泊松截断δ冲击模型中3类定积分的计算_马明.pdf

第 43 卷 第 1 期 高 师 理 科 学 刊 Vol.43 No.1 2023 年 1 月 Journal of Science of Teachers College and University Jan.2023 文章编号：1007-9831（2023）01-0001-05 泊松截断冲击模型中 3 类定积分的计算 马明，彭博（西北民族大学 数学与计算机科学学院，甘肃 兰州 730030）摘要：研究了个在可靠性理论中比较常见的定积分，得到了个定积分的显示表达式这个结果对于泊松截断冲击模型中的可靠性计算具有重要作用.关键词：定积分；可靠性理论；泊松截断冲击模型 中图分类号：O172.2 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2023.01.001 Calculation of three kinds of definite integrals in Poisson censored-shock model MA Ming，PENG Bo（School of Mathematics and Computer Science，Northwest Minzu University，Lanzhou 730030，China）AbstractAbstract：Three common definite integrals in reliability theory are studied，and the explicit expressions of these three definite integrals are obtained.These three results have important effect on the reliability calculation in the Poisson censored-shock model.Key wordsKey words：definite integral；reliability theory；Poisson censored-shock model 1 引言及预备知识 截断冲击模型是一类特殊的可靠性模型，该模型是指在一个遭受间歇冲击的系统中，当某次冲击到达后，超过长时间没有冲击到达，则系统失效1.有关截断冲击模型的进一步发展，可参考文献2-13.考虑泊松截断冲击模型参数估计中常用到的 3 个积分()01eedmcxxxx-，()1201eedmxxxx-，()()2211111lnd1(2)(1)lnd1(1)cccxxxxcxxx xxcxx+，他们在泊松截断冲击模型可靠性的计算中具有重要的作用.本文给出了这 3 个定积分的显式表达式.引理 1 对于任意的,xmR，有211limln(1)ln(1)0mxxxx+-=证明 因为211(21)(1)lim11mxmxx+-+-=-，故利用洛必达法则可得 收稿日期：2022-05-25 基金项目：甘肃省高等教育教学成果培育项目（2021GSJXCGPY-03）；中央高校基本科研业务费专项资金项目（31920210019）；西北民族大学 教育教学改革重点项目（2020ZDJG-08）作者简介：马明（1971-），男，内蒙古呼和浩特人，教授，博士，从事可靠性数学理论研究E-mail： 通信作者：彭博（1999-），男，黑龙江大庆人，在读硕士研究生，从事可靠性数学理论研究E-mail： 2 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 21111ln(1)limln(1)ln(1)lim(21)(1)ln(1)lim01(21)(1)mxxxxxxxmxxmx+-=+-=+-证毕 引理 214 对于任意的bR，有()22211ln()dln()222yyybyybybbyC+=-+-+()32233211ln()dln()3332ybyyybyybybb yC+=+-+式中：C是任意常数.在后面书写不定积分时，为方便，将积分常数C省略.2 主要结果及证明 定理 1 设0,0cm且m是整数，是任意实数，则 ()()()112011e11eed1e1(1)icmmmcxxcixxcim-+-=-=-+（1）证明 易知 ()()10011eedd 1 e(1)mmccxxxxxxm+-=-+（2）利用分部积分得 ()()()11100d 1e1e1edmmmccxcxxcx+-=-（3）令1 ext-=-，则()110011edd1mmcaxtxtt+-=-（4）式中：1eca-=-因为()1212001 d 1 d1121mmaamtaatttttcattm+=-+=-+-+（5）所以()211101d 1e21mmcxmaaxcacam+-+-=-+（6）将式（6）代入式（2），得()()()112011e11eed1e1(1)icmmmcxxcixxcim-+-=-=-+.证毕.由定理 1 容易得到当0,c+时的相关结论.推论 设0,0m且m是整数，则 ()1201111eed(1)mmxxixxim+-=-=+（7）证明 易知 ()()001 eedlim1 eedmmcxxxxcxxxx-+-=-（8）又因为当0时 ()1lim1e10mccc+-+-=（9）第 1 期 马明，等：泊松截断冲击模型中 3 类定积分的计算 3 因此，由式（1）（9）可得()1201111eed(1)mmxxixxim+-=-=+.证毕.定理 2 设是大于 0 的任意实数，0m 且m是整数，则 ()()12204111eed1ln 2321(21)mxxxxmm-=+-+（10）证明 判断()1201eedmxxxx-的收敛性，注意到此积分有瑕点0 x=，因此考虑()()11122011eed1eedmmxxxxxxxx-+-的敛散性即可.由于()121eemxxx-在(0,1上是非负的，注意到()11220lim 1ee0mxxxx x-+-=，因此由柯西判别法可知，()11201ee dmxxxx-收敛.由于()121eemxxx-在)1,+上是非负的，注意到()122lim 1ee0mxxxx x-+-=，因此由柯西判别法可知，()1211eedmxxxx-收敛.所以()1201eedmxxxx-收敛.令1ext-=-，则()()1122220021eedln 1dmxxmxxttt-=-（11）由于120ln(1)dmttt-是瑕积分，瑕点为1t=，因此()()12222001ln 1 dlimln 1 dummutttttt-=-（12）由分部积分公式可知，()()222221220012ln 1 dln 1d211muummttttuutmt+-=-+-注意到22202 d1muttt+=-222200 d d11mmuutttttt+-+，因为()222222100111 d 1 dln(1)11mmuumiittttttuutti+=-+=-()222223221100111 d 1dln(1)(1)11mmuummiiittttttttuutti+=-+-+-=+-+所以()()2221232101111ln 1 dln 1ln2211321ummmutttuuuuumum+-=-+-+-+由引理 1 可知 ()()2201211limln 1 dln 2121321umutttmm-=-+（13）将式（13）代入式（12），得()()1220211ln 1 dln 2121321mtttmm-=-+，进而由式（11）可知，()()12204111eed1ln 2321(21)mxxxxmm-=+-+证毕 定理 3 对于任意的12,1ccR，有()()()()()()()()()22111221111lnd3 ln111ln411(2)(1)lnd1(1)cccxxxkccxwcccxxx xxcxx+-+=+-+4 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 式中：()()()2221222112112111cccccckcc-+=+；()()()()()()4412215119112216223111A DABDA BAccccwcccc+-+=+，322223Acc=+，321123Bcc=+，321123Dcc=-证明 由引理 2 可知，()()()222111111lndln222xxcxxxccxc x+=-+-，()21ln(1)d12xxxx+=-21ln(1)22xxx+-记11()lnd1cxF xxxx+，则()()()()()22211111ln1 ln(1)1()lndln(1)d=2xccxxxcxF xxcxxxxx-+-+-=+-+当2xc=时，()()()()()()2222112221212ln1 ln 112ccccccccF c-+-+-=，当1x=时，()()211111ln11(1)2cccF-+-=,所以()()()()()()()()()()()()()()222212221112112222211222111212121121lnd(1)1ln1 ln 11ln111 2ln1111 2ccccccxxxF cFxcccccccccccccccc-+=-=+-+-+-+-=+-+所以()()()21211ln11lnd12ckcccxxxx+-+=+将引理 2 中的个式子相加，得()()323232236(1)ln()d12181218ln()4(69)1812y yyb yyybbybybybby+=+-+-+-+-（14）由式（14）可得()()()()32323232322218(1)ln()()d6969ln()6969ln()4(339)6969x xxa xbxxxbbxbxxaaxaxbaxbbaa x+=+-+-+-+-+-（15）由式（15）可得()()()323232323218(1)ln(1)(1)d696273615 ln(1)4 (339)69693 ln(1)x xxbxaxxxbbbxbxbaxxxaaxa+-+=+-+-+-+-+-+-()22 6216312bbaax-+（16）由式（15）（16）可得()()32323232()()6(1)ln d2323ln()(1)(1)2329125 ln(1)xa xbx xxxxbbxbxaxbxxbbbxb+=+-+-+-+-+-+-()()32323232 23231 ln(1)2323ln()4(1)xxaaxaxxaaxabax+-+-+-（17）由式（17）可得 第 1 期 马明，等：泊松截断冲击模型中 3 类定积分的计算 5()()()()()()()()()1213232321113232321111(2)()6(1)lnd1(1)2323ln234 ln(2)23231 ln1231 ln(1)4 1cxxF xx xxcxxxxccxcxxxxxccxcxxxc x+=+-+-+-+-+-+-因此()()()()()()()()()()32323222221121222323232221121222122323ln234 ln2 23231 ln1231 ln14 1Fcccccccccccccccccccc c=+-+-+-+-+-+-()()()()()()323221111111(1)523ln 19ln3423ln 24ln 24 1Fccccccc=+-+-+-所以()()()()()212122211(2)ln411()(1)(1)ln d1(1)66ccxxwccF cFx xxcxx+-+=+，因而有()()()()()()()()()22111221111lnd3 ln111ln411(2)(1)ln d1(1)cccyyykccywcccyyy yycyy+-+=+-+证毕.3 结语 本文利用换元积分法和分部积分法等方法对个在可靠性理论中比较常见的定积分进行讨论，推导出了这种定积分的显式表达式，这对于被积函数为类似形式