第22届亚洲物理奥林匹克竞赛理论第3题介绍与解答.pdf

物理与工程 V o l.3 3 N o.3 2 0 2 3大中衔接第2 2届亚洲物理奥林匹克竞赛理论第3题介绍与解答李文华1,2 刘丽飒1,2 惠王伟1,2 钱 钧1,2 宋 峰1 孔勇发1,2(南开大学1物理科学学院;2基础物理国家级实验教学示范中心,天津 3 0 0 0 7 1)摘 要 第2 2届亚洲物理奥林匹克竞赛理论部分共三道题目,第三题主要围绕瑞利散射的推导路线展开,考查了偶极子振荡、光的传播以及量纲分析等知识点,本文主要对理论第三题的命题和解答进行介绍。关键词 瑞利散射;量纲分析;偶极子振荡;亚洲物理奥林匹克竞赛I N T R O D U C T I O N A N D A N S WE R S T O Q U E S T I O N 3 I N T H E T H E O R Y P A R T O F T H E 2 2 N D A S I A N P H Y S I C S O L YMP I A D E X P E R I ME N T E X AML I W e n h u a1,2 L I U L i s a1,2 H U I W a n g w e i1,2 Q I A N J u n1,2 S O N G F e n g1 K O N G Y o n g f a1,2(1 S c h o o l o f P h y s i c s;2 N a t i o n a l D e m o n s t r a t i o n C e n t e r f o r E x p e r i m e n t a l P h y s i c s E d u c a t i o n,N a n k a i U n i v e r s i t y,T i a n j i n 3 0 0 0 7 1)A b s t r a c t T h e r e a r e t h r e e t o p i c s i n t h e t h e o r y p a r t o f t h e 2 2 n d A s i a n P h y s i c s O l y m p i a d.T h e t h i r d t o p i c f o c u s e s o n t h e d e r i v a t i o n r o u t e o f R a y l e i g h s c a t t e r i n g,e x a m i n e s k n o w l e d g e p o i n t s s u c h a s d i p o l e o s c i l l a t i o n,l i g h t p r o p a g a t i o n a n d d i m e n s i o n a l a n a l y s i s.T h i s p a p e r m a i n l y i n-t r o d u c e s t h e p r o p o s i t i o n a n d s o l u t i o n o f t h e t h i r d t h e o r e t i c a l t o p i c.K e y w o r d s R a y l e i g h s c a t t e r i n g;d i m e n s i o n a l a n a l y s i s;d i p o l e o s c i l l a t i o n;A s i a n P h y s i c s O l y m p i a d收稿日期:2 0 2 3-0 1-0 8基金项目:2 0 2 0高等学校教学研究项目(D J ZW 2 0 2 0 1 0 h b),南开大学“四新”专业课程改革项目(2 1 NK S Y S X 0 2),2 0 2 2年南开大学实验课程改革项目 开放实验类(2 2 NK S Y K F 0 2)。作者简介:李文华,女,实验师,主要研究方向为非线性光学和物理实验教学,l i w e n h u a n a n k a i.e d u.c n。通讯作者:刘丽飒,女,副教授,主要研究方向为物理实验教学与激光,l i s a l i u n a n k a i.e d u.c n。引文格式:李文华,刘丽飒,惠王伟,等.第2 2届亚洲物理奥林匹克竞赛理论第3题介绍与解答J.物理与工程,2 0 2 3,3 3(3):1 1 5-1 1 9.C i t e t h i s a r t i c l e:L I W H,L I U L S,HU I W W,e t a l.I n t r o d u c t i o n a n d A n s w e r s t o Q u e s t i o n 3 i n t h e T h e o r y P a r t o f t h e 2 2 n d A s i a n P h y s-i c s O l y m p i a d E x p e r i m e n t E x a mJ.P h y s i c s a n d E n g i n e e r i n g,2 0 2 3,3 3(3):1 1 5-1 1 9.(i n C h i n e s e)2 0 2 2年5月2 3日至3 1日,南开大学物理科学学院率领中国代表队参加了由印度主办的第2 2届亚洲物理奥林匹克竞赛(A s i a n P h y s i c s O l y m-p i a d,简称A P h O)。参赛的8名中学生获得7金1银的好成绩,并取得团体总分第一、理论第一和女生第一的优异成绩。比赛采取线上方式举行,理论试题有三 道大题,分别 为S t e r n-G e r l a c h实验,相 变 的 力 学 模 型(A M e c h a n i c a l M o d e l f o r P h a s e T r a n s i t i o n s)和麦克斯韦、瑞利与珠穆朗玛峰(M a x w e l l,R a y l e i g h a n d M o u n t E v e r e s t)1。理论试题总分3 0分,每题各计1 0分。本文主要对理论试题第3题的命题和解答进行介绍,并对题目间的联系以及中国学生的答题情况进行了简单的分析。1 试题1 8 9 7年,瑞利勋爵访问了印度的大吉岭(D a r-j e e l i n g)。他在远眺1 7 0 k m外的珠穆朗玛峰时,想起了2 6年前詹姆斯麦克斯韦提出的关于光511物理与工程 V o l.3 3 N o.3 2 0 2 3在空气中衰减以及遥远山峰的可见度的问题。两年后的1 8 9 9年,瑞利勋爵在研究了这个问题后,他发表了一篇著名的论文2。本题中我们试图重构,或至少部分重构一个现代版的瑞利的推导路线图。电子云的振荡建立如下模型:在此模型中考虑经典的中性气体分子,该中性气体分子可视为静止的正电荷q被质量为m、半径为r、电量为-q的均匀球形电子云环绕。分子本征振动角频率为0,当以电场矢量为 Et =E0c o s(t)y的光照射到该分子上时,环绕正电荷 q的电子云会以频率振荡,振荡形式如下y=y0c o s(t)此处,y代表分子中的静止正电荷与负电子云中心之间的距离。A.1 设电场导致的加速度大小用E(t)q/m表示,试建立y的运动方程。(0.5分)A.2 基于上面给出的信息,求解y的运动方程;并求出振幅。(0.5分)A.3 在 0条件下,求出气体分子的电偶极矩的大小p(t)关于时间t的表达式。(0.5分)A.4 求出0关于q、m、r的表达式。(0.5分)辐射功率:随时间正弦变化的电偶极子会辐射电磁波。辐射功率依赖于偶极矩的振幅p0=q y0、真空介电常数0、光速c和振荡频率。B.1 运用量纲分析,求出平均辐射功率s关于上述这些物理量的表达式。(1分)B.2 令上述表达式中的常数因子为1/1 2。在 0条件下,求辐射功率 s的表达式,用E0、0、及相关物理量表示。(0.2分)强度的衰减I(x):电磁波的强度为12c 0E20,电磁波的强度会随着光的传播而衰减,单位体积损耗的功率为S=n0s其中,n0为单位体积内的分子数。C.1 建立模型,推导出强度I(x)随传播距离x变化的微分方程。(1分)C.2 设初始强度为I0,求出强度I(x)关于距离x的函数表达式,用一个与强度下降相关的特征长度L来表征。(0.5分)C.3 设m为一个电子的质量(通常只有一个电子构成电荷云),并且利用下面的参数n0=2.5 4 1 02 5m-30=1.2 5 1 01 6r a ds-1=3.2 5 1 01 5r a ds-1求得L的数值(以k m为单位)。(0.3分)D.1 观测者看到的山峰的高度H:图1中P点表示大吉岭(D a r j e e l i n g),大吉岭是喜马拉雅山脉东部的一个小山岗,其海拔高度h=2 0 4 2 m。线段B S表示珠穆朗玛峰,其距大吉岭的距离d=1 7 0 k m,高度H=8 8 4 8 m。另一座山峰干城章嘉峰(图 中 未 显 示)距 离 大 吉 岭7 5 k m,高 度 为8 5 8 6 m。依据以上提到的物理量,假定观测者无法看到视平线以下,求出大吉岭上的观测者看到的这些山峰相对观测者而言的视竖直高度H的表达式和数值。画出合适的图。已知地球半径R为6 3 7 8 k m。图1 地表圆弧上坐落着高度H的山峰B S和高度为h的观测点P。注意,此图并未按比例绘制E.1 以在大吉岭上观测到的干城章嘉峰的光强为参考值,则从大吉岭上看,珠穆朗玛峰相对于干城章嘉峰的光强度是多少?在这个问题中,我们忽略了空气分子数密度随高度的变化。如果光强度为参考值的5%或更高,则该山峰可以被看见。试问,在大吉岭上能看到珠穆朗玛峰吗?(1分)F.1 气溶胶污染的衰减长度Lp:以上,我们计算了与空气分子散射导致的光强度下降有关的特征长度L。现在我们关注与气溶胶颗粒(污染)导致的光强度下降有关的特征长度Lp。Lp取决于粒子数密度n和半径为r的气溶胶颗粒的横截面积r2。利用物理推导和量纲分析来获得这种依赖关系。无量纲常数取为1/8。假设大吉岭上轻度污染时的平均气溶胶密度为p=5g/m3,气溶胶颗粒的平均半径为5 0 0 n m。则特征长度Lp为多少?取单个气溶胶粒子的密度为=3 g/c m3。注意1g=1 0-9k g,1 n m=1 0-9m。611物理与工程 V o l.3 3 N o.3 2 0 2 3G.1 干城章嘉峰和珠穆朗玛峰的相对强度和能见度:在上述污染水平下,分别估算干城章嘉峰和珠穆朗玛峰的相对于参考值的相对强度。在大吉岭上是否可以看到哪座山峰?假设污染在光的传播路径上是均匀的。2 试题解答2.1 A部分 电子云的振荡此部分以光场与物质分子的相互作用为主题,从微观角度,将气体分子视为电偶极子3:8 3-8 4,在没有外电场作用时,电子云(见图2)以本征频率0作简谐振动,则电子云的本证振荡可表示为y=yac o s(0t)(1)由题设可知,在有外电场时,电子云的运动方程即y的运动方程为y=-20y-q E0mc o s(t)(2)将有外电场干扰下的电子云的位移y=y0c o s(t)代入式(2)可得-2y0c o s t =-20y0c o s t -q E0mc o s(t)(3)进一步得到振幅为y0=q E0m(2-20)(4)则在外电场的作用下,电子云的运动方程为y(t)=y0c o s t =q E0c o s(t)m(2-20)(5)分子的电偶极矩为p=q y,且在0条件下,电偶极矩的大小随时间的变化为pt =qyt =qq E0c o s t m 2-20 q2E0m 20c o s(t)(6)对于近似下的空气分子,中心正电荷对球形电子云的静电力可以表示为Fe l=myy=-m 20yy(7)而正负电荷间的库仑力相等,考虑正电荷在电子云电场中的受力,此时由高斯定理4可知Fe l=qE-y =q4 y3/34 r3/3(-q)14 0y2y=-q24 0r3yy(8)图2 电子云示意图联立式(7)和式(8)可以得到 分子 的 本 证 振 动频率为0=q4 0m r3(9)2.2 B部分 辐射功率在国际单位制(S I)下,功率的量纲为s =k gm2s-3(1 0)偶极矩的量纲为p0 =Cm(1 1)其中,C为库伦,角频率的量纲为 =s-1(1 2)0的量纲为0 =C2N-1m-2=C2k g-1m-3s2(1 3)光速c的量纲为c =ms-1(1 4)假设功率s=p00c,即s =p0 0 c (1 5)可以得到四个方程+2=0-3+=2-2+=-3-=1 (1 6)从而可以解得=2=4=-1=-3 则平均辐射功率s可以表示为s=kp2040c3(1 7)其中,k为常数。若k=11 2,在 0时,p0=q2E0m 20,则此时功率为711物理与工程 V o l.3 3 N o.3 2 0 2 3s=11 2 p2040c3=11 2 q4E20m20c3440(1 8)2.3 C部分 强度的衰减如图3所示,假设 光照射区域 的横截面 积为A,长度为x,入射光强为I(x),透射光强为I(x+x)。则经过该部分大气后,光强的损耗为I x A-I x+x A=SAx=n0sAx (1 9)则强度随传播距离x的变化的微分方程为-dIdx=n0s(2 0)已知sE20,同时IE20,则将式(2 0)改写为-dIdx=IL(2 1)可知L=6 20m2c4n0q40 4(2 2)若初始光强为I0,则方程(2 1)的解为I x =I0e-x/L(2 3)将m=9.1 11 0-3 1k g,n0=2.5 41 02 5m-3,0=1.2 51 01 6r a ds-1,=3.2 51 01 5r a ds-1代入式(2 2)得L1 3 0 k m。图3 光强衰减示意图2.4 D部分 山峰的高度由题设知观测者看不到其视平线以下的内容,则由图1作出如图4的几何图,其中B P代表大吉岭P上观测者的视平线,由P向S延伸的虚线代表观测者望向珠穆朗玛峰的视线,则B S 表示观测者眼中珠穆朗玛峰的高度H。由图4可知,B S S 和O S P为相似三角形,则可以得到B S OP=B SO S=1-O B O S(2 4)则图4 山峰高度几何关系图H=O P1-O B O S =R+h 1-R+hc o s R+H 山峰 间 的 距 离dR,则1/c o s()=s e c 且s e c 1+2/2,d/R。山 峰 的 视 觉 高 度H 为H R+h-R+h)2 R+H1+d22R2 (2 5)代入数据得到从大吉岭上看珠穆朗玛峰的高度为H 1=4 5 3 5 m,干城章嘉峰的高度为H 2=6 0 9 7 m。图5 从大吉岭观看两座山峰示意图2.5 E部分 山峰的可见度此题要求以干城章嘉峰的能见度为参考点,比较两座山峰作为点光源的光传播到大吉岭处光强的相对强度。如图5所示,考虑珠峰的光传到大吉岭处,除了空气分子的散射耗散外,还有球面波传播的特征3:3 7-3 9,即若光源的出射功率为P0,则在没有损耗的情况下距光源d处某一点的光强为I0=P0/4 d2,在同时考虑两者的影响时,距离光源d处的光强可以表示为I=P04 d2e x p-dL (2 6)从大吉岭上看到的珠峰强度相对干城章嘉峰的强度为I1I2=d22d21e x pd2-d1L (2 7)代入数据得到I1/I2=9.3%5%,所以在大吉岭811物理与工程 V o l.3 3 N o.3 2 0 2 3上可以看到珠峰。2.6 F部分 气溶胶特征长度与B部分的量纲分析类似,可以得到气溶胶的特征长度Lp与粒子数密度n和颗粒半径r的关系为Lp=18nr2(2 8)已知气溶胶的平均密度p=n43r3,为气溶胶颗粒密度,将数据代入式(2 8)可得Lp=r6p=5 0 0 1 0-9m3 1 03k g/m365 1 0-9k g/m3=5 0 k m2.7 G部分 山峰相对强度和能见度此部分内容可以说是E部分的延伸,在大气分子的基础上加上了污染颗粒的影响,此时式(2 6)变为I=P04 d2e x p-dL-dLp (2 9)则干城章嘉峰相对参考值的强度为I 2I2=e x p-d2Lp =0.2 2(3 0)珠穆朗玛峰的相对强度为I 1I2=0.0 9 3e x p-d1Lp =0.0 0 3(3 1)可见在大吉岭上只能看到干城章嘉峰。3 分析讨论理论试题3考查内容相对来说比较简单,物理知识背景为瑞利散射3:1 1 1-1 1 3,即分子量级颗粒对光的散射损耗,正如题目开始说的,题目部分重构了一个现代版的瑞利的推导路线图。题目A部分从分子的偶极子模型入手,让答题者先推导出分子在外电场中的极化关系,从而得到分子的偶极矩。B部分提出运用量纲分析求出分子的平均辐射功率的物理表达式,运用量纲分析较易推导出结果。C部分由功率转到光的强度,在C.1建立了光强的衰减模型后,剩下的就相对简单。D部分为位置几何关系的考查,考生需明白题中所说的视平线和视竖直高度的含义。E部分主要是C部分理论的应用,此部分只考虑空气分子对光的散射损耗。F重复使用B.1中的量纲分析方法,引出气溶胶对光的散射参量。G在E和F的基础上引入除空气分子外其他小颗粒对光强散射耗散的影响。其中C部分可以说是瑞利散射的核心理论,而E、F和G部分都是瑞利散射结论的应用。各个小题之间的联系如图6所示。图6 各题目间连系框图中国参赛学生在A.3C.3、F.1各题中均拿到满分,而在A.1A.2部分,个别学生因为没有考虑电荷的正负而被扣掉一些分数;在D.1题,部分学生因为误将图4中B S作为山峰的可视高度而失掉0.5分,在E.1中只有一位学生考虑了球面波随距离平方衰减的因素,在G.1部分,大部分同学因为数值计算错误而失掉0.1分。4 结语本文对第2 2届亚洲物理奥林匹克竞赛理论第三题的命题和解答进行了详细介绍,并对题目间的连系和中国参赛学生的答题情况进行了简单分析。题目内容主要为瑞利散射理论,同时考查了量纲分析的应用。在本科物理教学中,光的散射部分讲解较少,若将此题目作为课程作业应用于本科的光学教学,相信学生可以通过此题目对瑞利散射理论有一个更好的理解。参 考 文 献1 h t t p s:/a p h o 2 0 2 2.i n/q u e s t i o n s-a n d-s o l u t i o n s/Z/O L(2 0 2 2-0 6-1 0).2 0 2 2-0 7-1 5.2 RAY L E I GH L.X X X I V.O n t h e t r a n s m i s s i o n o f l i g h t t h r o u g h a n a t m o s p h e r e c o n t a i n i n g s m a l l p a r t i c l e s i n s u s p e n-s i o n,a n d o n t h e o r i g i n o f t h e b l u e o f t h e s k yJ.T h e L o n-d o n,E d i n b u r g h,a n d D u b l i n P h i l o s o p h i c a l M a g a z i n e a n d J o u r n a l o f S c i e n c e,1 8 9 9,4 7(2 8 7):3 7 5-3 8 4.3 HE C HT E.光学M.5版.秦克诚,林福成,译.北京:电子工业出版社,2 0 1 9:8 3-8 4.4 贾瑞皋,薛庆忠.电磁学M.2版.北京:高等教育出版社,2 0 1 1:2 1-2 5.911