基于T-S模糊模型的下肢关节运动跟踪控制.pdf

375第40 卷第6 期2023年6 月真机仿算文章编号：10 0 6-9 348（2 0 2 3)0 6-0 37 5-0 6基于T-S模糊模型的下肢关节运动跟踪控制张巍巍，梁婷,潘俊涛1,高峰1（1.北方民族大学电气信息工程学院，宁夏银川7 5 0 0 2 1；2.宁夏医科大学总医院，宁夏银川7 5 0 0 0 4）摘要：功能性电刺激是临床应用中主要的肢体智能康复技术之一，如何设计控制算法以有效提高关节运动控制精度和控制器的自适应问题一直是领域的难题。针对功能性电刺激下的下肢关节运动非线性控制，为实现膝关节角度在不同平衡点的跟踪控制，建立了电刺激下的膝关节运动的T-S模糊模型，引人虚拟期望轨迹，将跟踪控制问题转换为稳定性问题；基于Lyapunov稳定性理论，分析得到了二种跟踪控制器存在的线性矩阵不等式条件，并在Matlab平台上求得控制器的可行解，通过仿真结果验证了所提方法的有效性。关键词：模糊模型；跟踪控制；功能性电刺激；线性矩阵不等式中图分类号：TP273+.4文献标识码：BTracking Control of Lower Limbs JointMovement Via T-S Fuzzy ModelsZHANG Wei-weil,LIANG Ting,PAN Jun-tao,GAO Feng1(1.School of Electrical and Information Engineering,North Minzu University,Yinchuan Ningxia 750021,China;2.General Hospital of Ningxia Medical University,Yinchuan Ningxia 750004,China)ABSTRACT:Functional electrical stimulation is one of the intelligent limb rehabilitation techniques in clinical appli-cations.How to design the control algorithms to effectively improve the accuracy of joint movement control and the self-adaptability of the controller has always been a difficult problem in this field.Aiming at the nonlinear control of low-er limb joint motion by functional electrical stimulation,in order to realize the tracking control of knee joint angle atdifferent equilibrium points,this paper established the TS fuzzy model of knee joint movement equation by functionalelectrical stimulation,By introducing virtual desired trajectory,the tracking control problem was transformed into astability problem.Based on the Lyapunov stability theory,the linear matrix inequality conditions of the two trackingcontrollers were obtained.The feasible solution of the controller was also obtained and the effectiveness of the pro-posed method was verified by the simulation results on the Matlab platform.KEYWORDS:Fuzzy models;Tracking control;Functional electric stimulation;LMI1引言近些年来，在全球范围内，获得性神经损伤患者（如脑卒中、脑外伤和脊髓损伤等数量越来越大，与之伴随的是对康复的需求也越来越大1.2 。功能性电刺激（Functional基金项目：北方民族大学2 0 19 年重点科研项目（2 0 19 KJ39）；宁夏自然科学基金项目（2 0 19 AAC03118）；2 0 19 年宁夏自治区第四批“宁夏青年科技人才托举工程”人才项目（TJGC2019017）；国家自然科学基金项目（5 2 0 6 7 0 0 1)收稿日期：2 0 2 1-10-2 6修回日期：2 0 2 1-11-0 6electrical stimulation,FES)是临床应用中主要的肢体智能康复技术之一3。其利用低频电流脉冲诱发肌肉收缩，使瘫痪的肢体再学习和重组，完成相应的运动功能。相比其它康复治疗技术,FES还可以促进肌肉再学习，加强血液循环，防止肌肉萎缩，具有很高的研究价值。然而，成熟的FES产品的开发还面临许多问题，例如，电刺激-关节运动之间的动态关系本质为一类具有强干扰和不确定等特征的高阶非线性系统4,考虑到患者个体差异和运动后肌肉疲劳等干扰因素，FES控制系统可能无法完成预期的关节运动。为实现高精度的功能性电刺激控制，各国研究学者都展开了深人的研究，先后出现了多种基于不同控制理论的控制376算法。最早的FES系统控制算法是Chizeck等提出的手动开关控制5 。Shimada等人使用加速度传感器检测足下垂患者的步态，用加速度信号触发电刺激仪器产生指定刺激电流来校正足下垂患者的步态6 。这类开环控制系统中，功能性电刺激输出的刺激参数（刺激幅值、频率、波形）是固定的，依赖于康复指导师的经验设置，采用固定的脉冲序列进行刺激，这样的方式要么产生多余的刺激量导致肌肉疲劳，要么刺激量不足难以使肌肉产生相应的收缩来完成规定的训练运动，难以达到理想的康复效果为实现刺激量的精确调节,文献7-10 使用自适应PID控制器和模糊PID控制器，系统存在干扰时也能取得较好的控制效果，但对电刺激-关节运动的非线性模型进行了简化；吴强等11 使用了神经网络滑模控制方法,陈盛勤12 和Free-man13基于选代学习控制了肘关节的运动,以上文献中也均为考虑控制输人的约束问题。文献14，15 分析了电刺激-关节运动的鲁棒控制，得到了系统稳定的线性矩阵不等式（l i n e a r ma t r i x i n e q u a l i t y，LM I）条件，但从仿真结果看，系统的过渡时间较长。因此，面对复杂的非线性生物系统，如何设计非线性控制算法以有效提高运动控制精度和控制器的自适应问题一直是该领域的难题，目前依然缺乏系统化的设计方法和有效的处理手段。模糊控制凭借其不依赖于控制对象精确数学模型的优势给复杂非线性系统的控制综合研究带来了新的契机，特别是Takagi-Sugeno(T-S）模糊理论的提出为利用成熟的线性系统理论知识研究复杂非线性系统成为可能。T-S模糊模型的主要思想是将输入空间分为若干个模糊子空间，在每个模糊子空间建立关于输人/输出的局部线性模型，然后使用隶属度函数将各个局部模型平滑地连接起来，形成一个全局的非线性模型16-2 1。T-S 模糊模型正是凭借其具有的万能逼近性质和线性子系统后件为研究复杂非线性系统的控制问题提供了一套系统有效的解决办法。本文提出了一种T-S模糊控制方法实现电刺激下膝关节运动的跟踪控制，通过引人虚拟期望轨迹，将跟踪控制问题转换为稳定性问题；基于Lyapunov稳定性理论，分析得到了系统稳定的充分条件，通过仿真验证，设计的二种控制器可以实现膝关节角度的精确跟踪控制。2电刺激一膝关节运动跟踪控制本文以下肢膝关节运动为例，讨论膝关节在电刺激下的运动跟踪控制问题2.1电刺激一膝关节运动模型假设患者坐在高椅上，上身及大腿固定不动，踝关节与脚保持一定角度，可视作一个整体，则膝关节的运动可以看做是由两个刚性部分组成的运动系统：大腿和腔足复合体，如图1所示，该系统的平衡方程为14.15 （文中与角度有关的变量均随时间变化,为书写简洁,均省略后缀(t)的说明）Jo,=-mglsin(o,)-M,-Bo+M.(1)其中，J为胫足复合体的转动惯量，0,是膝关节角度（小腿和参考坐标系垂直方向的夹角），0=0,+/2是小腿和参考坐标系水平方向的夹角，=，表示膝关节角速度，为膝关节角加速度，m为胫足复合体的质量，g是重力加速度，l是膝关节和胫足复合体质心之间的距离，B是粘性摩擦系数，M，是刚性部分力矩，M。是电刺激产生的有效力矩。功能性电刺激mg图1膝关节电刺激示意图刚性力矩M,为M,=入e-0(0-w)(2)式中，入和E是指数项的系数，是膝关节弹性静止角。肌肉受到电刺激产生的有效力矩M。和电刺激的脉冲宽度（P）之间的关系是T M.+M.=GP(3)其中G和T为电刺激仪系统常数。定义:x,=0,x2=,u(t)=-Fx。(t),u=P,可得系统的状态空间表达式010B1x02Jx2+u（4)G100LT一T函数f（x，）是系统的非线性项，由下式给出(+号-0)(5)以上电刺激-膝关节运动模型中，含有强非线性项2（x）,这为设计控制器带来了困难。文献13,15 中,均采用泰勒展开的方法将此非线性项展开，并根据控制器设计的精度需要，取7 次或者更高次的多项式近似。本文不采取近似处理，利用T-S模糊模型具有万能逼近的性质，将电刺激-膝关节运动模型写成T-S模型模型，进而设计跟踪控制器。2.2T-S模糊模型对于一类仿射非线性系统(x(t)=f(x(t)+g(x(t)u(6)(y(t)=h(x(t)377控其中xeR为状态变量，yeR为系统输出,uER为输人变量，f(x）和g（x）都为光滑非线性函数。采用扇区非线性方法,系统（6)可以精确表示为T-S模糊模型的形式，该模型主要是通过“IF-THEN”模糊规则描述非线性系统，每个模糊规则表示一个模糊子系统，整个模糊系统是每个模糊子系统的线性组合。其中第i个规则的表达形式为：横糊抓叫模糊规则iIFzi(t)isM,AND.ANDz,(t)is M,(x(t)=A,x(t)+B,u(t)THEN(y(t)=C,x(t)其中,i=1,r,M是该模糊规则的模糊集合;z,（t)为模糊系统的前件变量。第i条规则的隶属度函数为w(z(t)(7)=1经过单点模糊化、乘积模糊推理和加权反模糊化，得到系统的全局状态方程为w,(z(t)(A;x(t)+B,u(t)x(t)i=1(8)w;(z(t)i=1式中z(t)=z(t),z,(t),记wi(z(t)h.(z(t)=(9)wi(z(t)则系统的状态方程可写为（t)：h,(z(t)(A;x(t)+B,u(t)(10)i=1十任意时间有对任意时间t,有w:(t)0,wi(z(t)0(11)i=1h(z(t)0,h;(z(t)=1(12)i=1假设系统(4)的状态变量已知,取前件变量z(t)=x(t），系统式（4)中仅含有1个非线性项式（5）,采用扇区非线性方法18 ,将其表示为含有2 个规则r=2的T-S模糊模型,考虑,在一定区间内，在此区间内f2（x,）的最大值和最小值为;f(x）mx 和f2(x,）mi n。隶属度函数为fa,(x,)-fa(x,)minh(xi(t)Ja(x1)max-fa(x,)min(13)J2(x,)-f2;(x,)maxh(x;(t)Fi(x)mm-fa(x,)max模糊子系统为010BJai(x/）ma xA=J(14)100T01B1a(x）mi nA2=(15)10T00B,=B,=(16)GT为使版面较为简洁，后文中不引起歧义时采用以下记:G,=h.(z(t)G。2.3基于T-S模糊模型的跟踪控制器设计在上节建立的电刺激-膝关节运动模型的基础上，本节设计基于该模型的跟踪控制器，使得膝关节的角度能跟踪给定的运动轨迹。假设期望的运动轨迹为r（t），控制的目标是使得当t时,y(t)-r(t)0。本文引入虚拟变量,将跟踪问题转化为稳定性问题，定义虚拟期望轨迹x（t），可以跟踪系统状态,跟踪误差为x。（t)=x(t）-x a（t），由式（10）,其微分为x(t)=x(t)-x(t)=Arx(t)+B,u(t)-xa(t)=Arx(t)-Arxa(t)+B,u(t)+Arxa(t)-xa(t)=Arx(t)+Bru(t)+Arx(t)-xg(t)(17)令Bru(t)=Bru(t)+Arxa(t)-xa(t)(18)(t)为待设计的新的控制量。则：x(t)=Arx(t)+B(t)(19)对于跟踪系统（18），如果能设计控制量（t)使其是稳定的,即x(t)0（t）,x(t)跟踪了x(t)。基于PDC方法,控制量(t)设计为(t)=-Frx(t)(20)将式（19)带人式（18），得到闭环系统为x(t)h,(x(t)h,(x(t)(A,-B,F)x,(t)二i=1j=1(21)为了得到原系统（10)的控制率,将式（18）重写为：B,(u(t)-(t)=-Arx(t)+xa(t)(22)制率u（t)的的计算取决于B，的结构，假设输人矩阵On-m式列满秩的,可以写为：B,=B(x)m其中,On-mER(n-m)x表示零矩阵，B(x）mERm是非奇异矩阵。同理,将A,和x(t)也进行相应的划分A(x)n-mx(t)n-mA=,xd(t)=A(x)mx(t)m式（2 1）可以写为下面的形式On-mx;(t)n-m-A(x)n-mxa(t)n-mB(x)m(u(t)-(t)x(t)m-A(x)mxa(t)m(23)由式（2 0）和式（2 3），可以得到虚拟期望轨迹和控制率为xd(t)n-m=A(x)n-mxa(t)n-m(24)u(t)=-Frx.(t)+B(x)m-(x(t)m-A(x)mxa(t)m)(25)对于系统式（19），求得反馈控制率式（2 0）后，可由式(25)求得原系统的跟踪控制率。下面的定理给出了系统式(19渐进稳定的条件。定理1：对于闭环系统（19），如果存在对称正定矩阵P=pT0,矩阵M，使得以下线性矩阵不等式（linear inequtionmatrix,LMI)成立A,P+PAI-B,M;-M,BT O(26)A,P+PAI+A,P+PA,-B,M,-M,BT-B,M,-MB,0(27)i=1,2,.,r,j=2,3,.,r,且i0,矩阵M,0,使得以下LMIs成立A,P+PAI-B,M,-M,BT+2P0(29)A,P+PAI+A,P+PAT-B,M,-M,BT-B,M;-M,BT+4P 0(30)1x(0)0(31)Lx(0)PPM?70(32)M,入1则在输人限制为Il(t)Ilz入时,系统（19)以大于等于的衰减率趋于稳定。反馈增益矩阵同式（2 8)。证明：考虑形如V(x(t)=x(t)P-lx(t)的公共Lyapunoy函数，假设(0)Plx（0）1,详细证明过程可以参考文献18中定理1和文献2 0 中第三章定理11的证明过程,这里不再展开。一3 7 8 一定理1和定理2 中LMIs有可行解时，系统（19）是渐进稳定的，即原系统可以跟踪给定的运动轨迹。3用膝关节跟踪控制仿真验证为了验证上节定理1和定理2 所提控制器的有效性，在Matlab/Simulink平台下进行仿真。腔足复合体的相关参数如表1所示。表1胫足复合体参数表参数值单位J0.362kgm2.918radm4.37kg入41.208N m/rad123.8cmT0.951SG42500Nm/sB0.27N m s/radE2.0241/rad根据2.2 节，考虑，=0,6 0,f21（x）的最大值和最小值为：f2（x）ma x=2 0.2 5 6 3,f z（x）mi n=-2 4.8 5 9 7,隶属度函数由式(13)给出。建立的T-S模糊模型为01厂0A,=20.2563-0.74582.7624(33)001.0515厂010A2=24.8597-0.74582.7624(34)00-1.05150B,=B2=0(35)44689.8根据定理1,使用YAMIP工具2 1 求解LMIs得到未考虑输人约束和衰减率的控制器增益为F,=2.58320.66480.1013 10-3(36)F2=5.04531.12620.2032 103(37)设电刺激脉冲宽度的约束为lP(t)Ilz110-3,衰减率取2,根据定理2,求得控制器增益为F,=4.51801.05440.3441 10-3(38)F2=2.74210.99710.3279 10-3(39)为验证跟踪效果，期望的膝关节运动角度分别给定为：t10s时,0,=30,10 st20s时,0,=45,2 0 st30s时,0,=60,初始条件为x(0)=000。由定理1设计控制器的跟踪效果如图2-5 所示，由定理2 设计控制器的跟踪效果如图6-9 所示，分别展示了膝关节角度，角速度，电刺激产生的有效力矩以及控制输人一电刺激脉冲宽度。由图2 和图6可以看出，在定理1和定理2 设计的控制器下，膝关节均可379以在电刺激下有效跟踪给定的角度，跟踪的稳态误差可忽略不计，定理1设计的控制器过渡时间为1.5 7 s，定理2 设计的控制器过渡时间为0.8 6 s，同时，定理1给出的控制器输入的脉冲宽度也较定理2 宽一些，如图5 和图6 所示，这是由于定理2 中不仅加人了衰减率，而且对控制器输人进行了限制。通过以上定理设计的控制器，都可以在膝关节角度变化时有效控制关节角度。70-60-501401403035-3020251002-11151015202530time/s图2膝关节角度跟踪曲线（定理1）610.54011111-0.51112(s/pe:l)/od24-111011111-11111121-11111111111114051015202530time/s图3膝关节运动角速度跟踪曲线（定理1）12111111101118-T1W.N/eW65.31544.54213.5-1-1214-0051015202530time/s图4电刺激力矩曲线（定理1）4结论本文基于T-S模糊模型，研究了功能性电刺激下膝关节的跟踪控制，引人虚拟期望轨迹，将跟踪控制问题转化为稳定问题，分别得到了未考虑和考虑衰减率和输入约束的跟踪控制器存在的充分条件，以LMIs的形式给出。仿真结果验证了该方法的有效性。但本文尚未考虑患者差异带来的模型不确定性和肌肉疲劳引起的干扰，未来的工作会针对此问题进一步分析。X1033-2.5112-11.51P111-0.5111110051015202530time/s图5电刺激脉冲宽度曲线（定理1）7011111601111111501140-40111301-135-12013011111011210051015202530time/s图6膝关节角度跟踪曲线（定理2）40.2-0113-0.2-0.4-0.6-21-0.8工1(s/pel)/o-246111一11-01111-111-111-11-2051015202530time/s图7膝关节运动角速度跟踪曲线（定理2）参考文献：1王陇德.中国脑卒中防治报告【M.北京：人民卫生出版社,2 0 16.2Yong Huo,Foody J A,Ji L,et al.A systematic literature review ofrisk factors for stroke in China J.Cardiology in Review,2013,21(2):77-93.3Doucet B M,Lam A,Griffin L.Neuromuscular electrical stimulationfor skeletal muscle function 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