基于二级倒立摆的数学建模及系统性能分析.pdf

Jul.JOURNALOFMACHINEDESIGN20232023年月No.7Vol.40机第40 卷第7 期设计械基于二级倒立摆的数学建模及系统性能分析*吉红，王颖丽，赵忠义，孙宏图!（1.天津渤海职业技术学院机电工程学院，天津300402;2.天津市焊接研究所有限公司，天津300110)摘要：基于二级倒立摆非线性、强耦合、多变量和自然不稳定的高阶系统特点，文中采用Lagrange数学建模方法对二级倒立摆模型数学建模并进行系统分析。分析二级倒立摆系统结构及阐述其工作原理，并基于Lagrange方程建立该系统的非线性模型；考虑系统工作特点对建模过程中次要因素进行忽略，并在此基础上对数学模型线性化处理；对二级倒立摆模型的稳定性、可控性及可观性进行分析。结果表明：二级倒立摆模型是一个单输入多输出系统，具有高度不稳定性，但具有良好的可控性和可观性，这为二级倒立摆模型的控制系统研究奠定了坚实的理论基础。关键词：二级倒立摆；数学建模；线性化；可控性；可观性中图分类号：TP24文献标识码：A文章编号：1 0 0 1-2 35 4(2 0 2 3)0 7-0 1 37-0 6Mathematical modeling and analysis on system performance based ontwo-stage inverted pendulumJI Hong,WANG Yingli,ZHAO Zhongyi?,SUN Hongtu(1.School of Mechanical and Electrical Engineering,Tianjin Bohai Vocational Technical College,Tianjin 300402;2.Tianjin Welding Research Institute Co.,Ltd.,Tianjin 300110)Abstract:Based on the characteristics of nonlinear,strongly coupled,multivariable,and naturally unstable high-order sys-tems of the secondary inverted pendulum,the Lagrangian mathematical modeling method is used to model the secondary invertedpendulum model and conduct system analysis.Analyze the structure of the two-stage inverted pendulum system and explain itsworking principle,and establish a nonlinear model of the system based on the Lagrange equation;Neglecting secondary factors inthe modeling process considering the characteristics of the systems work,and linearizing the mathematical model based on this;Analyze the stability,controllability,and observability of the two-stage inverted pendulum model.The results indicate that thetwo-stage inverted pendulum model is a single input multiple output system with high instability but good controllability and ob-servability,laying a solid theoretical foundation for the research of the control system of the two-stage inverted pendulum model.Key words:secondary inverted pendulum;mathematical modeling;linearization;controllability;observability二次倒立摆是一个高阶、强耦合、非线性、多元和不稳定系统，是物理学、力学、控制理论和计算机科学等跨学科的抽象模型1-2。二级倒立摆系统在军事、现代化车间、航空航天和智能机器人等领域得到广泛应用。倒立摆系统只有采用有效的控制方法才能稳定下来，因此，成为控制理论教育和研究中的典型实验*收稿日期：2 0 2 2-0 4-2 0；修订日期：2 0 2 3-0 1-2 5装置3-5 。在1 96 0 年左右，国外相关专家开始对倒立摆的控制进行研究，但主要研究了该系统机械稳定性和可控性6 。从2 0 世纪7 0 年代以来，控制领域专家采用状态反馈理论对各种类型的倒立摆进行控制。最优控制策略逐渐形成理论，并在工程实践中得到广泛应用。文献7-9 采用模拟的状态空间线性控制器来实现系统的稳定实时控制。Miyagawa138计机第40 卷第7 期设械等1 0 在线性1 阶倒立摆的研究中实现了利用神经网络模型进行控制。2 1 世纪初,Hyun等1 学者研究了神经网络数学模型参考控制在倒立摆中的应用，进而实现了通过跟踪角度变量和轴向位置创建的神经网络模型控制方法国内相关学者从1 97 0 年左右开始研究倒立摆的控制问题。经过多年的试验和论证，张乃尧等1 2 在1996年将模糊理论结合双闭环控制方法应用于初级倒立摆的研究和试验中，并使系统得到了稳定控制。李艳辉等1 3 首次成功控制了线性四级倒立摆，并将自适应变论域模糊控制应用于三级倒立摆的控制研究和物理仿真中，实现了使倒立摆的摆杆在此控制方案下自行运动到指定部位的控制1 4文中对倒立摆系统研究中，主要对一级倒立摆控制系统进行了分析论证，对二级倒立摆系统的研究还有待深入。文中基于二级倒立摆自然不稳定的高阶系统特点，首先分析其结构及工作原理，然后在此基础上采用Lagrange方程建立二级倒立摆数学模型,并对其系统性能进行详细分析。1二级倒立摆工作原理及系统建模1.1二级倒立摆硬件组成及工作原理直线二级倒立摆试验装置主要由以下几部分构成：基本运动平台、运动控制部分、交流伺服电机及相配套的伺服驱动器和编码器等。二级倒立摆硬件平台如图1 所示。运动控制卡数据线口控制量电机编码器伺服驱动器上摆杆旋转编码电控箱皮带轮计算机下摆杆控制信号电源电机皮带小车图1二级倒立摆硬件平台为了便于说明二级倒立摆系统的工作原理和建立数学模型，图2 给出了抽象倒立摆的系统结构。它由导轨、小车和两根摆杆组成，导轨的一端装有力矩电机，小车由电机带动沿导轨滑动，另一端安装有一个位置传感器，用来测量小车的位移。力通过下摆杆、小车和两个摆杆之间的铰链传递，两摆杆在平行于导轨的垂直平面内可以自由转动，位置传感器固定在上下摆杆的顶部，用于测量摆杆的角度信号。将位置信号转换得到相应的速度信号，所有反馈信号经AD转换为数字信号输人CPU，由控制程序计算控制电路所需的电压值，然后再将其转换为模拟信号，从而达到倒立摆系统的动态平衡。摆杆滑轮皮带小车导轨电机图2二级倒立摆系统结构示意图1.2二级倒立摆系统数学建模在建立二级倒立摆系统的运动学和动力学方程时，忽略一些次要因素。为了进一步明确物理意义和方便数学推导，做出以下假设：（1)传送带无伸长现象，并且皮带与皮带轮之间无相对滑动；(2)小车受到的摩擦力与小车的速度成正比，同时忽略静摩擦力；（3）小车的驱动力与直流放大器的输人成正比关系，且忽略电极电枢绕组的电感；（4）小车、下摆杆及上摆杆均为刚体。文中将采用分析力学方法中的Lagrange方程计算推导二级倒立摆的系统数学模型。二级倒立摆运动分析示意图如图3所示，YAM,m,g摆杆Cm,gM.F小车XL图3二级倒立摆运动分析示意图(14）13当q=L时：当q2=0,时：dtlao,2aNHdaH当q=,时：m-倒立摆的级数，m=2N-系统的势能；H倒立摆系统的动能；i=0N-系统的势能，NN;i=0H系统的动能,HZH,;1392023年7 月吉红，等：基于级倒立摆的数学建模及系统性能分析为了便于倒立摆系统的数学建模，给出在建模过程中用到的物理量及其符号表示如下：0,02为上摆杆、下摆杆分别与竖直方向的夹角;F为施加到小车上的作用力；m。为小车质量；ml,m为下摆杆、上摆杆的质量；G，G，为下摆杆和上摆杆质心的位置；L为小车位移；小车在导轨中心时为零；M，M，为下摆杆、上摆杆链接点的位置;l1，l，为下摆杆链接点到质心的距离及上摆杆链接点到质心的距离；R为下摆杆和上摆杆的长度。在忽略系统次要因素的基础上，对于倒立摆系统受到的保守力1 5】，忽略耗散（摩擦）力作用下的倒立摆系统的Lagrange方程为：daH(1)+Fdt9式中：9广义坐标，在文中为上下摆杆的角度9和6 2，以及小车的位移L（i=1.2.dHaH302202(3)0dtdaHdH=F(4)+dt.drdrar小车动能计算公式为：1H。=2moL(5)小车势能计算公式为：No=0(6)上摆杆动能计算公式为：1dH2(L+Rsin 0,+l,sin 0,)m2十22dt1m2Rcos0,+l,cos0,221m,(i+Rcos 0,0,+l,cos 0,9,)2+212(Rsin 0,e,+l,sin 0,0,)?(7)m式中：J2一一上摆杆对其质心的转动惯量。上摆杆势能计算公式为：N,=m2g(Rcos,+l2cos,)(8)下摆杆动能计算公式为：11d2H,三ml(L+l,sin 0,)+22dt1dL+l,sin,)J+m2dt21m,i(i+l,cos 0,6,)2+(l,sin 0,)2(9)2式中：J一下摆杆对其质心的转动惯量。下摆杆势能计算公式为：N,=migl,cos,(10)由式（5）式（1 0)计算可以得到二级倒立摆系统的总动能为：H=H。+H,+H,1mo+m,+m2)L+(J,+mll,?+m,R)e)+22(J,+m/2)0g-m,Rl,cos(0,-0,)0,0,+2cos0,io,(m,l,+m,R)+m2cos0,Lo,(11)倒立摆系统的总势能为：N=N。+N,+N2=miglicos0,+m2g(Rcos 0,+l2cos02)(12)从而，对于小车有如式（1 3）式（1 5）所示：(mo+m+mz)i+(ml+mzR)cos0,0,+m2lzcos0,02ardaH(mo+m+m2)i+(ml/+m,R)cos0,0+m2lz二dtcos0,0,-(ml,+m,R)sino,o,-m2l,sino,0,aH=0aL(15)0L对于上摆杆有如式（1 6）式（2 0)所示：dH(J,+mli)o,+m,l.cos0,i+m2l.cos0,L(16)25migl,sin d,-m2gRsin 4,（2 4）m,Rsin,0,Lmzl,Rcos(2-0,)0,023aHm,l,Rsin(,20.（0（2 2）(m,l)+m,R)cos,Lm,l,Rcos(4,dt(aom,l+m,R)o,+(m,l,+m,R)cos 0,LdHm,l,Rcos(0,-0,)0,(21）+m+mm.mRcos0.L+aH140机计设第40 卷第7 期械d=(J,+m2l)o,-mel,Recos(0,-0,)o,+m2l,cos 0,L-dtm,l,sin 0,-ml,Rsin(0,-0,),(6,-,)(17)dH802-m2l,Rsin(0,-0,)0,o,-mzl,sino,i(18)-m2gl,sin(19)0(20)对下摆杆有如式（2 1）式（2 5）所示：将式(1 1)式(2 5)分别代人式（1）式（3）,可得到二级倒立摆模型的系统方程如式（2 6）式（2 8）所示：(mo+m,+m2)L+(ml,+mR)cos0,0+mzl.cos0,-(m/l,+m,R)sin0,o-mal,sin0,g=F(26)(J+mi+m,R)o,+(ml+m,R)coso,L+m2l,Rcos(02-0,)0,-m2l,Rsin(0,-0,)0=(m,li+m,R)gsin 0)(27)(J2+mzl)0,+m2l,Rcos(02-0,)0,+mzl,Rcos0,L+m,l,Rsin(0,-0,)0i=magl,sin 0,(28)如式（2 6）式（2 8）所示，为二级倒立摆系统的数学模型，至此，系统的数学模型已经建立，为接下来系统的性能分析奠定了理论基础。2二级倒立摆系统性能分析在1.2 节中，通过推导计算得出二级倒立摆的数学模型，为了进一步深入研究二级倒立摆系统，需要对系统的的稳定性、可控性及可观性等特性进行分析。2.1二级倒立摆系统模型的线性化从式(2 8）式（30)中可以看出，二级倒立摆是一个多变量、复杂的非线性系统。为便于系统性能的分析研究，考虑对所得到的数学模型在平衡点附近进行线性化处理选取平衡点为：0,=6,=,=0,(29)则有如式(30)所示：sin(0,-9,)22-0)cos(0,-0,)1sin O,0,(30)sin0,92cos 0,1(cos0,1为了得到系统的状态空间方程，需给定二级倒立摆系统的参数如表1 所示，表1 二级倒立摆建模参数说明及取值符号参数取值mo小车质量/kg0.60ml下摆杆质量/kg0.42m2上摆杆质量/kg0.51下摆杆链接点到质心的距离/m0.21上摆链接点到质心的距离/m0.21R上摆杆和下摆杆的长度/m0.38g重力加速度/(/s）9.80基于二级倒立摆的数学模型，再根据进行的线性化处理，可以得到该系统线性化模型的状态方程为：(X=AX+BU(31)Y=CX00100000010000001式中:A=0-11.71.3-20.30.06-0.020114.8-44.370.8-7.30.3LO-123.6102.1-21.60.98-0.5B=0001.6-5.71.7T;141吉红，等学建模及系统性能分析H2023年7 月1000000一000000一000C000一00000010000001至此，便得到了二级倒立摆系统线性化后的状态空间方程。2.2系统稳定性分析李亚普诺夫稳定性理论一般可以应用于系统稳定性分析，根据2.1 节得到的系统线性模型，可以分析二级倒立摆平衡点附近系统的稳定性。一般来说，倒立摆系统在竖直向上时是不稳定平衡点，需要设计控制器来动态平衡状态。因此，首先需要考虑该系统是否可以控制。二级倒立摆系统iA,B,C特征方程为deti入I-A=O（入I为入倍的单位矩阵），在MATLAB这一计算软件中采用的eig函数计算得到倒立摆系统的特征根为:0-2 3 1 2.3-1 1.7 4.7-3.9 依据李雅普诺夫定律可知，非线性系统的稳定性可以由线性系统来确定。由于该系统的特征根中有正数,即系统在。平面的右半空间有2 个极点,并且在原点有1 个极点，因此，可以判定该倒立摆系统是一个不稳定的系统。2.3系统可控性分析对于n阶线性定常连续系统X=AX+BU,只有当系统的能控性矩阵V为满秩矩阵时，该倒立摆系统才为可控的，即：V=B3ABABA-B(32)当且仅当rank（V）=n 时（n阶线性定常连续系），该系统为满秩可控的系统。根据以上分析，可以采用MATLAB软件中的cteb函数计算,结果如式(33)所示：rank B3ABABABABBABJ=6（33根据计算结果可知，二级倒立摆系统是完全可控的系统。2.4系统可观性分析对于n阶线性定常连续系统有：X=AX+BU(34)Y=CX系统完全可观的充要条件是能观矩阵K为满秩矩阵，即rank（K）=m，其计算公式如下所示：K=CCACA?CA-(35)根据可观性判定依据，对于二级倒立摆线性系统的特点,可以在MATLAB中采用Obsv函数计算得：rankcCACACACA4CA=6(36)根据式（36)的计算结果,K矩阵为满秩矩阵，再结合系统可观的充要条件可知，二级倒立摆系统是完全可观系统。33结论(1)基于二级倒立摆高阶系统特点，分析了系统结构及基本工作原理,基于Lagrange方程建立该系统的非线性模型（2)考虑二级倒立摆系统工作特点，对建模过程中次要因素进行忽略,并对数学模型线性化处理,对系统的性能进行研究。通过分析得知：二级倒立摆是一个单输入多输出系统，具有高度不稳定性的同时具有良好的可控性和可观性，这为后续二级倒立摆模型的控制系统研究奠定了坚实的理论基础。参考文献1秦毅二级倒立摆系统的模糊控制策略研究D呼和浩特：内蒙古工业大学，2 0 0 7.2张新荣，马杰，张才斗，等.基于MATLAB倒立摆可视化建模仿真与控制J计算机工程与设计，2 0 1 8，39(10):3214-3219.3Torsten Bertram,Ferdinand Svaricek.Zur Fuzzy-Regelungeines aufrechtstehenden Pendels/On Fuzzy-control of an inverted pendulumJ.At-Automatisierungstechnik,2014,40(8):78-88.4Sun F,Yu Z,Yang H.A design for two-wheeled self-balan-cing robot based on Kalman filter and LQR C/Internation-al Conference on Mechatronics&Control.IEEE,2014,45(15):14-17.5Sumer E,Turker M.An adaptive fuzzy-genetic algorithm ap-proach for building detection 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