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基于相空间重构的辐射源个体识别技术综述赵雨睿黄知涛*王翔*(国防科技大学电子科学学院长沙410073)摘要：辐射源个体识别技术，起源于雷达目标精确辨识任务，旨在根据截获的电磁信号提取辐射源独有的指纹特征，并进一步辨识辐射源个体身份的技术。相空间重构技术，作为一种有效的时间序列分析技术，可以从一维时间序列中重构一个与原系统非线性动力学特性相同的相空间。相空间重构技术自2007年开始被诸多学者引入辐射源个体识别问题中。然而，该项技术研究时间较短且分布较为分散，尚未形成清楚的发展脉络。对此，该文旨在系统性地总结归纳基于相空间重构的辐射源个体识别技术。首先，在介绍相空间重构技术的基础上，论述了相空间重构技术应用于辐射源个体识别的理论依据。其次，从方法框架、算法分类、算法应用效果、算法初步对比4个维度，介绍了基于相空间重构技术的辐射源个体识别技术的研究现状。仿真实验结果表明，该项技术能够有效地捕捉辐射源硬件的非理想性，胜任目标精确辨识任务，并可通过特征融合等手段提升算法鲁棒性。最后，总结现有方法的不足并展望其未来发展前景。关键词：辐射源个体识别；相空间重构技术；非线性动力学；指纹特征；目标识别中图分类号：TN95文献标识码：A文章编号：2095-283X(2023)04-0713-25DOI:10.12000/JR23057引用格式：赵雨睿,黄知涛,王翔.基于相空间重构的辐射源个体识别技术综述J.雷达学报,2023,12(4):713737.doi:10.12000/JR23057.Reference format:ZHAOYurui,HUANGZhitao,andWANGXiang.AreviewofspecificemitteridentificationbasedonphasespacereconstructionJ.Journal of Radars,2023,12(4):713737.doi:10.12000/JR23057.A Review of Specific Emitter Identification Based onPhase Space ReconstructionZHAOYuruiHUANGZhitao*WANGXiang*(College of Electronic Science and Technology,National University of Defense Technology,Changsha 410073,China)Abstract:SpecificEmitterIdentification(SEI),originatedfromidentifyingradarsystems,istoextractfingerprintfeaturesfromtheinterceptedsignalsforrecognizingemitteridentifies.PhaseSpaceReconstruction(PSR)isapowerfultechniqueintimeseriesanalysisthatcanreconstructaphasespacefromaone-dimensionaltimeseries,preservingthenonlineardynamiccharacteristicsoftheoriginalsystem.TheintegrationofphasespacereconstructionintoSEIbeganin2007.However,duetotherecentanddiversenatureofresearchfocusedonPSR-basedSEImethods,itischallengingtoestablishaclearcontextforitsdevelopment.Toaddressthisissue,thispaperaimstosystematicallysummarizeSEImethodsbasedonphasespacereconstruction.First,weintroducephasespacereconstructiontechnologyandemphasizethenecessityandfeasibilityofapplyingitinSEI.Next,wepresentacomprehensiveframework,classification,application,andcomparisonofPSR-basedSEImethods.SimulationexperimentsdemonstratedthatPSR-basedSEImethodscaneffectivelydescribethenon-idealitiesofemitterhardwarecomponentsandaccomplishthetargetidentificationtask.Inaddition,weverify收稿日期：2023-04-26；改回日期：2023-06-29；网络出版：2023-07-19*通信作者：黄知涛；王翔*CorrespondingAuthors:HUANGZhitao,;WANGXiang,基金项目：国家自然科学基金(62271494)FoundationItem:TheNationalNaturalScienceFoundationofChina(62271494)责任主编：雷迎科CorrespondingEditor:LEIYingke第12卷第4期雷达学报Vol.12No.42023年8月JournalofRadarsAug.2023thatfeaturefusionenhancesthealgorithmsrobustness.Finally,wesummarizethelimitationsofexistingmethodsandoutlineprospectsforfuturedevelopment.Key words:SpecificEmitterIdentification(SEI);PhaseSpaceReconstruction(PSR);Nonlineardynamics;Fingerprintfeatures;Targetidentification 1 引言辐射源个体识别(SpecificEmitterIdentifica-tion,SEI)技术，是指对接收的电磁信号进行特征测量，根据已有的先验信息确定产生信号辐射源个体身份的技术1，又称为辐射源指纹识别。同型号、同参数辐射源个体的差异是由于内部物理器件的非理想特性造成的，通过提取辐射源信号中能够反映这种差异的有效特征(又称指纹特征)，就能准确辨识辐射源个体身份。“特定辐射源识别技术”这一技术概念可追溯至20世纪60年代。美国海军研究实验室率先将其应用于雷达目标系统的识别任务。经过长达半个世纪的发展，国内外学者研究设计了大量的指纹特征，拓展SEI技术应用于雷达、通信、导航等目标，使得SEI技术在频谱监管、目标跟踪、物理网安全等领域取得了一定的应用效果2。现有SEI技术的分类方法主要有3种：一是根据目标对象进行划分3,4，如雷达辐射源个体识别技术5,6、通信辐射源个体识别技术、导航设备个体识别技术等；二是根据信号状态进行划分4,7，如基于瞬态信号的辐射源个体识别技术8、基于稳态信号的辐射源个体识别技术9等；三是根据特征提取方式进行划分2，如基于特征工程的辐射源个体识别技术10、基于深度学习的辐射源个体识别技术1113等。此外，还可以根据指纹特征提取变换域不同，分为时频图14、星座图15、高阶谱16、相空间重构(PhaseSpaceReconstruction,PSR)17等分支。其中，基于相空间重构的辐射源个体识别方法(Spe-cificEmitterIdentificationbasedonPhaseSpaceReconstuction,SEI-PSR)是由美国海军研究室的资深研究员Carroll17在2007年首次提出的。Carroll研究员凭借其在非线性动力系统领域的多年研究经验，推断相空间重构技术可有效表征探究辐射源系统的非线性动力学特性，进而描述独一无二的辐射源硬件特性。Carroll研究员搭建了采用不同功放的信号发射电路，实验表明通过比较相轨迹的时间微分所获得的统计量，可从信号正弦稳态部分中提取由功放引起的非线性无意调制指纹特征。在此研究基础上，诸多学者在15年的时间内对SEI-PSR技术展开了一系列的研究，所设计的指纹特征包含关联维数18,19、最大Lyapunov指数18,19、相轨迹形状20等。目前，该技术已经成功应用于雷达、通信电台、通用软件无线电、无线网卡、手机、舰船等诸多类型辐射源。从信号体制角度而言，该类技术广泛覆盖了单音信号、雷达信号、数字调制信号、蓝牙信号、WiFi信号等。大量的实验表明，相空间重构技术以其刻画非线性动力性的出色能力，在辐射源个体识别领域具有独特的优势。首先，相空间重构技术将辐射源设备视作一个完整的系统，描述其内部器件的电路特性，与辐射源硬件特性紧密相关，具有较强的可解释性，可用于解决指纹特征可解释性弱的问题。其次，重构相空间通过相点及相点间的转移规律，着重描述了系统的动力学特性，为放大微小硬件差异、提取有效的指纹特征提供可能。再次，与以往对某一器件单独建模分析不同，重构相空间是从动力学角度对辐射源整个系统进行描述，蕴含了所有器件的特性以及器件间的耦合关系，具备提取未知辐射源指纹特征的潜能。但由于SEI-PSR技术研究时间较短且研究较为分散，现有的综述文献大多总结罗列了现有的基于相空间重构的辐射源个体识别方法24,7，未能系统地阐述SEI-PSR技术的理论基础及发展脉络。为弥补这一领域欠缺，本文从理论基础、研究现状、未来前景3个方面对SEI-PSR技术进行系统性梳理归纳。2 理论机理探究 2.1 理论基础 2.1.1 系统吸引子S(S Rm)在非线性动力学中，每个辐射源都可视为一个确定性动力系统，即所有系统变量可用确切的函数关系来描述，系统的运动特性可以完全确定。可采用微分方程描述辐射源系统在相空间中的时间演化规律21，表示为dxdt=F(x)(1)x=x1(t)x2(t).xm(t)AA其中，为辐射源系统在t时刻的状态，属于系统状态空间S内，相空间的维数m表示系统的自由度。随着系统的演化，系统状态x趋向于某一组稳定状态集合，即系统的初始状态终将会被吸引到低维集合 上。该集合是系统相空间的子集，描述了系统的稳定行为，称为714雷达学报第12卷吸引子(Attractor)。根据非线性动力学特性不同，系统吸引子结构也不相同。系统吸引子可以是一个点、一组点的集合、一条曲线、一个流形，甚至是一个具有分形结构的复杂集合。根据非线性动力学规律，辐射源系统的工作状态终将收敛至其吸引子上。系统吸引子上的状态点描述了辐射源系统稳定时所有可能处于的状态集合，状态点之间的转移描述了系统的演化规律，即其非线性动力学特性。由于生产工艺的限制，每个辐射源系统硬件均与理想情况存在一定的偏差，表现为系统非线性动力学特性间的差异，故每个辐射源系统都具有与之一一对应的吸引子。独一无二的系统吸引子能够描述辐射源硬件的特性，蕴含个体身份信息，可以作为系统辨识的依据。相比于其他变换域，系统吸引子能够更为直接地呈现辐射源系统的非线性动力学特征，有利于提取具有高辨识度的指纹特征。然而，由于观测手段的限制，通常难以测量辐射源系统中各个变量的实时状态，即无法直接获得辐射源系统吸引子。为解决这一问题，需从观测数据中测量系统吸引子结构，并寻找其特性作为辐射源个体指纹特征。2.1.2 相空间重构技术由于动力学系统中的每一个状态分量都与其他分量相互作用，因此整个吸引子的动力学特性反映在系统某一状态分量的观测值中，即通过观测系统的标量时间序列便能够重构系统的状态空间，且其中蕴含着系统吸引子。从标量时间序列中重构与系统吸引子等价的相空间，称为相空间重构技术21。相空间重构技术为从时间序列中分析系统动力学特性并预测系统演化规律提供可能，被广泛应用于金融分析22,23、故障检测24,25、时序预测等领域23。在如何重构系统相空间这一问题上，目前有两种方法应用较为广泛。一是1980年Packard等人26提出的导数法，即一维序列的不同阶导数构建相空间矢量。二是1981年Takens27提出坐标延迟法，即采用不同的延时时间构建相空间矢量。Noakes28对这一定理的证明过程进行了详细的补充。在两者基础上，Gibson等人29证明了在一定条件下导数法是坐标延迟法的旋转。二者相比而言，坐标延迟重构法计算量小，数值精度高、物理意义明晰，应用更为普遍。因此，本文采用坐标延迟重构法重构系统相空间。假设系统的观测时间序列为s(n)=(s(1),s(2),.,s(N)(2)s(n)其中，N为信号长度。在SEI任务中，观测时间序列即为接收机截获信号。利用不同的延迟时间来构造m维相空间矢量si=s(i)s(i+).s(i+(m 1)(3)进而得到重构相空间S为S=sT1sT2.sTN(m1)T(4)为实现对系统的非线性动力学特性分析，需要设置适当的延迟时间 与嵌入维数m，进而保证系统重构相空间S与其吸引子等价。m 2d+1s(n)Takens27,28在提出延迟坐标法的同时证明了嵌入定理，即对于无限长、无噪声的d维系统吸引子，只要维数，总可以从其标量时间观测序列中找到一个m维的嵌入相空间，且该重构相空间与系统吸引子微分同胚等价。嵌入定理保证了延迟坐标技术可以从一维观测时间序列中重构一个与原动力系统在拓扑意义下等价的相空间，即二者微分拓扑等价。然而，在现实的应用场景中，理想的无噪声、无限长信号是不存在的，因此如何选择适当的延迟时间 与嵌入维数m尤为重要。2.1.3 重构参数确定在利用坐标延迟技术重构系统相空间时，嵌入维数m与延迟时间 的确定在很大程度上决定了重构相空间的质量。重构参数选择的目标是使重构相空间和吸引子的近似程度达到最优，即尽可能地做到微分同胚。选取延迟时间 的目标是使原时间序列经过延迟时间后可以作为相对独立的坐标使用。如果 太小，则相空间矢量的任意两个分量在数值上非常接近，具有强关联性，信息冗余量较大。如果 太大，则两坐标在统计意义上又是完全独立的，即二者间不存在关联性。因此需要确定一个合适的值。选择嵌入维数m的目标是尽可能保证重构相空间与系统吸引子拓扑等价。若嵌入维数m过小，则吸引子可能会出现折叠甚至自相交的现象，即重构相空间某些区域的较小邻域内会包含吸引子不同轨道上的相点，导致重构相空间和原始吸引子结构差异较大。若嵌入维数m过大，虽然吸引子的几何结构被完全打开，但计算量显著增加，带来计算资源的大量消耗，且在重构相空间中噪声的影响会被进一步放大。现有的延迟时间 与嵌入维数m的估计算法主要可以分为两种：第1种观点认为延迟时间 与嵌入维数m是互不相关的，即先求出延迟时间之后再根据它求出合适的嵌入维数。对于延迟时间的选取，目前常用的方法有自相关法30、平均位移法31和互信息法32等。而对于最小嵌入维数m的选取，目前的方法主要是第4期赵雨睿等：基于相空间重构的辐射源个体识别技术综述715几何不变量法33、虚假最临近点法(FalseNeigh-borNodes,FNN)34及其改进形式Cao氏方法35。tw=(m 1)tw=(m 1)twtoptw=(m 1)第2种观点则是认为延迟时间 和嵌入维数m是相关的，即通过算法同时估计出延迟时间 和嵌入维数m。1986年，Broomhead和King36提出在实际数据处理中，可以采用固定的时间窗口来确定延迟时间和嵌入维数两个参数，通过两个参数值之间的相互变化来确定最佳的参数组合。1996年Kugiumtzis37提出两个参数的选择是不能相互独立的，两个值应该依赖于延迟窗长的变化而变化，即只要延迟时间和嵌入维数满足最优的时间窗长度，则可保证关联维不变。但是该算法在求解的过程中需要经过大量的试验，因此计算量较大。1999年，Kim等人38提出了C-C方法，该方法使用关联积分同时估计出延迟时间 和时间窗。虽然，C-C方法相对简单，容易实现，但其时间窗参数的估计易被干扰，进而导致嵌入维数的估计有较大的偏差。综合考虑算法的准确度与复杂度，本文选择分别估计延迟时间和嵌入维数的算法，并分别采用互信息法和Cao氏方法估计延迟时间 和嵌入维数m。(1)延迟时间p1,p2,.,pnq1,q2,.,qm在互信息法32中，令系统P和Q分别代表两离散信息系统和，则根据信息论可知从两系统测量中所获得的信息熵分别为H(P)=ni=1Pp(pi)log2Pp(pi)H(Q)=mj=1Pq(qj)log2Pq(qj)(5)H(P)H(Q)Pp(pi)Pq(qj)piqj其中，和分别表示两系统的信息熵，即平均信息量。而和则分别代表系统P和Q中事件 和 的概率。在已知系统P的情况下，可获得的关于系统Q的信息，称之为P和Q的互信息，其表达式为I(Q,P)=H(Q)+H(P)H(Q,P)(6)H(Q,P)其中，为系统P和Q的联合熵，可以表示为H(Q,P)=H(P,Q)=ijPpq(pi,qj)log2Ppq(pi,qj)(7)Ppq(pi,qj)piqjI(Q,P)其中，为事件和事件的联合分布概率。将式(5)和式(7)代入式(6)，则系统P和Q的互信息可以表示为I(Q,P)=I(P,Q)=ijPpq(pi,qj)log2Ppq(pi,qj)Pp(pi)Pq(qj)(8)在确定延迟时间 时，定义两时间序列p与q分别为pq=s(n)s(n+)(9)s(n)s(n+)I(Q,P)I()I()s(n)s(n+)其中，p代表时间序列，q为其延迟时间 的时间序列，则二者的互信息与延迟时间 紧密相关。令互信息为，则的大小代表了在已知系统的情况下，系统的确定性大小。I()=0s(n)s(n+)s(n)s(n+)I()s(n)s(n+)I()当时，表示与完全不相关，即在已知的情况下完全不可预测。当遍历延迟时间 时，的极小值表示了与最大可能的不相关。因此，在互信息法中选取的第1个极小值所对应的延迟时间作为最优延迟时间。(2)嵌入维数si=s(i)s(i+).s(i+(m 1)sNNi在Cao氏方法35中，m维重构相空间S的每一个相点矢量都具有一个最近临点。采用欧氏距离度量两个相点间的距离，则二者间距离为Rm(i)=?si sNNi?(10)si RmsNNi Rmm+1其中，,分别为m维相点矢量及其最邻近矢量点。为欧氏空间中两个相点间距离。当重构相空间的维数从m维增加到维时，二者间的距离变化为Rm+1(i)=?si sNNi?(11)si Rm+1sNNi Rm+1m+1Rm+1(i)Rm(i)sisNNisisNNi其中，,分别为维相点及其最邻近相点。若，则可推断与的临近关系是虚假的。这一现象的产生原因是 与本是高维吸引子中两个不相邻的相点，而投影将其映射为低维轨道上两相邻的相点。因此，这一特性可以用于寻找延迟坐标技术中的最小嵌入维数m。定义不同维数空间内两相点的距离比为a(i,m)=Rm+1(i)Rm(i)(12)E1(m)进一步定义描述距离比变化规律的指标为E1(m)=E(m+1)E(m)(13)E(m)其中，统计了整个重构相空间的距离比，可以表示为E(m)=1N mNmi=1a(i,m)(14)s(n)E1(m)s(n)E1(m)若时间序列是随机信号，则随着m增大而增加；若时间序列是确定信号，716雷达学报第12卷m0m0m0m0将在m大于某一特定值后不再变化。该特定值为最小嵌入维数，即当嵌入维数大于该特征值时，重构相空间结构完全打开，可以充分体现系统吸引子特性。通常为了提高计算效率，降低计算矩阵维度，直接采用最小嵌入维数作为重构相空间中的嵌入维数。2.2 机理证明本节旨在采用相空间重构技术从观测数据中重构辐射源系统相空间，进而将辐射源个体识别问题转化为系统吸引子辨识问题。重构辐射源相空间的核心是建立起观测数据与系统吸引子之间的精确映射关系。系统吸引子蕴含了硬件的非理想性特性，可以作为个体身份的辨识依据。本节首先介绍辐射源个体识别的问题模型，而后推导了系统吸引子与其重构相空间的关联，并提出一种基于相空间重构的辐射源个体识别理论框架，最后阐释该框架的优势与意义。2.2.1 问题模型从非线性动力学的角度出发，辐射源是一个包含多个子系统的非线性动力学系统，该系统的状态由多个子系统的状态组成，其观测过程则是利用接收机截获辐射源所发射的无线电信号。因此，辐射源个体识别过程是基于截获信号完成对辐射源系统硬件的辨识，如图1所示。从图1可以看出，一个典型的辐射源系统一般包括6个部分，即信号源、调制器、高频振荡器、混频器、滤波器以及功率放大器。每一个部分可以认定为一个子系统，则辐射源系统的相点x可以表示为x=x1x2.x6(15)其中，相点x中每一维度描述了各子系统状态，不同维度共同描述了整个系统当前的状态。辐射源系统中每个组成部分的演变趋势与整个系统当前所处状态和硬件特性关联密切。令每个子系统的演化方程分别为f1(),f2(),.,f6()(16)进而每个子系统的演化趋势为 x1=f1(x1,x2,.,x6)x2=f2(x1,x2,.,x6).x6=f6(x1,x2,.,x6)(17)考虑更为一般的情况，辐射源系统的非线性动力学特性可以表示为t=1 x=F(x,t)(18)F(x,t)t x其中，t是辐射源系统时间，x是辐射源系统相点，是系统的非线性动力学模型。和 分别是时间t和相点x的微分，描述了二者的变化趋势。为简化方程表达式，令系统时间t为系统中的一维变量，则辐射源系统的非线性动力学模型可以表示为 x=F(x)(19)F()展开非线性动力学模型，则有 x1=f1(x1,x2,.,xd)x2=f2(x1,x2,.,xd).xd=fd(x1,x2,.,xd)(20)fi()其中，为第i个子系统的演化方程，且仅具有非线性特性，而不具有微分结构。d是系统的内蕴维数，反映系统的复杂程度。信号源f1()调制器滤波器功率放大器高频振荡器混频器低噪放大器混频器本振频率源滤波器处理器辐射源接收处理机f2()f3()f5()f6()f4()S()s(t)x5x4x6x3x2x1图1辐射源个体识别系统流程Fig.1FlowchartofSpecificEmitterIdentification(SEI)第4期赵雨睿等：基于相空间重构的辐射源个体识别技术综述717S()s(n)A在观测辐射源系统时，接收机通过采集、放大、下变频等观测步骤获得信号，并将其输入到处理器中，完成辐射源个体身份辨识的任务。当辐射源正常工作时，系统吸引子 的内蕴维数为d，且辐射源系统所有的状态都蕴含其中。忽略信道和接收机的影响，直接采集辐射源系统所发射的信号，则此时辐射源系统的观测过程可以描述为s=S(A)=S(x)=S(x1,x2,.,xd)(21)S()其中，为观测函数，s为系统某一时刻观测值。fi()辐射源个体间的差异来自器件生产过程。受到工艺水平的制约，每个硬件的工作参数都与理想参数存在着一定的偏差，即参数与理想值存在一定偏差。辐射源个体识别的任务就是基于截获的信号，提取独一无二的硬件特性，作为个体识别的依据。从观测信号中，提取辐射源系统的非线性动力学特性，可以表示为s(n)7 F()(22)s(n)F()至此辐射源个体识别问题转化为采用观测序列辨识演化方程的特性，进而完成辐射源个体身份的识别。2.2.2 等价关系证明Ax AA2d+1R2d+1F()当辐射源系统工作在稳定状态时，系统不会出现混沌状态，则其吸引子可以视作一个d维紧致流形，其中每一相点可表示为。根据Takens定理27,28，d维的系统流形可完全嵌入至一个维的欧氏空间。令为嵌入函数，则有F(x)=(x),d(x)dt,.,d2d(x)dt2d)=(x),(1)(x),.,(2d)(x)(23)()A(i)()(i)S()()其中，为系统流形 上的一个光滑函数，上标代表第i阶导数。考虑特殊情况，令观测函数为光滑函数，则式(23)可以写为F(x)=(S(x),dS(x)dt,.,d2mS(x)dt2m)=(S(x),S(1)(x),.,S(2d)(x)(24)S(i)()(i)A2d+1S(0)(x)S(1)(x).S(2d)(x)其中，上标代表第i阶导数。因此，系统流形可完全嵌入维的欧氏空间中。():A AAS():A R2d+1A(2d+1)S():A R在延迟坐标技术中，令表示流形上延迟时间 的作用函数，且为流形 的次的叠加观测。进而有S():x S(0)(x)S(1)(x).S(2d)(2d(x)(25)i()F()其中，的上标i代表延迟i次 时长的观测。代入系统动力学方程，则有S():x S(x)S(F(x).S(F2d(x)(26)Fi()s(k)其中，为系统推演i次 时长的动力学方程。考虑第k次观测，则式(26)可表示为S():x s(k)s(k+).s(k+2d)(27)s(k)s(i)(k)分析第k次观测的第i阶导数，则有s(1)(k)=s(0)(k+)s(0)(k)=s(k+)s(k)s(2)(k)=s(1)(k+)s(1)(k)=s(k+2)s(k)2.s(2d)(k)=s(2d1)(k+)s(2d1)(k)=s(k+2d)s(k)2d(28)s(k+q)s(q)(k)由式(28)可知，与等价，故式(27)可以表示为导数形式S():x s(k)s(1)(k).s(2d)(k)(29)s(i)(k)(i)其中，的上标代表第i阶导数。因此，式(25)可表示为S():x S(x)S(1)(x).S(2d)(x)(30)A2d+1S(x)S(x).S(2d(x)S()对比式(24)与式(30)可知，二者等价。因此，系统流形可完全嵌入延迟坐标技术所得维的欧氏空间，即是微分同胚映射。sk=s(k)s(k+).s(k+2d )S=s1s2.sN(m1)S R2d+1令，则辐射源系统对应的重构相空间为且，进而有S(A)=S(31)S()AA由于为微分同胚映射，所以重构相空间S与系统吸引子 间微分同胚，故重构相空间S中包含系统吸引子，蕴含辐射源个体的指纹特性，可以作为个体身份的辨识依据。2.2.3 非理想性分析辐射源中各个器件的非理想性都会造成信号的无意调制，例如数模转换器、成型滤波器、高频振718雷达学报第12卷荡器、功率放大器等。不同器件带来的无意调制程度不同，其中贡献最多的是功率放大器的非线性。理想辐射源发射的单频信号可以表示为s(t)=a0exp(j2fct)(32)fca0 x=s(t)其中，为信号载频，为单频信号的幅度。此时辐射源内部结构简单，发射信号即蕴含了整个非线性动力学系统特性。令，则此时辐射源系统的非线性动力学方程可以表示为t=1 x=j2fca0exp(j2fct)(33)(1)功率放大器的非线性根据文献39，辐射源的非线性特性模型可以用泰勒级数表示，即s(t)=Kamk=1bkexp(j2kfct)(34)Kamb=b1b2.bKam其中，为功率放大器非线性带来的谐波阶数，为功率放大器的非线性参数，k为第k个谐波分量。考虑到阶数越高的谐波分量，能量越弱，本实验中仅考虑模型中的前3项分量，仿真生成10个非线性参数不同的辐射源。若考虑式(34)中功率放大器的非线性，则此时的非线性动力学方程可以表达为t=1 x=j2fcKamk=1kbkexp(j2kfct)(35)对其进行整理，可以得到 x=j2fcKamk=1kbkej2kfct=j2fc b12b2.KambKamej2fctej22fct.ej2Kamfct=j2fc 12.Kamb1b2.bKamej2fctej22fct.ej2Kamfct=j2fcETamBFam(t)(36)B=diag(b1,b2,.,bKam)其中，对角矩阵的对角元素为功率放大器非线性参数，描述着功率放大器的非ETam=12.KamTFam(t)=ej2fctej22fct.ej2KamfctT线性。当载频固定时。为谐波阶数向量，与谐波阶数相关，则为谐波分量向量。此时，非理想辐射源系统的吸引子可以看作理想辐射源吸引子进行一定比例的缩放，且缩放的程度与功率放大器的非线性参数相关。(2)高频振荡器的相位噪声根据文献40可知，高频振荡器的相位噪声可以表示为s(t)=Kosk=0akexp(j2(fc+fk)t)(37)Kosfkfk fcfk+fc fc其中，表示杂散分量的阶数，表示第k个杂散分量的频率，且有，即。此时的非线性动力学方程可以表达为t=1 x=j2Kosk=0ak(fc+fk)ej2(fc+fk)t(38)对其进行整理，可以得到 x=j2Kosk=0ak(fc+fk)ej2(fc+fk)t=j2fcfc+f1.fc+fKosAej2fctej2(fc+f1)t.ej2(fc+fKos)tj2fcej2fct 11.1 A1ej2(f1)t.ej2(fKos)t=j2fcej2fct(t)ETosAFos(39)A=diag(a1,a2,.,aKos)fk fc其中，描述了不同杂散分量的贡献程度。注意到，这意味着杂散分量变化的时间尺度远大于其他变量。然而，与变量不同，它是一个缓慢变化的变量。因此，含有杂散分量的吸引子可以看作吸引子在某一频率下漂移。漂移频率取决于杂散分量频率，而漂移幅值与杂散分量幅值相对应。3 研究脉络梳理 3.1 方法框架s(n)F()F()从观测信号反推其生成因素的过程可以归纳为一反问题。该类问题难以获得具体的数值解。基于前文证明的重构吸引子与系统吸引子微分同胚的结论，可以推断出重构相空间S蕴含着硬件的非理想特性，能用于提取硬件的指纹特征。第4期赵雨睿等：基于相空间重构的辐射源个体识别技术综述719为了解决这一问题，本节提出基于相空间重构的辐射源个体识别理论框架，如图2所示。从图2可以看出，首先对信号进行预处理主要完成抑制噪声、标准化数据样本等任务，为后续特征提取提供有效样本。其次，利用延迟坐标技术从观测信号中重构系统相空间。重构相空间与系统吸引子具有微分拓扑的等价关系，能够反映辐射源的非线性动力学特性，蕴含着硬件独一无二的非理想性，可以作为个体身份辨识的依据。延迟坐标技术中的延迟时间与嵌入维数的选择分别采用互信息法与Cao氏方法确定。最后，依据重构相空间中所蕴含的辐射源非线性动力学特性进行个体身份的辨识。辐射源指纹特征提取的实现既可以依赖于人为设计指纹特征，也可利用深度学习自动提取指纹特征。若采用人工特征，则需根据专家经验设计相空间特性的有效表征并选择合适的分类器完成这一任务；若采用深度学习方法，则特征提取步骤与分类识别步骤可一同依赖神经网络完成。3.2 算法分类从非线性动力学角度出发，相空间是辐射源个体所有可能状态的集合，描述着辐射源系统的动力学特性，蕴含着辐射源个体独一无二的特性。自2007年美国海军实验室Carroll17利用相空间中相轨迹的微分统计量对不同的功放模型进行识别始，基于相空间的辐射源个体识别技术历经近15年的发展。诸多学者从不同的角度提出了个体识别方法。根据分析所采用信号对象不同，现有的SEI-PSR技术可以分为基于瞬态信号的SEI-PSR技术与基于稳态信号的SEI-PSR技术。瞬态信号是发射机在开/关机或切换工作状态时无意发出的，蕴含辐射源的非线性动力学特性，易于分辨。但瞬态信号是突发形式，不易捕获。相比而言稳态信号更容易获取，但其中包含传输信息的有意调制，不利于指纹特征的提取。根据分析的对象不同，现有的SEI-PSR技术又可以分为雷达、通信电台、软件无线电、手机等。本节则从SEI所提的不同特征入手对现有的SEI-PSR技术进行归纳梳理，进而将现有算法分为统计特性、矩阵特性、几何构型、转移特性以及系统等效性5个方面，如表1所示。通常情况下辐射源个体硬件非理想性带来的无意调制能量较小，不同个体的信号间差异较少，重构相空间的延迟时间和嵌入维数相同。本节所总结的算法就是针对延迟时间和嵌入维数相同的情况下重构相空间的指纹特征提取过程。当辐射源个体间差异较大时，即不同个体的嵌入维数或延迟时间不同，延迟时间和嵌入维数即可直接作为辐射源个体身份的辨识依据。3.2.1 统计特性从统计学角度而言，统计特性是用数理统计方法研究总体，而非组成总体的个体本身。为通过重构相空间辨识辐射源个体身份，部分学者提出统计重构相空间中相点的特性，作为重构相空间的特性描述，进而用于辨识辐射源个体身份。(1)关联维数关联维数(CorrelationDimension,CD)是混沌系统分析中一个常见的定量分析参数，可以反映吸引子的结构18,19,41,42，进而间接地说明系统的混沌程度，是刻画吸引子的重要参数，体现了非线性时间序列在高维空间中的结构的复杂度和自相似性。令r为重构相空间中相点的临界距离，则在重构相空间中两相点间距离小于临界距离的概率为Cm(r)=1(N (m 1)2N(m1)i=1N(m1)j=1(r|si sj|)(40)Cm(r)N (m 1)()其中，又称为关联积分，为重构相空间中的相点数，为Heaviside函数，即()=0,0(41)Cm(r)rDmDm在r的某区间内，有，进而有关联维数为Dm=limrlnCm(r)lnr(42)相空间重构吸引子预处理特征提取分类识别辐射源接收处理机图2基于相空间重构的辐射源个体识别方法框架Fig.2FrameworkofSpecificEmitterIdentificationbasedonPhaseSpaceReconstruction(SEI-PSR)720雷达学报第12卷(2)Kolmogorov熵Kolmogorov熵，又称Kolmogorov-Sinai熵(KolmogorovShannon,KS)是Shannon熵的拓展概念18,41,42，能够描述系统动力学的随机性大小，表示相点概率分布的混乱度，也可体现系统的结构复杂程度及其混沌程度，其被定义为K=1mrlnCm(r)Cm+1(r)(43)Cm(r)其中，m为重构相空间的嵌入维数，r是临界距离，为式(40)中的关联积分。由式(43)可以看出，Kolmogorov熵越大，那么信息的损失速率越大，系统的混沌程度越大，即系统越复杂。(3)最大Lyapunov指数sisjLyapunov指数(LyapunovExponent,LE)是混沌系统分析中常见的定量分析参数，并且与初始值无关，是吸引子本身固有的性质18,19,41,42。Lyapun-ov指数能够描述吸引子中某两条轨迹随时间演化后其距离分离速度的量。若LE为正数，则说明系统是混沌的，且LE值越大，系统的混沌程度越大；若LE小于零，则说明系统具有可预测性。令,为一组点，则这二者经历了n次状态转移后，距离变化为Dn=|si+n sj+n|=en|si sj|=enD0(44)D0Dn其中，为初始距离，为经历了n次状态转移后的距离，进而Lyapunov指数 可以表示为=1nlnDnD0(45)一般情况下，系统的Lyapunov指数不止一个值，其中最大的Lyapunov指数(LargestLyapunovEx-ponent,LLE)具有代表性，所以在分析时间序列时，只计算最大Lyapunov指数即可。(4)排列熵si=s(i)s(i+).s(i+(m 1)Ri=r1r2.rmRiRim!sim!sisiP1P2Pm!排列熵(PermutationEntropy,PE)是一种度量时间序列复杂性的非线性动力学参数，具有计算简单、抗噪声能力强的特点，能够准确检测复杂系统的变化4345。对于m维重构相空间中第i个相点，定义一个包含m个元素的顺序集，且中所有元素数值都不同，则中m个元素的大小排列关系共可能有种。则对于重构相点，其中m个元素最多有种不同的排列。进而可以得到重构相点 与其排列方式的映射关系，统计所有重构相点各种排列情况出现的频率,，按照香农信息熵的定义可以得到排列熵，即EP=m!i=1PilnPi(46)(5)近似熵近似熵(Approx