天风证券_20180425_海外文献推荐第37期.pdf

金融工程金融工程|金工专题报告金工专题报告 请务必阅读正文之后的信息披露和免责申明 1 金融工程金融工程 证券证券研究报告研究报告 2018 年年 04 月月 25 日日 作者作者 吴先兴吴先兴 分析师 SAC 执业证书编号：S1110516120001 18616029821 相关报告相关报告 1 金融工程：金融工程-海外文献推荐 第 36 期 2018-04-18 2 金融工程：金融工程-海外文献推荐 第 35 期 2018-04-11 3 金融工程：金融工程-海外文献推荐 第 34 期 2018-04-04 海外文献推荐海外文献推荐 第第 37 期期 因子选择的新指标因子选择的新指标 本文将因子模型的最大夏普比平方作为资产定价模型的评价指标，在嵌套模型和非嵌套模型中分别进行深入研究。嵌套模型是资本资产定价模型，Fama 和 French（1993）的三因子模型，Fama 和 French（2015）的五因子扩展模型，以及增加动量因子的六因子模型。非嵌套模型考察了六因子模型中因子选择的三个问题：（1）构建盈利能力因子时应当选择现金盈利因子亦或是经营盈利因子；（2）多空溢价因子与单边超额收益因子的对比；（3）仅大（小）规模股票池与所有股票池中因子表现的对比。如何设计目标日期基金？如何设计目标日期基金？目标日期基金是对 DC 计划中传统均衡配置型基金的补充，其主要设计思路是根据投资者的退休日期动态配置股票和债券等资产。由于目标日期基金期限较长的特征，目标日期基金在设计上与共同基金有很大的差异。个人投资者的投资目标是在退休之前，通过不断地向目标日期基金中投资部分收入来最大化退休后资产，这点与共同基金也有较大差别。本文主要分析目标日期基金的动态配置框架，我们发现最佳组合风险暴露随着时间而变化，并且对来自市场和投资者的参数非常敏感。此外，我们还归纳目标日期基金的四种特性，以便于更好地设计目标日期基金，并尝试使用风险预算代替风险厌恶函数来设计下滑轨道。风险风险提示提示：本报告内容基于相关文献，不构成投资建议。金融工程金融工程|金工专题报告金工专题报告 请务必阅读正文之后的信息披露和免责申明 2 内容目录内容目录 因子选择的新指标因子选择的新指标.4 1.简介.4 2.的边际贡献.5 3.候选因子.5 4.嵌套模型.6 5.选择经营盈利能力还是现金盈利能力？.7 6.根据 对六因子模型排序.8 7.的分解.8 7.1 多空溢价因子模型.8 7.2 空头超额收益因子.9 7.3 中的因子权重.9 8.与其他模型评价指标的对比.10 8.1 LHS 投资组合与其评价指标.10 8.2 与其他评价指标的关系.10 9.结论.11 如何设计目标基金？如何设计目标基金？.12 1.简介.12 2.模型.13 2.1 理论框架.14 2.2 最优解.14 2.3 一些具体的例子.15 3.风险敞口的动态变化.16 3.1 与 Merton 最优解的比较.16 3.2 定义下滑轨道.17 3.3 在缴费函数中引入不确定性.18 3.4 随机利率的影响.19 3.4 变量相关性的影响.19 4.目标日期基金的特性与设计.20 4.1 投资者的个人特征.20 4.2 目标日期基金的逆向特点.21 4.3 管理风险预算.22 4.4 战术资产分配的重要性.23 4.5 目标日期基金应用实例使用风险预算代替风险厌恶函数.24 5.结论.26 金融工程金融工程|金工专题报告金工专题报告 请务必阅读正文之后的信息披露和免责申明 3 图表目录图表目录 表 1：1963 年 7 月至 2016 年 6 月的月度要素收益汇总统计.6 表 2：嵌套模型检验.7 表 3：OP 因子和 CP 因子在六因子模型中的比较.7 表 4：差值分布.8 表 5：值最高的三个模型交叉回归和边际贡献.9 表 6：投资组合因子权重和杠杆率.10 表 7：截距的统计数据.10 图 8：富达 ClearPath 2045.13 图 9：最佳风险敞口与 x 和 的关系.17 图 10：下滑轨道的计算.17 图 11：下滑轨道举例.18 图 12：的动态变化过程.18 图 13：随机经济因子的下滑轨道设计.19 图 14：利率变动和变量相关性的影响.20 图 15：投资者参数的影响.21 图 16：下滑轨道与最佳敞口的关系.22 图 17：目标日期基金额风险预算.23 图 18：随时间变化的风险溢价的影响.24 图 19：风险预算下的下滑轨道.26 金融工程金融工程|金工专题报告金工专题报告 请务必阅读正文之后的信息披露和免责申明 4 因子选择因子选择的新指标的新指标 文献来源：Fama,E.F.,&French,K.R.(2018).Choosing factors.Journal of Financial Economics,128:234252 推荐原因：本文将因子模型的最大夏普比平方作为资产定价模型的评价指标，在嵌套模型和非嵌套模型中分别进行深入研究。嵌套模型是资本资产定价模型，Fama 和 French（1993）的三因子模型，Fama 和 French（2015）的五因子扩展模型，以及增加动量因子的六因子模型。非嵌套模型考察了六因子模型中因子选择的三个问题：（1）构建盈利能力因子时应当选择现金盈利因子亦或是经营盈利因子；（2）多空溢价因子与单边超额收益因子的对比；（3）仅大（小）规模股票池与所有股票池中因子表现的对比。1.简介简介 之前的因子选择有两种方法。LHS 方法是通过时间序列回归的截距解释 LHS 投资组合未被解释的超额收益。具体参见 Fama 和 French（1993,2012,2015,2016,2017），Hou 等（2015），Harvey 和 Liu（2016）的研究。这种方法的一个局限性是推论可能会因 LHS 组合的不同而有所不同。另一种方法 RHS 使用交叉回归来判断个体因子是否有助于解释模型中的平均收益。每个候选因子都通过模型的其他因子进行回归。如果回归的截距不为零，那么该因子的存在会提高模型对平均收益的解释程度。Gibbons，Ross 和 Shanken 提出了 GRS 统计量（GRS，1989）来检验模型因子的增加是否会提高模型对预期收益的解释程度。但 RHS 方法适用于嵌套模型，并不适用于非嵌套模型。本文研究了 Barillas 和 Shanken（BS，2016）提出的指标，该指标也侧重于 RHS 因子的竞争模型，并且有助于在嵌套和非嵌套模型之间进行选择。BS 一个重要假设是把收益对因子回归所得截距的最大 Sharpe 比率平方作为模型评判标准。定义为收益 对因子回归的截距，作为残差协方差矩阵。截距的最大 Sharpe 平方定义为 2()=1 （1）而有最小 2()值的模型最优。同时 GRS 指出1是 和共同构建的最大sharpe 平方与单独构建的最大 sharpe 平方的差值：2()=2(，)2()（2）由于 包含了模型 i 的所有竞争因子，所以 （即 和）并不依赖 i，等式（2）简化为 2()=2()2()（3）如果目标是最小化2()（忽略测量误差），那么最好的模型意味着有最大2()。在BS 假设下，2()成为了评判资产定价模型的标准（该值越大越优）。如果2()的输入是样本估计值，会出现2()估计偏差。2()估计的偏差不会削弱我们对嵌套模型的比较，但当比较非嵌套模型时，偏差就变成了一个问题，而解决方案是对样本内（IS）和样本外（OS）的2()估计值进行 Bootstrap 模拟。利用 1963 年 7 月至2016年6月的美国股票收益率，将636个月分为318个相邻对：（1,2），（3,4）.（635,636）。每次模拟运行都会随机抽取 318 个月作为样本。我们使用这些月份计算所有模型的样本内2()值，并确定切线投资组合中因子的权重。我们将这些权重与所选对中未使用的月份进行组合，计算夏普比率的样本外估计值。并根据样本内外所得2()对模型进行排序。使用2()作为模型评判指标有两个任务。第一个任务是对嵌套模型的比较，包括 FF三因子模型，五因子模型及五因子模型基础上增加动量因子构成的六因子模型：=+（4）金融工程金融工程|金工专题报告金工专题报告 请务必阅读正文之后的信息披露和免责申明 5 在该等式中，R 是资产 i 在 t 期的回报，是 t 期开始时观察到的一个月美国国债利率，是纽约证券交易所，美国证券交易所和纳斯达克股票的价值权重（VW）投资组合相对于的超额收益，（小规模减大规模）和（高账面市值比减低）是规模和价值因子，（营运利润率高减低）是一个盈利性因子，（投资保守减去激进）是一个投资风格因子，而（上涨减下跌）是一个动量因子。CAPM 模型中只有 Mkt，FF3 中增加了 SMB 和 HML 因子，FF5 及六因子模型中增加了 RMW 和 CMA 因子。第二个任务是说明如何利用2()在非嵌套模型中进行选择。本文对六因子模型中三个问题进行研究。第一个问题是关于盈利因子 OP（operating profitability）和 CP（cash profitability）的选择。第二个问题是关于 HML，CMA，RMW 和 UMD 的因子选择。第三个问题是多空溢价因子模型的2()是否会高于纯多或纯空单边超额收益因子模型的2()。本文结构如下，第 2 部分给出了因子对2()边际贡献的表达式。第 3 部分是因子的总结统计。第 4 节考虑了嵌套模型的选择。通过交叉回归和 GRS 检验决定是否向模型添加新的因子以增加2()。本文的其余部分讨论了六因素模型的选择。第 5 节表明，在本文所研究的模型中，现金盈利因子（CP）产生的2()高于经营盈利因子（OP）。第 6 部分利用2()值对模型排序（采用 CP 因子的模型）。第 7 部分研究因子对2()的边际贡献以及切线投资组合中因子权重。第 8 节研究2()与其他模型评价指标的比较。第 9 节总结了因子模型中的不同因子选择方法。2.()的边际贡献的边际贡献 等式（2）提供了一种简单的方法来衡量一个因子对2()的边际贡献，即模型因子的最大化 Sharpe 比率平方。假设是因子 i 对其他因子回归的截距，是回归残差的标准差。此时 2/2=2(,)2()（5）在这个等式中，2(,)是包含 f 和 i 扩展模型的最大 Sharpe 平方，2()是模型 f的最大 Sharpe 平方。（5）表明，如果一个因子的预期收益能够被其他因子解释得很好（接近于零）或其变化无法被其他因素所解释（很大）时，那么该因子对模型的最大 Sharpe平方的边际贡献很小。3.候选因子候选因子 本文样本是纽约证券交易所，美国证券交易所和纳斯达克的股票。本文的非嵌套模型包括六因子模型的 12 个版本。市场收益 Mkt 在每个模型中都有，但模型在如何定义其他因子方面有所不同。价值因子 HML 是每年（6 月底）将独立种类的股票按规模分为两组和按账面市值比（BE/ME）分为三组股票。会计变量采用是在上一个财政年度结束时的值，BE/ME 中的 ME市值取 t-1 年 12 月底的值。规模分界点是纽约证券交易所 6 月底的 ME 的中值，BE/ME分界点是纽约证券交易所股票 BE/ME 的第 30 和第 70 百分位。这些交叉点产生六种投资组合，LS，NS，HS，LB，NB 和 HB，其中 L，N 和 H 分别表示成长股，中性股和价值股（低30，中 40，高 30 BE/ME），S 和 B 分别表示规模小和大。我们计算从 t 年的 7 月到 t+1 的 6 月的每月 VW 组合收益（几个股票市场价值加权值）。构建小规模股票和大规模股票的价值因子，=和=，HML 因子为二者的平均值，其他因子（,和 CMA）的构造与 HML 类似。HML,和CMA这4个 因 子 分 类 时 可 求 得 对 应 规 模 因 子,和（3 种小规模股票组合回报率与 3 种大规模股票组合收益率之差），最终规模因子取为 金融工程金融工程|金工专题报告金工专题报告 请务必阅读正文之后的信息披露和免责申明 6 =(+)/3 =(+)/3 动量因子 UMD 的定义与 HML 因子相同，但其是每个月进行一次分组（而不是一年），t-1 月末的分类基于 t-12 月到 t-2 月的动量均值。表 1 展示了以上因子的汇总统计。市场溢价为每月 0.50（t=2.84）。价值溢价（平均 HML 回报），投资溢价（平均 CMA 回报）和两个盈利溢价（平均和回报）每月为 0.24-0.36。两个盈利因子之间的相关性很低，为 0.66。动量因子的平均回报率很高，每月 0.69（t=4.09）。HML，CMA 和 UMD 的小规模股票平均收益在每月 0.31至 0.92之间，大规模股票平均收益在 0.17至 0.46之间，除盈利因素外，小规模股票平均收益超过大规模股票平均收益两倍标准差。表表 1：1963 年年 7 月至月至 2016 年年 6 月的月度要素收益汇总统计月的月度要素收益汇总统计 资料来源：Journal of Financial Economics,天风证券研究所 4.嵌套模型嵌套模型 如果模型是以因子产生的最大化夏普比率平方作为评判标准，那一个因子对模型的边际贡献就是该因子对其余因子回归后经残差的方差调节后的截距项，并对截距进行 GRS 检验。在表 2 中，利用 SMB 和 HML 对 Mkt 回归，GRS 检验拒绝了所得截距项为零的假设。这个结果意味着，模型中增加 SMB 和 HML 可以产生比单独使用 Mkt 更高的2()，即CAPM 不如三因素模型好。进一步，盈利能力因子和投资因子对 Mkt，SMB 和 HML 的回归，是选择三因素模型和五因素模型的关键，而 GRS 检验显示盈利因子和投资因子的出现会增加2()。同样地，动量因子对五因子模型中的因子的回归结果增加了动量因子的模型相对五因子能产生更高的2()。金融工程金融工程|金工专题报告金工专题报告 请务必阅读正文之后的信息披露和免责申明 7 表表 2：嵌套模型检验嵌套模型检验 资料来源：Journal of Financial Economics,天风证券研究所 5.选择经营盈利能力选择经营盈利能力还是还是现金盈利能力？现金盈利能力？表 3 针对现金盈利能力（CP）因子与经营盈利能力（OP）因子2()值进行比较。采用六因子模型，除了一组使用 OP 而另一组使用 CP 因子外，其他因子均相同。统计 10000 次样本内外 Bootstrap 仿真模拟结果，表 3A 显示全样本和样本内对2()的估计是正偏的，且在样本内偏离度更大，因为它们在一定程度上取决于采样误差，而样本外估计没有这种偏差。所有样本组对2()的估计均值均高于中位数。表 3B 显示模型中使用CP因子和OP因子得到2()之间的平均值差与中位数差相似，在所有总结指标中，使用 CP 因子的六因子模型产生的2()比使用 OP 因子的模型要高。表表 3：OP 因子和因子和 CP 因子在六因子模型中因子在六因子模型中的的比较比较 资料来源：Journal of Financial Economics,天风证券研究所 金融工程金融工程|金工专题报告金工专题报告 请务必阅读正文之后的信息披露和免责申明 8 6.根据根据()对六因子模型排序对六因子模型排序 由表 3A 可以看出，包含 Mkt，SMB 和小规模股票因子（HML,和）的模型有最高的2()。第二高的是使用 Mkt，S-F 及超额收益，和 的模型，第三高的是包含 Mkt，SMB，HML，和 UMD 的标准模型。根据实际2()上模型排序结果与根据全样本和样本内模拟的2()均值和中值的排序结果相同。而由样本外模拟得到的 Sharpe 比率平方的均值和中位数相对较小，但在所有模型中的下降趋势相似，且模型的顺序不变。上述 3 个模型是否与其他模型显著不同或者彼此显著不同？表 4 对此进行了总结。在表 4 中，列出了每列模型（对应最优的 3 个模型）与每行模型在2()平均值和中值上的差值，即2()2()。结果表明，在所有样本组下模拟得到平均值（和中值）的行列模型间2()差值基本一致。这表明，由全样本和样本内模拟得到的2()的偏差在不同模型间是类似的，模型的排序并无显著差异。因此考虑这种偏差并不重要。我们可以依靠规模更大的模拟样本（636 个月，而样本内外模拟中只有 318 个月）进行排序，以选取最优模型。同时，建立在 Mkt，SMB 和小规模因子上排名第一位的模型在2()值上依然优于其他模型，它在全样本模拟过程中仅有 17.5的几率比排名第二位模型差，8.7的几率比排名第三位模型差，而其他模型只有 3.2可能优于此模型。但样本外模拟下，2()最高的模型仍有 74.1和 80.0可能击败排名第二和第三位模型，并且至少有 84.6的可能优于其他模型。表表 4：()差值分布差值分布 资料来源：Journal of Financial Economics,天风证券研究所 7.()的分解 7.1 多空溢价多空溢价因子因子模型模型 因子回归得到的截距项 t 统计量度量了因子对2()边际贡献的可靠性。表 5 结果显示，Mkt 和 RMW 是对2()边际贡献最大的因子（边际贡献分别为 0.080 和 0.085），其次是 SMB（0.034），UMD（0.023），CMA（0.015）和 HML（0.002）。而在使用小规模股 金融工程金融工程|金工专题报告金工专题报告 请务必阅读正文之后的信息披露和免责申明 9 票因子的模型中，因子对2()边际贡献更为集中，其中Mkt 和分别为0.070和0.066，其次是为 0.054，为 0.042，SMB 为 0.031，其中是最小，为 0.001。同时，表 5 表明，在判断多因子模型中因子的重要性时，平均回报率可能会产生误导，因子对2()的边际贡献取决于回归的残差与截距。此外，对于投资和动量溢价在小股票中的边际贡献更大。表表 5：()值最高的三个模型交叉值最高的三个模型交叉回归回归和边际贡献和边际贡献 资料来源：Journal of Financial Economics,天风证券研究所 7.2 空头超额收益因子空头超额收益因子 表 5 中由 Mkt，S-F 及超额收益，和 构成模型回归的结果与其他模型是不同的。其中，在多空溢价因子模型中对2()边际贡献最高的 Mkt 因子在空头超额收益因子模型中是多余的（截距为0.03,t 值0.41），而 因子在很大程度上也是多余的（截距为 0.07,t 值 1.81）。相反地，S-F 因子对2()边际贡献最大，为0.179。盈利因子（）、投资因子（）和动量因子（）对2()的边际贡献是相对中性，分别 0.048、0.031 和 0.034。7.3()中的中的因子权重因子权重 表 6 展示了六因子模型中各因子的权重，其中因子权重由切线投资组合确定。对于多空溢价因子模型，Mkt 的权重为 100。对于使用单边超额收益因子的模型，所有因素的权重总和为 100。表 6 还展示了的杠杆,多空溢价因子模型的杠杆是多空溢价因子权重（百分比值）绝对值之和除以 100。对于单边超额收益因子的模型，杠杆率是任何负数权重绝对值的总和除以 100。金融工程金融工程|金工专题报告金工专题报告 请务必阅读正文之后的信息披露和免责申明 10 表表 6：()投资组合因子权重和杠杆率投资组合因子权重和杠杆率 资料来源：Journal of Financial Economics,天风证券研究所 8.()与其他与其他模型评价模型评价指标指标的对比的对比 8.1 LHS 投资组合与其投资组合与其评价评价指标指标 基于对现金盈利能力和动量因子表现的兴趣，我们扩展了五因子模型。并结合一系列指标进行评价。用 A 表示平均值，则A|表示投资组合的截距绝对值的平均；表示 LHS组合相对 VM 超额收益；()表示的标准差；将A|，A2/A 2和A()2 /A 2作为新的指标 EW(equal weight)和2()对比，结果见下表。表表 7：截距的统计数据截距的统计数据 资料来源：Journal of Financial Economics,天风证券研究所 8.2()与其他与其他评价评价指标指标的的关系关系 定义为 LHS 投资组合，则有 2()=2(,)2()当包含所有资产时，有2(,)=2()，所以2()与2()应当是负相关的。同样，可以写出 GRS 统计量 GRS=(1+2(,)1+2()1)金融工程金融工程|金工专题报告金工专题报告 请务必阅读正文之后的信息披露和免责申明 11 其中，是与股票总数，模型因子数及 LHS 组合相关的常数，可以看出2()与GRS是负相关的。然而2()和 EW 之间并没有直接的联系。9.结论结论 如果目标是最小化所有资产截距的最大 Sharpe 比率平方，则应将模型按照因子的2()进行排 序，此时在 六因 子模型 中，包含 Mkt、SMB 和小 规模股 票因 子（HML,和）的模型最优，该模型的2()比其他模型更可靠。而且，该模型在 EW 指标上也表现最佳。但这并不意味着该模型是最优的，因为包含 Mkt，SMB，HML，和 UMD 的标准模型在所有指标中都表现良好，并且如果去除动量因子，标准模型在所有指标上的表现都与我们考虑的任何模型一样好。金融工程金融工程|金工专题报告金工专题报告 请务必阅读正文之后的信息披露和免责申明 12 如何设计目标基金？如何设计目标基金？文献来源：Bruder,Benjamin,Culerier,Leo,&Roncalli,Thierry.(2013).How to design target-date funds?.Ssrn Electronic Journal.推荐原因：目标日期基金是对 DC 计划中传统均衡配置型基金的补充，其主要设计思路是根据投资者的退休日期动态配置股票和债券等资产。由于目标日期基金期限较长的特征，目标日期基金在设计上与共同基金有很大的差异。个人投资者的投资目标是在退休之前，通过不断地向目标日期基金中投资部分收入来最大化退休后资产，这点与共同基金也有较大差别。本文主要分析目标日期基金的动态配置框架，我们发现最佳组合风险暴露随着时间而变化，并且对来自市场和投资者的参数非常敏感。此外，我们还归纳目标日期基金的四种特性，以便于更好地设计目标日期基金，并尝试使用风险预算代替风险厌恶函数来设计下滑轨道。1.简介简介 21 世纪初以来，目标日期基金越来越受欢迎。其中一个原因是养老金计划从固定受益（DB）转向固定缴费型（DC），投资风险从企业部门转向家庭投资者。另一个原因涉及某些监管改革和税收优惠。例如，美国 2006 年的“养老保障法案”要求那些资金不足以支付退休金计划的公司向养老金福利保证公司支付更高的保费。DB 计划的负债可能会给发起人更大的养老金计划成本，促使更多发起人转向 DC 计划。在这种情况下，目标日期资金实现高增长就不足为奇了：“在过去的六年中，目标日期基金的资产已经从 2005 年底的 710 亿美元增长到 2011年底的约 3780 亿美元，增长了五倍多。在最近的一项研究中发现，先锋 82的退休计划提供了目标日期基金，近四分之一的参与者仅投资于目标日期基金。Casey Quirk 咨询估计，到 2020 年，目标日期的资金占据 DC 计划的一半以上。”（Morningstar 39，2012）。目标基金市场是一个高度集中的市场。根据晨星的报告，三家资产管理公司（富达，Vanguard 和 T.Rowe Price）占据 78的目标日共同基金市场份额。ICI（2012）报告称，2011 年底美国退休资产规模为 17.9 万亿美元，其中 IRA 账户 4.9 万亿美元，DC 计划 4.5万亿美元和私营部门 DB 退休基金 2.4 万亿美元。对于 DC 计划，资产分配取决于参与者的年龄。实际上，对于二十多岁的投资者其 DC 计划中约有 27%的资产投资于目标日期基金，对于六十多岁的投资者这一比例降低到 9%。可见目标日期资金对年轻投资者的吸引力更强。目标日期资金面临的一个重大挑战是“下滑轨道”的设计。在目标日期基金中，资产组合策略取决于投资者退休的时间。当个人投资者年轻的时候，他们主要投资于股票，而当他们接近退休时，这种分配将更加侧重债券（或现金类资产）。目标日期基金改变其资产配置的速度被称为“下滑轨道”。以富达 ClearPath退休投资组合为例。从图 8 我们注意到股票、债券和现金的配置比例如何随退休日期的临近而变动。当我们接近退休日期时，分配会变得更加保守：当前股票的投资比例超过 80%，而在 50 年后他们的权重只有 31。债券配置比例在前 25 年内逐渐增加，然后稳定在 30左右；高收益债券的权重基本稳定在 7至 5之间；现金类资产在退休日前 12 年开始，到退休时刻的配置比例能够达到 35。其他目标日期基金的下滑轨道也基本呈现出相同的变动模式，但具体比例可能会有比较大的差异。例如，晨星（2012）报告称，如果目标年份是 2015 年，股权分配比例在 20和 78之间变化。金融工程金融工程|金工专题报告金工专题报告 请务必阅读正文之后的信息披露和免责申明 13 图图 8：富达富达 ClearPath 2045 资料来源：Ssrn Electronic Journal，天风证券研究所 默顿（1969,1971）是分析动态资产配置的常用框架，后续许多研究都对默顿模型进行了验证和补充。例如，股票收益的均值恢复特性和通货膨胀风险的不确定性（Munk，2004）、股票-债券相关性对套期保值需求的影响（Henderson，2005）、劳动力供给的灵活性（Bodie et al，1992）、长寿风险（Cocco 和 Gomez，2012）、房地产资产的影响（Martellini 和 Milhau，2010）以及回报的可预测性（Larsen 和 Munk，2012）。虽然这些研究对于理解目标日期资金的分配很有意义，但它们还不足以完全解释下滑轨道的动态变化。劳动收入通常是了解他们行为的关键因素。很多文献都研究了股债配置与劳动收入之间的关系，在本文中，我们假设投资者向目标日期基金的缴费金额是随机但恒定的（即该缴费金额是一个常数，但是常数的数值是随机的）。在这种情况下，我们得到的最佳的风险资产配置比例与业界使用的许多下滑轨道类似。尽管如此，我们也注意到该解决方案对股权风险溢价、缴费金额的不确定性或股票债券相关性等参数非常敏感。但最重要的因素是投资者的个人特征，投资者的风险厌恶程度、退休日期和未来收入预期都是设计目标日期基金的关键因素。我们的论文结构安排如下。第二部分介绍了基于默顿框架的理论模型。由于我们假设利率和缴费金额是随机的，我们必须通过考虑数值分析来解决优化问题。在第三部分中，我们分析了风险暴露的动态变化过程并给出了下滑轨道的设计方法。然后，我们重点介绍了使用我们的理论模型设计目标日期基金的方法。第五部分总结全文。2.模型模型 共同基金和目标日期基金设计的主要区别：在共同基金中，投资者在期初投入资本，希望在给定投资期内获得最大化的资产净值。一般来说，这些基金的投资期限为三年或五年；在目标日期基金中，投资者除了初始投资之外，还要在整个职业生涯中持续投入资金到目标日期基金中。投资者的投资目标是在退休时最大化他们的养老金资产。其投资期限通常接近 40 年之久。考虑默顿的跨期模型（1971），我们引入随机、恒定的缴费金额。一般来说，退休金模型不会将恒定缴费金额设作状态变量，而更愿意考虑劳动收入。当然，大多数恒定缴费金额来自与劳动收入相关的储蓄，我们可以将这两种状态变量用下面的公式关联起来：金融工程金融工程|金工专题报告金工专题报告 请务必阅读正文之后的信息披露和免责申明 14 其中是个人储蓄率，但是这个等式忽略了恒定缴费金额可能来自家族遗产继承或甚至来自雇主资助体系的可能性。因此，我们更愿意将恒定缴费金额而不是劳动收入视为（外生的）状态变量。2.1 理论框架理论框架 我们首先介绍一些定义。考虑只有一个投资者、投资期限为 T 的目标日期基金，其在时间 t 的价值由表示，并且以的比例投资于一个风险组合,以1 的比例投资于零息债券,。由于投资者有一些收入或私人财富，并希望利用目标日期基金积累退休养老金，他们会定期向该基金缴费。我们将投资者的缴费金额定义为，那么目标日期基金的变化过程可以由以下公式刻画：考虑对，,和的动态刻画。对于最后一个，我们假设=其中是投资者的平均缴费金额，是与贡献不确定性相关的随机因素。状态变量很重要，因为投资者并不能确切地知道他们未来的缴费金额。然后我们有：用=(,)表示布朗运动向量，我们假设：2.2 最优解最优解 用（x）表示投资者的效用函数，它由基金的价值 x 决定。我们假设优化的目标是在时间 T 时刻达到效用最大化，我们有：然后投资问题就变成根据资产变动和投资者的缴费金额，找到风险资产组合的最佳风险暴露水平。由于我们无法获得的解析公式，因此我们使用随机最优控制。我们使用到期日为 T 的零息债券,作为计价单位（numraire），引入定义,=/,。由于自筹资金的条件不随计价单位（numraire），因此我们有：在附录 A.1 中，我们证明了(，)的 forward dynamics 为如下表达式：金融工程金融工程|金工专题报告金工专题报告 请务必阅读正文之后的信息披露和免责申明 15 并且，,表示两种布朗运动，=将定义为：因此最优风险暴露由下面的关系式给出：2.3 一些具体的例子一些具体的例子 我们首先考虑投资者后续不向该基金缴费的情形。在这种情况下，=0并且最优风险暴露简化为：进一步，如果我们假定利率是常数，参数，不依赖于时间 t（即股票收益率的漂移和收益率的波动为常熟），我们可以得到默顿（1969）的结果：在 CRRA 效用函数(x)=/且 0时，这表示由于后续缴费的影响,投资者倾向于在目标日期基金中持有更多风险资产。与 之间的差异取决于缴费函数的变动和投资者财富 x 的大小。未来缴费金额与目标日期基金实际价值之间的比值是一个递增函数，在表 1 中，我们列出了当=3%，=15%,=3和=时的取值。此时恒定混合策略的最佳风险敞口为 33.3。如果我们假设投资者计划投入的未来累积缴费金额=等价于实际财富，那么最佳的风险敞口就是 Merton 计算结果的两倍。如果与实际财富相比未来的投入很小，则风险敞口接近恒定混合策略的风险敞口。我们可以推导出投资者的以下经济行为：由于未来累积缴费金额是剩余时间 T-t 的递增函数，风险敞口也是到期日的递增函数，这说明一名年轻工作者比即将退休的人持有更多的风险资产;如果投资者的预期未来收入相对于初始资产高出很多，投资者的风险资产配置比例会更高，这意味着拥有更多初始财富的人风险偏好更小。图 9 展示了部分结论，行标签代表初始财富，列标签标示缴费金额，如果初始财富为10000，之后每年的缴费金额为 1000，则最优的风险暴露为 36.7%（如果投资者在 1 年后退休）或 66.7%（如果投资者在 10 年后退休）。金融工程金融工程|金工专题报告金工专题报告 请务必阅读正文之后的信息披露和免责申明 17 图图 9：最佳风险敞口与最佳风险敞口与 x 和和 的关系的关系 资料来源：Ssrn Electronic Journal，天风证券研究所 备注 1：如果将初始财富 x 和缴费金额t 乘上相同的乘数，最佳风险敞口不会改变。那么我们可以将结论一般化，因为它们只取决于未来缴费金额与当期财富之间的比值。例如，我们在表 1 中验证 x=1000 美元和=100 美元的最佳风险敞口与 x=10000 美元和=1000 美元的最佳风险敞口相同。这也是我们为什么将 x标准化并将其设置为1 的原因。3.2 定义下滑轨道定义下滑轨道 目标日期基金的下滑轨道通常被设定为动态资产配置,。我们注意到资产的配置取决于财富的路径，所以最佳风险敞口与财富值都是内生的：X dX X+这也是将下滑轨道定义为预期动态资产配置的问题更为合理的原因。g=E0 =E|X0=x0 下滑轨道可以使用 Monte Carlo 计算拟合。若假设利率为零，缴费函数为线性函数，下图汇报了由 Monte Carlo 求得的近似值。图图 10：下滑轨道下滑轨道的计算的计算 资料来源：Ssrn Electronic Journal，天风证券研究所 下滑轨道取决于缴费率函数的形状。我们在下图给出了两个例子：在第一个例子 金融工程金融工程|金工专题报告金工专题报告 请务必阅读正文之后的信息披露和免责申明 18 中（左上图），投资者年轻的时候没有进行缴费，而当接近退休时他们的缴费金额迅速上升，我们在左下图显示了这种情况下的下滑轨道。我们也可以考虑贡献函数不是单调函数的例子（右上图）。在这种情况下，下划路径的形状相对复杂，如图右下方所示，在这个例子中，我们注意到投资者在工作生涯的初期就加杠杆对风险资产进行了投资。图图 11：下滑轨道举例下滑轨道举例 资料来源：Ssrn Electronic Journal，天风证券研究所 3.3 在在缴费函数中引入不确定性缴费函数中引入不确定性 接下来我们假设=3，=15，=0，=3，=1和,=0，且各个参数均不相关。对于效用函数，我们继续使用=-3 的 CRRA 函数，缴费率使用的是法国储蓄报告的数据。下图的左上汇报了 Pt。为了更好地理解这些数据,右上汇报了对应的月度缴费。每月平均及哦按非为 1650 美元，而最低和最高缴费额分别为 880 和 1900 美元。左下图汇报了概率密度函数且证实由于经济的不确定性的方差随着时间 t 的增加而增大。右下图对应着分位数分布的累积收益 0。图图 12：的动态变化过程的动态变化过程 资料来源：Ssrn Electronic Journal，天风证券研究所 最佳风险敞口的表示较为复杂，因为它受到三个状态变量的影响：时间 t、财富值、经济不确定性，所以我们按照下面的方法计算:金融工程金融工程|金工专题报告金工专题报告 请务必阅读正文之后的信息披露和免责申明 19 =E0 =E|X0=x0,Q0=q0 例如，假设x0=10000 美元，q0=1。下图是下滑轨道的。左上图是投资领域中下滑轨道的典型模式，但这个下滑轨道 只有在初始财富为 10 000 美元，平均总缴费金额为 80万美元时才有效。如果最初的财富等于 50 万美元，那么下滑轨道就完全不同了。因此这个下滑轨道适用于投资者初始财富值与未来的收入相比非常小的情况。右上展示了未来收益的经济不确定性的影响。我们注意到的影响与实际财富与未来收益之比类似。显然下滑轨道的水平与风险溢价 u-r 和风险资产的波动率高度相关。更确切地说，最重要的因素是夏普比率/波动率。图图 13：随机经济因子的下滑轨道设计随机经济因子的下滑轨道设计 资料来源：Ssrn Electronic Journal，天风证券研究所 3.4 随机利率的影响随机利率的影响 在前一小节我们假定零息债券的波动率,为 0，这一节我们认为利率是随机的，使用Ho 与 Lee（1995）规范：,=*(T t)当=0.1时，我们获得图 14 中第一个图的结果。利率波动尤其在最开始的时间段降低了最佳风险敞口，利率波动率,有三个效应：1.增加风险资产的远期波动率,；2.增加经济因素的正向波动率,；3.它引入了风险资产和经济因素之间的正向相关系数*。这三种效应都对最佳风险敞口有着负向影响，从经济学角度我们可以解释这种效应，因为零息债券是模型中能够对冲负债（对应期末财富）的唯一资产。伴随着利率的波动，套保资产的投资比例也随之增加。因此如果我们在资产集合中引入现金或短期债券，这种效应很可能就会消失。3.4 变量变量相关性的影响相关性的影响 我们继续研究变量相关性的影响，利率波动率始终设定为 0.1。在图 14 中，我们发现与正相关，与,负相关性会降低风险资产的配置比例。金融工程金融工程|金工专题报告金工专题报告 请务必阅读正文之后的信息披露和免责申明 20 参数,衡量风险资产收益与基金收益的相关性。当股票市场表现很