2023年行列式（教学课件）.ppt

Huainan Normal University 第第 零零 章章 内容概述及其根底知识内容概述及其根底知识 Huainan Normal University 第一、二课时第一、二课时 0.10.1高等代数内容概述高等代数内容概述 高等代数作为大学数学的根底课程，高等代数作为大学数学的根底课程，是中学代数的继续和提高，在中学数学教是中学代数的继续和提高，在中学数学教师的知识结构中占有重要地位，通过这门师的知识结构中占有重要地位，通过这门课程的学习，我们会发现它和中学代数有课程的学习，我们会发现它和中学代数有很大的不同，这种不同不仅表现在内容的很大的不同，这种不同不仅表现在内容的深度上。同时我们将会体会到由具体抽象深度上。同时我们将会体会到由具体抽象出一般概念然后回到具体事物去这种辨证出一般概念然后回到具体事物去这种辨证观点的逻辑推理方法，从中受到一次严格观点的逻辑推理方法，从中受到一次严格的数学训练，掌握一定的代数思想和代数的数学训练，掌握一定的代数思想和代数方法。这对提高学生的数学素养，为后继方法。这对提高学生的数学素养，为后继课程打好理论根底无疑是非常必要的。课程打好理论根底无疑是非常必要的。Huainan Normal University Huainan Normal University 高等代数内容组成高等代数内容组成 多项式理论多项式理论 线性代数理论线性代数理论 Huainan Normal University 教教 学学 内内 容容 和和 时时 间间 安安 排排 第一学期（第一学期（6464学时）学时）第二学期（第二学期（108108学时）学时）第第0 0章章 基础知识基础知识 6 6学时学时 第五章多项式第五章多项式 学时学时 第一章第一章 行列式行列式 1818学时学时 第六章第六章 线性空间线性空间 2626学时学时 第二章第二章 线性方程组线性方程组 1414学时学时 第七章第七章 线性变换线性变换 2626学时学时 第三章第三章 矩阵矩阵 1414学时学时 第八章第八章 矩阵矩阵 1010学时学时 第四章第四章 二次型二次型 1212学时学时 第九章第九章 欧氏空间欧氏空间 1818学时学时 Huainan Normal University 0.2 0.2 数学归纳法数学归纳法 教学目的和要求教学目的和要求 了解数学归纳法的理论依据，掌握数学归纳法了解数学归纳法的理论依据，掌握数学归纳法的理论证明，对各种不同类型的数学归纳法之间的的理论证明，对各种不同类型的数学归纳法之间的区别和联系有明确的认识，能熟练应用各种不同类区别和联系有明确的认识，能熟练应用各种不同类型的数学归纳法解决实际问题。型的数学归纳法解决实际问题。重点重点 熟练的论证熟练的论证或反证或反证一个抽象概念；往往一个抽象概念；往往是初学者需要认真训练的根本功。是初学者需要认真训练的根本功。难点难点 数学归纳的推导思想和证明过程的套路。数学归纳的推导思想和证明过程的套路。Huainan Normal University 一一数学归纳法的理论依据数学归纳法的理论依据 理论根据是自然数的皮雅诺理论根据是自然数的皮雅诺peano,1858peano,1858年年-19321932年，意大利数学家年，意大利数学家公理公理 皮雅诺公理：皮雅诺公理：公理公理1 1：1 1是一个自然数。是一个自然数。公理公理2 2：任何自然数的后继数也是自然数。：任何自然数的后继数也是自然数。公理公理3 3：没有两个自然数的后继数相同。：没有两个自然数的后继数相同。公理公理4 4：1 1不是任何自然数的后继数。不是任何自然数的后继数。公理公理5 5：如果一个自然数所组成的集合：如果一个自然数所组成的集合S S包包含含1 1，且当，且当S S包含任一自然数时，也一定包包含任一自然数时，也一定包含它的后继数，那么含它的后继数，那么S S就包含全部自然数。就包含全部自然数。Huainan Normal University 皮雅诺公理中的公理皮雅诺公理中的公理5 5，也就是第一归纳原理，也就是第一归纳原理，为了加强对这个原理的认识，我们将此原理重写为了加强对这个原理的认识，我们将此原理重写为以下形式。为以下形式。第一归纳原理：设第一归纳原理：设M M是自然数集合是自然数集合N N的一个子的一个子集，如果集，如果M M具有以下两条性质：具有以下两条性质：1 11 1在在M M中，中，2 2假设假设k k在在M M中，那么中，那么k+1k+1也在也在M M中，那么中，那么一切自然数都在一切自然数都在M M中。故中。故M=NM=N。当我们用第一归纳原理来证明一些对所有自当我们用第一归纳原理来证明一些对所有自然数都成立的数学命题时，常用以下方式，我们然数都成立的数学命题时，常用以下方式，我们用用P Pn n表示与自然数有关的命题，那么有第一表示与自然数有关的命题，那么有第一数学归纳法数学归纳法 Huainan Normal University 第一型数学归纳法第一型数学归纳法 设设P Pn n是与一切自然数有关的命题。如果是与一切自然数有关的命题。如果 1 1当当n=1n=1时，命题时，命题P P1 1成立；成立；2 2假设假设n=kn=k时，命题时，命题P Pk k成立，可推出成立，可推出n=k+1n=k+1时命题时命题p pk+1k+1也成立，那么命也成立，那么命P Pn n对一切自然对一切自然数数n n都成立。都成立。为了表达方便，我们把为了表达方便，我们把1 1称为递推起点，称为递推起点，2 2称称为递推过程，为递推过程，2 2中的假设称为归纳假设。中的假设称为归纳假设。Huainan Normal University 二二数学归纳法的证明数学归纳法的证明 数学归纳法的理论依据是皮雅诺算术公理，数学归纳法数学归纳法的理论依据是皮雅诺算术公理，数学归纳法的证明仍依赖自然数集的一个最根本的性质：最小数原理。的证明仍依赖自然数集的一个最根本的性质：最小数原理。最小数原理：自然数集最小数原理：自然数集N的任一非空子集的任一非空子集S都有最小数，即都有最小数，即存在存在mS，使得对于任意，使得对于任意pS，都有，都有mp。证明：设证明：设S是自然数是自然数N的非空子集，在的非空子集，在S中取一个自然数中取一个自然数m，那么那么S中包含两个集合，中包含两个集合，S1，S2。S1是是S中大于中大于M自然数集，自然数集，S2是是S中不大于中不大于M自然数集。在自然数集。在S2中最多有中最多有m个数，那么个数，那么S2为有限集合，因此在为有限集合，因此在S2中必有最小数中必有最小数q。由于。由于S1中的数都大中的数都大于于m，当然也大于，当然也大于q，于是，于是q是是S中最小数。中最小数。Huainan Normal University 由最小数原理可得：由最小数原理可得：定理：定理：第一型数学归纳法第一型数学归纳法设设P Pn n是与是与一切自然数有关的命题。如果一切自然数有关的命题。如果 1 1当当n=1n=1时，命题时，命题P P1 1成立；成立；2 2假设假设n=kn=k时，命题时，命题P Pk k成立，可推出成立，可推出n=k+1n=k+1时命题时命题p pk+1k+1也成立，那么命也成立，那么命P Pn n对对一切自然数一切自然数n n都成立。都成立。证明：用反证法。设证明：用反证法。设P Pn n不是对所有自然不是对所有自然数都成立，令数都成立，令S=s|S=s|命题对命题对s s不成立不成立，那么，那么S S是自是自然数然数N N的一个非空子集，由最小数原理知：的一个非空子集，由最小数原理知：S S中有中有最小数最小数m m，由条件，由条件1 1，m1m1，从而，从而m m-1N1N，由，由m m的取法，的取法，m m-1 1 S S，于是命题对，于是命题对m m-1 1成立，再由条件成立，再由条件2 2，命题对，命题对m m成立，因此成立，因此m m S S。矛盾。矛盾。Huainan Normal University 三三第二型数学归纳法第二型数学归纳法 有些与自然数有关的命题有些与自然数有关的命题P Pn n由于内容的内在由于内容的内在特点，命题特点，命题P Pk+1k+1不仅与命题不仅与命题P Pk k有联系，而且有联系，而且与命题与命题P Pk k，P Pk k-1 1，P Pk k-2 2，P P1 1中有中有某些命题有联系。这样，单从命题某些命题有联系。这样，单从命题P Pk k成立就推不成立就推不出命题出命题P Pk+1k+1成立。于是第一型数学归纳法对这类成立。于是第一型数学归纳法对这类命题的证明就无能为力了。为此我们有必要提出自然命题的证明就无能为力了。为此我们有必要提出自然数集构成性质的另一种表述形式：数集构成性质的另一种表述形式：第二归纳原理第二归纳原理 设设M M是自然数集是自然数集N N的一个子集。如果的一个子集。如果M M有以下两条性质：有以下两条性质：1 11 1在在M M里，里，2 2假设假设k k的自然数都在的自然数都在m m中那么中那么k+1k+1也在也在M M中，那中，那么一切自然数都在么一切自然数都在M M中，即中，即M=NM=N。Huainan Normal University 第二型数学归纳法第二型数学归纳法 设设P Pn n是与一切自然数有关的命题。如果是与一切自然数有关的命题。如果 1 1当当n=1n=1时，命题时，命题P P1 1成立；成立；2 2假设对假设对k k的自然数的自然数m m命题命题P Pm m都成都成立，可推出立，可推出n=k+1n=k+1时命题时命题p pk+1k+1也成立，也成立，那么命那么命P Pn n对一切自然数对一切自然数n n都成立。都成立。第一型数学归纳法与第二型数学归纳法第一型数学归纳法与第二型数学归纳法的根本区别就在归纳假设的不同。的根本区别就在归纳假设的不同。Huainan Normal University 四例题 设数列a1，a2，an，其中a1=3，a2=7，an=3an-1-2an-2n=3，4，试证通项公式an=2(n+1)-1用第二数学归纳法来证明：1当n=1时，a1=3，2(1+1)-1=3，所以对n=1时公式成立；2假设对nk时，公式成立，看n=k的情形，于是 ak+1=3ak-2ak-1=32k+1-1-22k-1=2k+1-1 因此对n=k+1公式也成立。这样对一切自然数n，an=2n+1-1都成立。Huainan Normal University 五五数学归纳法的其他形式数学归纳法的其他形式 1 1跳跃数学归纳法跳跃数学归纳法 当当n=1n=1，2 2，3 3，k k时，时，P P1 1，P P2 2P Pk k成立，成立，假设假设n=hn=h时时P Ph h成立，由此推得成立，由此推得n=h+kn=h+k时，时，P Pn n也成立，那么，根据对一切正整数也成立，那么，根据对一切正整数n1n1时，时，P Pn n成立。成立。2 2反向数学归纳法反向数学归纳法 设设P Pn n是一个与正整数有关的命题，如果是一个与正整数有关的命题，如果 P Pn n对无限多个正整数对无限多个正整数n n成立；成立；假设假设n=kn=k时，时，P Pk k命题成立，那么当命题成立，那么当n=kn=k-1 1时命题时命题P Pk k-1 1也成立，那么根据对一切也成立，那么根据对一切正整数正整数n1n1时，时，P Pn n成立。成立。0.30.3关于连加号关于连加号“naaa 21niia1iainniin122222321niiininnyxCyx0)(在数学中常常碰到假设干个数连加的式子 (1)为了简便起见，我们把(1)记成 (2)“称为连加号，表示一般项，而连加号上下 的写法表示 的取值由1到 。例如 Huainan Normal University (2)中的 称为求和指标，它只起一个辅助的作用，把(2)复原成(1)时，它是不出现的。譬如说，(