带有积分与无穷点边值条件的分数阶微分方程正解的存在唯一性.pdf

第 卷第期 年月太 原 师 范 学 院 学 报(自然科学版)J OUR NA LO FT A I YUANNO RMA LUN I V E R S I T Y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)V o l N o M a r 收稿日期:基金项目:国家自然科学基金()作者简介:刘畅(),女,山东黄县人,在读硕士研究生,主要从事非线性泛函分析方面的研究通信作者:王文霞,教授,E m a i l:w w x g g c o m带有积分与无穷点边值条件的分数阶微分方程正解的存在唯一性刘畅,武瑜,王文霞(太原师范学院 数学与统计学院,山西 晋中 )摘要研究了一类具有积分和无穷点边值条件的分数阶微分方程运用和算子的不动点定理获得了该边值问题正解的存在唯一性的结果,并且构造了迭代序列去逼近这个解 关键词R i e m a n n L i o u v i l l e分数阶导数;边值问题;不动点;和算子 文章编号 ()中图分类号O 文献标识码A 引言分数阶微分方程近年来得到了迅速的发展,主要因其具有在粘弹性力学、随机过程、反应扩散方程等领域应用广泛的性质此外,微分方程边值问题也被广泛运用于应用数学和应用物理学领域,对于分数阶微分方程边值问题的研究也成为了一个热点课题,并取得了一系列成果 文献 研究了如下分数阶微分方程多点边值问题:Du(t)f(t,u(t),H u(t),t(,),u()u()u(n)(),u(i)()iju(j),()其中,nn,i,n是固定的整数,j,j,jj j,()()(i),H是一个算子,D是R i e m a n n L i o u v i l l e分数阶导数,I是分数阶积分,f:(,),),)是连续函数作者运用混合单调算子理论获得了边值问题()正解的存在唯一性结果文献 研究了如下带有三点积分边界条件的分数阶微分方程:Du(t)f(t,u(t),t,u()u()u(),u()u(s)ds,()其中,fC(,),),(,),D是R i e m a n n L i o u v i l l e分数阶导数运用锥上的不动点定理得到了边值问题()解的存在唯一性的充分条件受以上的文献启发,研究了如下具有积分和无穷点边值的分数阶微分方程:Du(t)f(t,u(t)g(t,u(t),t,u(k)(),k,n,Dpu()iiiDqu(s)dsiiDqu(i),()其中:nn,n,pn,q,p,i,D是R i e m a n n L i o u v i l l e分数阶导数,i,i(i,),令()(p)ii()qi(q)ii()q i(q),fC(,),),本文运用和算子理论,讨论边值问题()正解的存在唯一性结果 预备知识和引理定义连续函数f:(,)R的阶R i e m a n n L i o u v i l l e积分定义如下If(t)()t(ts)f(s)ds,其中,等式的右边在(,)有定义定义连续函数f:(,)R的阶R i e m a n n L i o u v i l l e微分定义如下Df(t)(n)ddtntf(s)(ts)n ds,其中,nm i nmZ:m,等式的右端在(,)有定义引理如果uC,)L,)有阶导数属于C,)L,),则IDu(t)u(t)ct ct cntn,其中,ciR,i,n,nn引理若h(t)C,则下面边值问题Du(t)h(t),t,u(k)(),k,n,Dpu()iiiDqu(s)dsiiDqu(i),()有唯一解u(t),且u(t)G(t,s)h(s)ds,其中G(t,s)p()()t p(s)(s)p p()(ts),st,t p(s)(s)p,ts,p(s)()(p)sii()(q)issq(s)p qsii()(q)issq(s)pq证明根据引理,将()中的微分方程转化为等价的积分方程u(t)Ih(t)ct ct cntn,c,c,cn,R于是u(t)(ts)()h(s)dsct ct cntn由u(k)()得cncncnc即u(t)()t(ts)h(s)dsct,Dpu()(s)p(p)h(s)ds()(p)c,iDqu(t)dt(q)i(is)qh(s)ds()(q)qic,Dqu(i)i(is)q(q)h(s)ds()(q)q ic由Dpu()iiiDqu(s)dsiiDqu(i),可得太 原 师 范 学 院 学 报(自然科学版)第 卷(s)p(p)h(s)ds()(p)ciii(is)qh(s)ds()qi(q)ciii(is)q(q)h(s)ds()(q)q ic,c()(p)ii()qi(q)ii()q i(q)(s)p(p)h(s)dsii(q)i(is)qh(s)dsii(q)i(is)q h(s)ds,故c(s)p(p)h(s)dsii(q)i(is)qh(s)dsii(q)i(is)q h(s)ds因此可以得到u(t)t()(ts)h(s)ds(s)p p(s)()p()h(s)dst t(s)p p(s)t p()(ts)()p()h(s)dst(s)p p(s)t()p()h(s)dsG(t,s)h(s)ds引理p(s)满足(i)p();(i i)p(s)在,上不减且恒正证明(i)由引理可知p()()(p)ii()(q)qiii()(p)q i(i i)p(s)sii()(q)(is)q(s)p(q)(s)(q)(is)(pq)(is)sii()(q)(is)q(s)q(q)(s)(q)(is)(is)(pq)因此p(s)在,上不减且恒大于证毕引理函数G(t,s)满足以下性质:(i)G(t,s),tG(t,s),t,s;(i i)m a xt,G(t,s)p()()p(s)(s)pp()(ts),s;(i i i)t()p()p(s)(s)pp()(s)G(t,s)t()p()p(s)(s)p,t,s证明(i)根据引理可以得到,当st时G(t,s)p()()t p(s)(s)p p()(ts)p(s)p()()t(s)p t(s)p(s)t p()()(s)p(s)p(s)t(s)p p()()(s)p显然当 t s 时,G(t,s)第期刘畅,等:带有积分与无穷点边值条件的分数阶微分方程正解的存在唯一性通过简单的计算,可以得到tG(t,s)p()()()p(s)(s)p t()p()(ts),st,()p(s)(s)p t,ts显然,tG(t,s)在,上是连续的根据引理可知只需考虑st的情况tG(t,s)p()()()p(s)(s)p t()p()(ts)()()t (s)p(s)(i i)由(i)可知G(t,s)是不减的因此,m a xt,G(t,s)G(,s)p()()p(s)(s)p p()(s),s(i i i)当st时,G(t,s)p()()t p(s)(s)p p()(ts)p()()t p(s)(s)p p()(s),G(t,s)p()()t p(s)(s)p p()(ts)t p()()p(s)(s)p 当ts时,可以得到G(t,s)p()()t p(s)(s)p p()(s)证毕定义如果P是E中的非空凸闭集,并且满足如下条件:)xP,xP;)xP,xPx,表示E中的零元则P称为E中的一个锥锥P在E中引入半序关系如下:x,yE,xy,如果yxP对u,vE,uv,称u,vxE|uxv 是一个序区间对任意的x,yE,用xy表示存在,使得 xyx定义算子A:EE是增算子,如果对于x,yE,xyA xA y定义若存在一个实数且满足使得对于任意的t(,),xP,算子A:PP满足A(t x)tA x,则称A为凹算子定义若对于任意的t,xP,算子A:PP满足A(t x)t A x,则称算子A为次齐次算子引理令P为E中的正规锥,A:PP是一个增算子,而且是凹算子,B:PP是一个增算子,而且是次齐次算子,假设:(i)存在h使得A hPh且B hPh;(i i)存在常数,对于任意的xP,使得A xB x,则算子方程A xB xx在Ph中有唯一一个正解x此外,对任意的初值yPh,令ynA ynB yn,n,则有ynx(n)主要结果定义XC,则X在范数|u|m a x|u(t)|:t,下是一个B a n a c h空间令PuX|u(t),t,显然,P是一个正规锥根据引理可得边值问题()等价的积分方程为太 原 师 范 学 院 学 报(自然科学版)第 卷u(t)G(t,s)f(s,u(s)dsG(t,s)g(s,u(s)ds定义算子A:PX,B:PX:A u(t)G(t,s)f(s,u(s)ds,t,B u(t)G(t,s)g(s,u(s)ds,t,定理假设如下条件成立:(H)对任意的t,f(t,u)关于u是增函数,且f(t,);(H)对任意的t,g(t,u)关于u是增函数,且g(t,);(H)存在常数(,),对于任意的(,),使得f(t,u)f(t,u),g(t,u)g(t,u),t,u,);(H)存在常数,使得f(t,u)g(t,u),t,u,),则边值问题()在Ph中存在唯一正解uPh,其中h(t)t,t,此外,对任意的初值uPh,令un(t)G(t,s)f(s,un(s)dsG(t,s)g(s,un(s)ds,则有unu(n)证明由条件(H),(H)可知A:PP是增算子,B:PP是增算子以下证明A是凹算子,B是次齐次算子对任意的(,),uP,由条件(H)可得A(u)(t)G(t,s)f(s,u(s)dsG(t,s)f(s,u(s)dsA u(t),B(u)(t)G(t,s)g(s,u(s)dsG(t,s)g(s,u(s)ds B u(t),故A是凹算子,B是次齐次算子再证明A hPh,B hPh由条件(H)及引理可知A h(t)G(t,s)f(s,s)dst()p()p(s)(s)p f(s,s)dst()p()p(s)(s)p f(s,)ds,A h(t)t()p()p(s)(s)p p()(s)f(s,s)dst()p()p(s)(s)p p()(s)f(s,)ds,B h(t)G(t,s)g(s,s)dst()p()p(s)(s)p g(s,s)dst()p()p(s)(s)p g(s,)ds,B h(t)t()p()p(s)(s)p p()(s)g(s,s)d st()p()p(s)(s)p p()(s)g(s,)ds,令c()p()p(s)(s)p f(s,)ds,c()p()p(s)(s)p p()(s)f(s,)ds,第期刘畅,等:带有积分与无穷点边值条件的分数阶微分方程正解的存在唯一性c()p()p(s)(s)p g(s,)ds,c()p()p(s)(s)p p()(s)g(s,)ds,故chA hch,chB hch,所以A hPh,B hPh因此,满足引理中的条件(i)最后来证明引理中的条件(i i)由条件(H)知A u(t)G(t,s)f(s,u(s)dsG(t,s)g(s,u(s)dsB u(t)因此,A uB u,uP由引理可知,算子方程A uB uu在Ph中有唯一一个不动点u,此即边值()存在唯一解uP,且对任意的初值uPh,令un(t)G(t,s)f(s,un(s)dsG(t,s)g(s,un(s)ds,则有unu(n)证毕 应用举例例考虑下面边值问题Du(t)uuueta,t,u()u()u()u(),Du()iiiDu(s)dsiiDu(i),()其中,p,q,ii,ii,ii,a是一个常数,显然i,i,i,i,通过简单的计算可知,(),(p),(q),(q),()(p)ii()qi(q)ii()q i(q)选取ba,令f(t,u)ub,g(t,u)uuetab,显然有f,g:,),)是连续的,且关于第二变元是增的,g(t,)ab另外,对(,),t,u,),有g(t,u)u uetab uuet(ab)g(t,u),f(t,u)ub(ub)f(t,u),选取,beab则有f(t,u)ubbbeab(eab)uuetabg(t,u),故定理条件都满足因此边值问题()存在一个唯一正解uPh,其中h(t)t,t,参考文献:白占兵分数阶微分方程边值问题理论及应用M北京:中国科学技术出版社,P O D L U B NYI F r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sM S a nD i e g o:A c a d e m i cP r e s s,郭大钧非线性泛函分析M 版济南:山东科学技术出版社,太 原 师 范 学 院 学 报(自然科学版)第 卷郝彩云,王文霞,鞠梦兰带积分边界条件的三阶微分方程凸单调正解的存在唯一性J烟台大学学报(自然科学与工程版),():Z HA ICB,Z HANGLL N e wf i x e dp o i n t t h e o r e m s f o rm i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r s a n d l o c a l e x i s t e n c e u n i q u e n e s so f p o s i t i v es o l u t i o n s f o rn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sJ J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a lA n a l y s i sa n dA p p l i c a t i o n s,():Z HA ICB,AN D E R S ONDR As u mo p e r a t o re q u a t i o na n da p p l i c a t i o n st on o n l i n e a re l a s t i cb e a me q u a t i o n sa n dL a n e E m d e n F o w l e re q u a t i o n sJ J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a lA n a l y s i sa n dA p p l i c a t i o n s,():王文霞非线性方程的单调迭代方法M北京:中国科学技术出版社,C A B A L L E R OJ,HA R J AN IJ,S A D A R AN GAN IK E x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rac l a s so fs i n g u l a rf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw i t h i n f i n i t e p o i n t b o u n d a r yv a l u e c o n d i t i o n sJ R e v i s t ad e l aR e a lA c a d e m i ad eC i e n c i a sE x a c t a s,F s i c a syN a t u r a l e s S e r i eA M a t e m t i c a s,():Z HAN GXQ P o s i t i v es o l u t i o nf o rac l a s so fs i n g u l a rs e m i p o s i t o n ef r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi n t e g r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sJ B o u n d a r yV a l u eP r o b l e m s,():董伟萍,周宗福一类分数阶微分方程多点边值问题正解的存在性J应用数学,():杨慧,王文霞一类高次分数阶微分方程正解的存在唯一性J延边大学学报(自然科学版),():何健堃,贾梅,陈辉一类分数阶微分方程三点边值问题正解的存在性与不存在性J吉林大学学报(理学版),():E x i s t e n c ea n dU n i q u e n e s so fP o s i t i v eS o l u t i o n s f o rF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sw i t hI n t e g r a l a n dI n f i n i t e P o i n tB o u n d a r yC o n d i t i o n sL I UC h a n g,WUY u,WA N G W e n x i a(S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,T a i y u a nN o r m a lU n i v e r s i t y,J i n z h o n g ,C h i n a)A b s t r a c tAc l a s so f f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t h i n t e g r a l a n d i n f i n i t ep o i n t b o u n d a r yc o n d i t i o n s i ss t u d i e db yu s i n gt h e f i x e dp o i n t t h e o r e mo f t h es u mo p e r a t o r,w eo b t a i nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f t h ep o s i t i v e s o l u t i o no f t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m,a n dc o n s t r u c t a n i t e r a t i v es e q u e n c e t oa p p r o x i m a t e t h es o l u t i o n K e yw o r d sR i e m a n n L i o u v i l l ef r a c t i o n a ld e r i v a t i v e;b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m;f i x e dp o i n t;s u mo p e r a t o r第期刘畅,等:带有积分与无穷点边值条件的分数阶微分方程正解的存在唯一性