华泰行业轮动系列报告之七：“华泰周期轮动”基金组合改进版-20190514-华泰证券-30页.pdf

谨请参阅尾页重要声明及华泰证券股票和行业评级标准 1 证券研究报告证券研究报告金工研究/深度研究 2019年05月14日 林晓明林晓明 执业证书编号：S0570516010001 研究员 0755-82080134 李聪李聪 联系人 1金工金工:A 股市场低开现象研究股市场低开现象研究2019.05 2金工金工:基钦周期的长度会缩短吗？基钦周期的长度会缩短吗？2019.05 3金工金工:必然中的偶然：机器学习中的随机数必然中的偶然：机器学习中的随机数2019.04 “华泰周期轮动”基金组合改进版“华泰周期轮动”基金组合改进版 华泰行业轮动系列报告之七本文提出了改进版本文提出了改进版“华泰周期轮动”基金组合“华泰周期轮动”基金组合，风险收益特征，风险收益特征进一步进一步提升提升 在前篇报告“华泰周期轮动”基金组合构建中，我们从宏观择时、板块轮动、组合优化和落地配置四个层次构建了自上而下的基金配置体系。本文主要从以下三个方面对原配置体系进行了改进：1、变更基金备选池，充分考虑了基金的交易成本，业绩的可持续性等影响因素；2、改进组合优化求解算法，提高了风险预算问题的求解效率，同时解决了初值依赖的问题；3、引入目标风险约束，当组合波动过大时缩减资产仓位，引入现金资产，提升了模型的稳健性。改进版基金组合的年化收益率从 10.91%提升至12.39%，夏普比率从 1.99 提升至 2.19，最大回撤从 7.52%降低至 6.61%。改进改进 1：调整基金备选池，充分考虑真实投资环境的约束：调整基金备选池，充分考虑真实投资环境的约束 原模型中，基金标的筛选结果未充分考虑到真实投资环境的约束。本文从以下三个方面进行调整：1、债基方面，此前是筛选历史业绩相对稳健的 4只中长期纯债型基金进行配置，虽然样本内有显著的超额收益，但难以保证样本外仍能持续战胜基准，从业绩可持续性角度考量，统一替换成跟踪中债-新综合财富指数的被动指数型基金；2、股基方面，此前是优选对目标行业跟踪误差最小的基金，从流动性角度考量，统一修正为优选基金规模更大的标的；3、此前模型中，并未对 A 类、C 类份额严格区分，从交易成本角度考量，统一选择更适用于月频调仓场景的 C 类基金份额。改进改进 2：引入新的引入新的风险预算风险预算优化优化算法算法，提高提高求解求解效率效率，解决初值依赖，解决初值依赖 原模型中，在组合优化求解资产权重时采用了 SQP 算法。该算法存在两个缺陷：1、求解效率较低，而且是资产数量越多，求解越慢；2、存在较为严重的初值依赖，也即优化结果能否收敛到全局最优解依赖初值的设定，所以只能不断的生成随机初值，直到优化结果满足预设的风险配比。本文我们引入了两种新的算法求解风险预算问题：牛顿法和循环坐标下降（CCD）法。实证结果表明，这两种算法均大幅提高了组合优化的计算效率，并且没有初值依赖的问题。改进改进 3：引入目标引入目标波动波动约束约束，改善改善策略风险收益特征策略风险收益特征 原模型中，风险预算约束只能控制各个资产的风险贡献占比，无法控制整个组合的波动水平。举个例子，无论是市场底部还是市场顶部，看多时的股债风险预算配比都是一样的，但组合的整体波动却可能相差数倍。基于此，我们在风险预算的求解基础上，进一步引入目标波动约束，将整个组合的风险控制在一个相对稳定的水平。具体而言：当组合波动小于目标波动时，不做任何处理；当组合波动大于目标波动时，等比例缩减股、债仓位，引入现金资产，降低组合波动。为了满足不同投资者的风险偏好需求，我们提供了 5%、7.5%、10%三个目标波动版本。“华泰周期轮动”基金组合改进版回测表现与最新持仓“华泰周期轮动”基金组合改进版回测表现与最新持仓 实证结果表明，7.5%目标波动版本的策略收益稳健、风险控制良好，在各个业绩指标上均表现出优于原始模型的特征，因此我们选择该版本作为最终的落地方案。回测结果显示，改进版基金组合的年化收益为 12.39%，年化波动率为 5.65%，夏普比 2.19，最大回撤 6.61%，而且模型每年都能获得正收益，且月度胜率高达 78.24%，具备稳健的收益获取能力。根据 4月底最新截面的建模结果，择时模型继续看多股票资产，轮动模型最看好周期上游板块，持仓明细为：南方中证申万有色金属 ETF 联接 C（3.91%）、富国中证煤炭（3.91%）、易方达中债新综合 C（92.17%）。风险提示：模型基于历史规律总结，有失效可能。市场出现超预期波动，导致拥挤交易。报告中涉及到的具体基金产品不代表任何投资意见，请投资者谨慎、理性地看待。相关研究相关研究 2 0 7 2 9 5 8 5/3 6 1 3 9/2 0 1 9 0 5 1 4 1 6:0 8 金工研究/深度研究|2019 年 05 月 14 日 谨请参阅尾页重要声明及华泰证券股票和行业评级标准 2 正文目录正文目录 本文研究导读.4 基金筛选：调整基金备选池，充分考虑真实投资环境的约束.6 原有基金池存在的问题及调整思路.6 变更基金池后，模型收益率虽有所下滑，但胜率和稳健性得以提升.7 组合优化：使用更高效的算法求解风险预算问题.8 风险预算模型及原有算法的回顾.8 风险预算问题的等价变换.10 牛顿法求解风险预算问题的原理.10 CCD 算法求解风险预算问题的原理.12 风险预算模型优化算法的比较分析.14 风险控制：引入目标波动约束，进一步降低组合风险.15 组合风险的控制方法.15 目标波动控制方法的实证分析.17“华泰周期轮动”基金组合改进版构建原理与实证分析.19“华泰周期轮动”基金组合改进版构建原理.19“华泰周期轮动”基金组合改进版实证分析.20 不同目标波动场景下的净值回测表现.20 不同目标波动场景下的仓位统计.21 7.5%目标波动场景下的业绩统计.22 7.5%目标波动场景下的手续费敏感性分析.23“华泰周期轮动”基金组合改进版最新持仓.24 附录.25 不同目标波动版本下的月度收益明细.25 不同目标波动版本的月度持仓明细.26 2 0 7 2 9 5 8 5/3 6 1 3 9/2 0 1 9 0 5 1 4 1 6:0 8 金工研究/深度研究|2019 年 05 月 14 日 谨请参阅尾页重要声明及华泰证券股票和行业评级标准 3 图表目录图表目录 图表 1：“华泰周期轮动”基金组合构建体系.4 图表 2：层次化风险预算分配实例.4 图表 3：六大板块及债券资产对应的基金标的.6 图表 4：不同基金池下的模型回测净值曲线.7 图表 5：不同基金池下的模型回测业绩指标.7 图表 10：组合风险的控制方法说明.15 图表 11：加入目标风险约束的几何理解.16 图表 12：加入现金资产后的回测过程说明.17 图表 13：不同目标风险下的策略净值走势.18 图表 14：不同目标风险下的策略业绩指标.18 图表 15：组合波动率的估计误差情况.18 图表 16：组合实际波动率与估计波动率的比值.18 图表 17：“华泰周期轮动”基金组合改进版构建原理.19 图表 18：不同目标风险下的组合净值走势.20 图表 19：不同目标风险下的组合业绩指标.20 图表 20：原始策略下的各资产持仓比例（右轴为上证归一化净值）.21 图表 21：5%目标波动时的各资产持仓比例（右轴为上证归一化净值）.21 图表 22：7.5%目标波动时的各资产持仓比例（右轴为上证归一化净值）.21 图表 23：10%目标波动时的各资产持仓比例（右轴为上证归一化净值）.21 图表 24：不同目标风险下的各资产持仓比例统计.21 图表 25：7.5%目标波动下的月度收益率.22 图表 26：绝对收益指标统计.22 图表 27：7.5%目标波动版本下锁定期为 1 年时的投资收益率.22 图表 28：7.5%目标波动版本下锁定期为 3 年时的投资收益率.22 图表 29：不同锁定期的收益情况统计.23 图表 30：不同手续费率下 7.5%目标波动策略的组合净值走势.23 图表 31：不同手续费率下的业绩指标.23 图表 32：模型最新持仓.24 图表 33：5%目标波动下的月度收益统计.25 图表 34：7.5%目标波动下的月度收益统计.25 图表 35：10%目标波动下的月度收益统计.25 图表 36：不同目标波动版本业绩指标统计.26 图表 37：不同目标波动版本的月度持仓明细.26 2 0 7 2 9 5 8 5/3 6 1 3 9/2 0 1 9 0 5 1 4 1 6:0 8 金工研究/深度研究|2019 年 05 月 14 日 谨请参阅尾页重要声明及华泰证券股票和行业评级标准 4 本文研究导读本文研究导读 在前篇报告“华泰周期轮动”基金组合构建中，我们基于已有研究成果，提出了一个完整的基金组合配置体系，自上而下分为 4 层：1.宏观择时，核心是根据股票市场的多空判断灵活调整股、债配比，力争在权益市场上行期加大股票配置，博取弹性收益；在权益市场下行期加大债券配置，减少回撤风险。2.板块轮动，核心是利用周期三因子定价方程预测各个板块的未来走势，然后根据预测排名进行板块间的超、低配，进一步增厚模型收益。3.组合优化，核心是基于风险预算模型，求解资产权重。预算分配方案如下：a、当择时模型看多股票市场时，根据投资者风险偏好的不同设置进攻、稳健、防守三类预算；而看空股票市场时，直接采用风险平价的思路；进一步，股票资产内部将预算分配给轮动模型最看多的一个板块，债券资产内部目前没有轮动模型支撑，所以统一采用中债-新综合财富指数进行表征。最后，将所有预算归一化后基于优化模型求解权重。4.落地配置，核心是将权重优化结果映射到对应基金标的上进行配置，关键在于筛选与六大板块指数和中债-新综合财富指数相匹配的基金标的。图表图表1：“华泰周期轮动”“华泰周期轮动”基金组合构建体系基金组合构建体系 资料来源：华泰证券研究所 图表图表2：层次化风险预算分配实例层次化风险预算分配实例 资料来源:华泰证券研究所 2 0 7 2 9 5 8 5/3 6 1 3 9/2 0 1 9 0 5 1 4 1 6:0 8 金工研究/深度研究|2019 年 05 月 14 日 谨请参阅尾页重要声明及华泰证券股票和行业评级标准 5 从实证结果来看，该模型具备稳健的收益获取能力，样本外跟踪表现良好。但是在交流推广过程中，我们也认识到目前的配置体系仍然存在一些改进空间。首先，基金标的筛选结果未充分考虑到真实投资环境的约束。这主要体现在三个方面：1.在债券型基金的筛选中，我们挑选了历史业绩相对稳健的几只中长期纯债型基金进行配置，他们在样本内有显著的超额收益，但很难保证样本外仍然能持续战胜基准。2.在股票型基金的筛选中，如果某个行业存在多个基金覆盖，则优先选择对目标行业跟踪误差最小的基金，但真实投资环境下可能基金规模、流动性等因素更为重要。3.对于存在 A 类、C 类份额的基金，我们并未严格区分，而实际上在月频调仓的应用场景下，C 类基金的交易磨损更低，更适用于当前模型。其次，在组合优化过程中，我们采用了 SQP 算法求解资产权重。实证结果表明，该算法存在两个缺陷：1、求解效率较低；2、存在较为严重的初值依赖，也即优化结果能否收敛到全局最优解依赖初值的设定。而在未来的研究规划中，我们考虑引入更多的资产维度，同时板块也有可能下沉到行业，求解场景会更加复杂，当前的优化算法就不适用了，需要探索更高效、且不依赖初值设定的模型。最后，风险预算模型只能控制各个资产的风险贡献占比，无法控制整个组合的波动水平。比如进攻预算场景下，无论是市场底部还是市场顶部，看多时的股债风险预算配比都是30:1，然而组合的整体波动却可能相差数倍。因此有必要引入新的风险控制手段，将整个组合的波动控制在一个相对稳定的水平，来提升模型的稳健性。针对上述问题，后文中我们将从基金备选池的变更、组合优化算法的改进和目标风险模型的引入三个维度重构“华泰周期轮动”基金组合配置体系，并与原模型进行比较。2 0 7 2 9 5 8 5/3 6 1 3 9/2 0 1 9 0 5 1 4 1 6:0 8 金工研究/深度研究|2019 年 05 月 14 日 谨请参阅尾页重要声明及华泰证券股票和行业评级标准 6 基金筛选基金筛选：调整基金：调整基金备选池备选池，充分考虑真实投资环境的约束充分考虑真实投资环境的约束 原有原有基金池存在基金池存在的问题及的问题及调整调整思路思路 在此前的基金配置方案中，我们结合定性分析和定量分析结果，选取了 13 只股票型基金和 4 只债券型基金，分别用于跟踪六大板块和中债-新综合财富指数。然而在交流推广过程中，我们发现原有的基金备选池存在如下问题：1.在债券型基金的筛选中，我们挑选了历史业绩相对稳健的几只中长期纯债型基金进行配置，它们在样本内有显著的超额收益，但很难保证样本外仍然能持续战胜基准。2.在股票型基金的筛选中，如果某个行业存在多个基金覆盖，则优先选择对目标行业跟踪误差最小的基金，但真实投资环境下可能基金规模、流动性等因素更为重要。3.对于存在 A 类、C 类份额的基金，我们并未严格区分，而实际上在月频调仓的应用场景下，C 类基金的交易磨损更低，更适用于当前模型。针对上述问题，我们对原有的基金池进行调整，思路如下：1.将债券型基金变更为跟踪中债-新综合财富指数的易方达中债新综合 C（161120.OF），采用被动指数型基金有利于保证样本内外模型表现的一致性。2.当某个行业存在多支基金覆盖时，优选规模更大、流动性更好的基金，基于此逻辑调整了周期上游板块和大金融板块的部分基金标的。3.将原基金池中的 A 类份额统一替换为 C 类份额。4.新增成长板块传媒行业对应的基金标的。调整标的后的“行业基金”映射结果如下表所示：图表图表3：六大板块及债券资产对应的基金标的六大板块及债券资产对应的基金标的 板块名称板块名称 行业名称行业名称 基金编号基金编号 基金名称基金名称 成立日期成立日期 跟踪指数跟踪指数 跟踪指数跟踪指数 成立日期成立日期 相关系数相关系数 周期上游 采掘 161032.OF 富国中证煤炭 2015-06-19 399998.SZ 2008-12-31 0.9803 有色金属 004433.OF 南方中证申万有色金属 ETF 联接 C 2017-09-08 000819.SH 2004-12-31 0.9970 周期中游 化工 钢铁 502023.OF 鹏华国证钢铁行业 2015-08-13 399440.SZ 2002-12-31 0.9936 公用事业 交通运输 周期下游 建筑材料 004857.OF 广发中证全指建筑材料 C 2017-08-02 931009.CSI 2004-12-31 0.9863 建筑装饰 汽车 004855.OF 广发中证全指汽车 C 2017-07-31 931008.CSI 2004-12-31 0.9685 机械设备 大金融 银行 161029.OF 富国中证银行 2015-04-30 399986.SZ 2004-12-31 0.9939 非银金融 501048.OF 汇添富中证全指证券公司 C 2017-12-04 399975.SZ 2007-06-29 0.9449 房地产 004643.OF 南方中证全指房地产 ETF 联接 C 2017-08-24 h30165.CSI 2004-12-31 0.9941 消费 农林牧渔 家用电器 005064.OF 广发中证全指家用电器 C 2017-09-13 930697.CSI 2004-12-31 0.9205 食品饮料 160222.OF 国泰国证食品饮料 2014-10-23 399396.SZ 2004-12-31 0.9915 纺织服装 轻工制造 医药生物 162412.OF 华宝中证医疗 2015-05-21 399989.SZ 2004-12-31 0.8918 商业贸易 休闲服务 成长 电子 001618.OF 天弘中证电子 C 2015-07-29 930652.CSI 2004-12-31 0.9788 电气设备 计算机 001630.OF 天弘中证计算机 C 2015-07-29 930651.CSI 2004-12-31 0.9898 传媒 160629.OF 鹏华中证传媒 2014-12-11 399971.SZ 2010-12-31 0.9898 通信 债券类资产 中债新综合财富 161120.OF 易方达中债新综合 C 2012-11-08 CBA00101.CS 2001-12-31 1 资料来源：Wind，华泰证券研究所 注：表中相关系数的统计对象是基金跟踪指数和目标行业指数 2 0 7 2 9 5 8 5/3 6 1 3 9/2 0 1 9 0 5 1 4 1 6:0 8 金工研究/深度研究|2019 年 05 月 14 日 谨请参阅尾页重要声明及华泰证券股票和行业评级标准 7 变更基金池后，模型变更基金池后，模型收益率虽有所下滑，但收益率虽有所下滑，但胜率胜率和和稳健性得以提升稳健性得以提升 分别以旧基金池和新基金池作为底层资产，回测模型表现，参数设置如下：1)回测区间：2005 年 3 月 1 日至 2019 年 4 月 30 日。2)底层资产：新、旧基金备选池。3)预算分配：当择时模型看多时采用进攻预算（30:1），看空时风险平价（1:1）。4)组合构建：每月末根据择时信号和板块轮动信号生成最新的风险预算，基于优化模型求解资产权重，在下月初以收盘价调仓。5)手续费：为了对比新旧模型的表现，暂不计手续费。回测结果如下，与原方案相比，新方案放弃了历史超额收益显著的主动型债券基金，而是采用被动跟踪中债-新综合财富指数的指数型基金，因而年化收益率有所下降，但波动、回撤与胜率均有所改善。我们认为，采用被动指数型基金排除了按历史业绩挑选带来的主观性，没有引入未来信息，从长远来看样本外运行结果会更加稳健。此外，新方案统一采用C 类份额，在真实交易环境下，有一定的成本优势，更符合现实状况。图表图表4：不同基金池下的模型回测净值曲线不同基金池下的模型回测净值曲线 资料来源：Wind，华泰证券研究所 图表图表5：不同基金池下的模型回测不同基金池下的模型回测业绩业绩指标指标 年化收益率年化收益率 年化波动率年化波动率 夏普比率夏普比率 最大回撤最大回撤 月频胜率月频胜率 原基金池回测结果 13.43%5.84%2.30-7.94%75.88%新基金池回测结果 10.91%5.49%1.99-7.52%78.24%资料来源：华泰证券研究所 后文中，我们将统一以新基金池下的回测结果作为比较基准（采用旧的配置体系，但基于新的基金备选池）。该模型的年化收益率为 10.91%，年化波动率 5.49%，夏普比率 1.99，最大回撤 7.52%，月频胜率达 78.24%。01234562005-03-012006-03-032007-03-062008-03-052009-03-052010-03-042011-03-082012-03-072013-03-112014-03-172015-03-172016-03-152017-03-152018-03-142019-03-15原基金标的新基金标的2 0 7 2 9 5 8 5/3 6 1 3 9/2 0 1 9 0 5 1 4 1 6:0 8 金工研究/深度研究|2019 年 05 月 14 日 谨请参阅尾页重要声明及华泰证券股票和行业评级标准 8 组合优化：使用更高效的算法求解风险预算问题组合优化：使用更高效的算法求解风险预算问题 在原模型的组合优化过程中，我们采用了 SQP 算法求解资产权重。实证结果表明，该算法存在两个缺陷：1、求解效率较低；2、存在较为严重的初值依赖，也即优化结果能否收敛到全局最优解依赖初值的设定。本节内容我们将介绍两种新的风险预算求解算法：牛顿法和循环坐标下降（CCD）法。实证结果表明，这两种算法均大幅提高了组合优化的计算效率，并且没有初值依赖的问题。风险预算模型及原有算法的回顾风险预算模型及原有算法的回顾 风险预算模型是对风险平价模型的改进，投资者可以根据对未来市场的判断，预先给不同资产分配不同的风险预算，实现配置风险的目的。实证中通常以跟踪误差最小化为目标，计算得到各资产的权重比例。假设组合中包含个资产，定义为第个资产的权重，R(w)为组合w=(w1,w2,wN)的风险。那么，资产的风险贡献（Risk Contribution）可定义为：()=()通常情况下，我们采用波动率来衡量整个组合的风险，也即：()=()=资产的风险贡献为:()=()=()=()容易证明，各资产的风险贡献之和就是组合的波动率：()=1=(w)=1w=ww=w=()=()定义(0 1)为第个资产的风险预算，它表示该资产的风险贡献()在组合风险()中所占的比例：=()()那么，一个风险预算组合可以由一个非线性方程组表示：()=()0 0=1=1=1=1 在求解时，该问题转化为以下非线性规划模型：min(;)=min(wiR(w)wi()2=1 s.t.=1=10 1 2 0 7 2 9 5 8 5/3 6 1 3 9/2 0 1 9 0 5 1 4 1 6:0 8 金工研究/深度研究|2019 年 05 月 14 日 谨请参阅尾页重要声明及华泰证券股票和行业评级标准 9 原模型中，我们是采用序列二次规划（SQP）算法求解风险预算问题。该算法的思路是将上面的非线性规划问题转化为循环求解一个二次规划问题，迭代方程如下：+1=+其中，和分别代表权重变化的步长和步进方向。步长满足：=min0(+)而步进方向的求解则是一个二次规划问题：=arg12+s.t.d+=00 +1 其中，和分别是(;)按照泰勒展开得到的海森矩阵和雅克比矩阵，分别代表曲线曲率和梯度。步进方向依赖于目标函数的海森矩阵，如果海森矩阵是半正定型，就可以保证每次优化方向朝着局部最优进行。对目标函数和 SQP 算法分析之后，我们发现使用该算法求解风险预算问题时，存在着收敛范围小、初值依赖强和运算效率低等不足。首先，SQP 算法本身是一种局部搜索算法，其寻找最优解的过程是从初值开始逐步进行的。当初值距离实际的全局最优解较远时，算法可能会在搜索过程中错误地收敛至局部梯度没有明显下降的位置（例如：资产权重均为0 的位置）；其次，算法在每一步搜索中都需要求解一个二次规划问题，一般需要较长的运算时间，所以效率较低。这些问题在资产维度较高时更为明显。在原模型在原模型中，我们是中，我们是通过反复生成随机初值通过反复生成随机初值来解决来解决初值依赖初值依赖问题问题：每生成一个初值，每生成一个初值，都都基基于优化模型求解资产权重，然后检查该权重下各个资产的风险贡献是否满足预设值，不满于优化模型求解资产权重，然后检查该权重下各个资产的风险贡献是否满足预设值，不满足则新生成一个初值，继续优化，直到获得全局最优解。足则新生成一个初值，继续优化，直到获得全局最优解。这一方法在资产数目较小的时候尚能达到求解效率和准确度的平衡，但随着资产维度增加，对初值的精确性要求会大幅提升，需要反复地生成随机初值才能找到全局最优解，这会牺牲大量的计算时间。图表图表6：SQP 算法的现存问题和原有解决方案算法的现存问题和原有解决方案 资料来源：华泰证券研究所 为了彻底解决求解效率和初值依赖的问题，需要将原目标函数转化为一种等价的规划问题，在新的等价问题下，有两种解决方案：一是 Chaves et al.（2012）提出的牛顿法；二是Richard，Roncalli（2013）提出的循环坐标下降法（CCD 算法）。2 0 7 2 9 5 8 5/3 6 1 3 9/2 0 1 9 0 5 1 4 1 6:0 8 金工研究/深度研究|2019 年 05 月 14 日 谨请参阅尾页重要声明及华泰证券股票和行业评级标准 10 风险预算问题的等价变换风险预算问题的等价变换 原模型中，目标函数是较复杂的非线性函数，根据 Roncalli（2013）的方法，该优化问题可等价为如下形式：=()u.c.ln c=1y 0 其中表示风险测度方式，为满足 0 且=0。同时，根据最优解不可能为 0 得知，ln一定不是无穷量，也即ln =0的约束一定能成立，所以 0。将=0代入最优解满足的一阶条件方程，有：R(y)=显然，风险贡献度是与风险预算值成正比的，因此转换前后的求解问题是等价的。得到新规划问题下的最优解y后，原问题的最优权重满足：=/i 为了求解新规划问题，可以采用牛顿法和循环坐标下降法（CCD），后文中将分别介绍这两种算法。牛顿法求解风险预算问题的原理牛顿法求解风险预算问题的原理 牛顿法是一种求解非线性方程组零点值的算法，其核心原理在于利用目标函数的切线信息和截距信息，通过不断迭代来逼近方程组的零点。如果目标函数仅有一个零点，则无论初值如何选取，优化方向都将朝着唯一的零点进行，以达到全局最优。将牛顿法运用到风险预算模型中，关键在于将风险预算问题转化为非线性方程组零点值的求解问题。首先，新目标函数下的拉格朗日函数一阶条件满足：L(y;)=R(y)=0 2 0 7 2 9 5 8 5/3 6 1 3 9/2 0 1 9 0 5 1 4 1 6:0 8 金工研究/深度研究|2019 年 05 月 14 日 谨请参阅尾页重要声明及华泰证券股票和行业评级标准 11 考虑以最小化方差为目标函数，令R(y)=/2，并不失一般性地将取为 1（可以证明这不会影响风险预算问题的最终求解结果），上述方程变为：(y)=0 所以，风险预算问题的求解转换为非线性方程组的零点值求解，将方程组用()表示：()=(1/)=0 其中1/是对中每个元素取倒数后得到的向量。将()这一非线性函数在初值位置附近做一阶泰勒展开，可以得到其线性近似表达式：()()+()()其中()是该函数在附近的雅克比矩阵，描述了函数在该位置的梯度，具体形式如下：()=+diag(2)下一步，令上式中的()=0，直接得到零点解：()1()由于一阶泰勒展开式只是原函数的一个近似，所以该方法解出的权重向量显然具有一定的误差。对此，牛顿法的解决方案是不断重复上述迭代，即每次求出一个最优解y后，将其作为新的初值再次对函数做泰勒展开，得到新的最优权重。具体而言，给定第次优化得到的近似解 y()后，新的近似解即为：(+1)=()()1()按照该方法，当系统存在唯一零点解时，上述迭代过程一定会收敛到这一解。不同于 SQP 算法，牛顿法的求解过程仅涉及直观的矩阵运算，不需要在搜索过程中求解非线性的二次规划问题，且等价规划问题下的雅可比矩阵也具有易得的解析形式，因此运算效率会大幅提高。另外，等价规划问题的数学性质保证了其最优解的唯一性，因此基于该问题的最优解不会出现初值依赖、收敛错误等问题。其实现流程总结如下：1.输入一个任意的初值向量、协方差矩阵和预算向量b。2.根据上述公式计算()及雅可比矩阵的逆()1。3.根据=()1()更新的值。4.重复 23 步，直到新权重下各资产的风险贡献占比与风险预算的差不超过 1e-8。图表图表7：牛顿法运算过程总结牛顿法运算过程总结 资料来源：华泰证券研究所 2 0 7 2 9 5 8 5/3 6 1 3 9/2 0 1 9 0 5 1 4 1 6:0 8 金工研究/深度研究|2019 年 05 月 14 日 谨请参阅尾页重要声明及华泰证券股票和行业评级标准 12 CCD 算法求解风险预算问题的原理算法求解风险预算问题的原理 循环坐标下降法（CCD）是一种非梯度优化的方法，它在每步迭代中沿一个特定坐标方向进行搜索，然后通过循环搜索不同的坐标方向来达到目标函数的局部极小值。相比于 SQP算法中步进依赖于原目标函数的海森矩阵和初值，CCD 的循环方向是任意的，求导时只对某一个特定维度（坐标轴方向）展开，固定其它维度。这样做的好处是比较容易求出每一步中该维度下最优值的解析形式，极大地提高运算效率。将()=代入等价规划问题的拉格朗日函数一阶条件方程，并做和牛顿法相同的处理，不失一般性地将取为 1，从而可以得到：L(y;)=(y)y=0 将上式第一项分子中的协方差矩阵展开，方程转变为：22+=0 这就是规划问题关于的最优化条件。在每一步优化中，我们将和设为恒定值，只考虑对这一个坐标的优化，上式就变为了关于的一元二次方程。通过韦达定理很容易看出该方程有一正一负两个实根，要保证求出的权重不为负数，我们只需在这一步优化中取的正根：=+2()2+4222 由此，我们便得到了规划问题关于某个特定坐标方向的最优解析式。CCD 算法的过程就是在每一轮循环中逐个遍历每个坐标方向，并按这一解析式给赋值。每一步更新了的坐标后，上一步的就不再满足最优条件，但只要循环的次数足够多，所有坐标都会收敛到最优解上。具体实证中，这一算法还可以通过一些矩阵运算技巧进一步提升计算速度。例如，将上一解析式改写为：=()+2+()2)2+42()22 在每一步运算后，我们只需更新组合波动率()和向量()，这两个数值的更新方程可以写为：=y .+.()=()2 2.+22+2.22.和.分别表示 的第个列向量和行向量。这一变换将矩阵乘法简化为了向量乘法，能够减少大量的运算时间。与 SQP 算法相比，CCD 算法也不需要在每一步迭代中求解二次规划问题，而只需按照解析式反复迭代即可收敛到最优解；而且基于矩阵运算技巧简化迭代过程后，运算效率进一步提升。另一方面，CCD 算法不依赖于目标函数的雅可比矩阵和海森矩阵，不会出现梯度优化方法下依赖初值设定、容易收敛错误的情况，只要初始值设定为正值，就一定能收敛到全局最优解。2 0 7 2 9 5 8 5/3 6 1 3 9/2 0 1 9 0 5 1 4 1 6:0 8 金工研究/深度研究|2019 年 05 月 14 日 谨请参阅尾页重要声明及华泰证券股票和行业评级标准 13 CCD 算法求解风险预算问题的过程可以总结如下：1.输入任意的初始坐标向量y、协方差矩阵和预算向量b，计算起始的和()。2.从第一个坐标1开始，固定其他坐标，按上文中的解析式更新1的值。3.按上文中和()的更新方程计算风险贡献和组合波动率的新值。4.依次对第个坐标重复第 2、3 步，即固定其他坐标、更新的值、重新计算向量和组合波动率()。5.重复 24 步，直到各资产的风险贡献占比与预算值的误差不超过 1e-8。图表图表8：CCD 算法运算过程总结算法运算过程总结 资料来源：华泰证券研究所 2 0 7 2 9 5 8 5/3 6 1 3 9/2 0 1 9 0 5 1 4 1 6:0 8 金工研究/深度研究|2019 年 05 月 14 日 谨请参阅尾页重要声明及华泰证券股票和行业评级标准 14 风险预算模型优化算法的比较分析风险预算模型优化算法的比较分析 本节内容我们测试了不同资产维度下三种算法的优化效率，参数设置如下：1)测试区间：2011 年 1 月至 2019 年 4 月，统计所有截面上优化求解的总耗时。2)底层资产：宽基指数、中债新综合财富指数、申万一级行业指数（逐步增加资产数目）3)算法约束：设置 SQP 算法生成的随机数次数不超过 1000，误差阈值为 1e-2（阈值要求越精确，求解效率越低）；牛顿法和 CCD 算法的误差阈值为 1e-8。4)硬件配置：Intel(R)Core(TM)i7-6500U 2.5GHz 各算法耗时的统计结果如下所示，可以看出 SQP 算法的运算效率远远低于牛顿法和 CCD算法，而且随着资产维度扩充，这种差距更加明显。当资产达到 29 种时，SQP 算法直接优化失败，而牛顿法和 CCD 法都在 0.5 秒内完成。图表图表9：不同资产维度下三种算法平均耗时（单位：秒）不同资产维度下三种算法平均耗时（单位：秒）资产维度资产维度 SQP 算法算法 牛顿法牛顿法 CCD 算法算法 2 种资产（上证综指&中债新综合财富）2.716849 0.148714 0.149377 3 种资产（+深证成指）3.236256 0.140526 0.158278 4 种资产（+上证 A 指）3.972255 0.14741 0.16213 5 种资产（+上证 B 指）6.774171 0.114877 0.140984 6 种资产（+上证 50）5.426769 0.12324 0.116046 7 种资产（+沪深 300）5.918063 0.107362 0.124861 8 种资产（+中证 500）7.288869 0.090914 0.106638 9 种资产（+中证 800）9.848748 0.104005 0.098539 10 种资产（+中证 1000）33.6234 0.095172 0.123937 29 种资产（申万一级行业&中债新综合财富）-0.247293 0.354665 资料来源：Wind，华泰证券研究所 注：SQP 算法在最后一种情形下优化失败（优化时间超过 2000 秒）。整体而言，牛顿法和 CCD 法的运算效率接近，优化结果一致，都可以作为最终的解决方案，后文中我们统一采用 CCD 算法进行说明。2 0 7 2 9 5 8 5/3 6 1 3 9/2 0 1 9 0 5 1 4 1 6:0 8 金工研究/深度研究|2019 年 05 月 14 日 谨请参阅尾页重要声明及华泰证券股票和行业评级标准 15 风险控制：引入目标风险控制：引入目标波动波动约束约束，进一步降低组合风险，进一步降低组合风险 在原基金组合构建体系中，风险预算模型只能控制各个资产的风险贡献占比，无法控制整个组合的波动水平。比如进攻预算场景下，无论是市场底部还是市场顶部，看多时的股债风险预算配比都是 30:1，然而组合的整体波动却可能相差数倍。因此有必要引入新的风险控制手段，来提升模型的稳健性。目标风险基金（Target Risk Funds，TRFs）是一类在不同时间段上保持资产组合风险恒定的基金产品，它的资产配置风格能够较好地满足特定投资者的风险偏好需求。借鉴该思路，我们可以在现有模型下引入一个目标风险约束，使基金组合的波动率保持在一个相对稳定的水平。这样做的原因在于：1、当股票仓位较低的时候，模型主要配置的债券，而债券的收益低，波动小，可以适当加杠杆来增厚收益；2、在股票仓位高的时候，整个组合的波动较大，风险较大，可以适当缩减资产仓位来减小回撤风险。下文中，我们将介绍组合风险控制的具体方法，并分析其回测表现。组合风险的控制方法组合风险的控制方法 引入目标波动后，整个组合的风险控制流程如下：1.根据择时、板块轮动观点生成各个资产的风险预算占比，并基于 CCD 算法求解相应的资产权重向量。2.计算组合预测波动率=，并根据目标波动率计算权重缩放比例：=3.经目标波动调整后的资产权重向量为，它既能保证资产间的风险贡献占比符合预设值，又能控制整个组合的波动处于一个相对稳定的水平。4.在真实投资环境中，一般会对杠杆上限加以控制，所以当资产权重之和超过杠杆上限时，还需要将股、债权重等比例缩小。假设风险预算模型给出的股、债权重分别为10%，90%，组合预测波动率为 5%，而目标波动为 15%，那么需要等比例将股、债权重放大到 30%，270%，但如果限制杠杆倍数不超过 2 倍，则还需要将调整后的股、债权重缩小至 20%，180%，所以加入杠杆上限后，组合真实波动会小于目标波动。图表图表10：组合风险的控制方法说明组合风险的控制方法说明 资料来源：华泰证券研究所 2 0 7 2 9 5 8 5/3 6 1 3 9/2 0 1 9 0 5 1 4 1 6:0 8 金工研究/深度研究|2019 年 05 月 14 日 谨请参阅尾页重要声明及华泰证券股票和行业评级标准 16 综上，我们通过等比例缩放不同资产的权重来使组合波动达到目标值。可以证明，经调整后的新权重向量仍能使组合内各资产的风险贡献占比保持不变。根据理论，给定不含 0 的风险预算向量，一定存在一个最优的权重向量，使得各资产的风险贡献等于预算值：,()()=0 其中组合的波动率为：()=各个资产的边际风险贡献为：()