2022.12.11+理论攻坚-图形推理2+王三石（讲义%2B笔记）（【综合管理A类】2023事业单位系统班图书大礼包：职业能力倾向测验%2B综合应用能力1期）.pdf

理论攻坚-图形推理 2（讲义+笔记）主讲教师：王三石授课时间：2022.12.11粉笔公考官方微信1理论攻坚理论攻坚-图形推理图形推理 2 2（讲义）（讲义）判断推理理论攻坚 2学习任务：1.课程内容：数量规律、空间重构2.授课时长：2.5 小时3.对应讲义：76 页86 页4.重点内容：（1）数量规律中每类考点的特征图（2）数量规律中的各种细化考法（3）如何判断图形笔画数（4）空间重构中的相对关系和相邻关系（公共边、画边法）第五节数量规律一、面特征图：图形被分割、封闭面明显【例 1】（2021 联考）把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是（）。A.，B.，C.，D.，【例 2】（2018 四川公务员）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）2【例 3】（2022 公务员）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）。【例 4】（2020 浙江）把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是（）A.，B.，C.，D.，二、线特征图：1.直线数：多边形、单一直线2.曲线数：曲线图形（全曲线图、圆、弧）3【例 5】（2019 天津）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）【例 6】（2022 四川公务员）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）【例 7】（2022 江苏）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）4一笔画：1.线条之间全部连通2.奇点数为 0 或 2奇点：发射出奇数条线的点注：所有的端点都是奇点，数奇点时要数上端点多笔画：连通图笔画数=奇点数2（任何连通图形的奇点数一定为偶数）常见笔画数特征图：五角星，“日”，“田”，“日”和“田”的变形图，圆和圆相切、相交，多端点图形，明显一笔画成的图形【例 8】（2020 联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）【例 9】（2021 江苏）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）5三、点特征图：线条和线条交叉明显【例 10】（2020 联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）【例 11】（2021 江苏）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）6【例 12】（2019 联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）四、角特征图：含有直角的图形【例 13】（2020 浙江）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）五、素1.元素种类2.元素个数3.部分数【例 14】（2019 湖北）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）7【例 15】（2022 广东公务员）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）【例 16】（2020 福建）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）第六节空间类一、相对关系8应用：一组相对面同时出现的选项排除展开图中如何判断相对面？1.同行或同列相隔一个面2.“Z”字形两端，且紧靠着“Z”字形中间那条线【例 1】（2017 联考）左边给定的是纸盒的外表面，右边哪一项能由它折叠而成？（）【例 2】（2019 内蒙古）左边给定的是纸盒的外表面展开图，右边哪一项能由它折叠而成？（）二、相邻关系应用：折叠前后相邻关系保持不变9【例 3】（2019 联考）左边给定的是纸盒的外表面展开图，右边哪一项能由它折叠而成？（）【例 4】（2018 浙江）下图左边是一个纸盒外表面的展开图，能由它折叠而成的是右边哪一项？（）画边法排除错误相邻关系【例 5】（2019 辽宁）左边给定的是纸盒的外表面展开图，右边哪一项能由它折叠而成？（）【例 6】（2021 联考）左边给定的是纸盒的外表面展开图，右边哪一项能由它折叠而成？（）1011理论攻坚理论攻坚-图形推理图形推理 2 2（笔记）（笔记）讲解范围：A、D、E 类 76-86 页；B 类 84-94 页【注意】1.本节课讲解范围：A、D、E 类对应讲义 76-86 页；B 类对应讲义 84-94 页。2.上节课讲解了位置规律、样式规律、属性规律、特殊规律，本节课讲解数量规律和空间类题目。第五节数量规律数量类识别特征：数量类识别特征：元素组成不相同、不相似且无属性规律，数量规律明显12考点：面、线、点、角、素【注意】数量规律：1.数量类识别特征：元素组成不相同、不相似，正常情况下优先考虑属性规律，但没有属性规律，而数量规律明显（如数量恒定不变、递增等），考虑数量规律。如上图，图 1 有圆和三角形 2 种形状，图 2 有圆和半圆 2 种形状，图 3有星星和箭头 2 种形状，图 4 有三角形和圆 2 种形状，图 5 有单箭头和双箭头 2种形状，每幅图中均有 2 种形状，数量规律明显。2.考点：面、线、点、角、素。3.在考试中，数量规律非常重要，每年都会考查到。知识点 1：面数量1.什么是面：空白的封闭区间（窟窿）图 1图 2面是白的，黑的不是2.面的特征图：图形被分割、封闭面明显图 3图 4【注意】面：131.什么是面：空白的封闭区间（窟窿）。如上图，图 1 有 6 个面，图 2 有 5个面，中间的黑色部分不是面。面是白的，黑的不是。2.面的特征图：（1）图形被分割：类似切蛋糕，图 3 被切成很多块，考虑数面。（2）封闭面明显：图 4 的“小彩旗”和“底座”都是封闭图形，优先考虑数面。【例 1】（2021 联考）把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是（）。A.，B.，C.，D.，【解析】1.观察特征图，元素组成不相同、不相似，优先考虑属性规律。图不对称，对称性无规律；图有曲线，其他图形均没有曲线，曲直性也无规律；所有图形都是封闭的，开闭性也无法分组分类。题干图形属性无规律，考虑数量规律。图形被分割，封闭面明显，“窟窿”多，优先考虑数面。面数量依次为 4、5、4、5、5、4，图为一组，均有 4个面；图为一组，均有 5 个面，对应 B 项。【选 B】【注意】特征图：图形被分割、封闭面明显数面。面的细化考法：什么时候想细化？出现数面特征图，但整体数面无规律形状1.所有面14图 1图 2【注意】面的细化考法：出现数面特征图，但整体数面无规律，考虑面的细化，主要是针对形状的细化。第一种是看所有面的形状是否相同，如果所有面形状都一样，则可以当成规律。如上图，图 1 的所有面均为三角形，图 2 的所有面均为四边形。【例 2】（2018 公务员）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）【解析】2.题干图形明显被切割，优先考虑数面。题干图形面数量依次为 8、7、6、5、4，则“？”处图形应有 3 个面。A、B 项：都有 3 个面，均保留。C 项：有 4 个面，排除。D 项：有 6 个面，排除。有数面的特征图，但选不出唯一答案，考虑面的细化。先看所有面的形状，题干图形所有面的形状均为三角形，故“？”处图形的所有面也应是三角形。A 项：所有面都是三角形，当选。B 项：出现四边形面，排除。【选 A】【注意】1.出现数面特征图，优先考虑数面的个数。152.数面特征明显、但整体数无唯一答案：面的细化形状。面的细化考法：什么时候想细化？出现数面特征图，但整体数面无规律形状1.所有面图一2.部分面（相同形状的面、某一形状的面）图二【注意】面的细化考法：部分面。1.相同形状的面：在每一幅图的内部找有几个面的形状是一模一样的。如图二，图 1 有 5 个相同形状的面（三角形），图 2 有 3 个相同形状的面（梯形）。正常看面的形状时，都是单独的、一个是一个的，不考虑叠加的情况。2.答疑：面的大小不一致不影响，只要形状一致即可。3.某一形状的面：在一道题中，就看一种形状。如看三角形，图 1 有 5 个三角形面，图 2 有 1 个三角形面。【例 3】（2022 公务员）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）。16【解析】3.观察特征图，“窟窿”比较多，图形明显被分割，考虑数面。题干每幅图均有 4 个面，四个选项也均有 4 个面，无法选出唯一答案，考虑面的细化，看形状。图 1 的所有面形状不相同，故所有面无规律。考虑部分面的形状，每幅图均有 2 个相同形状的面，则“？”处图形也应有 2 个相同形状的面。A 项：没有相同形状的 2 个面，排除。B 项：左边的 2 个面是相同形状的面，保留。C 项：没有相同形状的 2 个面，排除。D 项：没有相同形状的 2 个面，左侧的 2 个面只能说都是平行四边形，但大小、形状不同，排除。【选 B】【注意】数面特征明显，优先考虑数面，但整体数无唯一答案，考虑面的细化，看形状。当所有面形状不一致，则所有面无规律；观察部分面的形状，如果出现相同形状的面，则根据相同形状的面数量做题。面的细化考法：什么时候想细化？17出现数面特征图，但整体数面无规律形状1.所有面图一2.部分面（相同形状的面、某一形状的面）图二3.单个面（最大、最小）图三【注意】面的细化考法：单个面（最大/最小）。1.单个面：部分面的形状不相同，看单个面的形状，一般找最大面、最小面。如图三，图 1 的最大面是三角形，图 2 的最大面是平行四边形，或者看最大/最小面是轴对称图形/中心对称图形。2.细化思路：所有面部分面单个面。【例 4】（2020 浙江）把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是（）18A.，B.，C.，D.，【解析】4.图形明显被切割，“窟窿”较多，考虑数面。整体数面没有答案，考虑面的细化。先看所有面形状，图所有面的形状都不相同，也没有形状完全相同的部分面，若单独数三角形面，题干图形三角形面的数量依次为 3、2、4、2，无法分为两组。考虑单个面，一般看最大面和最小面。题干每幅图中都有明显的最大面，观察最大面的形状，图的最大面为四边形，图的最大面为三角形，C项当选。答疑：（1）奇偶性的规律只能在蒙答案的时候使用，只要有更好的规律，都不考虑奇偶性。数字类规律一般都是考查恒定不变和等差数列递增，其他规律很少考查，如周期数列“1、2、1、2、1、2”还可以，但一般不考虑奇偶性。（2）有的同学考虑图为一组，都是三角形面；图为一组，都是三角形面和四边形面的结合，此思路没有看最大面的规律严谨，并且图出现四边形面。不要宏观观察，要拆分单独看。（3）细化思路：所有面部分面单个面（最大面居多）。（4）一般都是看三角形面和四边形面，其他形状很少考查。【选 C】【注意】数面特征明显、但整体数无唯一答案：面的细化形状。什么时候想细化？当出现明显数面特征图，整体数面无规律，想细化！19【注意】面数量：1.特征图：图形被分割，封闭面明显，白色“窟窿”多，考虑数面。2.出现明显数面特征图，整体数面无规律，考虑面的细化。（1）所有面的形状。（2）部分面的形状：相同形状的面、某一形状的面。（3）单个面的形状：最大面/最小面。（4）如果单个面也无规律，看最大面和外框边数的复合考查，如最大面和外框都是四边形、五边形。3.理论攻坚不是将所有知识点都讲完，各个科目都是讲解 80%的常规、常考知识点，剩下的 20%在强化、冲刺和真题演练阶段补充。知识点 2：线1、直线特征图：多边形、单一直线图一2、曲线特征图：曲线图形（全曲线图、圆、弧）图二图三【注意】线：分为直线和曲线。1.直线特征图：出现多边形（几边形就有几条直线）、单一直线，考虑数直20线的条数。如图一，图 4 和图 5 均出现单一直线，是为了凑直线数，考虑数直线。2.曲线特征图：图形曲线居多，出现全曲线图形、圆、弧，考虑数曲线。3.如图三：（1）图 1 有 2 条直线，不要拆分，直线通俗理解为直着的、完整的一根线，不要在中间切开。（2）图 2 有 1 条曲线，1 个圆就是 1 条曲线，如果是 2 个圆交叉在一起，则是 2 条曲线，再加 1 个圆就是 3 条曲线。（3）图 3 有 2 条曲线，中间的点是拐点，线条方向发生变化，说明有 2 条曲线。当摸到有扎手的地方，证明就不是 1 条曲线，变成了 2 条曲线；平滑过渡的是 1 条曲线。【例 5】（2019 天津）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）【解析】5.观察特征图，图 1 出现圆和单一直线，图 4 出现 2 条单一直线，考虑数直线。题干图形直线数依次为 1、2、3、4，则“？”处图形应有 5 条直线。A 项：有 5 条直线，当选。B 项：有 3 条直线，排除。C 项：有 4 条直线，排除。D 项：有 8 条直线，排除。【选 A】【注意】特征图：单一直线数直线。21【例 6】（2022 四川公务员）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）【解析】6.题干图形出现曲线、圆、半圆，也出现多边形，数直线、数曲线都有可能。优先数曲线（数量少），题干图形曲线数依次为 1、2、3、4，则“？”处应该有 5 条曲线，C 项当选。直线数依次为 12、11、10、9，依次递减，则“？”处图形应该有 8 条直线，C 项当选。答疑：（1）图 3 不是对称图形，对称性无规律。（2）图形旋转 360相当于没转。（3）一般不会考查“一组对称、一组不对称”的规律。【选 C】【注意】特征图：曲线图形（全曲线图、圆、弧）数曲线；多边形数直线。线的细化考法：1.什么时候想细化？出现数线特征图，但整体数线无规律2.怎么细化？a.按方向分：横竖分开数（出现十字、横平竖直）22图一b.按位置分：内外分开数（有明显外框，内外分明）图二【注意】线的细化考法：1.什么时候想细化：出现数线特征图，但整体数线无规律，考虑线的细化。2 怎么细化：（1）按方向分：横竖分开数。出现“十”字、横平竖直的图形，考虑横竖分开数，如图一，每幅图均有 3 条竖线。（2）按位置分：内外分开数。图形有明显外框，内外分明，可以考虑内外分开数。如图二，每幅图外部都有多边形边框，内部有小图案，内外分明，考虑内外分开数线。题干外框直线数依次为 6、5、4、4、5，内部直线数依次为 5、4、3、3、4，规律为“外部直线数-内部直线数=1”。3.在考试中，内外分开数考查相对较多，横竖分开数考查很少。【例 7】（2022 江苏）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）23【解析】7.每幅图都出现多边形，考虑数直线，但整体数直线无法选出唯一答案，考虑线的细化。每幅图都有多边形外框，内部也有多边形，考虑内外分开数。外部直线数依次为 4、5、6、4、5，内部直线数依次为 3、4、5、3、4，规律为外部直线数-内部直线数=1。A 项：外部有 6 条直线，内部有 4 条直线，差值为 2，排除。B 项：外部有 4 条直线，内部有 11 条直线，排除。C 项：外部有 6 条直线，内部有 5 条直线，差值为 1，当选。D 项：外部有 3 条直线，内部有 4 条直线，差值为-1，排除。答疑：（1）单纯数外部直线数比内部直线数多的风险较大，不是很严谨。（2）直接数内部直线（3、4、5、3、4、5）和内外相加（7、9、11、7、9、11）用的都是周期数列，周期数列能用，但本题并不严谨。如“1、2、1、2”是完整的周期，如果后面给出“？”，可以是 1。本题是“7、9、11、7、9、？”，完整周期还没有出现，所以不严谨。（3）如果有严谨的周期数列选到 A 项，恒定规律选到 C 项，优先恒定的规律，因为恒定和等差数列递增是出题人喜欢考查的，而周期数列出题人不喜欢考查，有的时候是因为出题人没有注意到，所以才会有规律。【选 C】【注意】1.出现数线特征图，但整体数线无规律考虑细化。2.有明显外框，内外分明考虑内外分开数。线的特殊考点：笔画问题一笔画：图形由一笔画成，线条不能重复来回画图一24图二【注意】线的特殊考点：笔画问题。在考试中非常喜欢考查，并且每次考查的解题技巧都一模一样，只要学会了，就会感觉一点都不难。1.一笔画：图形由一笔画成，线条不能重复来回画。如图一，三幅图形均可以一笔画成。2.在考试时做题不能去画，如图二，按着箭头的方向依次画确实可以一笔画成，但比较浪费时间，且不易画对，要使用技巧算出笔画数。一笔画的判定方法：（1）线条之间全部连通（2）奇点数为 0 个或 2 个奇点：发射出奇数条线的点图一图二数奇点的时候不要忘记数上端点！25图三【注意】1.一笔画的判定方法：需要同时具备以下两个特征。（1）线条之间全部连通，连在一起就叫连通，分开的就是不连通。（2）奇点数为 0 个或 2 个。2.奇点是发射出奇数条线的点，发射出偶数条线的点就不是奇点。如图一，图 1 的蓝点引出 2 条线，2 不是奇数，所以该点不是奇点；图 2 的黄点引出 3 条线，3 是奇数，所以该点是奇点；图 3 的黄点引出 3 条线，3 是奇数，所以该点是奇点。判断奇点时，想象自己站在点上，看自己有几条路可以走，有几条路可以走就发射出几条线。发射出 5、7、11、101 条线的点都是奇点。如“日”字图，左右各有 1 个奇点，共 2 个奇点，且是连通图，为一笔画图形。3.数奇点的时候不要忘记数上端点，所有的端点都是奇点。如图二，红色的点都是端点（可以理解为线头），都发射出 1 条线，也都是奇点。4.练习：如图三。（1）图 1 右上角和右下角的点均发射出 3 条线，均是奇点，共有 2 个奇点；左上角和左下角的点均发射出 2 条线，2 不是奇数，所以不是奇点；图形是连通图形，为一笔画图形。（2）图 2 左侧的点发射出 4 条线，右侧的点也发射出 4 条线，4 不是奇数，有 0 个奇点，线条连通，为一笔画图形。（3）图 3 是连通图形，共有 4 个奇点，内部的“十”字交点发射出 4 条线，不是奇点，为多笔画图形。多笔画图形笔画数=奇点数/2（奇点数一定是偶数个）图 1图 226多部分图形的笔画数：将每个部分数的笔画数分别数出来，再相加【注意】多笔画：1.图形笔画数=奇点数/2。如图形有 4 个奇点，4/2=2，则为两笔画图形；图形有 6 个奇点，6/2=3，则为三笔画图形；图形有 100 个奇点，100/2=50，则为五十笔画图形。2.奇点数一定是偶数个，如只能有 0、2、4、6、8、10 个奇点，如果数出 3个/5 个奇点，一定数错了。每幅图都由直线或曲线组成，自带 2 个端点，均是奇点，奇点数一定是 2 的倍数，奇点数除以 2 一定能够除开。3.例：（1）图 1 有 4 个奇点（红点发射出 3 条线，端点也是奇点），4/2=2，是两笔画图形。（2）图 2 有 4 个奇点（端点），4/2=2，内部是两笔画，内部图形和外框的圆没有连上，圆是一笔画，加起来是三笔画图形。如果内部线条均与外框的圆相连，则有 4 个奇点，为两笔画图形。4.多部分图形的笔画数：将每个部分的笔画数分别数出来，再相加。5.线条之间全部连通，奇点数为 0 个或 2 个，为一笔画图形。6.首先要知道什么是奇点，其次要会数奇点，根据奇点的个数判断笔画数，不允许直接用奇点个数选答案，必须判断完图形是几笔画后再选答案。笔画数特征图经典款五角星、切圆、“日”字、“田”字【注意】笔画数特征图经典款：出现五角星、切圆、“日”字、“田”字，喜欢考查笔画数，具体的笔画数通过奇点的个数进行判断。27笔画数特征图变形款【注意】笔画数特征图变形款：1.五角星及其变形：五角星内部可以连通，或者外面加一个圆，均可以考查笔画数。2.圆相切/相交：如第二行图 3，将三角形无限拉伸类似 4 个圆相切，为圆相切的变形图。3.“日”字及其变形：如第三行图 2、图 3，只要是封闭图形内部有 1 条线，都是“日”字变形，考虑笔画数。4.“田”字及其变形：封闭图形内部有 2 条交叉线，均为“田”字变形图。笔画数特征图潮流款多端点、明显能一笔画成的图形【注意】笔画数特征图潮流款：1.多端点图形：如第一行图形，端点比较多，所有的端点都是奇点，喜欢考28查笔画。2.明显能一笔画成的图形：如第二行图形，明显能看出是一笔画图形。笔画数特征图：“马走日、象走田，星星端点还有圆，嵌套三角形一线牵”【注意】笔画数特征图：马走日、象走田，星星端点还有圆，嵌套三角形一线牵。“马走日”指“日”字及其变形图；“象走田”指“田”字及其变形图（可以将内部“十”字线挪到外面）；“星星”指五角星等，都喜欢考查笔画数；“端点”指多端点图形；“圆”指圆相切/相交；“嵌套”指的是封闭图形叠加在一起，考虑笔画数；每个面均为“三角形”（如第四行图 5、图 6），爱考笔画数；“一线牵”即一根线连着不同的封闭图形，爱考笔画数。【例 8】（2020 联考）请从所给的四个选项中，选择最合适的一个填在问号处，使之呈现一定的规律性：29【解析】8.图 1、图 4 是多端点图形，图 5 是圆相交，笔画数特征图明显，考虑笔画数，先数奇点。图 1 有 2 个奇点（端点），右侧的点发射出 4 条线，不是奇点，中间的点发射出 6 条线，不是奇点；图 2 有 2 个奇点；图 3 没有奇点；图 4 有 2 个奇点；图 5 有 2 个奇点。题干均是一笔画图形，则“？”处也应为一笔画图形。A 项：内部图形和外框没有连上，不是一笔画图形，内部图形有 0 个奇点，外部图形有 2 个奇点，均是一笔画图形，整体为两笔画，排除。B 项：有 2 个奇点，是一笔画图形，当选。C 项：有 4 个奇点，是两笔画图形，排除。D 项：有 4 个奇点，是两笔画图形，排除。【选 B】【注意】笔画数特征图：马走日、象走田，星星端点还有圆，嵌套三角形一线牵。【例 9】（2021 江苏）请从所给的四个选项中，选择最合适的一个填在问号处，使之呈现一定的规律性：【解析】9.出现圆相交、端点、“日”字变形，考虑笔画数。图 1 有 0 个奇点，为一笔画；图 2 有 4 个奇点，为两笔画；图 3 有 2 个奇点，为一笔画；图 4有 0 个奇点，但有内外 2 部分，为两笔画；图 5 有 2 个奇点，为一笔画，则“？”处图形应是两笔画。30A 项：圆相交，为一笔画图形，排除。B 项：有 4 部分，为四笔画，排除。C 项：有 6 个奇点，为三笔画，排除。D 项：有 4 个奇点，为两笔画，当选。【选 D】【注意】笔画数特征图：马走日、象走田，星星端点还有圆，嵌套三角形一线牵。【注意】线数量：1.单纯数直线和单纯曲线不难。2.线的细化基本上都是考查对直线的细化，包括横竖分开、内外分开。3.难点：笔画数，必须要学会，考试特别喜欢考查。知识点 3：点1.什么是点：线与线的交点31注：顶点、切点是交点端点不是交点2.数点的特征图：（1）线条交叉明显（大树杈）（2）乱糟糟一团线交叉（心乱如麻）（3）相切较多（擦边球）【注意】点：1.什么是点：线与线的交点，单纯数交点的个数。如图一，图 1 是 2 条直线相交，产生了 1 个交点；图 2 是 2 条曲线相交，产生了 1 个交点；图 3、图 4 都产生了 1 个交点。2.数点的时候，切点、顶点都是交点，但端点不是交点。3.特征图：（1）出现线条交叉明显，类似“大树杈”。（2）乱糟糟一团线交叉（心乱如麻）。（3）出现相切较多（擦边球）。32【例 10】（2020 联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）【解析】10.题干图形图 2、图 4 和 A、B、D 项出现“大树杈”，线条交叉明显，优先考虑数交点。题干交点数量依次为 2、3、4、5、6，则“？”处图形应有 7 个交点。A 项：有 7 个交点，当选。B 项：有 5 个交点，排除。C 项：有 8 个交点，排除。D 项：有 4 个交点，排除。【选 A】【注意】特征图：线条交叉明显、大树杈点。点的细化考法：曲直交点出现数点特征图，但整体数点无规律，且存在曲直相交，考虑点的细化，数曲直交点【注意】点的细化考法：出现数点特征图，但整体数点无规律，考虑点的细化。当图形中存在明显的曲直相交，考虑数曲直交点。如上图，有 3 个曲直交点。33【例 11】（2021 江苏）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）【解析】11.“擦边球”较多，考虑数交点。整体数点无规律，考虑点的细化。每幅图外轮廓都是圆，内部都是直线图形，考虑数曲直交点。题干图形曲直交点依次为 0、1、2、3、4，依次递增，则“？”处图形应有 5 个曲直交点。A 项：5 个曲直交点，保留。B 项：没有曲线，排除。C 项：有 6 个曲直交点，排除。D 项：有 5 个曲直交点，保留。对比 A、D 项，A 项的圆在里面，D 项的圆在外面。题干图形的外轮廓都是圆，A 项排除，D 项当选。【选 D】点的细化考法：内外交点出现数点特征图，但整体数点无规律，且存在明显框架图形考虑点的细化，34数框上、框外、框内交点【注意】点的细化考法：内外交点。1.出现数点特征图，但整体数点无规律，且存在明显框架图形，考虑数框上、框外与框内交点。2.如上图，框架图形是圆，点在圆形边上，是框上交点；在框外的交点是框外交点；框内交点指在框内的交点。【例 12】（2019 联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）【解析】12.出现“大树杈”，有数点的特征图，考虑数点，但整体数点没有规律，考虑点的细化。题干均是全直线图形，无法考查曲直交点，每幅图外面都有正方形外框，考虑数内外交点。框外没有交点，不需要考虑框外交点，框内和框上都有交点，优先从简单的开始数，哪个少就先数哪个。框上交点少，故优先数框上交点，题干图形框上交点数均是 1，则“？”处图形应有 1 个框上交点。A 项：有 2 个框上交点，排除。B 项：有 0 个框上交点，排除。C、D 项：有 1 个框上交点，均保留。对比 C、D 项，框上交点的位置不同。题干图形框上交点依次在下、左、上、右、下，即框上交点的位置顺时针每次移动 1 条边，则“？”处图形的框上交点应该在左侧。C 项：框上交点在上方，排除。D 项：框上交点在左边，当选。35答疑（1）点的旋转不是周期，数数才有周期。（2）根据垂直线无法区分选项。（3）对比选项找差异。【选 D】【注意】点数量：1.特征图：（1）线条交叉明显（大树杈）。（2）乱糟糟一团线交叉（心乱如麻）。（3）相切点较多（擦边球）。2.出现数点特征图，但整体数点无规律，考虑点的细化，看曲直交点和内外交点。知识点 4：角什么是角：直线与直线相交数什么样的角：小于 18036图 1特殊角：直角特征图：含有直角的图形图 2【注意】角：很少考查，一般是不考的，近五年中没有考查，以了解为主。1.什么是角：直线与直线相交形成的是角，如图 1 直线与直线相交形成 90的直角，直线与曲线相交无法构成角，曲线和曲线相交也无法构成角。2.数什么样的角：小于 180。如图 1，直角外面大于 180，不数。3.如果考题中出现含有直角的图形，考虑数直角。在所有角中，直角是最爱考查的，优先考虑数直角。【例 13】（2020 浙江）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）【解析】13.第一反应是数面、笔画数，但均无规律。每个图形都包含直角，37优先考虑数直角，直角数依次为 1、2、3、4、5、？，依次递增，则“？”处图形应有 6 个直角。A 项：有 2 个直角，排除。B 项：有 6 个直角，当选。C 项：有 4 个直角，排除D 项：有 4 个直角，排除。答疑：数角时不能加在一起数，需要单独数。【选 B】【注意】特征图：直角图形数直角。知识点 5：素1、元素数量图一2、元素种类图二【注意】素：1.任何一个独立的小图形都可以称之为一个元素，比如点、小圆圈、。2.考点：（1）元素个数：即数有几个独立小图案，图一元素个数依次为 2、3、4、5。（2）元素种类：长得一样的、形状相同的算一种素。图二元素种类数依次为 1、2、3。一个大圆、一个小圆算一种素，大小不同不做区分。正“T”和倒“T”大多数情况下是 2 种元素，有的题目算作 1 种元素，有38的题目算作 2 种元素，以题目为准，结合其他图形观察几种有规律就算几种。颜色不同算两种素，如一个白圆和一个黑圆。特征图：多个独立小图形【注意】特征图：出现多个独立小图形，优先考虑数元素的个数和种类。【例 14】（2019 湖北）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）【解析】14.每幅图都出现多个独立小图形，考虑数元素的种类和个数，一个图里面有好几个长得一样的图形，优先看元素的种类。题干图形元素种类数依次为 1、2、3，则“？”处图形应有 4 种元素。A 项：有 4 种元素，当选。B 项：有星星和三角形 2 种元素，排除。39C 项：有星星、圆、方块 3 种元素，排除。D 项：有星星和圆 2 种元素，排除。【选 A】【注意】特征：多个独立小图形元素种类、个数。【例 15】（2022 广东公务员）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）【解析】15.每幅图都出现多个独立小图形，考虑数元素的种类和个数。图1 只有 1 种元素，其他图形均有 2 种元素，种类数无规律，考虑数元素的个数。方块数依次为 4、3、2、1、？，则“？”处应有 0 个方块，排除 A、B 项。圆个数依次为 0、2、4、6、？，则“？”处应有 8 个圆，D 项当选。答疑：元素换算考查较少，不优先考虑元素换算。【选 D】【注意】特征：多个独立小图形元素种类、个数。知识点 5：素3.部分数（连在一起叫做一部分）特征：生活化图形、粗线条图形【注意】部分数：401.连在一起就叫做一部分。如上图，图 1 为一部分；图 2“翅膀”和“机身”没有连上，是两部分；图 3 是三部分；图 4 是六部分。2.特征：生活化图形、粗线条图形。【例 16】（2020 福建）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。（）【解析】16.题干出现黑色粗线条图形，考虑部分数。第一组图形部分数依次为 1、2、3，第二组图形部分数依次为 1、2，则“？”处图形应有 3 部分。A 项：有 3 部分，保留。B 项：有 1 部分，排除。C 项：有 2 部分，排除。D 项：有 1 部分，排除。【选 A】【注意】特征：生活化图形、黑色粗线条图形部分数。41【注意】素数量：1.小元素：出现多个独立小图形，优先考虑元素的个数和种类。2.部分数：出现生活化图形、黑色粗线条图形，考虑部分数。3.元素换算：每幅图都只出现 2 种元素，数量此消彼长。优先看元素的个数和种类，其次考虑元素换算。元素换算会在真题课中补充。【注意】数量规律特征图：1.元素组成不相同、不相似，且属性无规律，考虑数量规律。2.记住五类考点的特征图。空间类图形：空间重构、三视图、截面图、立体拼合42【注意】1.空间类题型包括空间重构（六面体、四面体，近五年没有考查四面体，主要考查六面体）、三视图、截面图、立体拼合。2.规律性最强、能够提前把技巧全准备好的只有空间重构，三视图、截面图、立体拼合每次考查的图形都不一样，所以三视图、截面图、立体拼合在理论攻坚阶段不讲解，课后找到补充课程包超值附加课程学霸养成课图形专项，该课程（1.5 小时）对三视图、截面图、立体拼合进行了详细讲解。3.理论攻坚阶段主要讲解空间重构，解题技巧比较固定。第六节空间重构【注意】1.在考试当中，图形推理一般考查 5 道题，大概率会考查 1 道空间类题目，其他 4 道题目大概率是考查平面类，A、B、D、E 类的考情类似。2.重点以六面体为例进行讲解，因为在空间重构中六面体考查最多，四面体、八面体没有考查过。有的题目以不规则的六面体进行考查，不要害怕，解题技巧是通用的。3.空间重构最大的难点是想不出来，脑海中构造不出立体图案，所以课上学43习用平面思维解决立体图案。如果空间想象能力特别好，后面的知识点可以不用听，可以靠想象做题；如果空间想象能力不好，则学习如何用平面思维进行解题。1.折叠方向左边给定的是纸盒外表面的展开图，右边哪一项能由它折叠而成？图 1图 22.所有的方法都是排除错误选项的【注意】1.折叠方向：一般都是问“左边给定的是纸盒外表面的展开图，右边哪一项能由它折叠而成”，如上图，给出两种折叠方式，图 1 的折叠方式是正确的，因为图 1 的图案露在外面，即外表面；如果将图案装在盒里，则方向错误。2.所有的方法都是排除错误选项的，根据题干给出的已知图形判断四个选项的对错，用已知图形找选项的毛病，谁错了就排除谁，剩下的就是正确答案，无需去想剩下的图为什么正确，需要借助空间想象能力才能知道为什么正确。方法一：相对面图 1图 2应用：在立体图中，一组相对面能且仅能出现一个【注意】相对面：1.在六面体中，没有任何交集的 2 个面是相对面。如前面和后面是相对面，上面和下面是相对面，左面和右面是相对面，谁也碰不着谁。442.图 1 为透视图，但考试中一般给出的立体图都是图 2，即从一个顶点观察下去就看到其中 3 个面，另外 3 个面看不见。在透视图中可以看出面 A 和面 F是一组相对面，立体图中只出现面 A，没有出现面 F；面 D 和面 B 是一组相对面，立体图中只出现了面 D，没有出现面 B；面 E 和面 C 是一组相对面，立体图中只出现了面 E，没有出现面 C。在立体图中，任何一组相对面能且仅能出现 1 个面。3.面 A 和面 F 是一组相对面，在立体图中能且仅能出现一个，如图 2，出现了面 A，如果面 A 和面 F 这 2 个面在立体图中都出现，要将面 E 或面 D 其中一个换成面 F，则面 A 和面 F 会相邻，不再是相对面，此时错误。4.如果面 A 和面 F 这一组相对面在立体图中都没有出现，如将图 2 的面 A换为面 B 或面 C，如果换成面 B，此时面 B 和面 D 挨着了，二者不是相对面；如果换成面 C，面 C 和面 E 挨着了，也不是相对面，所以一组相对面的两个面在立体图中都不出现也不行。展开图中如何判断相对面：1.同行或同列相隔一个面图一2.“Z”字形两端（紧邻中线）图二图三【注意】展开图中如何判断相对面：1.同行或同列相隔一个面就是相对面。如图一，图 1 中 2 个红色的面在同一行，中间隔着一个白色的面，则 2 个红色的面是相对面；2 个蓝色的面在同一列，45中间隔着一个面，则 2 个蓝色的面是相对面。2 个白色的面在同一列，中间隔着一个面，则 2 个白色的面是相对面。根据图 1 可知红色的两个面是相对面，则图2 的立体图一定错误，2 个红色的面是相对面，不能在立体图形中同时出现。2.“Z”字形两端（紧邻中线）。当把两个面中间用直线连接起来，发现有点像“Z”时，则处在“Z”字两端的两个面就是相对面，“Z”字中间的那根线叫中线，如图二，每幅图的 2 个蓝色面都是处在“Z”字两端，且紧邻“Z”字中线的相对面。3.如图三，面 a 和面 e 虽然有点像字母“Z”，但没有紧邻中线，中线是竖着的那根线，面 e 和中线之间还隔了面 d，所以面 a 和面 e 不是相对面。面 a 和面 d 是处在“Z”字两端，且紧邻“Z”字中线的相对面；面 e 和面 c 是同行相隔一个面的相对面；面 b 和面 f 是同列相隔一个面的相对面。【例 1】（2017 联考）左边给定的是纸盒的外表面，右边哪一项能由它折叠而成？（）【解析】1.题干给出已知图形，四个选项逐一排除。A 项：展开图中虚线对角线面和实线对角线面在同一列，中间隔着一个面，是一组相对面，不能在立体图中同时出现，排除。B 项：虚线横线面和实线竖线面在展开图中处于“Z”字形两端，是一组相对面，在立体图中相对面不能同时出现，排除。C 项：给出的 3 个面没有相对面，先保留。D 项：两个带有黑色图案的面在展开图的同一行相隔排列，是相对面，相对面不能在立体图中同时