Matlab动画在特征值与特征向量教学中的应用探究_郭金海.pdf

本期推荐本栏目责任编辑：张薇Computer Knowledge and Technology电脑知识与技术第19卷第3期(2023年1月）E-mail：http：/Tel：+86-551-65690963 65690964ISSN 1009-3044Computer Knowledge and Technology电脑知识与技术Vol.19,No.3,January2023Matlab动画在特征值与特征向量教学中的应用探究郭金海，雷仕夷，陈姝姝，李梅玲（长江大学 信息与数学学院，湖北 荆州 434023)摘要：针对方阵特征值与特征向量的特点，在特定平面上构造初始向量，让其旋转一周，再计算方阵与旋转向量的乘积，运用Matlab软件编写程序，通过动画展示特征值与特征向量的几何意义和性质。关键词：特征值；特征向量；Matlab软件；旋转变换中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1009-3044(2023)03-0001-04开放科学（资源服务）标识码(OSID)：1 引言在线性代数1和高等代数的教学中，在矩阵的对角化和化二次型为标准型时，方阵的特征值和特征向量是一个非常重要的内容。在课程的教学中，借助数学软件2-3并联系实际问题，给出其几何意义4-5，可以帮助理解特征值和特征向量的实际意义，对提高学生学习兴趣和教学效果有一定的帮助。本文结合Matlab软件，编写动画，展示理解特征值与特征向量的意义和性质。2 特征值与特征向量的定义设n阶方阵A，若存在数和非零n维向量，使得A=，称数是方阵A的特征值，为A的对应于特征值的特征向量。表示向量在矩阵A作用下，变换为与平行的向量，长度是原来的倍，0表示同方向，0表示反方向，=0表示化为零向量。从变换的角度来看特征值和特征向量，n维向量变换为A=，从几何角度结合图像来理解，可以借助Matlab从数字和图形来展示。Matlab软件具有数值和符号计算功能，通过编程可以很好地将结果可视化，更好的帮助理解特征值和特征向量意义和性质。下面分别从二维和三维空间举例，动画演示特征值和特征向量。3 二阶方阵的特征值和特征向量3.1 旋转变换原理设初始向量0=(1,0)T为x轴上单位向量，旋转角度=2n，绕原点逆时针旋转k次后的向量k=(cos(k),sin(k)T，(k=1,2n)，几 何 意 义 为0=(1,0)T经过n次旋转，绕原点旋转一周，回到初始点。3.2 动画设计1)给定初始向量0，旋转角度=2n，旋转k(k=1,2n)次后回到初始点；2)计算方阵A与k的乘积，即k=Ak，(k=1,2n);3)绘图，同时绘制向量k,k，间隔固定时间t0=0.1秒绘制动图，应用矩阵范数AxA x=t，控制图形的范围x,y -t,t；4)观察动图中向量k,k什么时候在一条直线上，则此时刻对应的为特征值和特征向量。通过动态图像 的 特 点，调 整n的 值 为8的 倍 数，在n8(2m-1)t0(m=1,2,3,4)时刻暂停时间加长（设为3秒），方便看清楚这些特殊时刻。3.3 Matlab软件编写的M文件编写函数文件eigshow，输入矩阵A=-1，3;3，-1，调用函数eigshow(A)，则显示动画见图1图6。3.4 图形分析里面的蓝色圆圈表示原始向量k，外面的绿色星号表示变换后的向量k=Ak。图1为起始时刻，图6为最后时刻。从动图中可收稿日期：2022-06-24基金项目：国家自然科学基金(11871118)有限维空间中二次不等式相关问题及其应用研究；长江大学校教研项目(JY2020066)基于数学建模的大学生创新能力培养方案的研究作者简介：郭金海(1980)，男，湖北省潜江市人，副教授，博士，研究方向为灰色系统及其应用；雷仕夷(1999)，女，湖北省咸宁市崇阳县人，研究生，研究方向为数学学科教学；陈姝姝(1999)，女，内蒙古自治区乌兰察布市察哈尔右翼前旗人，研究生，研究方向为数学学科教学；李梅玲(2000)，女，四川省成都市人，本科生，研究方向为数学教育。1DOI:10.14004/ki.ckt.2023.0157本栏目责任编辑：张薇本期推荐Computer Knowledge and Technology电脑知识与技术第19卷第3期(2023年1月）以看到，x轴上单位向量0=(1,0)T绕原点逆时针旋转一圈，变换后的向量k=Ak绕原点顺时针旋转一圈（旋转方向相反）。并且，恰好旋转到四个象限的角平分线上时，向量k,k同时在一条直线上。第一次（图2)和第三次（图4)：分别在第一、三象限角平分线上，方向相同，长度k=2k；第二次（图3)和第四次（图5)：分别在第二、四象限角平分线上，方向相反，长度k=4k。3.5 数形结合研究方阵特征值和特征向量的性质1)k,Ak在第一和第三象限角平分线上时，同方向，且 长 度Ak=2k。对 应 于：方 阵A=()-133-1有 特 征 值1=2，对 应 的 特 征 向 量1=12(1,1)T，向量1的非零倍数也是特征值1=2对应的特征向量。2)k,Ak在第二和第四象限角平分线上时，方向相反，且长度Ak=4k。对应于：方阵A有特征值2=-4，对应的特征向量2=12(-1,1)T，向量2的非零倍数也是特征值2=-4对应的特征向量。3)旋转一圈，只有在这4个位置时，k,Ak平行，再无其他地方平行。对应于：只有这两个向量的非零倍数是方阵A的特征向量，再无其他特征向量。4)应用Matlab命令v，d=eig(A)得到特征值与特征向量，可以验证计算的结果。4 三阶方阵的特征值和特征向量设方阵A=()400031013，用命令v，d=eig(A)计算得到，对应的特征值和特征向量分别为1=2,1=12(0,-1,1)T,2=3=4,2=12(0,1,1)T,3=(1,0,0)T,即A1=21,A2=42,A3=43。为了展示特征向量的性质，下面从三个方面来设计:1)基于特征向量3=(1,0,0)T，在xoy平面上考虑；2)基于特征向量1=12(0,-1,1)T,2=12(0,1,1)T，在yoz平面上考虑；3)基于二重特征值2=3=4,在y=z平面上考虑。图1 初始图2 一象限图3 二、四象限图4 三象限图5 二、四象限图6 结束2本期推荐本栏目责任编辑：张薇Computer Knowledge and Technology电脑知识与技术第19卷第3期(2023年1月）4.1 三维旋转变换原理4.1.1 基于特征向量3=(1,0,0)T，在xoy平面上考虑设初始向量0=()1,0,0T为x轴上单位向量，旋转角度=2n，k=(cos(k),sin(k),0)T，(k=1,2,n)，几何意义为0=()1,0,0T经过n次旋转，在xoy面上绕原点旋转一周，回到初始点。4.1.2 基于特征向量1=12(0,-1,1)T，2=12(0,1,1)T在yoz平面上考虑设初始向量0=()0,1,0T为y轴上单位向量，旋转 角 度=2n，k=(0,cos(k),sin(k)T，(k=1,2,n)，几何意义为0=()0,1,0T经过n次旋转，在yoz面上绕原点旋转一周，回到初始点。4.1.3 基于特征值2=3=4,在y=z平面上考虑图7中，设OAB为y=z平面，=AOB为向量=OA与x轴正向夹角，过点A(x,y,z)分别作x轴和xoy面上的投影，分别为点B,C，设|OA|=,|BC|=|AC|=y,则x=|OB|=cos,|OC|=|OA|2-|AC|2=|OB|2+|BC|2,即|OC|=2-y2=2cos2+y2,解得y=12sin。则点A(x,y,z)的极坐标形式为：=(x,y,z)T=(cos,12sin,12sin)T，设初始向量0=()1,0,0T为x轴上单位向量，旋转角度=2n,(k=1,2,n)，k=(cos(k),12sin(k),12sin(k)T，几何意义为0=()1,0,0T经过n次旋转，在y=z面上绕原点旋转一周回到初始点。4.2 动画设计同3.2小节中的步骤。4.3 编写函数M文件输入矩阵 A=4，0，0;0，3，1;0，1，3，然后调用图8 1/4圈处图9 1/2圈处图10 结束图11 首次重合图12 2次重合图13 3次重合图7y=z平面上的旋转向量3本栏目责任编辑：张薇本期推荐Computer Knowledge and Technology电脑知识与技术第19卷第3期(2023年1月）eigshow3(A，i)，(i=1，2，3)，则分别显示三个动画为图8图10、图11图15、图16图18。4.4 图形分析里面的蓝色圆圈表示原始向量k，外面的绿色星号表示变换后的向量k=Ak。图8图10为x轴上单位向量0=()1,0,0T在xoy面上绕原点逆时针旋转一圈，变换后的向量k=Ak绕原点逆时针旋转一圈。并且，只有在旋转到x轴上时，向量k,k方向相同，长度k=4k。图 11图 15 为y轴上单位向量0=()0,1,0T在yoz面上绕原点逆时针旋转一圈，变换后的向量k=Ak绕原点逆时针旋转一圈。并且，恰好旋转到yoz平面的四个象限的角平分线上时，向量k,k方向相同。第一次（图11)和第三次（图13):在第一、三象限角平分线上，长度k=4k;第二次（图12)和第四次（图14):在第二、四象限角平分线上，长度k=2k。图16图18为x轴上单位向量0=()1,0,0T在y=z平面上绕原点逆时针旋转一圈，变换后的向量k=Ak绕原点顺时针旋转一圈。并且向量k,k方向一直相同，长度k=4k。4.5 数形结合研究方阵的特征值和特征向量的性质1)在xoy面上，k,Ak只有在x轴上同方向，长度Ak=4k。对应于方阵A有特征值3=4，对应的特征向量为3=(1,0,0)T，向量3的非零倍数也是特征向量。2)在yoz面上，当k,Ak在直线y=zx=0,y=-zx=0两条直线上时方向相同，且长度分别为Ak=4k，Ak=2k。对应方阵A有 特 征 值2=4，对 应 的 特 征 向 量 为2=12(0,1,1)T，向量2的非零倍数也是2=4的特征向量；特征值1=2，对应的特征向量为1=12(0,-1,1)T，向量1的非零倍数也是1=2的特征向量。y轴上单位向量0=()0,1,0T在yoz面旋转一圈，只有在这4个位置时，k,Ak平行，再无其他地方平行。对应在yoz面只有这两个向量的非零倍数是方阵A的特征向量，再无其他特征向量。3)在y=z平面上，k,Ak一直同方向，且Ak=4k，表明y=z平面上任意非零向量均为A的特征值4所对应的特征向量，即2=12(0,1,1)T和3=(1,0,0)T的非零线性组合为A的特征向量，x=c22+c33,c2,c3不全为零。5 Matlab动画设计总结在特定平面上给定初始向量0，设计旋转变换的向量k，让其在平面上旋转一周，同时计算Ak，通过动画展示特征值与特征向量的关系：（下转第8页）图144次重合图15 结束图16 中间处图17 中间处图18 结束4本栏目责任编辑：张薇本期推荐Computer Knowledge and Technology电脑知识与技术第19卷第3期(2023年1月）5)网格内组分统计：编制网格内各组分统计程序，统计网格内各相组分特征；6)非均质表征：基于数学统计方法，结合网格内组分特征与整体组分特征，定量描述混凝土10材料的非均质性程度。实验方案如图5所示。6 结束语本文主要是对混凝土切片的不均匀性进行定量评价，主要成果是编写了相关的Matlab程序，该程序可以实现定量不均匀性的定量表征。混凝土切片的CT扫描图经过处理之后，可以将其中的骨料当成一个个多边形来处理，计算某一区域骨料的密度，可以认为是骨料多边形的面积占区域总面积的比例。如果把整个切片用网格切割成若干个区域，那么就可以计算每个网格内的骨料占比，得到一组数字，然后求这组数字的方差，该方差可以用来衡量整个切片的不均匀性。参考文献：1 陈洁静,秦拥军,肖建庄,等.基于CT技术的掺锂渣再生混凝土孔隙结构特征J.建筑材料学报,2021,24(6):1179-1186.2 李小二,王鹏,靳翔飞