.8 林家浩，钟万勰.关于虚拟激励法与结构随机响应的注记 J.计算力学学报，1998，15（2）：217-223.9 王磊，王飞，王海东，等.细长型飞行器双台随机振动试验虚拟试验技术研究 J.上海航天，2014，31（1）：56-62.10 ANDERSON L R，HALLAUER W L.A method of order reduction for structural dynamics based on riccati iterationJ.AIAA Journal，1981，19（6）：796-800.11 朱学旺，刘青林.飞行振动环境随机试验模拟的载荷等效 J.航天器环境工程，2006，23（5）：257-261.12 MOORE B.Principal component analysis in linear systems：controllability，observability，and model reductionJ.IEEE Transactions on Automatic Control，1981，26（1）：17-32.13 王鉴，赵宏宇，钟继鸿，等.临近空间飞行器的鲁棒控制器设计 J.空天防御，2019，2（3）：53-58，72.14 徐圣冠，陈红全，张加乐，等.高效高精度全局优化算法及其气动应用研究 J.空天防御，2022，5（3）：65-72.15 史晓鸣，高帆，张记华，等.防空导弹伺服振动问题及其地面试验验证 J.空天防御，2018，1（2）：33-36.76