含相关色噪声和周期方波信号的双稳系统的随机共振.pdf

年月四川大学学报(自然科学版)J u l 第 卷第期J o u r n a l o fS i c h u a nU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)V o l N o 含相关色噪声和周期方波信号的双稳系统的随机共振曾小玲,任芮彬,邓科(四川大学数学学院,成都 ;西南交通大学数学学院,成都 )摘要:本文研究了含相关色噪声和周期方波信号的双稳系统的随机共振(S R)在绝热极限条件下,本文利用统一色噪声逼近(U C NA)法将原系统转化为相关高斯白噪声驱动的新双稳系统,给出其F o k k e r P l a n c k方程后基于双态理论推导了系统信噪比(S N R)的表达式本文分析了势参数、噪声参数及外力参数对信噪比的影响,发现对所有参数随机共振均出现本研究可望为实际应用提供理论基础关键词:随机共振;相关色噪声;周期方波信号;双稳系统中图分类号:O 文献标识码:AD O I:/j 收稿日期:基金项目:国家重点研发计划(Y F A )作者简介:曾小玲(),女,重庆万州人,硕士研究生,主要研究方向为非线性动力系统 E m a i l:q q c o m通讯作者:邓科 E m a i l:d k_ c o mS t o c h a s t i cr e s o n a n c e i nab i s t a b l e s y s t e mw i t hc o r r e l a t e dc o l o r e dn o i s e sa n dp e r i o d i c s q u a r ew a v e s i g n a lZ ENGX i a o L i n g,R ENR u i B i n,D ENGK e(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s,S i c h u a nU n i v e r s i t y,C h e n g d u ,C h i n a;C o l l e g eo fM a t h e m a t i c s,S o u t h w e s t J i a o t o n gU n i v e r s i t y,C h e n g d u ,C h i n a)A b s t r a c t:S t o c h a s t i cr e s o n a n c e(S R)i nab i s t a b l es y s t e m w i t hc o r r e l a t e dc o l o r e dn o i s e sa n dp e r i o d i cs q u a r ew a v es i g n a l i se x p l o r e d G i v e nt h ea d i a b a t i cl i m i tc o n d i t i o n,t h eo r i g i n a ls y s t e mi st r a n s f o r m e di n t oan e wb i s t a b l es y s t e md r i v e nb yc o r r e l a t e dw h i t eG a u s s i a nn o i s e sb yu s i n gt h eu n i f i e dc o l o r e dn o i s ea p p r o x i m a t i o n(U C NA)m e t h o d T h e nt h eF o k k e r P l a n c ke q u a t i o n i sg i v e nf o r t h en e ws y s t e ma n de x a c te x p r e s s i o nf o r t h es i g n a l t o n o i s er a t i o(S N R)i sd e d u c e db yv i r t u eo f t h e t w o s t a t e t h e o r y F i n a l l y,d e p e n d e n c eo fS N Ro nt h es y s t e mp a r a m e t e r s,i n c l u d i n gt h ep o t e n i a lp a r a m a t e r s,t h en o i s ep a r a m e t e r sa n dt h ee x t e r n a l f o r c ep a r a m e t e r s,i sa n a l i z e d I t i ss h o w nt h a tS Ra p p e a r s f o ra l lp a r a m e t e r s T h eo b t a i n e dr e s u l t sa r ee x p e c t e dt op r o v i d ea t h e o r e t i c a lb a s i s f o rp r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s K e y w o r d s:S R;C o r r e l a t e dc o l o r e dn o i s e s;P e r i o d i cs q u a r ew a v es i g n a l;B i s t a b l es y s t e m引言作为噪声起建设性作用的例子,经典随机共振(S t o c h a s t i cR e s o n a n c e,S R)主要研究噪声对弱信号(亚临界信号)的放大作用,随后,S R泛指与系统相关的量化指标,如信噪比(S i g n a l t o N o i s eR a t i o,S N R),输出增益(O u t p u tG a i n,O G)等对系统参数的非单调钟形依赖 S R在物理、生物、化学及工程等领域均有应用,相关研究已有很多 最初,S R研 究 多 考 虑 高 斯 白 噪 声(Wh i t eG a u s s i a nN o i s e,WGN)驱动的单稳、双稳或多稳系统然而,鉴于高斯白噪声在自然界中并非真实存在,近年的研究逐渐转向高斯色噪声(如O r n s t e i n U h l e n b e c k噪声和M i t t a g L e f f l e r噪声)以 第 卷四川大学学报(自然科学版)第期及非高斯噪声(如T s a l l i s B o r l a n d噪声 和S i n e W i e n e r噪声)驱动的单稳、双稳或多稳系统当加性噪声和乘性噪声有相同或相关来源时,两种噪声就被称为相关噪声近年来,含相关噪声的非线性系统的S R渐成研究热点,如Q i a o等 研究了相关色噪声驱动的双稳系统的S R,评估了势阱的深度和宽度对S R的影响,B r e n i n g等 研究了乘性外噪声引起的耦合系统的跃迁现象,W a n g等 研究了相关高斯色噪声和非高斯噪声对S R的影响,发现噪声相关性能促进S R,等另一方面,在S R研 究 中,除 了 正(余)弦 信号 ,周期方波信号也可以作为亚临界信号但令人奇怪的是,多数研究均使用正弦信号作为亚临界信号,而很少使用周期方波信号鉴于此,本文将研究含相关高斯色噪声及周期方波信号的双稳系统的S R周期方波信号不同于正弦信号之处在于其具有丰富的频率成分,同时也是数字通信中的常用信号之一 因此,本研究具有潜在的应用价值模型考虑如下含周期方波信号及相关乘性和加性色噪声的过阻尼双稳系统dxdt dU(x)dxf(t)x(t)(t)()势函数U(x)a wxb m x()U(x)包含一个不稳定点xu n和两个稳定点xa w/b m当abd时,阱 深 为Dhdw/m,宽度为Dww/m;当a/d,b/d时,阱深为Dhw/m,宽度为Dwdw/m取定wm,用d来调整阱深,d来调整阱宽,参见图图势函数:(a)d用于控制阱深;(b)d用于控制阱宽F i g P l o t so f t h eb i s t a b l ep o t e n t i a l:(a)di su s e dt oc o n t r o l t h ed e p t h;(b)di su s e dt oc o n t r o l t h ew i d t h此外,f(t)cv R(t)u z(t)是外力,其中周期方波信号R(t)的周期为T,R(tT)R(t),tT,TtT()z(t)为双态噪声,以等概率取值,自相关率为d,即z(t)z(s)ed|ts|,c,v,u为外力参数在模型()中,(t)是均值乘性色噪声,(t)是均值加性色噪声,满足(t)(t),(t)(s)pe|ts|,(t)(s)qe|ts|,(t)(s)p q(ts),其中p,q分别为噪声(t),(t)的强度,分别为(t),(t)的自相关时间,为(t)和(t)的关联强度基于J u n g和H a n g g i建立的统一色噪声近似(U C NA)方法,(t),(t)可以通过以下模型产生:d(t)dt(t)(t),d(t)dt(t)(t)()其中(t)和(t)均为均值高斯白噪声,满足(t)(s)p(ts),(t)(s)q(ts),(t)(s)p q(ts)为求系统输出的信噪比,令yl n(x)式()可以改写为 第期曾小玲,等:含相关色噪声和周期方波信号的双稳系统的随机共振第 卷dydtsx(t),sf(y)(t)xdU(x(y)dxf(t)(t),dsdtf(y)sf(y)f(y)x(t)(t)()由绝热消去理论,消去式()中的参数s后可得dxdtg(x,)dU(x)dxf(t)x(t)(t)()其中g(x,)U(x)xU(x)xf(t)(a wb m x)xa wxb m xf(t)对式()再次应用绝热消去理论,可得如下含相关高斯白噪声的方程:dxdtg(x,)dU(x)dxf(t)x(t)(t)()其中g(x,)()U(x)xU(x)xf(t)()(a wb m x)xa wxb m xf(t)接着,由随机等价规则 将可将方程()改写为x(t)(x)(x)(t)()其中(x)U(x)f(t)g(x,),(x)p x p q xqg(x,),(t)是均值高斯白噪声,(t)(s)(ts)方程()对应的F o k k e r P l a n k方程为(x,t)t xF(x)(x,t)xQ(x)(x,t)()其中F(x)(x)(x)d(x)dxg(x,)a wxb m xf(t)Q(x),Q(x)(x)p x p q xqg(x,)假定系统满足绝热近似条件,且周期方波信号的幅值足够小(v),频率足够低(/T),使得系统有足够时间在一个方波周期内松弛到局部平衡点,则系统的准稳态分布函数为s t(x)NQ(x)e x pU(x,t)p()其中N为归一化常数,U(x,t)为修正的势函数,即U(x,t)pa wxb m xf(t)Q(x)g(x,)dxa wxb m xf(t)g(x,)xr xrdx,rq/p是噪声强度的比值将U(x,t)进行参数展开,得U(x,t)h(x)h(x)f(t)()其中h(x)(a wkawaw)x(kbmbm)xxr xrdx(ka wb ma wb m b mb m a wk)xxr xrdxa w(k)awxb m a w(k)b mxbm(k)xxr xrdx,h(x)k(a wb m x)a wb m xxr xrdx,k当系统满足绝热近似条件且时间尺度Tw时(w代表系统()在无信号输入状态下的特征转换率),粒子由x所在的阱跃迁到x所在的阱的跃迁概率及相应的逆跃迁概率为 第 卷四川大学学报(自然科学版)第期W(t)U(x)U(xu n)e x pU(x,t)U(xu n,t)p()由双态理论,设n(t)分别表示处于稳态x及x的概率,则n(t)满足方程dn(t)dt dn(t)dtW(t)n(t)W(t)n(t)()在绝热近似条件下,由于双态模型的局部平衡的确立要比跃迁概率间的交换快得多,则方程()的初始分布为n(t)W(t)W(t)W(t),n(t)W(t)W(t)W(t)()假设粒子在t时刻处于x,而t时刻跃迁到x,则其发生的概率密度函数为n(x,t|x,t)n(t)W(t)W(t)W(t)W(t)n_(t)e x p(W(t)W(t)(tt)()由马尔科夫过程的一般理论,其概率密度 函数为n(x,t|x,t)n(t)n_(t)W(t)W(t)W(t)W(t)n_(t)n_(t)e x p(W(t)W(t)(tt)()在绝热近似的条件下,将式()中的指数函数变为函数可得n(x,t|x_,t)n(t)n(t)W(t)W(t)W(t)W(t)(tt)()设系统的输出为h(t),则其自相关函数可以写成h(t)h(t)W(t)W(t)W(t)W(t)W(t)W(t)W(t)W(t)W(t)W(t)W(t)W(t)(tt)()对随机过程z(t)和周期力R(t)进行相位平均,由式()可得K(tt)W(t)W(t)W(t)W(t)W(t)W(t)W(t)W(t)z,RW(t)W(t)W(t)W(t)z,RW(t)W(t)W(t)W(t)z,RW(t)W(t)W(t)W(t)z,R(tt)()由于双态噪声和方波的取值都只有两个值,则对任意的函数F有Ff(t)z(t)R(t)F(cvu)z(t)R(t)F(cvu)z(t)R(t)F(cvu)z(t)R(t)F(cvu)F(c,v,u)F(c,v,u)R(t)F(c,v,u)z(t)F(c,v,u)z(t)R(t)()其中Fc,v,uF(cvu)F(cvu)F(cvu)F(cvu)()Fc,v,uF(cvu)F(cvu)F(cvu)F(cvu)()Fc,v,uF(cvu)F(cvu)F(cvu)F(cvu)()Fc,v,uF(cvu)F(cvu)F(cvu)F(cvu)()这些系数具有如下的对称性:F(c,v,)F(c,u)F(c,u,)F(c,v)()对于关于f(t)的任意函数F(),F(),有F()f(t)F()f()z,RF()f(t)z,RF()f()z,RF()(c,v,u)F()(c,v,u)ed tF()(c,v,u)F()(c,v,u)(t)F()(c,v,u)F()(c,v,u)ed t(t)()其中(t)R()R(tRk(k)第期曾小玲,等:含相关色噪声和周期方波信号的双稳系统的随机共振第 卷e x pj(k)t,T()计算可得系统输出的自相关函数为K(t)B(c,v,u)B(c,v,u)ed tB(c,v,u)(t)C(c,v,u)(t)()其中B(c,v,u)y(cvu)y(cvu)y(cvu)y(cvu)()B(c,v,u)y(cvu)y(cvu)y(cvu)y(cvu)()B(c,v,u)y(cvu)y(cvu)y(cvu)y(cvu)()C(c,v,u)c(cvu)c(cvu)c(cvu)c(cvu)()y(t)a wb mW(t)W(t)W(t)W(t),c(t)W(t)W(t)W(t)W(t)()对式()进行傅里叶变换可得S(w)S()B(c,v,u)(w)()其中S()dB(c,v,u)B(c,v,u)C(c,v,u)()(w)k(k)w(k)()这里S()为噪声的功率谱,B(c,v,u)(w)为输出信号的功率谱最终,S N R定义为信号频率处信号功率与噪声功率比值,即S NRB(c,v,u)C(c,v,u)B(c,v,u)B(c,v,u)/d()结果与分析由式()可知,S N R与势参数d、d,系统偏置c,方波信号振幅v,噪声强度p和q,噪声自相关时间和,以及噪声相关强度都有关本节将研究S N R对这些参数的依赖及S R是否存在图图示出了S N R对p和q的非单调依赖,表明存在广义S R(a)(b)(c)(d)图不同势参数d下S N R对噪声强度p和q的依赖F i g D e p e n d e n c eo fS N Ro nt h en o i s e i n t e n s i t i e spa n dqf o rd i f f e r e n tp o t e n t i a l p a r a m e t e rd 第 卷四川大学学报(自然科学版)第期(a)(b)(c)(d)图不同势参数d下S N R对噪声强度p和q的依赖F i g D e p e n d e n c eo fS N Ro nt h en o i s e i n t e n s i t i e spa n dqf o rd i f f e r e n tp o t e n t i a l p a r a m e t e rd S N R对势参数的依赖图 a示出了不同势参数d与噪声强度p下S N R的变化曲线,当d不变,p增大时,S N R的值先增大后减小,出现S R在图 b中,S N R的峰值随d的增大而减小,位置右移图 c示出了不同势参数d和噪声强度q下S N R的变化曲线,当q不变,d增大时,S N R的值先增大后减小,S R出现在图 d中,S N R的峰值随d的增大而减小,位置右移可见增大阱深会降低系统的S N R,且S R依赖于乘性和加性噪声强度图 a示出了S N R对势参数d与乘性噪声强度p的依赖,当d不变,p增大时,S N R的值先减小后增大再减小,出现反S R和S R在图 b中,随d的增大,S N R的峰值逐渐增大,位置几乎不变图 c示出了S N R对势参数d和加性噪声强度q的依赖,当q不变时,S N R随d的增大先增大后减小,S R出现在图 d中,随d增大,S N R的峰值逐渐增大,位置几乎不变可见增大阱宽度能提高S N R S N R对噪声参数的依赖图 a,b分别示出了不同噪声自相关时间和下S N R对噪声强度p及加性噪声强度q的依赖,随的增大,S N R的峰值增大,位置几乎不变;随着的增大,S N R的峰值及其位置均未发生明显变化图 c,d分别示出了不同噪声关联强度下S N R对p,q的依赖,随的增大,S N R的峰值先逐渐减小后趋于稳定,位置逐渐向左移动可见可以提升S N R,则降低S N R,而对S N R的影响不大 S N R对外力参数的依赖图 a,b分别示出了不同力参数c,v下S N R对乘性噪声强度p及加性噪声强度q的依赖,随着c的增大,S N R的峰值逐渐增大,位置向左移动,随着v的增大,S N R的峰值逐渐增大,位置几乎不变可见增大周期外力可以提升S N R,与物理直观相符 第期曾小玲,等:含相关色噪声和周期方波信号的双稳系统的随机共振第 卷(a)(b)(c)(d)图不同相关时间,及关联强度下S N R对噪声强度的依赖F i g D e p e n d e n c eo fS N Ro nt h en o i s e i n t e n s i t e spa n dqf o rd i f f e r e n t c o r r e l a t i o nt i m e s,a n dc o r r e l a t i o n i n t e n s i t y(a)(b)图不同力参数c和v条件下S N R对噪声强度的依赖F i g D e p e n d e n c eo fS N Ro nt h en o i s e i n t e n s i t i e spa n dqf o rd e f f e r e n t f o r c ep a r a m e t e r sca n dv结论本文研究了相关色噪声和周期方波信号共同作用的双稳系统的随机共振研究表明,信噪比会随着加性及乘性噪声的强度的增大而先增后减,随机共振出现在一定参数条件下,我们发现:增大阱宽度、周期力的振幅和乘性噪声的自相关时间都能够提升S N R;增大阱深度、噪声关联强度则会降低S N R;而加性噪声的自相关时间对S N R的影响不大鉴于双稳系统、方波信号在工程等领域有广泛应用,相信本研究对非线性动力系统分析有重要参考价值参考文献:L a n z a r aE,M a n t e g n aRN,S p a g n o l oB,e t a l E x p e r i m e n t a l s t u d yo fan o n l i n e a rs y s t e mi nt h ep r e s e n c eo fn o i s e:t h es t o c h a s t i cr e s o n a n c eJAmJP h y s,:W i oHS,L i n d e n b e r gKN o i s ei n d u c e dp h e n o m e n a:as a m p l e rJAm e r I n s tP h y s,:D a sM,K a n t zH S t o c h a s t i c r e s o n a n c ea n dh y s t e r e s i s i nc l i m a t ew i t hs t a t e d e p e n d e n t f l u c t u a t i o n sJP h y sR e vE,:R e nRB,D e n gK N o i s e a n dp e r i o d i c s i g n a l i n d u c e ds t o c h a s t i cr e s o n a n c ei na L a n g e v i ne q u a t i o n w i t hr a n d o m m a s sa n df r e q u e n c yJ P h y s i c aA,第 卷四川大学学报(自然科学版)第期 :R u s c o n iM,Z a i k i nA,M a r w a nN,e t a l E r r a t u m:e f f e c to fs t o c h a s t i cr e s o n a n c eo nb o n el o s si no s t e o p e n i cc o n d i t i o n sJ P h y sR e vL e t t,:B e n z iR S t o c h a s t i c r e s o n a n c e:f r o mc l i m a t e t ob i o l o g yJN o n l i n e a rP r o cG e o p h,:T e s s o n eCJ,M i r a s s oCR,T o r a lR,e t a l D i v e r s i t y i n d u c e dr e s o n a n c eJP h y s R e v L e t t,:张广丽,吕希路,康艳梅 稳定噪声环境下过阻尼系统中的参数诱导随机共振现象J物理学报,:G i t t e r m a n MC l a s s i c a lh a r m o n i c o s c i l l a t o r w i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s eJ P h y s i c a A,:Y uT,Z h a n gL,L u oM K S t o c h a s t i cr e s o n a n c e i nt h e f r a c t i o n a lL a n g e v i ne q u a t i o nd r i v e nb ym u l t i p l i c a t i v en o i s ea n dp e r i o d i c a l l y m o d u l a t e dn o i s eJP h y sS c r i p t a,:W a n gZX,Q i a oZJ,Z h o uLG,e t a lA r r a y e n h a n c e dl o g i c a ls t o c h a s t i cr e s o n a n c es u b j e c tt oc o l o r e dn o i s eJ C h i n e s eJP h y s,:T i a nM Y,W a n gCJ,Y a n gKL,e t a l E s t i m a t i n gt h en o n l i n e a re f f e c t so fa ne c o l o g i c a ls y s t e md r i v e nb y O r n s t e i n U h l e n b e c k n o i s eJC h a o sS o l i t o nF r a c t,:Q i a oZJ,L i uJ,M aX,e ta lD o u b l es t o c h a s t i cr e s o n a n c ei n d u c e db yv a r y i n gp o t e n t i a l w e l ld e p t ha n dw i d t hJ JF r a n k l i nI,:B r e n i gL,B a n a iNN o n l i n e a rd y n a m i c so fs y s t e m sc o u p l e dw i t he x t e r n a l n o i s e:s o m e e x a c t r e s u l t sJP h y s i c aD,:W a n gKK,J uL,W a n gYJ,e t a l I m p a c to fc o l o r e d c r o s s c o r r e l a t e d n o n G a u s s i a n a n d G a u s s i a nn o i s e so ns t o c h a s t i c r e s o n a n c ea n ds t o c h a s t i c s t a b i l i t yf o ram e t a p o p u l a t i o ns y s t e m d r i v e nb yam u l t i p l i c a t i v es i g n a lJC h a o sS o l i t o n F r a c t,:L i nLF,Y a nT,M aH S t o c h a s t i cr e s o n a n c e i na no v e r d a m p e dl i n e a ro s c i l l a t o rJC h i n e s eP h y sB,:Y uT,Z h a n gL,J iYD,e t a l S t o c h a s t i c r e s o n a n c eo ft w oc o u p l e df r a c t i o n a lh a r m o n i co s c i l l a t o r sw i t hf l u c t u a t i n g m a s sJ C o mm u n N o n l i n e a r S c i,:G u oF,W a n gX Y,Q i n M W,e ta lR e s o n a n c ep h e n o m e n o nf o ran o n l i n e a rs y s t e m w i t hf r a c t i o n a ld e r i v a t i v es u b j e c t t om u l t i p l i c a t i v ea n da d d i t i v en o i s eJ P h y s i c aA,:J i nY FS t o c h a s t i cr e s o n a n c ei na nu n d e r d a m p e db i s t a b l es y s t e m d r i v e nb yh a r m o n i c m i x i n gs i g n a lJ C h i n e s eP h y sB,:J u n gP,H n g g iPD y n a m i c a ls y s t e m s:au n i f i e dc o l o r e d n o i s e a p p r o x i m a t i o nJP h y s R e v A,:T i a nM Y,W a n gCJ,Y a n gKL,e t a l E s t i m a t i n gt h en o n l i n e a re f f e c t so fa ne c o l o g i c a ls y s t e md r i v e nb y O r n s t e i n U h l e n b e c k n o i s eJC h a o sS o l i t o nF r a c t,:W uDJ,C a oL,K eSZB i s t a b l ek i n e t i cm o d e ld r i v e n b yc o r r e l a t e d n o i s e s:s t e a d y s t a t ea n a l y s i sJ P h y sR e vE,:C a oL,WuDJ,K eSZB i s t a b l ek i n e t i cm o d e ld r i v e nb y c o r r e l a t e dn o i s e s:u n i f i e dc o l o r e d n o i s e a p p r o x i m a t i o nJ P h y sR e vE,:J i aY,Z h e n gXP,H uX M,e t a lE f f e c t so fc o l o r e dn o i s eo ns t o c h a s t i cr e s o n a n c e i nab i s t a b l es y s t e ms u b j e c t t om u l t i p l i c a t i v ea n da d d i t i v en o i s eJP h y sR e vE,:W a n gJ,C a oL,WuDJ E f f e c to nt h em e a nf i r s tp a s s a g et i m ei ns y mm e t r i c a lb i s t a b l es y s t e m s b yc r o s s c o r r e l a t i o nb e t w e e nn o i s e sJ P h y sL e t tA,:M c n a m a r aB,W i e s e n f e l dKT h e o r yo fs t o c h a s t i cr e s o n a n c eJ P h y sR e vA,:G i n z b u r gSL,P u s t o v o i tM A S t o c h a s t i c r e s o n a n c ei nt w o s t a t em o d e lo fm e m b r a n ec h a n n e lw i t hc o m p a r a b l eo p e n i n ga n dc l o s i n gr a t e sJ P h y sR e vE,:引用本文格式:中文:曾小玲,任芮彬,邓科含相关色噪声和周期方波信号的双稳系统的随机共振J四川大学学报:自然科学版,:英文:Z e n gXL,R e nRB,D e n gK S t o c h a s t i c r e s o n a n c e i nab i s t a b l e s y s t e mw i t hc o r r e l a t e dc o l o r e dn o i s e s a n dp e r i o d i cs q u a r ew a v es i g n a lJ JS i c h u a nU n i v:N a tS c iE d,: