2023年常用概率分布（教学课件）.ppt

常用概率分布 掌握：掌握：三个常用概率分布的概念；二项分布及Poisson分布的概率函数与累计概率、正态分布的分布函数的计算方法；医学参考值的计算 熟悉：熟悉：三个常用概率分布的特征 了解：了解：质量控制的意义、原理及方法 教学要求教学要求 一、二项分布一、二项分布 二、二、PoissonPoisson分布分布 三、正态分布三、正态分布 常见随机变量的分布：常见随机变量的分布：连续型变量连续型变量 离散型变量离散型变量 第一节 二项分布及其应用 1.1 1.1 二项分布的概念和函数二项分布的概念和函数 1.2 1.2 二项分布的特征二项分布的特征 1.3 1.3 二项分布的应用二项分布的应用 一、二项分布的概念 和概率函数 摸 球 模 型摸 球 模 型 一个袋子里有一个袋子里有5个乒乓球，其中个乒乓球，其中2个黄球、个黄球、3个白球，个白球，我们进行摸球游戏，每次摸我们进行摸球游戏，每次摸1球，放回后再摸。先后球，放回后再摸。先后摸摸100次，请问：次，请问：摸到摸到0次黄球的概率是多大？次黄球的概率是多大？解：解：每次摸到白球的概率每次摸到白球的概率 =0.6=0.6 第第1 1次摸到白球的概率次摸到白球的概率=0.6=0.6 第第2 2次摸到白球的概率次摸到白球的概率=0.6=0.6 第第100100次摸到白球的概率次摸到白球的概率=0.6=0.6 100次摸到次摸到0次黄球的概率次黄球的概率=0.60.60.6=0.6100 先后先后摸摸100次，摸到次，摸到3次黄球的概率是多大？次黄球的概率是多大？解：解：每次摸到黄球的概率每次摸到黄球的概率 =0.4=0.4 黄黄白白黄黄白白黄黄白白白白白白 概率概率=(0.4)=(0.4)3 3(0.6)(0.6)9797 100次摸到次摸到3次黄球的概率次黄球的概率 =(0.4)3(0.6)97+(0.4)3(0.6)97+(0.4)3(0.6)97+=C1003(0.4)3(0.6)97 每次摸到白球的概率每次摸到白球的概率 =0.6=0.6 黄黄黄黄黄黄白白白白白白白白白白 黄黄白白黄黄黄黄白白白白白白白白 概率概率=(0.4)=(0.4)3 3(0.6)(0.6)9797 概率概率=(0.4)=(0.4)3 3(0.6)(0.6)9797 先后先后摸摸100次，摸到次，摸到x次黄球的概率是多大？次黄球的概率是多大？解：解：100次摸到次摸到x次黄球的概率次黄球的概率=C100 x(0.4)x(0.6)100-x 100次摸到次摸到3次黄球的概率次黄球的概率=C1003(0.4)3(0.6)97 先后摸先后摸n次，摸到次，摸到x次黄球的概率是多大？次黄球的概率是多大？n次摸到次摸到x次黄球的概率次黄球的概率=Cnx(0.4)x(0.6)n-x 解：解：如果摸到黄球的概率不是如果摸到黄球的概率不是0.4，而是，而是，先后先后摸摸n次，摸到次，摸到x次黄球的概率是多大？次黄球的概率是多大？n次摸到次摸到x次黄球的概率次黄球的概率=Cnx()x(1-)n-x 解：解：小结：小结：摸球模型摸球模型 二分类：每次摸球都有两种可能的结果黄球二分类：每次摸球都有两种可能的结果黄球或白球或白球 独立：每次摸球都是彼此独立的独立：每次摸球都是彼此独立的 重复：每次摸到黄球的概率都是重复：每次摸到黄球的概率都是、摸到白球摸到白球的概率都是的概率都是1-所以，先后摸所以，先后摸n次，摸到次，摸到x次黄球的概率为：次黄球的概率为：n次摸到次摸到x次黄球的概率次黄球的概率=Cnx()x(1-)n-x 在医学研究中在医学研究中，许多观察或试验许多观察或试验的可能结果可以归结为二个相互排斥的可能结果可以归结为二个相互排斥的结果的结果。如检查的结果为如检查的结果为“阳性阳性或或阴性阴性，治疗结果可分为治疗结果可分为“有效有效或或“无效无效，也可为也可为“生存生存或或“死亡死亡等等。二项分布的二项分布的概念概念：如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为，阴性结阴性结果的发生概率均为果的发生概率均为1-；而且每个观察对象的结果；而且每个观察对象的结果是相互独立的是相互独立的，那么那么，重复观察重复观察n个人个人，发生阳性结果发生阳性结果的人数的人数X的概率分布为二项分布的概率分布为二项分布，记作：记作：B(n,)。P(x)=Cnx()x(1-)n-x Cnx=n!x！(n-x)!其中：其中：一般地，假设随机变量取值一般地，假设随机变量取值x的概率为：的概率为：x 取值取值0、1、2、n 二项分布的二项分布的密度函数密度函数：举举 例：例：临床上用针炙治疗某型头痛，有效的概率为临床上用针炙治疗某型头痛，有效的概率为60%；现以该法治疗患者；现以该法治疗患者3例，其中例，其中0例、例、1例、例、2例、例、3例有效的概率各是多大？例有效的概率各是多大？解：解：有效人数有效人数（x）C3x x（1-）n-x 出现该结果概率出现该结果概率P(x)0 1 0.60 0.43 0.064 1 3 0.61 0.42 0.288 2 3 0.62 0.41 0.432 3 1 0.63 0.40 0.216 P(x)=Cnx()x(1-)n-x 二、二项分布的特征 P(x)=Cnx()x(1-)n-x 1.二项分布的图形特征二项分布的图形特征:独立、重复实验的次数独立、重复实验的次数 某研究事件发生的概率某研究事件发生的概率 和和n 是二项分布的是二项分布的两个参数两个参数，n决定决定x的取的取值范围，值范围，n 和和 决定了决定了x的概率分布。的概率分布。=0.5时，不同时，不同n值对应的二项分布值对应的二项分布 n=30，=0.3 n=20，=0.5 n=10，=0.3 n=5，=0.3 =0.3时，不同时，不同n值对应的二项分布值对应的二项分布 二项分布图的形态取决于二项分布图的形态取决于和和n，顶峰在，顶峰在=n处处 当当=0.5，图形是对称的；，图形是对称的；当当0.5，图形不对称；，图形不对称；离离0.5愈远，对称性愈远，对称性愈差，但随着愈差，但随着n的增大，分布趋向于对称。的增大，分布趋向于对称。当当n时，只要时，只要不太靠近不太靠近0或或1特别是特别是 n 和和 n(1-)都大于都大于5时，二项分布接近于正态时，二项分布接近于正态分布。分布。对于二分类情况对于二分类情况，进行进行n次试验次试验，每次试验出现每次试验出现阳性结果的概率均为阳性结果的概率均为，出现阳性结果的次数为出现阳性结果的次数为x，那么那么X的总体均数的总体均数、方差方差2及标准差及标准差分别为：分别为：总体方差：总体方差：2=n 1-2.二项分布的均数和标准差：二项分布的均数和标准差：总体均数：总体均数：=n 总体标准差：总体标准差：=n（1-）对于二分类情况，进行对于二分类情况，进行n次随机试验，每次试次随机试验，每次试验出现阳性结果的概率为验出现阳性结果的概率为，那么出现阳性结果，那么出现阳性结果x的概率的概率P、概率、概率P的均数的均数 P，概率，概率P的方差的方差P2及及概率概率P的标准差的标准差P为：为：概率概率P的均数：的均数：P=概率：概率：P=x n 概率概率P的方差：的方差：P2=（1-）n 概率概率P的标准差：的标准差：p=（1-）n 三、二项分布的应用 二项分布的应用：二项分布的应用：概率估计概率估计：举例举例：如果某地钩虫感染率是如果某地钩虫感染率是13%13%，随机观察当地，随机观察当地150150人，其中人，其中1010人感染钩虫的概率有多大？人感染钩虫的概率有多大？解析解析：二分类感染、不感染二分类感染、不感染 独立假定互不影响独立假定互不影响 重复重复n=150，每人感染钩虫机率均为，每人感染钩虫机率均为=0.13 故：感染钩虫的人数故：感染钩虫的人数x符合二项分布符合二项分布B(150，0.13)所以：所以：P(x=10)=C15010 0.13100.87140=0.0055 单侧累积概率的计算：单侧累积概率的计算：单纯计算二项分布单纯计算二项分布x恰好取某值的概率恰好取某值的概率没有太大意义没有太大意义 经常需要计算的是二项分布的经常需要计算的是二项分布的累积概率累积概率 P(xk)=Cnx()x(1-)n-x n x=k P(xk)=Cnx()x(1-)n-x k x=0 1出现阳性次数至多为出现阳性次数至多为k次的概率为：次的概率为：2出现阳性次数至少为出现阳性次数至少为k次的概率为：次的概率为：举例：某地钩虫感染率是举例：某地钩虫感染率是13%，随机观察当地，随机观察当地150人。人。1其中最多有其中最多有2人感染的概率有多大？人感染的概率有多大？解解：P(x2)=C150 x 0.13x(0.97)150-x 2 x=0=C1500 0.130 0.97150+C1501 0.131 0.97149+C1502 0.132 0.97148=2.31 10-7 2 2其中最少有其中最少有2 2人感染的概率有多大？人感染的概率有多大？P(x 2)=C150 x 0.13x(0.97)150-x 150 x=2=1-（C1500 0.130 0.97150+C1501 0.131 0.97149）1 解解：3 3其中最少有其中最少有2020人感染的概率有多大？人感染的概率有多大？150 x=20 P(x 20)=C150 x 0.13x(0.97)150-x =0.4879=1-C150 x 0.13x(0.97)150-x 19 0 解解：第二节 Poission分布及其应用 1.1 Poission 1.1 Poission 分布的概念和函数分布的概念和函数 1.2 Poission 1.2 Poission 分布的特征分布的特征 1.3 1.3 Poission Poission 分布的应用分布的应用 一、Poission分布的概念 和概率函数 Poission分布分布的概念的概念：Poisson分布分布是描述罕见事件发生次数的概率分布。是描述罕见事件发生次数的概率分布。如：出生缺陷、多胞胎、染色体异如：出生缺陷、多胞胎、染色体异常、常、细菌在单位面积的分布细菌在单位面积的分布等。等。Poisson分布可看作是二项分布的特例：分布可看作是二项分布的特例：独立重复的次数很大很大独立重复的次数很大很大 每次出现某事件的概率每次出现某事件的概率，或未出现，或未出现某事件的概率某事件的概率1-很小很小，接近于很小很小，接近于0或或1如如0.001或或0.999。举例：举例：1毫升水样品中大肠杆菌数目毫升水样品中大肠杆菌数目X的分布：的分布：将将1毫升水等分为毫升水等分为n个微小体积，这里个微小体积，这里n很大很大；很大很大；每每1个微小体积中大肠杆菌是否出现，相互独立；个微小体积中大肠杆菌是否出现，相互独立；第第1个微小体积中大肠杆菌出现的概率都是个微小体积中大肠杆菌出现的概率都是，且很小很小，且很小很小 想象：想象：每毫升水中大肠杆菌数目每毫升水中大肠杆菌数目X服从服从Poission分布分布 例：放射性物质一定时间内放射出质点数的分布例：放射性物质一定时间内放射出质点数的分布 1 1 1 1 1 1 时间时间 “n 很大、独立、概率都是很大、独立、概率都是 且很小的二项分布且很小的二项分布 -Poisson分布分布 注意：注意：举假设举假设n次观察互不独立，或发生的概率次观察互不独立，或发生的概率不等，不等，那么不能看作是那么不能看作是Poission分布。分布。举例：举例：传染性疾病的流行模型：首例病例出现后，便成为传染性疾病的流行模型：首例病例出现后，便成为传染原，可增加后继病例出现的概率。传染原，可增加后继病例出现的概率。污染牛奶细胞的播布：成集落存在及繁殖。污染牛奶细胞的播布：成集落存在及繁殖。钉螺在繁殖期一窝一窝的散布钉螺在繁殖期一窝一窝的散布 这些现象均不能用这些现象均不能用Poission分布这个理论模型处理分布这个理论模型处理 P