带线性记忆和结构阻尼的非自治Kirchhoff型板方程的一致吸引子.pdf

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2023,36(4):831-844带线性记忆和结构阻尼的非自治Kirchhoff型板方程的一致吸引子徐玲,白雪,张娟娟(西北师范大学数学与统计学院,甘肃 兰州 730070)摘要：本文试图研究带线性记忆和结构阻尼的非自治Kirchhoff型板方程的一致吸引子的存在性.为此,引入一个新的变量,将先验估计与收缩函数的方法相结合,证明一致有界吸收集和一致渐近紧性,最终得到一致吸引子的存在性.关键词：板方程;线性记忆;结构阻尼;Kirchhoff型;一致吸引子中图分类号：O175.8AMS(2010)主题分类：35B40;35B41;35Q35文献标识码：A文章编号：1001-9847(2023)04-0831-141.引言本文研究具有线性记忆和结构阻尼的非自治Kirchhoff型板方程utt+2u+2ut+u+0(s)2(u(t)u(t s)ds+(M1(|u|2dx)M2(u utdx)u+g(u)=p(x,t),x ,t ,u(x,t)=u(x,t)=0,x ,t ,u(x,t)=u0(x,t),ut(x,t)=u1(x,t),x ,t ,(1.1)一致吸引子的存在性,其中 Rn是具有光滑边界的有界开区域,u=u(x,t)表示板在点x处t时刻的挠度,0为常数,是任意常数,函数M1(),M2(),g(),(),p(x,t)分别满足如下假设(a)函数M1 C1(R+),R+=0,+),M1(0)=0满足M1(s)s cM1(s)=s0M1(r)dr,s R+,(1.2)M1(s)2s,s R+.(1.3)(b)函数M2 C1(R+),M2(0)=0满足M2(s)s,s R+.(1.4)(c)函数g C1(R),G(u)=u0g(s)ds,且满足以下条件|g(s)|C2(1+|s|p),(1.5)liminf|s|g(s)s 1,(1.6)其中当n 4时,1 p 4时,1 p 4n4.1是2的第一个正特征值.收稿日期：2022-07-29基金项目：国家自然科学基金(11961059,12101502);高校教师创新基金项目(2023B-062)作者简介：徐玲,女,汉族,甘肃人,副教授,研究方向：无穷维动力系统.832应用数学2023(d)关于记忆核函数,假设()满足 C1(R+)L1(R+),(s)0 (s),s R+,(1.7)(s)+k(s)0,s R+,k 0,(1.8)0(s)ds=k0 0.(1.9)(e)外力项p满足p(x,t)L(R;L2(),(1.10)tp(x,t)Lrb(R;Lr(),r 2nn+4.(1.11)板方程源自于Woinowsky-Krieger在文1中所提出的弹性振动方程,若(1.1)中M1()=0,M2()0,这种形式的Kirchhoff型项也是由Woinowsky-Krieger提出的,作者建立的长度为l,两端固定的位于X-轴上的可扩展梁的数学模型如下utt+EIuxxxx(H+EA2ll0|ux|2dx)uxx=0,其中H=EAl,E表示杨氏模量,A表示横截面积,表示杆的链接两端因挠度而靠近的量,I表示横截面的二阶力矩,表示密度,H表示作用在梁上的轴向力,如果H 0,则表示张力.随后,文2-3讨论了上述梁方程满足一定初边值条件时解的适定性.在此基础上,诸多学者们又研究了具有记忆项和非线性阻尼的Kirchhoff型板方程utt+2u+g(ut)+u 0(s)2u(t s)ds+(p|u|2dx)u+f(u)=h(x)全局吸引子的存在性,见文4,该方程源于等温粘弹性理论,它描述了一个具有低阶摄动的四阶粘弹性板,并模拟了可扩展弹性薄板在历史空间中的横向振动.文5讨论了具有强阻尼的非自治Kirchhoff型板方程utt+2u+u M(|u|2dx)u ut+f(u)=(x,t)的一致吸引子.而文6研究了具有非线性阻尼的非自治 Kirchhoff型板方程utt+2u+g(ut)+(|u|2dx)u=p(x,t)一致吸引子的存在性.若M1()=0,M2()=0,形如(1.1)的Kirchhoff型是由Ball在文7中研究弹性梁时提出的,在阻力与速度成正比的粘性介质中,若考虑两端固定的粘弹性梁在X-Y 平面中的横向运动时,得到数学模型utt+EIuxxxx+Iuxxxxt(EAl+EA2ll0|ux|2dx+All0ux uxtdx)uxx+ut=0,其中E表示杨氏模量,A表示横截面积,表示有效粘性,表示杆的链接两端因挠度而靠近的量,I表示横截面的二阶力矩,表示单位长度梁的质量,表示外部阻尼系数.文8在第三章讨论了非自治Kirchhoff型梁方程utt+2u+2ut+ut(a(t)+M(|u|2dx)+N(u utdx)u=h(x,t)一致吸引子的存在性,其中h(x,t)是依赖于时间t的周期连续函数.文9研究了具有结构阻尼和非线性阻尼的Kirchhoff型梁方程utt+2u+2ut+g(u)+f(ut)(+M(|u|2dx)+N(u utdx)u=h(x)第 4 期徐玲等：带线性记忆和结构阻尼的非自治Kirchhoff型板方程的一致吸引子833强全局吸引子的存在性,其中非线性项g(u)和非线性阻尼项f(ut)的临界增长指数均为2n2,为大于0的常数.受上述文献的启发,本文试图研究带有线性记忆和结构阻尼的非自治Kirchhoff型板方程(1.1)一致吸引子的存在性,其中非线性项g(u)的临界增长指数为4n4.本文的困难有以下二点:一是形如(1.1)中的Kirchhoff型项的引入给有界吸收集和渐近紧性的证明带来了一定的困难;二是线性记忆项的处理,须构造相对复杂的三元解空间,并在此空间中对解进行先验估计,这使得问题更加复杂化.为了便于计算,在本文中我们引入表示历史位移的新变量,即=t(x,s)=u(x,t)u(x,t s),(x,s)R+,t ,(1.12)则tt(x,s)=ts(x,s)+ut(x,t),(x,s)R+,t ,(1.13)于是问题(1.1)可以转化为utt+2u+2ut+u+0(s)2t(s)ds+(M1(|u|2dx)M2(u utdx)u+g(u)=p(x,t),x ,t ,tt=ts+ut,(x,s)R+,t ,(1.14)与之对应的边界条件为u(x,t)=u(x,t)=0,x ,t ,t(x,s)=t(x,s)=0,(x,s)R+,t ,(1.15)初始条件为u(x,)=u0(x,)=u0,ut(x,)=u1(x,)=u1,x ,(x,s)=u0(x,)u0(x,s)=0(x,s),(x,s)R+.(1.16)本文的结构具体如下:第二部分,介绍本文相关的预备知识;第三部分,通过在所给定的空间中证明出问题所对应过程族的一致有界吸收集的存在和一致渐近紧性,从而得到一致吸引子的存在性.2.预备工作为了方便,给出以下简写:Lp=Lp(),Hk=Hk(),H=W0=L2(),W1=H10(),W2=H2()H10(),其中p 1,k 0,Hk是Sobolev 空间,Hk0是C0()在Hk中的闭包.空间H中的内积和范数分别用(,)和 表示,W2的对偶空间W2表示,对偶空间之间的对偶积用,表示.定义算子A:W2 W2,Au,v=u,v,u,v W2,D(A)=u H2()H10()|Au L2(),则A是空间H中的自伴算子,且在空间W2中是严格正的.定义算子A的方幂为As(s R),于是空间Ws=D(As4)是Hilbert空间,其内积和范数表示如下(u,v)s=(As4u,As4v)=As4u As4vdx,u2s=(u,u)s=As4u2.显然uW1=u1=A14u=u,834应用数学2023uW2=u2=A12u=u.定义L2(R+;Wi)=:R+Wi|0(s)(s)2ids ,i=0,1,2,它是Hilbert空间,与之对应的内积和范数分别为(1,2),i=0(s)(1(s),2(s)ids,2,i=(,),i=0(s)(s)2ids.定义空间X1=W2 H L2(R+;W2)的范数分别为(u,v,)2X1=u2+v2+2,2.由Poincar e不等式可知u2 121u2,u W1.下面介绍与本文有关的非自治动力系统中的一些基本概念及定理,见文10-11.假设X是Banach空间,是参数集.如果对任意的 ,R,U(t,s)U(s,)=U(t,),t s ,(2.1)U(,)=Id,(2.2)则称U(t,)(t ,R,)是X中带有符号空间的过程族.这里Id表示恒等算子.假设T(s)s0是作用于的平移半群,如果U(t+s,+s)=UT(s)(t,),t ,R,s 0,(2.3)T(s)=,s 0,(2.4)则称U(t,)(t ,R,)满足平移恒等式.在后面的结论中,用B(X)表示X中所有有界集的集合.定义2.110设B0 B(X),如果对任意的 R,B B(X),存在时刻T0=T0(B,),使得U(t,)B B0,t T0,则称B0是过程族U(t,)(t ,R,)的一致(关于 )有界吸收集.定义2.210设A X,如果对任意固定的 R,以及每一个B B(X),limt+(supdist(U(t,)B,A)=0,则称A是过程族U(t,)(t ,R,)的一致(关于 )吸引集,其中dist(,)表示X中两个集合的Hausdorff半距离.特别地,如果闭的一致吸引集A X包含在任何封闭的一致吸引集中(最小性),则称A是过程族U(t,)(t ,R,)的一致(关于 )吸引子.定义2.310如果函数满足条件rb=suptRt+1trXds 0,存在T=T(B0,)和T(,;,)contr(B0,),使得U1(T,0)x U2(T,0)y +T(x,y;1,2),x,y B0,1,2,其中T(,;,)是依赖于T的,则称U(t,)(t ,R,)在X中是一致(关于 )渐近紧的.定理2.211设U(t,)(t ,R,)是Banach空间(X,)上满足平移恒等式(2.3)-(2.4)的一个过程族.若该过程族在X中有一致(关于 )有界吸收集,并且在X中是一致(关于 )渐近紧的,则U(t,)(t ,R,)在X中拥有紧的一致(关于 )吸引子.3.主要结果问题(1.14)-(1.16)的解的适定性可以根据Faedo-Galerkin逼近方法得到,这里不再陈述,我们直接给出下面的结果.定理3.1假设条件(a)-(e)成立,R,初值(u0,u1,0()X1,则对任意固定的T ,问题(1.14)-(1.16)有唯一的解(u(t),ut(t),t()满足(u(t),ut(t),t()C(,T;X1),且u L(,T;W2);ut L2(,T;W2);t L(,T;L2(R+;W2),解(u(t),ut(t),t()连续依赖于初值(u0,u1,0().令y(t)=(u(t),ut(t),t(),y=(u0,u1,0().系统(1.14)-(1.16)等价于如下的系统tut=2u 2ut u 0(s)2t(s)ds(M1(u2)M2(u utdx)u g(u)+p(x,t),u(x,t)|=u(x,t)|=0,t(x,s)|R+=t(x,s)|R+=0,u(x,)=u0,ut(x,)=u1,(x,s)=0(x,s),(3.1)它的算子表示形式如下ty=A(t)(y),y|t=y,(3.2)其中(t)=p(x,t)是问题(3.2)的符号.接下来定义问题(3.2)的符号空间,对任意的r 2nn+4,取固定的符号0(t)=p0(x,t),p0 L(R;H)W1,rb(R;Lr)以及集合0=p0(x,t+s):s R,(3.3)则符号空间是0在L(R;H)W1,rb(R;Lr)中的弱闭包.从而有如下结论:定理3.2符号空间在L(R;H)W1,rb(R;Lr)中是有界的,并且对任意的 ,有以下不等式成立L(R;H)W1,rb(R;Lr)p0L(R;H)W1,rb(R;Lr).836应用数学2023于是,根据定理3.1可知,问题(1.14)-(1.16)对所有的 都是适定的,而且产生了由U(t,)y=y(t)所确定的过程族U(t,)(t ,R,),其中y(t)是问题(1.14)-(1.16)满足条件(a)-(e)的解,U(t,)(t ,R,)满足(2.1)-(2.2).再根据唯一可解性知,过程族满足平移恒等式(2.3)-(2.4).用U(t,)(t ,R,)表示由系统(3.2)-(3.3)生成的过程族.根据文12中的命题7.1,能够得出如下结论:定理3.3设p L(R;H)W1,rb(R;Lr)(r 2nn+4),则存在常数N 0,使得suptRp(x,t+s)N,s R.定理3.4设si R(i=1,2,),p L(R;H)W1,rb(R;Lr)(r 2nn+4),un(t):t 0,n=1,2,在空间W2中有界,并且对每个T1 0,unt(t)|n=1,2,在空间L(0,T1;H)中有界,所以对任意的T 0,存在子序列unkk=1 unn=1和snkk=1snn=1,使得limklimlT0Ts(p(x,t+snk)p(x,t+snl)(unk unl)t(t)dxdtds=0.下面讨论问题(1.14)-(1.16)所产生的过程族在空间X1中的耗散性,即证明一致有界吸收集的存在性.定理3.5 假设条件(a)-(d)成立,若p0 L(R;H)W1,rb(R;Lr)(r 2nn+4),且是0在L(R;H)W1,rb(R;Lr)中的弱闭包,则问题(1.14)-(1.16)所产生的过程族U(t,)(t ,R,)在空间X1中有一致(关于 )有界吸收集.证令=ut+u,用与(1.14)1在H中作内积,经过计算可以推出ddt(12222u2+1+2u2+2u22u2+12cM1(u2)+G(u)dx)+u2+u2+ut2 ut2+(t,u),2+(t,ut),2+M2(u utdx)(u,ut)+u2M2(u utdx)+u2M1(u2)+(g(u),u)u2(p,ut)(p,u)=0.(3.4)根据(1.14)2,条件(d)和(1.16)3,可以做出如下估计(t,ut),2=(t,tt+ts),2=12ddtt2,2+0(s)(t(s),ts(s)2ds12ddtt2,2120(s)t(s)22ds12ddtt2,2+k2t2,2.(3.5)由(1.6)可知,存在1 0和C0,使得(g(u),u)u2 C0|,(3.6)G(u)dx 2u2 C0|.(3.7)由条件(b)可知M2(u utdx)u utdx|u utdx|2,(3.8)u2M2(u utdx)u2u utdx=ddt(4u4).(3.9)第 4 期徐玲等：带线性记忆和结构阻尼的非自治Kirchhoff型板方程的一致吸引子837联立(3.4)-(3.6),(3.8)-(3.9),再结合(1.3),得ddt(12222u2+1+2u2+2u22u2+12cM1(u2)+12t2,2+4u4+G(u)dx)+u2 u2+k2t2,2+u2+ut2 ut2+(t,u),2+|(u,ut)|228+2(u24)2 C0|(p,ut)(p,u)0.(3.10)令H(t)=12222u2+1+2u2+2u22u2+12cM1(u2)+12t2,2+4u4+G(u)dx,(3.11)I(t)=u2 u2+k2t2,2+u2+ut2 ut2+(t,u),2+|(u,ut)|2+2(u24)228 C0|(p,ut)(p,u),(3.12)则有ddtH(t)+I(t)0.(3.13)运用Poincar e不等式,再结合(3.7)和条件(a),有H(t)122+12(1+1)u2+12t2,2+22u2+(12+4)(u22+)224(2+)C0|C3(2+u2+t2,2)C4,(3.14)其中C3=min1,1+1,C4=24(2+)+C0|,足够小,使得 2 0.使用Young不等式,H older不等式,可以得到如下估计|(t,u),2|k4t2,2+k02ku2,(3.15)|(p(t),ut)|12ut2+121p(t)2,(3.16)|(p(t),u)|3u2+14p(t)2.(3.17)根据的定义可知,对所有的 ,有2L2b p02L2b,从而p(t)2 p(t)2L2b p02L2b.(3.18)联立(3.12),(3.15)-(3.18),并且运用Poincar e不等式,有I(t)(1 1k0k)u2+k4t2,2+(12)ut228 C0|(121+14)p02L2bC5(ut2+u2+t2,2)C6,(3.19)838应用数学2023其中C5=min(11k0k),k4,12,C6=28+C0|+(121+14)p02L2b,取足够小,使得1 1k0k 0和12 0成立.对(3.13)在到t上积分,再结合(3.14),(3.19)可得2+u2+t2,2 C13C4 C13H()t(C13C5(ut2+u2+t2,2)C13C6)ds.(3.20)所以X1中的一致(关于 )有界吸收集B0为B0=y(t)=(u(t),ut(t),t()|y2X1,其中 C15C6.即对任意的有界子集B X1,都存在t0=t0(,B),使得U(t,)B B0,t t0.证毕.下面证明问题(1.14)-(1.16)所产生过程族U(t,)(t ,R,)的一致(关于)渐近紧性,然后给出一致吸引子存在的结论.为了证明过程族的渐近紧性,首先要对问题(1.14)-(1.16)的解做先验估计,然后根据定理2.1的条件来验证过程族的渐近紧性.设(u(t),ut(t),t()和(v(t),vt(t),t()分别是问题(1.14)-(1.16)对应于符号1(t)=p1(x,t)和2(t)=p2(x,t)的两个弱解,且它们分别依赖于初值(u0,u1,0(),(v0,v1,0()B0,B0是定理3.5中得到的一致(关于 )有界吸收集.令z(t)=u(t)v(t),t()=t()t(),则z(t),t()满足下列方程组ztt+2z+2zt+z+0(s)2t(s)ds+(g(u)g(v)(M2(u utdx)u M2(v vtdx)v)+z(M1(u2)u M1(v2)v)=p1(t)p2(t),tt=ts+zt,(3.21)其中(z(0),zt(0),0()=(u0,u1,0()(v0,v1,0().定义z(t)=12z(t)2+12zt(t)2+12t2,2.对于解的先验估计,我们以证明下面引理的形式给出.引理3.1假设条件(d)成立,则对任意确定的T 0,存在一个常数CT和一个函数T=T(u0,u1,0(),(v0,v1,0();1,2),使得u(T)v(T)X1CTT+1TT,其中CT和T都依赖于T.证第一步,用z(t)乘以(3.21)1,并在0,T 上对其积分,得T0z(t)2dt T0zt(t)2dt+T0z(t)2dt=z(0)zt(0)dx z(T)zt(T)dx+T0z(t)2dt T0(t,z),2dt12z(T)2+12z(0)2+T0(p1(t)p2(t)z(t)dxdt+T0(M1(u(t)2)u(t)M1(v(t)2)v(t)z(t)dxdt+T0(M2(u(t)ut(t)dx)u(t)M2(v(t)vt(t)dx)第 4 期徐玲等：带线性记忆和结构阻尼的非自治Kirchhoff型板方程的一致吸引子839 v(t)z(t)dxdt T0(g(u(t)g(v(t)z(t)dxdt.(3.22)运用Young不等式,H older不等式,再结合(1.9),有|(t,z),2|k02t2,2+12z(t)2.(3.23)第二步,用zt(t)乘以(3.21)1,并在r,T (0 r T)上对其积分,得z(T)+Trzt2dt+2z(T)2+k2Trt2,2dtz(r)+Tr(M1(u(t)2)u(t)M1(v(t)2)v(t)zt(t)dxdt+2z(T)22z(r)2Tr(g(u(t)g(v(t)zt(t)dxdt+Tr(M2(u(t)ut(t)dx)u(t)M2(v(t)vt(t)dx)v(t)zt(t)dxdt+2z(r)2+Tr(p1(t)p2(t)zt(t)dxdt,(3.24)对上式在0,T上关于r积分,可以推出Tz(T)T0z(r)dr+T2z(T)22T0z(r)2dr+2T0z(r)2dr+T0Tr(M1(u(t)2)u(t)M1(v(t)2)v(t)zt(t)dxdtdr+T0Tr(M2(u(t)ut(t)dx)u(t)M2(v(t)vt(t)dx)v(t)zt(t)dxdtdr T0Tr(g(u(t)g(v(t)zt(t)dxdtdr+T0Tr(p1(t)p2(t)zt(t)dxdtdr.(3.25)再将(3.24)中的r取为0,并且运用Poincar e不等式,可以得到如下估计1T0zt2dt+k2T0t2,2dtz(0)+T0(M1(u(t)2)u(t)M1(v(t)2)v(t)zt(t)dxdt+2z(T)22z(0)2T0(g(u(t)g(v(t)zt(t)dxdt+T0(M2(u(t)ut(t)dx)u(t)M2(v(t)vt(t)dx)v(t)zt(t)dxdt+2z(0)2+T0(p1(t)p2(t)zt(t)dxdt.(3.26)第三步,联立(3.22)-(3.23),(3.25)-(3.26),得到Tz(T)CT+T(u0,u1,0(),(v0,v1,0();1,2),(3.27)其中CT=C8C17z(0)+C82C7z(T)2C82C7z(0)2+C82C7z(0)2840应用数学2023+z(0)zt(0)dx z(T)zt(T)dx 12z(T)2+12z(0)2,(3.28)T(u0,u1,0(),(v0,v1,0();1,2)=1+2+3+4,(3.29)C7=min1,k2,C8=max32,1+k02,1=1(u0,u1,0(),(v0,v1,0();1,2)=2T0z(r)2dr+T2z(T)2,2=2(u0,u1,0(),(v0,v1,0();1,2)=C8C17T0(M1(u(t)2)u(t)M1(v(t)2)v(t)zt(t)dxdt+T0(M1(u(r)2)u(r)M1(v(r)2)v(r)z(r)dxdr+T0Tr(M1(u(t)2)u(t)M1(v(t)2)v(t)zt(t)dxdtdr+C8C17T0(M2(u(t)ut(t)dx)u(t)M2(v(t)vt(t)dx)v(t)zt(t)dxdt+T0(M2(u(r)ut(r)dx)u(r)M2(v(r)vt(r)dx)v(r)z(r)dxdr+T0Tr(M2(u(t)ut(t)dx)u(t)M2(v(t)vt(t)dx)v(t)zt(t)dxdtdr,3=3(u0,u1,0(),(v0,v1,0();1,2)=C8C17T0(p1(t)p2(t)zt(t)dxdt+T0(p1(r)p2(r)z(r)dxdr+T0Tr(p1(t)p2(t)zt(t)dxdtdr,4=4(u0,u1,0(),(v0,v1,0();1,2)=C8C17T0(g(u(t)g(v(t)zt(t)dxdt T0(g(u(r)g(v(r)z(r)dxdrT0Tr(g(u(t)g(v(t)zt(t)dxdtdr.证毕.定理3.6 假设条件(a)-(d)成立,若p0 L(R;H)W1,rb(R;Lr)(r 2nn+4),且是0在L(R;H)W1,rb(R;Lr)中的弱闭包,则问题(1.14)-(1.16)所产生的过程族U(t,)(t ,R,)在空间X1中是一致(关于 )渐近紧的.证由于过程族U(t,)(t ,R,)在空间X1中存在一致(关于 )有界吸收集,从而可以对任意确定的 0,取T足够大,使得CTT.再依据定理2.1,只需验证对每个确定的T,函数T(,;,)是收缩函数,即T(,;,)contr(B0,).第 4 期徐玲等：带线性记忆和结构阻尼的非自治Kirchhoff型板方程的一致吸引子841设(un,un,n)是问题(1.14)-(1.16)对应于符号n(t)=pn(x,t)的解,它们分别依赖于初值(un0,un1,n0)B0(n=1,2,),B0是定理3.5中得到的有界正不变集.根据定理3.5,可以推断出,对任意确定的T,t0,TU(t,0)B0在X1中是有界的,即un2+un2+n2,2 CT,B0,(3.30)其中CT,B0是只依赖于T,B0的常数.又因为M1,M2 C1(R+),|un undx|un un,所以有|M1(un2)|,|M2(un undx)|CT,B0,(3.31)|M1(un2)|,|M2(un undx)|CT,B0.(3.32)根据(3.30)可知,序列(un,un,n)n=1在空间X1中有界,于是依据Alaoglu定理,不失一般性,我们可以在此作出如下假设un(t)在空间L(0,T;H2 H10)中弱 收敛于u(t),(3.33)un(t)在空间 L(0,T;L2)中弱 收敛于u(t),(3.34)un(t)在空间 L2(0,T;H10)中收敛于u(t),(3.35)un(T)在空间 H10中收敛u(T),(3.36)un(t)在空间 L2(p+1)中收敛于u(t),(3.37)其中H2,H10;H2,L2(p+1),p 4n4.下面估计(3.29)中的每一项.首先,依据(3.35)-(3.36)可得limnlimmT0un(t)um(t)2dt=0,(3.38)limnlimmun(T)um(T)2=0,(3.39)所以limnlimm1=0.(3.40)M1(u2)u M1(v2)v=M1(u2)z+(M1(u2)M1(v2)v,(3.41)M2(u utdx)u M2(v vtdx)v=(M2(u utdx)M2(v vtdx)v+M2(u utdx)z.(3.42)因为(un,un,n)n=1在空间C(0,T,X1)中有界,且有紧嵌入H2 H10,C(),依据Arzela定理可知,unn=1在空间C(0,T,C()中是紧的.又因为unn=1在空间L(0,T;H2 H10)中弱收敛于u,所以unn=1在空间C(0,T,C()中强收敛,故根据(3.41)-(3.42)以及(3.30)-(3.32),有如下估计?T0(M1(un(r)2)un(r)M1(um(r)2)um(r)(un(r)um(r)dxdr?CT,B0(1+2CT,B0)T0|un(r)um(r)|2dxdrCun(r)um(r)C(0,T;C(),(3.43)842应用数学2023?T0(M2(un(r)un(r)dx)un(r)M2(um(r)um(r)dx)um(r)(un(r)um(r)dxdr?CT,B0T0|un(r)um(r)|2dxdr+2C32T,B0CT,B0T0(|un(r)um(r)|2dx)12drCun(r)um(r)C(0,T;C(),(3.44)所以limnlimmT0(M1(un(r)2)un(r)M1(um(r)2)um(r)(un(r)um(r)dxdr=0,(3.45)limnlimmT0(M2(un(r)un(r)dx)un(r)M2(um(r)um(r)dx)um(r)(un(r)um(r)dxdr=0.(3.46)又因为?T0(M1(un(t)2)un(t)M1(um(t)2)um(t)(un(t)um(t)dxdt?CT,B0?T0(un(t)um(t)(un(t)um(t)dxdt?+2CT,B0CT,B0?T0um(t)(un(t)um(t)dxdt?,(3.47)?T0(M2(un(t)un(t)dx)un(t)M2(um(t)um(t)dx)um(t)(un(t)um(t)dxdt?CT,B0?T0(un(t)um(t)(un(t)um(t)?dxdt+2CT,B0CT,B0?T0um(t)(un(t)um(t)dxdt?,(3.48)于是有limnlimmT0(M1(un(t)2)un(t)M1(um(t)2)um(t)(un(t)um(t)dxdt=0,(3.49)limnlimmT0(M2(un(t)un(t)dx)un(t)M2(um(t)um(t)dx)um(t)(un(t)um(t)dxdt=0.(3.50)所以由Lebesgue控制收敛定理可得limnlimmT0Tr(M1(un(t)2)un(t)M1(um(t)2)um(t)(un(t)um(t)dxdtdr=0,(3.51)第 4 期徐玲等：带线性记忆和结构阻尼的非自治Kirchhoff型板方程的一致吸引子843limnlimmT0Tr(M2(un(t)un(t)dx)un(t)M2(um(t)um(t)dx)um(t)(un(t)um(t)dxdtdr=0.(3.52)联立(3.45)-(3.46),以及(3.49)-(3.52)可知limnlimm2=0.(3.53)其次,由定理3.3可知limnlimmT0(pn(t)pm(t)(un(t)um(t)dxdt=0,(3.54)根据定理3.4,有如下结果limnlimmT0(pn(t)pm(t)(un(t)um(t)dxdt=0,(3.55)limnlimmT0Tr(pn(t)pm(t)(un(t)um(t)dxdtdr=0,(3.56)于是limnlimm3=0.(3.57)根据(1.5)和微分中值定理,有|g(u)g(v)|=|g(3)|(u v)|C2(1+|u|p+|v|p)|z|,(3.58)其中3介于u与v之间.再结合Young不等式,H older不等式,解的存在性以及Sobolev嵌入(H2,L2(p+1),可以做出如下估计|(g(u)g(v)ztdx|C2(1+|u|p+|v|p)|z|zt|dx C2(|p2(p+1)+upL2(p+1)+vpL2(p+1)zL2(p+1)zt Cz zt C(z2+zt2).(3.59)根据(3.58)-(3.59),(3.34)-(3.35)和(3.37),可以推出limnlimmT0(g(un(r)g(um(r)(un(r)um(r)dxdr=0,(3.60)limnlimmT0(g(un(t)g(um(t)(un(t)um(t)dxdt=0,(3.61)又因为对于每一个确定的T,|Tr(g(un(t)g(um(t)(un(t)um(t)dxdt|有界,所以由Lebesgue控制收敛定理可得limnlimmT0Tr(g(un(t)g(um(t)(un(t)um(t)dxdtdr=T0(limnlimmTr(g(un(t)g(um(t)(un(t)um(t)dxdt)dr=0,(3.62)从而有limnlimm4=0.(3.63)综上所述,可以知道T(,;,)contr(B0,).证毕.根据前面的定理3.5和定理3.6,我们可以得到一致(关于 )吸引子的存在性,结果叙述如下:定理3.7 假设条件(a)-(d)成立,若p0 L(R;H)W1,rb(R;Lr)(r 2nn+4),且是0在L(R;H)W1,rb(R;Lr)中的弱闭包,则问题(1.14)-(1.16)所产生的过程族U(t,)(t ,R,)在空间X2中具有紧的一致(关于 )吸引子.844应用数学2023参考文献：1 WOINOWSKY-KRIEGER S.The effect of an axial force on the vibration of hinged barsJ.Journalof Applied Mechanics,1950,17:35-36.2 DICKEY R W.Free vibrations and dynamic buckling of the extensible beamJ.Journal of Mathe-matical Analysis and Applications,1970,29:443-454.3 BALL J M.Initial-boundary value problems for an extensible beamJ.Journal of MathematicalAnalysis and Applications,1973,42:61-90.4 YAO X B,MA Q Z.Global attractors of the extensible plate equations with nonlinear damping andmemoryJ/OL.Journal of Function Spaces,20172022-07-29.http:/doi.org/10.1155/2017/4896161.5 FENG B W,YANG X G,QIN Y M.Uniform attractors for a nonautonomous extensible plate equationwith a strong dampingJ.Mathematical Methods in the Applied Sciences,2017,40:3479-3492.6 YANG L,WANG X.Existence of attractors for the non-autonomous Berger 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Xue,ZHANG Juanjuan(College of Mathematics and Statistic,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,China)Abstract:In this paper,we try to study the existence of uniform attractor for the non-aut