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第43卷 第4期 2023 年 8 月江西冶金Jiangxi MetallurgyVol.43,No.4Aug.2023 基于附加质量优化与特征值灵敏度的结构损伤识别黄铧a，b，马俊a，b，伍晓顺a，b（江西理工大学，a.土木与测绘工程学院（南昌）；b.南昌市虚拟数字工程与文化传播重点实验室，南昌 330013）摘要：建立一种附加质量优化与特征值灵敏度相结合的结构损伤识别方法。通过在原结构上附加多组经优化的集中质量获得多个具有相同刚度的新结构，再利用原结构和新结构的实测特征值建立灵敏度方程组，求解损伤参数。以灵敏度矩阵的条件数最小作为目标函数，建立附加质量优化的数学模型，并使用粒子群算法进行寻优；采用二次奇异值截断法求解灵敏度方程组。为克服灵敏度矩阵的病态性和数据噪声的干扰，提出奇异值贡献指标，以合理确定奇异值截断阈值。某悬臂梁的数值分析表明，持续增加新结构的数量难以得到足够小的灵敏度矩阵条件数，但可以增加高质量奇异值分量的数量或改善奇异值分量的质量；利用奇异值贡献指标可以合理确定奇异值截断阈值；采用二次奇异值截断法和增加新结构数量均有利于提高结构损伤的识别精度。关键词：损伤识别；模态测试；附加质量；优化算法；灵敏度中图分类号：TU311 文献标志码：AStructural damage detection based on optimized added masses and eigenvalue sensitivityHUANG Huaa，b，MA Juna，b，WU Xiaoshuna，b（Jiangxi University of Science and Technology，a.School of Civil and Surveying&Mapping Engineering（Nanchang）；b.Nanchang Key Laboratory of Virtual Digital Factory and Cultural Communications，Nanchang 330013，China）Abstract:A method was proposed to detect structural damage by combining optimized added masses and eigenvalue sensitivity.By adding several sets of optimized masses to the original structure，some new structures with unchanged structural stiffness were obtained.Eigenvalue sensitivity equations were then constructed to obtain damage parameters by utilizing the measured eigenvalues of both the original and new structures.First，the mathematical model with the optimization of additional masses was established by setting the minimum condition number of the sensitivity matrix as the objective function.The particle swarm optimization algorithm was employed to find the best value.Second，a quadratic singular value truncation method was adopted to solve the best sensitivity equations.To overcome the morbidity of sensitivity matrix and the jamming of data noise，the singular value contribution index is suggested to determine the singular value truncation threshold reasonably.The numerical analysis of a cantilever beam shows that it is difficult to achieve a small enough 收稿日期：2022-09-05基金项目：国家自然科学基金资助项目（51868026）；江西省自然科学基金资助项目（20202BAB204028）作者简介：黄铧（1994），硕士研究生，主要从事结构健康监测等方面的研究。E-mail：通信作者：马俊（1979），讲师，主要从事结构健康监测等方面的研究。E-mail：文章编号：1006-2777（2023）04-0331-11 DOI：10.19864/ki.jxye.2023.04.010引文格式：黄铧，马俊，伍晓顺.基于附加质量优化与特征值灵敏度的结构损伤识别J.江西冶金，2023，43(4)：331-341.江西冶金2023 年 8 月condition number of the sensitivity matrix by continuously increasing the number of new structures，but it can increase the amount of high-quality singular value components or improve the quality of the singular value components.The singular value contribution indicator can determine a reasonable truncation threshold of singular values.Both utilizing the quadratic singular value truncation method and increasing new structures are beneficial to improving structural damage identification accuracy.Keywords:damage detection；modal testing；added mass；optimization algorithm；sensitivity结构损伤识别作为结构健康监测的关键技术，近年来已成为研究的热点1。动力测试法利用动力响应或模态参数识别结构损伤，是当前的主流技术2-4。通常使用特征值（或频率）和振型两种模态参数构建不同的损伤识别方法。陈淮等5利用振型变化建立结构损伤的初定方程和确定方程，判定损伤单元后再利用频率变化方程进行损伤校核，避免出现“伪损伤”现象。Pooya等6利用振型曲率指标识别梁式结构的损伤，具有准确率高和无需原始解析模型的优点。Stutz等7构建柔度矩阵响应面方程，再利用粒子群算法进行参数寻优，完成结构损伤识别，该方法可大幅度提高优化效率。Yang等8利用模态振型计算模态应变能，再采用模型修正的方法同时识别梁式结构的损伤位置和损伤程度。在实际动力测试中，特征值测量简单且测试精度远高于振型9，因此，单独利用特征值的改变识别结构损伤受到诸多学者的关注10-11。但特征值仅反映结构的整体动力特性，不同单元的损伤也可能导致相同特征值的改变。此外，由于高阶模态激振困难，通常只能准确测量少数低阶模态，容易形成损伤识别的欠定方程。为解决实测特征值过少带来的损伤识别问题，杨秋伟等12提出在原结构上附加已知的集中质量块以形成新的结构，再联合新结构和原结构的低阶频率信息建立求解损伤参数的灵敏度方程。在考虑附加质量的基础上，金卫民等13结合频率灵敏度和柔度灵敏度构建损伤参数的联立方程；周卫东等14通过广义柔度灵敏度建立损伤参数的识别方程；路平等15研究了附加质量的大小、位置和数量对频率灵敏度法损伤识别精度的影响；王龙等16将附加质量频率灵敏度和模态应变能相结合进行损伤识别。文献12,15-16的数值算例未考察噪声对损伤识别精度的影响。也有学者17-18通过在结构上移动附加质量建立多个结构模型，结合证据理论或建立损伤指标识别损伤位置。考虑到真实质量施加不便，周润芳等19采用施加虚拟质量的方式，通过优化灵敏度矩阵的条件数确定虚拟质量的最佳数量和位置，从而提高损伤识别精度；侯吉林等20使用灵敏度体积最大准则和逐步快速搜索方法优化虚拟质量的位置后再进行损伤识别。上述研究表明，对原结构附加质量后可增加新的模态参数信息，从而提高损伤识别的精度。本研究提出一种附加质量优化与特征值灵敏度相结合的结构损伤识别方法，以解决附加质量自动布置问题和灵敏度方程的病态问题。阐述求解损伤参数的特征值灵敏度方程构建过程；建立多次附加质量优化的数学模型，引入粒子群算法进行寻优；阐述了二次奇异值截断法求解灵敏度方程的基本原理，同时，引入奇异值贡献的概念用于合理确定奇异值截断阈值；以某悬臂梁为例验证该方法的有效性。1特征值灵敏度方程假设结构的自由度数为n，单元数为b，则未损结构的无阻尼模态方程，如式（1）所列。(K-iM)i=0（1）式（1）中：K(nn)为未损结构的整体刚度矩阵；M(nn)为未损结构的质量矩阵；i(11)和i(n1)分别为第i阶模态的特征值和对质量矩阵归一化后的振型向量；TiMi=1。结构的质量矩阵一般在损伤前后不发生变化，因此，仅考虑刚度变化对损伤参数的影响，得到第i阶模态特征值的一阶灵敏度，如式（2）所列。ij=TiKji（2）式（2）中：j为第j个单元的损伤参数（0 j 1）；i/j和K/j分别为i和K对j的一阶灵敏度；K/j=-Kj；Kj为结构中第j个单元的刚度矩阵。假设测得前m阶模态的特征值，则以矩阵和向量形式表达的灵敏度方程，如式（3）所列。=S（3）式（3）中：=1 2 mT，为前 m 阶模态特征值变化组成的向量；S为灵敏度矩阵；=1 2 bT，为 b 个单元损伤参数组成的向量。332第 43 卷 第 4 期黄铧，等：基于附加质量优化与特征值灵敏度的结构损伤识别S的表达式具体如式（4）所列。S=11121b21222bm1m2mb（4）式（4）中：行对应模态阶次；列对应单元编号。求解式（3）得到最小二乘解，如式（5）所列。=S+（5）式（5）中：上标“+”表示对矩阵取广义逆。通过在节点上附加质量获得新的结构，则新结构的无阻尼模态方程，如式（6）所列。(K-ai(M+Ma)ai=0（6）式（6）中：上标a表示附加质量后的新结构；Ma为附加质量矩阵；ai和ai为新的第i阶模态特征值和振型；aiT(M+Ma)ai=1。与特征值灵敏度类似，可得到新结构的灵敏度方程，如式（7）所列。a=Sa（7）式（7）中：=a1 a2 am T；S a 为新结构的灵敏度矩阵。S a 的表达式与S 类似，仅需将式（4）中的i替换为ai。求解式（7）得到最小二乘解，如式（8）所列。=Sa+a（8）式（1）式（8）的具体推导过程详见文献12。假设通过附加不同质量得到 s 个不同的新结构，同时，也得到新的特征值灵敏度方程。为增加方程数量，可结合原结构和上述s个新结构建立特征值灵敏度联合方程，如式（9）所列。=S（9）式（9）中：=1 2 m a11 a12 a1mas1 as2 asmT；S=S Sa1 SasT。求解式（9）得到最小二乘解，如式（10）所列。=S+（10）2附加质量的优化灵敏度联合矩阵S的条件数越小，由式（10）得到的越稳定21。通过对附加质量（包括位置和大小）进行优化，可得到条件数尽量小的S。在经历s-1次附加质量优化（即已有s-1个新结构）的基础上，第s次附加质量优化（为获得第s个新结构）的数学模型如式（11）所列。find G=L XT=L1 L2 Lj Lh X1 X2Xj XhT min f(G)=cond(S)s.t.1 Lj Lmax；0 Xj Xmax；Li Lj(i j)（11）式（11）中：G为由附加质量的位置和大小共同构成的向量；Lj和Xj分别为第j个附加质量所在节点号和相应的附加质量值；h为参与附加质量优化的节点数量，每次优化都取相同的值；f()为适应度函数；cond()为计算矩阵条件数的函数；Lmax和Xmax分别为节点号和附加质量的上限。采用粒子群算法（PSO）22求解上述优化问题。各粒子在搜索空间随机移动，其位置Gi,j,k和速度Wi,j,k按式（12）和式（13）更新。Wi，j，k+1=Wi，j，k+c1r1(Gi，j，kbest-Gi，j，k)+c2r2(Gi，jbest，k-Gi，j，k)（12）Gi，j，k+1=ceil(Gi，j，k+Wi，j，k+1)(1 i h)Gi，j，k+1=Gi，j，k+Wi，j，k+1 (h+1 i 2h)（13）式（12）和式（13）中：下标 i、j、k 分别表示第 i 个变量、第j个粒子和第k次迭代；Gi,j,kbest为第j个粒子在前k个迭代过程中的最优值；Gi,jbest,k为前k个迭代过程找到的全局最优粒子所包含的第i个变量值；为惯性权重；c1和 c2为学习因子；r1和r2为分布于0,1区间的随机数；ceil（）为上取整函数。可通过计算分别确定总的附加质量优化次数和第s次附加质量优化的最大循环次数以终止优化过程。3奇异值截断法求解损伤参数当灵敏度矩阵S的条件数较大时，将出现病态最小二乘问题，从而导致不准确的损伤参数解。通常采用Tikhonov正则化方法23解决病态矩阵带来的不适用问题，但正则化参数较难确定。传统的正则化参数确定方法常出现失效情况，如L-曲线24无明显拐点、广义交叉准则25找不到明显的最小值等。本研究采用二次奇异值截断法26解决这一问题，并提出如下方法确定奇异值截断阈值。1）对灵敏度矩阵S做奇异值分解。令c=m(s+1)，S的维度为c b维，则有式（14）式（17）。S=Uc cc bVTb b（14）Uc c=u1，u2，ui，uc（15）333江西冶金2023 年 8 月Vb b=v1，v2，vi，vb（16）c b=ZOOO，Z=diag(1，2，p)（17）式（14）式（17）中：1，2，p为S的p个非零奇异值，且满足1，2，p；p为矩阵的秩。S的广义逆矩阵，如式（18）所列。S+=i=1p-1iviuTi（18）将式（18）代入式（10），并对奇异值进行截断，得到损伤参数向量，如式（19）所列。=i=1t-1iviuTi（19）式（19）中：t为截断后的奇异值数量。由式（19）可知，奇异值越小越容易引起计算结果的巨大波动。为了保证计算结果的稳定性，在计算中舍去较小的奇异值，仅保留较大的奇异值。2）为进一步提高损伤识别的精度，在式（19）计算结果的基础上，将损伤系数小于0的单元视作未损单元以缩减损伤识别的规模。故式（19）可简化为式（20）。=S*（20）式（20）中：S*为剔除未损单元的缩减灵敏度矩阵（即将S中未损单元对应的列删除）。相应地，得到损伤参数，如式（21）所列。*=i=1t*(*i)-1v*i(u*i)T（21）式（21）中：*i、v*i和u*i分别为S*的第i个奇异值和相应的左、右奇异向量；t*为保留的奇异值数量。*为最终确定的损伤参数。根据式（19），定义第i阶奇异值对计算损伤参数的贡献（简称奇异值贡献），如式（22）所列。i=-1iuTi 或*i=*-1iu*Ti（22）不难发现，i（或*i）本质上为标准正交向量vi（或v*i）的线性组合系数。本研究通过观察i(i=1，2，3，p或i=1，2，3，p*)的波动情况确定奇异值截断阈值，i发生突变处即为奇异值截断位置。4数值算例4.1模型参数以某悬臂梁（如图1所示）为例进行数值分析。悬臂梁的节点数为 18个，单元数为 17个，每个单元的长度均为 0.10 m，并从左至右对单元和自由节点进行编号。横截面面积 S=0.025 m2，材料密度=7 800 kg/m3，截面惯性矩I=1.041 610-6 m4，弹性模量E=200 GPa，剪切模量G=76.9 GPa。考虑两种损伤情况：假设单元3刚度损伤为30%；假设单元5、11刚度损伤为30%。采用折减弹性模量方法模拟单元损伤。4.2附加质量优化假设可测得前5阶模态（即m=5），并采用粒子群算法对附加质量的位置和大小进行优化。相关参数为：总优化次数（即新结构数量）s=50；每次优化的种群规模为150种，最大迭代次数为25次，惯性权重=0.15，加速度因子 c1=c2=1.5，附加质量上限Xmax=19.5 kg（与平动自由度质量相同）；附加质量数h=17。图2所示为新结构数量s=10时的附加质量优化迭代曲线。粒子群算法经过几步迭代即能找到最优的附加质量分布。图3所示为附加质量数h=17时适应度值随新结构数s变化的曲线。对于任一附加质量数，适应度值均先急剧增大，再迅速减小，然后趋于收敛。总之，较多的附加质量数和新结构数有利于获得较小的适应度值。但收敛后的适应度值为103数量级，依然较大。可见，即使大量增加新结构的数量，也很难通过附加质量优化获得条件数足够小的特征值灵敏度联合矩阵（简称灵敏度矩阵，下同）。尽管如此，新结构数量的增加并非无意义。取附加质量数h=3、模态数m=5和新结构数s=010，计算不同s值对应的灵敏度矩阵各阶奇异值的相对大小，提取刚好优于原结构条件数f1的前q阶奇单位：mm1 700图1悬臂梁尺寸及节点、单元编号334第 43 卷 第 4 期黄铧，等：基于附加质量优化与特征值灵敏度的结构损伤识别异值分量以构成新的矩阵，并计算新矩阵的条件数f2，计算结果如表1所列。当s=0时，灵敏度矩阵的秩p=5，条件数f1=3.416103；当s=1时，灵敏度矩阵的秩 p=10，条件数 f1=1.664106。但前文 q=7 阶奇异值分量构成的新矩阵条件数f2=4.706102（等于1/7），表明当增加1个新结构时，新的灵敏度矩阵增加2个质量更高的奇异值分量。由表1可知，当s为6时，q为16；当s增大至10时，q=16保持不变，但f2持续减小，表明前q阶奇异值分量的质量持续提升。将s增至50时，情况类似（限于篇幅，数据未在文中列出）：以增加s个新结构后的灵敏度矩阵为基准，增加s+1个新结构后的灵敏度矩阵中更高质量奇异值分量有所增加或前q阶奇异值分量质量有所提升。上述分析表明，持续增加经附加质量优化的新结构数量，新灵敏度矩阵比原灵敏度矩阵包含更多质量更高的奇异值分量，但也存在一些质量更低的高阶奇异值分量，表现为新灵敏度矩阵的条件数 f1更大。因此，将灵敏度矩阵用于损伤识别的定量分析时，应剔除高阶奇异值分量的不利影响。4.3损伤参数计算进一步考察二次奇异值截断法的损伤识别效果，取附加质量数h=3、实测模态数m=5和新结构数s=03。3个新结构的附加质量所在节点号和相应大小如表2所列。假设特征值受到平均值为0、标准方差为=0.1%时的高斯白噪声污染。考虑 1组随机噪声。当=0、0.1%时，损伤情况 1的奇异值贡献曲线与损伤识别结果如图 4和图5所示，其中，损伤识别结果仅显示正值。当s=0、1时（见图4（a）、图4（c），奇异值贡献曲线的波动范围较窄，因此，一次、二次截断阈值t、t*均与相应的秩相等。由图4（e）可知，奇异值贡献曲线突变，因此，取t=13、t*=8。根据图4（g）奇异值贡献曲线的突变情况，可确定t=16、t*=9。由图4（b）和图4（d）可知，最小二乘解并未指示出损伤单元3，一次截断解虽包含损伤单元的信息，但干扰较大且识别值与真实值相差较大。相比之下，二次截断解的识别效果得到明显改善。图4（f）、图4（h）中的最小二乘解是对最大正值进行归一化的结果，实际解需分别乘以放大系数（）246.55和 109.73。可见，当s=2、3时，最小二乘解无定量识别损伤程度的能力。将冗余奇异值剔除后，一次截断解可指示出损伤位置，二次截断解可显著改善损伤识别的效果。不难发现，当s由0增至3时，二次截断解的指示能力越来越强。当s=3时，二次截断解可有效指示损伤 单 元 3 的 位 置，且 识 别 值（0.335）与 真 实 值（0.300）较接近。图5所示的奇异值贡献曲线及损伤识别结果与图4类似。因图5（e）中奇异值贡献14和15过大（分别为9.51和283.18）而在图中未显示，图5（g）中17=102.88，图5（f）和图5（h）中最小二乘解的放大系数分别为146.90和35.03。不难发现，当s由0增至3时，二次截断解抵抗噪声干扰的能力逐渐增强。当s=3时，二次截断解的识别值（0.362）与真实值（0.300）较接近。图6和图7所示分别为=0、0.1%时损伤情况2的奇异值贡献曲线与损伤识别结果。图 6（f）和图6（h）中最小二乘解的放大系数分别为222.86和8.75。图6与图4具有类似的奇异值贡献曲线波动规律，因此，能合理地确定奇异值截断阈值。相应地，图6与图4具有类似的损伤识别规律。最小二乘解无法有效识别损伤单元，一次截断解的识别效果有所改善，但干扰较大。相比之下，s由0增至3时，二次截断解的指示能力越来越强，可有效指示损伤单元5和11的位置，且识别值（0.329、0.340）与真实值（0.300、0.300）较接近。0 5 10 15 20 25迭代次数r104103fh=1h=2h=3h=4h=5h=6h=7图2新结构数量s=10时的附加质量优化迭代曲线0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50s1010109108107106105104103102fh=1h=2h=3h=4h=5h=6h=7图3适应度值随新结构数变化的曲线335江西冶金2023 年 8 月图 7 的奇异值贡献曲线波动规律及损伤结果与图 6 相似。图 7（e）中未显示的15=277.69，图 7（g）中未显示的17=-37.08。图7（f）和图7（h）中 最 小 二 乘 解 的 放 大 系 数 分 别 为 144.16 和36.97。识 别 值（0.298、0.371）与 真 实 值（0.300、0.300）接近。随机生成100组噪声，均可观察到与图4图7类似的现象与规律。表1基于附加质量优化的灵敏度矩阵奇异值相对大小与条件数（h=3、m=5）阶次i1234567891011121314151617f1qf2s值01.000 000.244 930.064 070.008 530.000 293.4161033.41610311.000 000.246 740.064 980.044 780.016 980.007 590.002 130.000 200.000 116.0110-71.66410674.70610221.000 000.246 180.064 070.039 170.015 400.009 570.007 570.003 170.001 630.000 950.000 170.000 073.3110-64.3810-87.910-101.264109101.05710331.000 000.244 360.067 180.047 230.034 510.017 280.011 480.007 940.005 560.002 730.001 310.000 480.000 130.000 060.000 022.9110-61.4210-77.037106122.06510341.000 000.244 830.091 840.064 220.039 300.022 130.018 040.011 480.007 540.004 940.002 340.001 460.000 860.000 410.000 290.000 032.9910-63.345105142.44510351.000 000.242 580.088 290.072 430.062 460.025 300.020 140.018 900.011 910.007 220.004 570.002 650.001 590.001 060.000 300.000 160.000 034.025104153.36110361.000 000.241 950.084 400.078 400.062 520.025 780.020 490.018 000.012 170.011 070.007 080.003 340.002 420.001 630.001 150.000 300.000 023.955104163.35010371.000 000.242 990.086 530.074 270.063 310.024 960.022 170.018 900.015 850.011 980.007 700.003 530.002 650.002 420.001 430.000 530.000 042.371104161.88510381.000 000.244 130.102 480.074 110.063 710.030 530.023 390.019 160.015 420.012 590.007 590.004 280.003 330.002 430.001 810.000 790.000 042.250104161.26610391.000 000.243 720.110 260.077 020.063 200.038 600.024 780.019 640.015 130.013 510.008 080.004 750.004 000.002 810.001 810.000 840.000 185.482103161.192103101.000 000.242 870.104 790.073 830.062 650.041 870.024 300.018 710.014 490.013 250.008 250.004 860.003 880.002 710.002 500.001 540.000 205.092103166.475102注：“”表示无数值。表2附加质量优化结果（h=3、m=5）s123Lj7，16，172，12，142，5，15Xj/kg0.59，12.86，18.181.48，3.10，18.6314.32，10.26，19.03336第 43 卷 第 4 期黄铧，等：基于附加质量优化与特征值灵敏度的结构损伤识别1 2 3 4 50.40.30.20.10-0.1-0.2i第一次截断（a）奇异值贡献曲线（s=0，t=5，t*=5）第二次截断第i阶奇异值（b）损伤识别结果（s=0）1 3 5 7 9 11 13 15 170.40.30.20.10一次截断解二次截断解单元k最小二乘解（c）奇异值贡献曲线（s=1，t=10，t*=10）（d）损伤识别结果（s=1）0.50-0.5i第一次截断第二次截断第i阶奇异值1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 3 5 7 9 11 13 15 170.80.60.40.20一次截断解二次截断解单元k最小二乘解k（e）奇异值贡献曲线（s=2，t=13，t*=8）（f）损伤识别结果（s=2，=246.55）（g）奇异值贡献曲线（s=3，t=16，t*=9）（h）损伤识别结果（s=3，=109.73）3210-1-2-3i第一次截断第二次截断第i阶奇异值1 3 5 7 9 11 13 15 171.00.80.60.40.20一次截断解二次截断解单元k最小二乘解i第一次截断第二次截断第i阶奇异值1 3 5 7 9 11 13 15 17一次截断解二次截断解单元k最小二乘解1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15kk1 3 5 7 9 11 13 15 173210-1-2-31.21.00.80.60.40.20k图4奇异值贡献曲线与损伤识别结果（损伤情况1，真实值3=0.30，=0）337江西冶金2023 年 8 月1 2 3 4 50.40.30.20.10-0.1-0.2i第一次截断第二次截断第i阶奇异值1 3 5 7 9 11 13 15 170.40.30.20.10一次截断解二次截断解单元k最小二乘解0.50-0.5i第一次截断第二次截断第i阶奇异值1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 3 5 7 9 11 13 15 17一次截断解二次截断解单元k最小二乘解k6420-2-4i第一次截断第二次截断第i阶奇异值1 3 5 7 9 11 13 15 171.00.80.60.40.20一次截断解二次截断解单元k最小二乘解i第一次截断第二次截断第i阶奇异值1 3 5 7 9 11 13 15 17一次截断解二次截断解单元k最小二乘解1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15kk1 3 5 7 9 11 13 15 17k（a）奇异值贡献曲线（s=0，t=5，t*=5）（b）损伤识别结果（s=0）（c）奇异值贡献曲线（s=1，t=10，t*=10）（d）损伤识别结果（s=1）（e）奇异值贡献曲线（s=2，t=12，t*=9）（f）损伤识别结果（s=2，=146.90）（g）奇异值贡献曲线（s=3，t=13，t*=8）（h）损伤识别结果（s=3，=35.03）1.00.80.60.40.206420-21.00.80.60.40.20图5奇异值贡献曲线与损伤识别结果（损伤情况1，真实值3=0.30，=0.1%）338第 43 卷 第 4 期黄铧，等：基于附加质量优化与特征值灵敏度的结构损伤识别（b）损伤识别结果（s=0）1 3 5 7 9 11 13 15 170.30.20.10一次截断解二次截断解单元k最小二乘解k1 2 3 4 50.20.10-0.1i第一次截断（a）奇异值贡献曲线（s=0，t=2，t*=2）第二次截断第i阶奇异值（c）奇异值贡献曲线（s=1，t=10，t*=6）i第一次截断第二次截断第i阶奇异值1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.00.50-0.5-1.0（d）损伤识别结果（s=1）1 3 5 7 9 11 13 15 170.80.60.40.20一次截断解二次截断解单元k最小二乘解k（f）损伤识别结果（s=2，=222.86）1 3 5 7 9 11 13 15 171.21.00.80.60.40.20一次截断解二次截断解单元k最小二乘解k（e）奇异值贡献曲线（s=2，t=8，t*=7）2.01.51.00.50-0.5-1.0-1.5-2.0i第一次截断第二次截断第i阶奇异值1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15（g）奇异值贡献曲线（s=3，t=11，t*=8）i第一次截断第二次截断第i阶奇异值1 3 5 7 9 11 13 15 173210-1-2-3（h）损伤识别结果（s=3，=8.75）1 3 5 7 9 11 13 15 17一次截断解二次截断解单元k最小二乘解1.21.00.80.60.40.20k图6奇异值贡献曲线与损伤识别结果（损伤情况2，真实值5=0.30、11=0.30，=0）339江西冶金2023 年 8 月1 2 3 4 50.20.10-0.1i第一次截断（a）奇异值贡献曲线（s=0，t=5，t*=5）第二次截断第i阶奇异值（b）损伤识别结果（s=0）1 3 5 7 9 11 13 15 170.30.20.10一次截断解二次截断解单元k最小二乘解k（c）奇异值贡献曲线（s=1，t=8，t*=8）i第一次截断第二次截断第i阶奇异值1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.00.50-0.5-1.0-1.5（h）损伤识别结果（s=3，=36.97）1 3 5 7 9 11 13 15 17一次截断解二次截断解单元k最小二乘解1.21.00.80.60.40.20k（g）奇异值贡献曲线（s=3，t=11，t*=10）i第一次截断第二次截断第i阶奇异值1 3 5 7 9 11 13 15 173.02.01.00-1.0（f）损伤识别结果（s=2，=144.16）1 3 5 7 9 11 13 15 171.21.00.80.60.40.20一次截断解二次截断解单元k最小二乘解k（e）奇异值贡献曲线（s=2，t=12，t*=8）10.08.06.04.02.00-2.0-4.0-6.0-8.0i第一次截断第二次截断第i阶奇异值1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15（d）损伤识别结果（s=1）1 3 5 7 9 11 13 15 171.00.50一次截断解二次截断解单元k最小二乘解k图7奇异值贡献曲线与损伤识别结果（损伤情况2，真实值5=0.30、11=0.30，=0.1%）340第 43 卷 第 4 期黄铧，等：基于附加质量优化与特征值灵敏度的结构损伤识别5结 论建立了附加质量优化与特征值灵敏度相结合的损伤识别方法，并采用二次奇异值截断法进行损伤识别。基于某悬臂梁的数值分析，得出如下结论：1）粒子群算法可快速找到使灵敏度矩阵条件数最小的新结构。随着新结构数量的增加，灵敏度矩阵的条件数均呈现出先急剧增大再迅速减小，最后趋于收敛的特点。即使大量增加新结构的数量，也难以获得条件数足够小的灵敏度矩阵。但增加新结构数量有助于增加高质量奇异值分量的数量或改善奇异值分量的质量。2）奇异值贡献曲线有利于直观考察各阶奇异值分量对损伤参数解的贡献分布情况，奇异值贡献发生突变的位置可确定为奇异值截断阈值。根据奇异值贡献指标确定的奇异值截断阈值有利于提高损伤识别的精度。3）对于任意新结构数，最小二乘解通常不能指示损伤单元，一次截断解识别损伤位置的能力明显提高，但一般干扰较大且识别值与真实值相差较大。相比之下，二次截断解的识别效果明显改善。此外，随着新结构数量的增加（s=03），二次截断解的抗干扰能力显著增强，可有效识别损伤单元。后续研究可引入二阶灵敏度或采用迭代措施进一步提高二次截断解的精度。参考文献：1 赵建刚，张玉祥，陈家照，等.结构损伤识别的广义均布载荷面法J.振动工程学报，2021，34(5)：987-9942 王子凡，张健飞.一种基于LSTM循环神经网络和振动测试的结构损伤检测方法J.噪声与振动控制，2021，41(5)：127-1333 侯吉林，王海燕，陈正弟，等.基于局部动力测试的结构损伤识别方法与试验J.中国测试，2020，46(6)：135-1394 伍晓顺，夏巨伟，胡岳芳.基于跨模型模态应变能指标的网架结构损伤定位J.浙江大学学报(工学版)，2020，54(2)：248-2565 陈淮，何伟，王博，等.基于频率和振型摄动的结构损伤识别方法研究J.工程力学，2010，27(12)：244-2496 POOYA M H S，MASSUMI A.A novel and efficient method for damage detection in beam-like structures 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