函数型线性回归模型的变点检验.pdf

应用概率统计第 39 卷第 4 期2023 年 8 月Chinese Journal of Applied Probability and StatisticsAug.,2023,Vol.39,No.4,pp.475-490doi:10.3969/j.issn.1001-4268.2023.04.001函数型线性回归模型的变点检验刘宣(南昌师范学院数学与信息科学学院,南昌,330032)马海强(江西财经大学统计学院,南昌,330013)摘要:本文研究了解释变量为过程,响应变量为标量的函数型线性回归模型的变点检验问题.基于投影矩估计量,在截断的有限维空间上,论文给出了检验统计量和变点估计量,获得了检验统计量的渐近分布,并在一定的条件下证明了变点估计量的相合性.数值模拟和实际数据分析呈现了所提方法的有限样本表现.关键词:变点;函数型线性回归模型;投影;布朗桥中图分类号:O212.1英文引用格式:LIU X,MA H Q.Detecting changes in the functional linear regression modelJ.Chinese J Appl Probab Statist,2023,39(4):475490.(in Chinese)1引言自 Quandt1首次使用似然比方法研究回归系数和响应变量方差同时变化的回归模型以来,许多学者致力于在线性回归模型的框架下用不同的方法来考察变点问题.Brown等2采用残差和方法来检验多元回归模型中的变点问题.Ferreira3、Holbert4、Fan等5使用了转换回归模型进行贝叶斯变点分析.Hu skov a69给出了累积和及 M 检验的稳健版本.Kim 和 Siegmund10提出了简单线性回归模型中变点的似然比检验.Horv ath11在多元回归模型中使用了最大似然比检验.Liu 等12提出了一种基于经验似然的非参数方法来检测线性回归模型系数的变点.Hawkins13给出了线性回归模型变点的交叉联合检验方法.Chen14利用简单线性回归模型中的 Schwarz 信息准则确定变点位置.关于传统线性回归模型变点问题的详细回顾,可以参考 1518 等相关文献.Ramsay 和 Silverman19提出的函数线性模型受到了广泛关注.理论上,函数线性回归模型假设回归系数是不变的.但在实际中,一旦样本来自两个不同的总体且无法区分,则现有的估计方法易导致模型识别错误和不必要的偏差.在实践中,函数型数据经常出现在气候、环境和经济增长等领域.这些数据很容易受到干预事件的影响,如新冠疫情影响经济增长、车辆限制改善空气质量.然而,相关研究屈指可数.Horv ath 和 Reeder20利用预江西省教育厅科技类重点项目(批准号:GJJ202603)、南昌师范学院博士科研基金项目(批准号:NSB-SJJ2020006)和江西省教育厅一般项目(批准号:GJJ200522、GJJ200545)资助.通讯作者,E-mail:.本文 2021 年 3 月 24 日收到,2021 年 9 月 13 日收到修改稿.476应用概率统计第 39 卷测的加权残差,给出了带函数响应和函数解释变量的函数型线性回归模型的变点检验过程.不过,他们并没有考虑变点的估计问题.因此,相关问题值得继续探讨.本文考虑如下函数型线性回归模型:Yi=u+10Xi(s)uX(s)(s)ds+i,1 6 i 6 N,(1)其中 Yi为响应标量,均值为 u=E(Yi),Xi(s)(i=1,2,N)为函数型解释变量,满足独立同分布,均值为 uX(s)=EXi(s),i是均值为 0、方差为 2的独立同分布随机误差,(s)是区间 0,1 上均方可积的系数函数,Xi(s)与 i相互独立.模型(1)出现在多个研究中.例如,Hastie 和 Mallows21、Cardot 等22对函数(s)的估计进行了研究.与以往文献不同,本文旨在讨论该模型的变点问题.我们参考 Berkes 等23对函数型数据均值变点问题的解决思路,提出了模型(1)的变点检验方法,并对该模型的变点问题建立了一些渐近结果.在系数函数不变的情况下,第 3 节利用投影的加权矩估计得到了检验统计量.结果表明,在原假设成立的条件下检验统计量具有明确的渐近分布.若系数函数存在变点,则定理2 给出了变点的一致估计量.模拟研究和实际数据分析显示了本文所提方法的优良性.论文的结构如下.在第 2 节中,我们介绍了所需的假设.第 3 节给出了变点检验的方法和相关结论.第 4 节研究了有限样本的表现.第 5 节对加拿大气象站数据进行了实证分析.第 6 节作了进一步的讨论.附录包含第 3 节中的定理证明和相关模拟.2假设条件下面给出后续分析需要的假设条件.假设 1EXi uX2=10EXi(s)uX(s)2ds .假设 1 蕴含协方差函数 c(s,t)=EXi(s)uX(s)Xi(t)uX(t)均方可积并使之能够展开成如下形式:c(s,t)=16llvl(s)vl(t),其中 l,vl(s)(l=1,2,)分别是 c(s,t)的特征值和特征函数,即10c(s,t)vl(s)ds=lvl(t),l=1,2,.再由 Karhunen-Lo eve 定理,可得Xi(s)=uX(s)+16l 0,使得特征值 l满足 1 2 d d+1.假设 3EXi uX4=10EXi(s)uX(s)4ds .由假设 3,Dauxois 等24和 Bosq25分析得出:对任意的 l 6 d,有lim supNNE(b clvl b vl2),lim supNNE(|lbl|2),其中 b cl=sgn10vl(t)b vl(t)dt.假设 4若函数型线性回归模型存在一个变点,则样本观测值满足Yi=u+10Xi(s)uX(s)1(s)ds+i,1 6 i 6 k;u+10Xi(s)uX(s)2(s)ds+i,k i 6 N,其中 1(s)=2(s),k=N,(0,1).假设 2 要求 c(s,t)的特征值按从大到小的顺序排列后,前 d 个特征值是唯一的.假设3 可以保证 c(s,t)、b c(s,t)的特征值和特征函数具有相似的渐近行为.假设 4 意味着我们感兴趣的内容是考察回归系数函数的变化情况.参考文献 23 假设条件的解释说明.3主要的方法与结果本节中,我们将给出变点检验的方法和相关定理.由于模型(1)中回归系数函数的变化是我们关心的检验内容.因此,原假设和备择假设可以设定为H0:=0;H1:=0.若假设 12 和原假设 H0成立,则有Yi=u+l=11/2lill+i.478应用概率统计第 39 卷注意到 E(il)=0,E(il)2=1.若 E|ilYi|,则有l=1/2lE(ilYi).利用前 k 个观测值和后 N k 个观测值可得到 l的两个矩估计,分别为blk=b1/2l1kki=1bilYi,elk=b1/2l1N kNi=k+1bilYi,1 6 k N,1 6 l d.参考文献 23 的变点检验分析,假设b2可逆,则可构造如下检验统计量:TN(x)=1Nb(x)Tb1b(x),其中b(x)=(b 1(x),b 2(x),b d(x)T,b l(x)=Nxi=1bilYi xNi=1bilYi,b=b1b2b1,b1=diag(b1/21,b1/22,b1/2d),lY=1NNi=1bilYi,l=1,2,d,b2=1N1Ni=1(bi1Yi 1Y)21N1Ni=1(bi1Yi 1Y)(bidYi dY).1N1Ni=1(bi1Yi 1Y)(bidYi dY)1N1Ni=1(bidYi dY)2.定理 5若假设 13 和原假设 H0成立,则有TN(x)Ldl=1B2l(x),0 6 x 6 1,其中 B1(x),B2(x),Bd(x)是独立同分布的标准布朗桥.定理 5 给出了检验统计量 TN(x)的渐近分布.考虑到标准布朗桥分位数不可直接获取,因此利用 Kiefer26导出的 Kd=10dl=1B2l(x)dx 的分布获取分位数.再结合 TN(x)的积分进行变点检验.定理 5 的证明参见附录 A1.若模型(1)存在变点,则 TN(x)应具有较大的取值.因此,我们给出如下变点估计量:bN=inft:TN(t)=sup06y61TN(y).对 1 6 l 6 d,设gl(x)=x(1 )Al,0 x 6;x(1 )Bl,x 0,结合式(3),可得 SNdP.因此,所提检验方法的势依概率趋向于 1.4数值模拟此节将通过数值模拟展现所提检验方法的有限样本表现.以下任意模拟均经过 1000次运行,样本量取 N=100,300,500,800.解释变量函数 Xi(s)的轨迹满足标准布朗运动,是通过转换 0,1 上 100 个等距网格点计算的独立正态随机变量累积和生成的.参照文献19,使用 80 个基函数的 B 样条将离散轨迹拟合为函数观测值.模拟结果(见附录 B)表明:除了欠拟合和过拟合,用基函数拟合解释变量函数的离散轨迹产生的误差对检验的势几乎没有影响.换言之,无论名义水平是 10%或 5%或 1%,只要基函数的个数适中(不过多或过少),解释变量函数近似的误差对检验的势影响可以忽略不计.480应用概率统计第 39 卷因变量 Yi满足Yi=u+10Xi(s)uX(s)1(s)ds+i,1 6 i 6 k;u+10Xi(s)uX(s)2(s)ds+i,k i 6 N,其中,u=0,1(s)=es2,2(s)=2es2,k=N/2,误差项 i考虑了两种不同的分布:(a)i N(0,1);(b)i t(3).我们使用10TN(x)dx 的积分作为检验统计量获取检验的经验水平,模拟汇总结果见表 1.其中,特征函数个数 d 的选择采用函数型数据分析常用的方差累积百分比方法.对于不同的 d,参见 Bosq25提供的临界值 cd().从表 1 可以看出,对于两种不同的误差分布,检验的经验水平相当稳定,样本量较大时接近名义水平,表现合理.表 1经验水平的模拟汇总结果d误差项N10%5%1%1N(0,1)10010.96.30.9t(3)1009.64.90.7N(0,1)30010.45.81.7t(3)30010.05.81.0N(0,1)50011.26.41.1t(3)50012.25.61.3N(0,1)8009.14.11.1t(3)8009.54.50.52N(0,1)10011.35.41.3t(3)1008.54.10.8N(0,1)30011.45.91.7t(3)3009.74.80.5N(0,1)50011.66.10.7t(3)50010.54.81.0N(0,1)8009.34.80.2t(3)8009.63.80.9表 2 给出了10TN(x)dx 经验势的模拟汇总结果.结果表明,对于两种不同的误差分布,所提检验方法均具有良好的经验势.同时,经验势随着主成分数量 d 的增加而减小.这一结果与 Berkes 等23报告的情况相似,详细原因可参见该文献的解释.此外,对于不同的 d,经验势会随着样本量的增加而增加.特别地,当 N 取为 800 时,经验势非常接近于 1,表明该方法具有优良的有限样本表现.第 4 期刘宣,马海强:函数型线性回归模型的变点检验481表 2经验势的模拟汇总结果d误差项N10%5%1%1N(0,1)10058.043.518.8t(3)10049.836.914.7N(0,1)30095.391.175.5t(3)30087.180.057.4N(0,1)50099.699.094.8t(3)50097.294.282.9N(0,1)800100.0100.099.9t(3)80099.999.297.62N(0,1)10046.131.611.7t(3)10040.126.88.6N(0,1)30090.282.863.4t(3)30079.568.545.3N(0,1)50098.696.790.2t(3)50094.089.374.7N(0,1)800100.0100.099.6t(3)80099.398.795.55实例分析本节我们将在经典函数型数据集上演示函数型线性回归模型的变点检验效果.该数据集包含 35 个加拿大气象站一年来每日气温和降雨量的观测数据.依据相关研究19,我们取降雨量的对数为响应变量.图 1 显示了所有 35 个气象站的气温和对数降雨量拟合曲线.研究表明,气温对对数降雨量的影响具有统计显著性19,27.然而,由于不少站点存在较大气候带差异,模型拟合过程中可能产生变点问题.图 135 个气象站的气温和降雨量曲线482应用概率统计第 39 卷下面我们使用本文的方法处理该数据集的变点问题.首先,通过 80 个 B 样条基函数将离散气温观测值拟合成 35 条连续曲线.需要指出的是,此处也可用 GCV 或 AIC 或BIC19,28选择 B 样条基函数的个数.不过,模拟结果(见附录 B)表明,只要选择 B 样条基函数的数量不是过多或过少,所得结论基本一致.因此,我们认为,这也是一些研究,如Berkes 等23没有解释基函数数量选择的原因.为了与模拟保持一致,实例分析选择了 80个 B 样条基函数.另外,使用 d=2 个特征函数可达到 99%的方差累积贡献率.若检验出变点,其估计值将由bN给出.通过变点检验运算,并使用二分法,我们在 5%的显著性水平下获得了三个变点气象站,分别是 Charlottvl,Winnipeg 和 Pr.George.这三个气象站分别位于加拿大西部、中部和东部,属于不同的气候带.因此,所提方法检验出的变点是合理的(检验过程见表 3).表 3加拿大气象站数据集的二分变点检验过程(d=2)次序分段判断SNd变点站1135拒绝0.875102172116拒绝1.140812531735拒绝0.81468028414接受0.287856-5516接受0.564348-61727接受0.717535-72835接受0.601124-为了评价检验的势,我们通过两种情况的 Bootstrap 模拟数据分析进行对比.情况 1:依据单个变点,数据由两部分组成.情况 2:依据全部变点,数据由四部分组成.表 4 给出了上述两种情况下模拟运行后检验的势.不难看出,情况 2 比情况 1 具有更高的势,可能原因是情况 2 更接近实际数据.表 4加拿大气象站数据拟合模型变点检验的经验势(d=2)情况 1分段样本量10%5%1%116,173516,1988.375.424.2情况 2分段样本量10%5%1%14,516,1727,28354,12,11,894.182.425.76讨论由于回归系数的矩估计在解决函数型线性回归模型的变点问题中起到关键作用,且一般的函数型线性回归模型的相关估计均有较成熟的研究.因此,我们所用的变点检验方法第 4 期刘宣,马海强:函数型线性回归模型的变点检验483和结论可以尝试推广到响应变量和解释变量都是随机过程的函数型线性回归模型.为简便起见,以下只提供变点问题的函数型线性回归模型、矩估计和检验统计量.函数型线性回归模型如下:Yi(t)=u(t)+10Xi(s)uX(s)(s,t)ds+i(t),1 6 i 6 N,(4)其中,Yi(t),i=1,2,N 和 Xi(t),i=1,2,N 是 0,1 上的随机过程序列,Xi(t),i=1,2,N 相互独立,且与 i(t),i=1,2,N 相互独立,uX(t)=EXi(t),i(t),i=1,2,N 是具有 0 均值且相互独立的随机过程序列,(s,t)是 0,1 0,1 上的均方可积函数.此外,假设所有的随机过程至少具有 2 阶矩.该模型具有一定的应用价值.例如,它可以描述两种货币汇率之间的关系或气温与污染水平之间的关系.需要指出的是Horv ath 和 Reeder20使用投影加权残差研究了它的变点问题.这里,我们使用本文提出的方法.若协方差函数 c1(s,t)=EXi(s)uX(s)Xi(t)uX(t)和 c2(s,t)=EYi(s)u(s)Yi(t)u(t)均方可积,则它们可以写成c1(s,t)=16kkvk(s)vk(t),c2(s,t)=16kkwk(s)wk(t).然后,由 Karhunen-Lo eve 定理,可得Xi(s)uX(s)=16k1/2kikvk(s),Yi(t)u(t)=16k1/2kikwk(t),(s,t)=i=1j=1ijvj(s)wi(t),其中(vi(s),i),1 6 i 6 和(wi(s),i),1 6 i 6 分别是 c1(s,t)和 c2(s,t)的特征函数及对应特征值组成的向量序列.因此,模型(4)可以写成k=11/2kikwk(t)=10i=1j=1ijvj(s)wi(t)k=11/2kikvk(s)ds+i(t).(5)为了降低模型的维数,在式(5)的两边先同乘以 wl(t),然后再积分,于是有1/2lil=10j=1ljvj(s)k=11/2kikvk(s)ds+10i(t)wl(t)dt=k=1lk1/2kik+10i(t)wl(t)dt.进一步,上式两边同乘以 im,然后取数学期望,有E(1/2lilim)=lm1/2m,lm=1/2m1/2lE(ilim).484应用概率统计第 39 卷接下来,用样本矩代替总体矩,可以得到回归系数函数分解后的矩估计.令10b c1(s,t)b vl(s)ds=blb vl(t),10b c2(s,t)b wl(s)ds=b lb wl(t),bil=b1/2l10Xi(s)XN(s)b vl(s)ds,b il=b 1/2l10Yi(s)YN(s)b wl(s)ds,l=1,2,其中b c1(s,t)=1N16i6NXi(s)XN(s)Xi(t)XN(t),XN(s)=1N16i6NXi(s),b c2(s,t)=1N16i6NYi(s)YN(s)Yi(t)YN(t),YN(s)=1N16i6NYi(s).在回归系数函数不变的原假设下,依据本文所提的方法,可构造如下变点检验统计量:TN(x)=1Nb T(x)b1b(x),其中b(x)=vecb lm(x)pq,b lm(x)=Nxi=1b ilbim xNi=1b ilbim,b=b1b2b1,b1=diag(b1/21,b1/22,b1/2p,b 1/21,b 1/2q),lm=1NNi=1b ilbim,l=1,2,p,m=1,2,q,b2=1N1Ni=1(b i1bi111)21N1Ni=1(b i1bi111)(b ipbiqpq).1N1Ni=1(b ipbiqpq)(b i1bi111)1N1Ni=1(b ipbiqpq)2.虽然上述变点检验统计量在形式上与模型(1)的结果相似,但 TN(x)的内部结构和关系更加复杂,其渐近分布的证明将变得十分具有挑战性,有待进一步研究.附录 AA1定理 5 的证明证明:令随机变量Zi(s)=Yi Xi(s)uX(s)Cov(Yi,Xi(s),1 6 i 6 N第 4 期刘宣,马海强:函数型线性回归模型的变点检验485和随机向量i=(i1,i2,id)T,ci=(ci1,ci2,cid)T,1 6 i 6 N,其中ik=10Xi(s)uX(s)Yi uZ(s)vk(s)ds,cik=b ckik,eik=10Xi(s)XN(s)Yi ZN(s)vk(s)ds.由定义知:Zi(t)独立同分布,具有零均值;i独立同分布,具有 d 维零向量均值.考虑到 vk的正交性,可得 i的协方差矩阵=1Cov(i1Yi)1/211/22Cov(i1Yi,i2Yi)1/211/2dCov(i1Yi,idYi)1/211/22Cov(i1Yi,i2Yi)2Cov(i2Yi)1/221/2dCov(i2Yi,idYi).1/211/2dCov(i1Yi,idYi)1/221/2dCov(i2Yi,idYi)dCov(idYi).依泛函中心极限定理,有N1/216i6NxiL d(x),0 6 x 6 1.(A1)随机过程 d(x),0 6 x 6 1 取值于 Rd,具有零均值和协方差矩阵.式(A1)蕴含1N(16i6Nxi x16i6Ni)T1(16i6Nxi x16i6Ni)L16i6dB2i(x).(A2)用样本协方差矩阵bd估计 d.由b1dP 1d及式(A2),得1N(16i6Nxi x16i6Ni)Tb1d(16i6Nxi x16i6Ni)L16i6dB2i(x).(A3)因为 b c2k=1 以及(16i6Nxcik x16i6Ncik)=b ck(16i6Nxik x16i6Nik),所以用 ci替换式(A3)中的 i可得1N(16i6Nxci x16i6Nci)Tb1(16i6Nxci x16i6Nci)L16i6dB2i(x).(A4)接下来我们考虑用eik替换 cik.注意到sup0 x1?N1/2Nxi=1cik N1/2Nxi=1eik?486应用概率统计第 39 卷=sup0 x1?10N1/2Nxi=1b ckYiXi(t)uX(t)vk(t)YiXi(t)XN(t)b vk(t)dt?=sup0 x1?10N1/2Nxi=1YiXi(t)uX(t)b ckvk(t)b vk(t)+Yib vk(t)XN(t)uX(t)dt?6sup0 x110N1/2Nxi=1YiXi(t)uX(t)2dt1/210b ckvk(t)b vk(t)2dt1/2+sup0 x110N1/2Nxi=1Yib vk(t)2dt1/210XN(t)uX(t)2dt1/2.使用部分和过程的弱收敛性质29可知,上式不等号右边每一项的第一个因子依概率有界.再依据假设 3,有sup0 x1?N1/2Nxi=1cik N1/2Nxi=1eik?P 0.进而?(Nxi=1ci xNi=1ci)(Nxi=1b i(x)xNi=1b i(x)?=oP(N1/2),(A5)其中范数为 Rd中的欧几里得范数.再结合式(A4)和(A5),可知定理 5 成立.?A2定理 6 的证明证明:令b ij=10Xi(t)XN(t)Yi b vj(t)dt,b gk(x)=1N(16i6Nxb ik x16i6Nb ik),x 0,1.由b ik=10Xi(t)XN(t)b vk(t)dt u1+10Xi(t)1(t)dt+i,1 6 i 6 k;10Xi(t)XN(t)b vk(t)dt u2+10Xi(t)2(t)dt+i,k i 6 N,及部分和过程的弱收敛性质29,得sup0 x1?16i6NxXi(t)XN(t)b vk(t)dt?=OP(N1/2).(A6)若 0 ,则可得:对任意的 x 0,1,有b gk(x)=(1 x)(Ak Bk)+oP(1),其中Ak=Cov(10Xi(t)b vk(t)dt,10Xi(t)1(t)dt),Bk=Cov(10Xi(t)b vk(t)dt,10Xi(t)2(t)dt).若假设 14 成立,则可得b 依概率收敛到某个半正定矩阵.进而有sup06x61|N1TN(x)gT(x)1g(x)|=oP(1).因此sup06x61|AN(x)A(x)|P 0,其中A(x)=x2(1 )2(A B)T1(A B),0 x 6;2(1 x)2(A B)T1(A B),x 6 1,Ak=Cov(10Xi(t)b vk(t)dt,10Xi(t)1(t)dt),Bk=Cov(10Xi(t)b vk(t)dt,10Xi(t)2(t)dt),A=(A1,A2,Ad),B=(B1,B2,Bd).显然 TN(x)和 AN(x)=N1TN(x)有相同的极值点.考虑到 Ak=Bk(对某个 k,1 6 k 6d),可逆,可得 A(x)在 x=处有唯一的最大值.?附录 B此节将给出其它相关模拟结果.首先通过模拟实验来观察离散轨迹近似对检验势的影响.数据产生过程如下:参照文献30,令X(t)=jjj(t),其中j独立同分布,服从均值为0,方差为j=(j0.5)2的正态分布;j(t)=2sin(j 0.5)t).用一系列 B 样条基函数逼近解释变量函数的离散轨迹,其它设置与第 4 节的数值模拟一致.由于模拟结果相似,为节省空间,我们仅给出在 d=1、N=100 和 N(0,1)时的运行结果(见图 B1,图中“检验势的差值”为真实检488应用概率统计第 39 卷图 B1检验势差值的散点图(红点、绿点与蓝点分别反映 10%、5%和 1%名义水平下的差值)验势和近似检验势之间的差值).由图 B1 可知,只要基函数的个数选择适宜,解释变量函数的离散轨迹近似对势的影响可以忽略不计.下面通过模拟来判断基函数个数的选择对检验势的影响.当(N=100,d=1,N(0,1)时,基函数的最小数目为 4,最大数目为 100.我们遍历了基函数个数的所有选择,并分别给出了相应的检验势,模拟结果如图 B2 所示.图 B2 中,基函数的数量由横轴表示,经验势由纵轴表示.可以看出,除了基函数太少或太多对势的影响较大外,其它选择对势的影响均较小,结果稳定.因此,本文的选择是合理的.当然,为了减少运行时间,正文中的模拟和实例分析可以选择相对较少的基函数,但所得结果具有一致性.图 B2经验势的散点图(橙点、蓝点与绿点分别反映 10%、5%和 1%名义水平下的经验势)致谢感谢评审专家及编辑部同志提出的宝贵意见和建议.参考文献1 QUANDT 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scalar.Based on the projectingmoment estimators of the parameters onto the truncated finite-dimensional space,we propose the detectingstatistic and give the estimator of the change-point.In a theoretical investigation,we derive the asymptoticdistribution for the proposed detecting statistic,and establish the consistency of the change-point estimateunder some mild conditions.Some simulation studies and a real data analysis are conducted to illustratethe finite performance of the proposed testing met