等势条件下两带电导体球的电荷分布.pdf

第卷第期大学物理 年月收稿日期：；修回日期：基金项目：福建省自然科学基金（）资助作者简介：吴志勇（），男，江西赣州人，厦门大学物理学系级本科生通信作者：曹秀凤，：等势条件下两带电导体球的电荷分布吴志勇，曹秀凤（厦门大学 物理学系，福建 厦门）摘要：本文通过多重镜像法求解了等势条件下两个带电导体球的电荷分布问题，主要关注两球的电荷量以及平均面电荷密度随两球半径和两球间距的关系通过选择合适的坐标，给出两导体球接触时，级镜像电荷电量和位置的通式，及总电量的解析表达式研究发现，当两导体球直接接触时，两球所带的电荷量可以严格求解，并给出了两球的电荷量之比表达式随着两等势导体球间距的增大，两球所带的电荷量之比趋于半径之比本文还讨论了一个导体球的半径趋于的极限情况，小球与大球的电荷量之比趋于，平均面电荷密度之比在两球不直接接触时趋于无穷大，而在两球直接接触时趋于 关键词：导体球；镜像法；电荷分布；电荷量；面电荷密度中图分类号：文献标识码：文章编号：（）【】两导体球模型作为静电学中最为简单的模型之一，其静电学特性受到了大量学者们的关注高欣等人研究了两个完全相同的导体球在均匀电场中的电场分布和相互作用，发现当两球十分接近时，在两球间隙中会产生很强的局部电场，而两球间相互作用也会随着间隙的减小而急剧增大严雪飞计算了多个带电导体球之间的相互作用力，发现带同种电荷的两个导体球的直接相互作用可以是互相吸引的李雪梅则是关注两个带电导体球的表面电荷分布情况，发现两个带电导体球表面电荷分布取决于带电球电荷量、球的半径、球心之间距离等以前的诸多研究都是已知导体球的带电荷量，求解相互作用力和电场分布本文关注个等势导体球，通过多重镜像法求解其电荷量分布及平均面电荷密度分布，讨论两球半径和两球间距对电荷分布的影响，并讨论了一个导体球的半径趋于时的极限情况多重镜像法在镜像法中，点电荷导体球体系是最基本的模型之一，如图所示在该模型中，导体球的电荷分布可以由镜像电荷等效，球外点电荷对应的镜像电荷在球内，且在球外点电荷与球心的连线上，其电势与球外电Copyrirrg图点电荷导体球模型荷对球面的电势之和为，球面的电势仅由位于球心处的另一个镜像电荷提供镜像电荷的大小和位置为，（）其中，为球的半径，为球外点电荷到球心的距离，为镜像电荷到球心的距离而为了使球面的电势为，位于球心的镜像电荷需满足条件：（）也即（）其中，为真空介电常量记 ，则式（）可改写为（）对于个导体球和组成的体系（互相在另一球外），在两球的电势已知的情况下，可以在两球 大学物理第卷的球心处分别放置等效镜像电荷和，它们的大小满足为自己所在的球提供已知电势的条件，即式（）但是，球中心的镜像电荷会影响球的电势，球中心的镜像电荷也会影响球的电势，于是，需要在球和球中放置等效镜像电荷，记为级镜像电荷（球心处的镜像电荷记为级镜像电荷）以抵消另一个球心处的级镜像电荷的影响，然而，级镜像电荷仍会影响另一个球的电势，所以需要再放置级镜像电荷，以此类推以上是导体球体系的多重镜像法原理，本文使用此方法，求解每个球内部的镜像电荷之和（无穷级数），进而得到两导体球在已知电势情况下的电荷分布模型与理论两导体球直接接触如图所示，个半径分别为和的导体球直接接触，它们具有共同的电势根据式（），两球内的级镜像电荷大小分别为 和 记两球内级（，）镜像电荷电量分别为和这里特别指出，为了写出镜像电荷电量与镜像电荷位置的通式，本文推导中出现的距离和的定义不同于式（）：我们把和定义为对应的镜像电荷与两球外缘接触点的距离（见图），这样递推式中分子上的平方项或平方项被约掉，分子出现的是或的一次方项整理后，得到以下初始条件和递推关系：，p（），（）分析式（）和（）中电荷量和，发现（）和（），由数学归纳法得（），（）（）接下来，通过计算和的通式，进而得到和的通式对式（）的第行取倒数，我们得到和，在的表达式中代入，得到CopopyCyprCrigighhtrityitoitohtyhtrh图两导体球直接接触的模型的递推关系式，同理得到的递推关系式结合，考虑分别为奇偶的情况，得到和的通式为：（），为偶数（）（），为奇数（）（），为偶数（）（），为奇数（）根据式（），得（），为偶数（）（），为奇数（）（），为偶数（）（），为奇数（）导体球的总电荷量等于所有镜像电荷的电荷量之和，容易证明级数 和 是收敛的于是，通过软件计算无穷级数，得到两球的总电荷量为 riCo（）riCo（）式中，为欧拉常数（），（）为双伽马函数（函数）第期吴志勇，等：等势条件下两带电导体球的电荷分布 由此得出，两导体球直接接触时电荷量之比为riri（）而两球的平均面电荷密度之比为riri（）接下来考虑一个导体球的半径趋于的极限情况设，由双伽马函数的性质（）和（）知式（）的结果为，而式（）是一个不定式，其结果为，这也是级数 的收敛值，下面给出证明由于级数 和 是收敛的，我们可以有 （）和 （），根据式（）和（），再分别除以两导体球各自的表面积并化简，得到两球的平均面电荷密度分别为（）ri（）（）（）ri（）（）在的情况下，有以及，于是得（）（）（）（）ri（）所以，两导体球的平均面电荷密度之比为 （）当电势一定，时，导体球带电荷量，模型退化为单导体球的模型，此时导体球的面电荷密度由计算可知当从有限大小趋于时，面电荷密度趋于有限值此结果说明时，是以的二次幂趋于，以保证趋于有限值两导体球不直接接触如图所示，考虑两导体球有一定距离的一般情况，图中虚线表示细导线，导线连接个导体球以保证等势条件该模型的初始条件仍为式（），但递推关系变为，（），（）（）根据式（）和（），无法得到和的通式，所以也无法求出和的解析表达式但是，可以运用计算机进行数值模拟，在取足够大的时，和 完全可用来表示和，进而计算出两导体球的电荷量和平均面电荷密度分布CopopyCyprCrigighhtrityitoitohtyhtrh(图两导体球不直接接触的模型画图与分析在解析表达式（）和（）中，影响电荷量及面电荷密度的物理量是（）或者（），同时为方便讨论和（及和）的极限情况，本文选择（）作为横坐标记（），则式（）变为（）（）（）若导体球的电荷量分布与半径的次幂成正比，则两球的电荷量之比可以表示为（）（）如图所示，将式（）与（）（取，）画在同一坐标轴内进行比较 大学物理第卷图两导体球直接接触时的电荷量之比我们发现，所有的曲线都相交于（，）这一点，即两球半径相等时，电荷量被两球均分式（）的曲线处于式（）的 和 的情况之间，它的中段与 的情况基本重合于是，在与相差不大时，可以近似地认为：两导体球直接接触时，所带电荷量之比近似为半径之比的次幂显然，在一个导体球的半径趋于的情况下，小球与大球的电荷量之比趋于将代入式（），得（）（）（）（）作图，得到两导体球直接接触时的平均面电荷密度分布，如图所示CCopCoyrroirogroproyCorCoiCohCogCotCopCo(CoyCocr)2)0-BCoteBrjC-in2pFjr-p2inF图两导体球直接接触时的平均面电荷密度之比从图中可看出，半径更小的导体球平均面电荷密度更大，这是因为对于达到静电平衡的导体，曲率越大的地方面电荷密度越大另外，当一个导体球的半径趋于时，小球与大球的平均面电荷密度之比趋于，这与节中的结果一致对于个导体球不直接接触的情况，取 ，通过计算 和 得到和的近似值，从而得到不同间距下两导体球的电荷量和平均面电荷密度分布在图中画出了分别为，和倍的（）情况下以及 情况下两导体球的电荷量分布我们发现，随着两球间距的增大，两球所带的电荷总量之比趋向于半径之比，这是因为在两球距离足够远的情况下，静电感应现象可以忽略而在一个导体球的半径趋于的情况下，小球与大球的电荷量之比总是趋于oounonudodueoroeuo no do eo ro uo Eo lo co tnricrs Co u.,iL,sA Co Cu.,iL,sA Cdo.,iL,sAgho uvhnri;rs=,i;,s图不同间距下两导体球的电荷总量之比对应地，两球的平均面电荷密度分布如图所示我们发现，只有在 的情况下，曲线两端的值才会是非的有限值；而在时，在一个导体球的半径趋于的情况下，小球与大球的平均面电荷密度之比趋于无穷大图不同间距下两导体球的平均面电荷密度之比结论通过选择合适的坐标，本文给出了两导体球接触时，级镜像电荷电量和位置的通式并通过无穷级数的计算，我们得到个导体球直接接触时的电第期吴志勇，等：等势条件下两带电导体球的电荷分布 荷量的解析表达式，并给出电荷量分布的比值关系：riri riri此关系与直觉上的“电荷量根据半径或半径的次幂分布”大相径庭分析结果可知，在两导体球半径相差不大时，电荷量之比近似为半径的次幂，即：而随着两球间距的增大，两球所带的电荷量之比趋向于半径之比另一方面，在一个导体球的半径趋于的情况下，小球与大球的电荷量之比总是趋于；若是两球间距，小球与大球的平均面电荷之比趋于，即级数 的收敛值；而若是，小球与大球的平均面电荷之比则会趋于无穷大参考文献：，（）：严雪飞特殊的电像法研究多个导体球的相互作用大学物理，（）：李雪梅带电双导体球之间的表面电荷分布闽江学院学报，（）：郭硕鸿电动力学 版北京：高等教育出版社，：李鑫，矫滕菲，孙敏，等多重镜像法求解三带电金属球的电场大学物理，（）：，：王竹溪，郭敦仁特殊函数概论北京：北京大学出版社，：，（，）：，：；