“动”与“静”比翼%2C“数”与“形”双飞——一道椭圆题的探究.pdf

“动”与“静”比翼“数”与“形”双飞 一道椭圆题的探究龙祁林(湖北省十堰市东风高级中学湖北十堰)摘 要:平面解析几何中的最值问题往往可以很好地融入“动”与“静”而解决问题时又可以体现“数”与“形”成为高考命题的一个重要场景.本文结合一道高考模拟题并结合“动”与“静”的场景从“数”与“形”两个视角切入展示不同的解题思维与技巧方法指导教师的数学教学与学生的学习以及数学解题研究.关键词:椭圆最值函数几何变式 涉及平面解析几何中参数、代数式等的最值问题一直是高考数学试卷中的一个熟悉“面孔”难度中等及以上.此类问题可以有效综合点、直线、圆、圆锥曲线等相关元素合理交汇其他相关知识题目新颖背景生动“动”“静”结合融合度高变化多端形式各样.而解决问题时又可以“数”“形”转化给考生以更多的视角与机会充分体现试题的选拔性与区分度备受各级各类考试的命题者青睐.问题呈现 问题:(届广东省佛山市普通高中教学质量检测(二)高三数学试卷(佛山二模 年 月)已知、分别为椭圆 的左、右焦点 是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点则 的最大值为 .此题以椭圆为背景结合定直线上的动点与两焦点所对应的张角的确定以“动”态视角展示结合“静”态观点来确定其正弦函数值的最值问题“动”与“静”巧妙融合定值与最值合理联系.在实际解决问题时主要从以下两个方面来展开与应用一方面可以从“数”的视角切入利用函数思维来进行数学运算与推理应用往往直译题设条件结合运算来进行逻辑推理与分析另一方面也可以从“形”的视角切入利用几何思维来进行数形结合与直观应用往往探寻结论条件结合几何直观来进行推理分析与应用.问题破解.思维视角一:函数视角 方法:(正切函数法)解析:依题知()()椭圆右顶点()设过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点()不失一般性不妨设 结合三角函数的定义以及三角恒等变换公式有()当且仅当 即 时等号成立由于 在中 结 合 余 弦 定 理有()()()()数学之友 年第 期.()()当且仅当即 时等号成立由于 在中 利 用 张 角 定 理可 得 结合三角函数的定义则有 ()()当且仅当 即 时等号成立所以 的最大值为.解后反思:函数思维解法是处理此类问题的“通性通法”通过动点坐标的设置利用距离公式等转化相应线段的长度或从正切函数入手通过三角函数的定义以及三角恒等变换公式来构建三角函数值的关系式或从余弦函数入手通过余弦定理来构建三角函数值的关系式或从张角定理入手通过张角之间的关系构建对应的正弦函数关系式等进而结合关系式的结构特征通过基本不等式或二次函数的图象与性质等方法来确定对应的最值.函数思维法的关键在于构建相应的函数关系式“数”算最值条件进而转化为函数与方程问题来解决.思维视角二:几何视角 方法:(正弦定理法)解析:依题知()()椭圆右顶点()设过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点()不失一般性不妨设 在 中 设其外接圆半径为 结合 正 弦 定 理有 设的外接圆圆心为()点 是圆 与直线 的公共点如图所示则有 则当即 时此时 取得最大值.方法:(圆的几何性质法)解析:依题知()()椭圆右顶点()设以 为弦的圆与直线 相切于点如图所示当点 与点 不重合时与圆相交于点 连接 则 有 所以当点 与点重合即对应的圆的半径 时取得最大值此时 取得最大值结合正弦定理有 即 的最大值为.解后反思:几何思维解法是处理此类问题的“巧技妙法”展现的就是“米勒定理”问题通过几何图形的直观视角结合正弦定理以及圆的几何性质等加以逻辑推理与数形结合这里合理构建对应的圆数学之友 年第 期 是解决问题的过渡点与“桥梁”进而确定对应张角的最大位置与三角函数值的最值.几何思维法的关键在于构建相应的几何直观图形“形”看最值条件结合几何图形的基本性质加以分析与应用.教学启示.“动”与“静”结合“数”与“形”转化 破解平面解析几何中的代数关系式、三角函数值等的定值、最值(或取值范围等)相关问题时基于动点、动直线等要素对应的题设中点、直线、圆等相关元素的变化运动规律“动”中取“静”确定相关定值、最值(或取值范围等)的位置点.解决问题时可以从“数”的视角通过相关几何元素中抽象数学关系结合关系式或不等式的建立以代数方式来处理或从“形”的视角通过平面几何图形中归纳运动规律结合几何特征来分析以几何方式来处理.开展“一题多解”实现“一题多得”年发行的中国高考评价体系为今后的高考试题改革指明方向其中包括“高考试题要体现基础性、综合性、应用性和创新性”等为高考命题与高中教学提供更加直接有效的方向.这就要求教师在平时的教学与解题研究中在强化学生对数学基本概念、基础知识、基本方法与基本技能等方面训练的基础上以习题的“一题多解”探究为载体开阔学生解题视野使他们熟练掌握更多解题方法并在此基础上做到深度学习进行合理的“一题多变”达到“一题多得”等目的总结解题规律有效避免题海战术真正有效培养学生的逻辑思维能力、数学运算能力和创新应用能力等.(上接第 页)其次促进向量知识与其他知识点的融合.向量是高中数学中最为重要的知识点也是一种非常重要的解题工具.为了提升学生运用向量知识解决问题的能力教师不仅要讲授基础知识包括向量概念、运算公式、定理知识还应将向量与其他知识点连接起来引导学生在知识点的整合和联系中掌握运用向量法解题的技巧.同时在这一过程中还应围绕个别题目进行总结使得学生亲身感悟向量解题的优势另一方面促进向量知识与其他知识点的融合可帮助学生形成系统化的知识体系锻炼学生的解题思维强化其数学工具应用意识.再次重视向量概念加强向量解题教学.在培养学生运用向量法解题的能力时学生对向量概念的认知情况直接决定了向量法解题效果.鉴于此在培养学生运用向量法解题的能力时必须要关注向量概念充分借助多媒体技术以便于学生更好地理解向量本质.同时还应以向量概念为中心为学生创设一些问题情境引导学生运用向量知识进行解答使其在运用向量知识多角度解题的过程中逐渐掌握这一技能.最后培养学生运用向量法解题的能力.向量解题过程中常常需要经历一个复杂的思维流程.因此在高中数学课堂中为了强化学生运用向量法解题的能力还应有意识地培养学生的向量解题思维与能力如识别与归类、分析与综合、变化辩证等全面提升学生的向量解题能力.结束语 综上所述向量知识兼具代数和几何形式不仅仅是高中数学中的重要知识点也是一种非常重要的解题工具适用于各种类型的数学题目的解答.经向量解题实践证明通过向量法在实际教学中的应用有效简化了原有的题目类型拓展了学生的解题思路使得学生在灵活解题中提升了自身的数学综合素养.因此高中数学教师唯有重视向量知识教学并基于向量内涵全面培养学生运用向量知识解决问题的能力.参考文献:邓让社.高中数学解题中向量法的运用.数理天地(高中版)():.童建福.简析向量法在高中数学解题中的应用.数理天地(高中版)():.吴丽端.向量法在高中数学解题中的应用策略.数理化解题研究():.徐波.探讨向量法在高中数学解题中的应用.试题与研究():.王鹏云.高中数学解题中向量方法的应用.中学生数理化(学习研究)():.数学之友 年第 期