大自然的实与虚.pdf

75卷3 期242023年5月SCIENCE科学大自然的实与虚飞彭鹏刘博闻高策2022年1 2 月2 0 日，美国物理学会旗下的physics网站公布了2 0 2 2 年国际物理学领域十项重大进展。中国两项验证量子力学是否必须使用虚数来表述的实验研究位列其中。虚数最初只是为了方便计算而引入的数学工具，但进一步的研究表明，它远不仅是数学工具那么简单，还蕴含着更加深刻的物理意义从牛顿时代起，物理学家开始使用数学来描述世界。在经典物理学中,实数可以完整描述所有经典物理量，虚数仅仅是为了计算方便而引人的计算工具。在薛定、海森堡等量子力学先驱建立量子力学的过程中，虚数以第一原理的形式被引入理论。但它在量子力学中仍是抽象的概念，物理学家并没有赋予其任何实际的物理意义。因为，通过实数概率值的形式可以完成对量子力学实验的描述，并不需要虚数。然而，物理学的目标是通过理论来解释实验现象，而非描述实验现象。鉴于上述原因，物理学家对在量子力学中使用虚数是极其志和纠结的。为了消除顾虑，一些物理学家试图去除量子力学理论中的虚数，完全依靠实数来建立量子力学的理论体系。但是这样的实数量子理论能够完整地描述量子世界吗？如当年玻尔和爱因斯坦对量子力学是否具有完备性的争论一样，这个问题同样令人不安。就像贝尔不等式检验实验反驳了隐变量理论那样!，2 0 2 2 年，中国科学技术大学的潘建伟团队和南方科技大学范靖云团队，分别独立通过一个类似贝尔不等式检验实验的实虚检验实验证明，虚数对标准量子力学理论来说是必不可少的，并且扮演着关键的核心角色。彭鹏，副教授；刘博闻，硕士研究生；高策，教授：山西大学科学技术史研究所，太原0 30 0 0 6。Peng Peng,Associate Professor;Liu Bowen,Master DegreeCandidate;Gao Ce,Professor:Institute for History of Science andTechnology,ShanxiUniversity,Taiyuan 030006.虚数的建立和初步应用虚数的来源是负数的平方根。意大利数学家卡尔达诺（G.Cardano）在其1 545年出版的伟大的艺术中提到了一个问题，能否把1 0 分成两部分，使它们的乘积为40？这个问题实际上就是求解一个一元二次方程，但是其判别式4 0,结果中会出现负数的平方根，即没有实数解。若没有虚数，此方程无解。在求解一元二次方程时，负数开根号并不影响计算过程；但在解一元三次方程时则会出现问题，当4 0 时，方程会有三个不等的实数根，按照求根公式求解，就会遇到负数开根号。1 57 2 年，意大利数学家邦贝利（R.Bombelli）在代数学中，第一次大胆利用虚数运算规则解出了方程的三个实数解。数学家由此认识到虚数的重要性。1637年，笛卡尔在几何学中，首次将负数的平方根称为imaginarynumber（虚数），意思是虚构的、不存在的数。莱布尼兹直接称虚数为“介于存在和不存在之间的两栖物”。正如解一元三次方程那样，使用虚数能非常方便地获得最终的实数解。因此，它最初只是作为工具引人数学计算，没有实际意义。此后，高斯、柯西、欧拉、傅里叶等数学大家均对虚数进行了大量深入的研究。1 7 48 年，欧拉在无穷小分析引论中，提出了欧拉公式e=cosx+isinx，将三角函数与带有虚数的指数函数关联起来，简化了三角函数的计算，并将三角函数的周期性引入指数函数。不过，他对虚数的态度仍不置可否，认为：WeChat:kexuemag25RONTIER前沿“它们（虚数）既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么。它们纯属虚幻。”1 7 7 7 年，欧拉最早引人虚单位i。1 8 0 7 年，傅里叶首次提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示。1 8 2 2 年，数学应用于物理学的里程碑式著作热的分析理论出版，该书首次描述了傅里叶变换：通过对函数乘以一个带有虚数的指数，就可以实现函数在时域和频域之间的转换。有了虚数便有了复数的概念，1 8 32 年，高斯引入复数的概念并给出几何解释，将复数与复平面一一对应起来。实数是一维数，只有实数轴上移动的自由度。复数的形式为a+bi,其中a为复数的实部，b为复数的虚部，相当于增加了额外的一个自由度。实数域拓展到复数域，移动自由度由一条线变成了由实数轴和垂直于实数轴的虚数轴构成的二维复平面。随着虚数不断得到应用，学术界逐渐接受了虚数的概念，同时也为它进人物理学领域打下基础。由于复数可以方便而简洁地描述物理量的周期、相位、振幅等信息，其在物理学以及工程领域得到了极其广泛的应用。比如，在处理交变电路时，可以将电压、电流、阻抗等物理量表示为复数形式，然后按照复数的运算规则进行运算，最后取实部或虚部就可得到最终的实数结果；傅里叶变换的一个重要应用就是信号处理，类似化学中分析物质成分一样，它有助于处理分解信号，从而确定信号的成分。费曼将欧拉公式称为“我们的珍宝”“数学中最非凡的公式”，肯定虚数对物理学发展的重要性。法国数学家阿达马（J.S.Hadamard）曾说：“在实数域，连接两个真理的最短路径是通过复数域。”量子力学中的虚数杨振宁曾提到，“2 0 世纪理论物理学的三个主旋律是：量子化、对称性和相位因子”，可以说，这三个主旋律的基本架构都离不开虚数。在经典物理学时代，实数可以完整描述所有的经典物理量，大部分场景都只需要实数，即便需要虚数，它也仅作为一种数学工具，只存在于计算过程中，能快捷获得计算结果而已，并没有任何实际的物理意义。然而，到了1 9 2 6 年，随着量子力学理论的建立和发展，“虚数i以一种基本的方式被引人物理学”，不再仅是工具。2 0 世纪初，薛定谔和海森堡分别建立的矩阵力学和波动力学，成为量子力学的两大理论基石。与此同时，二人分别提出量子力学中最为基本的两个方程：薛定方程和海森堡对易关系。基于前人对复数的研究，他们分别在各自创立的方程中不约而同地都以第一原理的形式引入虚单位i=-1，薛定方程的形式为=HY；而海森堡对易关系的形式为xq-qx=-ih。at1925年，海森堡开创性地通过傅里叶变换对两个可观测量空间变量和动量变量进行比较，并对这两个可观测量的关系进行讨论，自然地将虚数引人其对易关系。实际上，量子态在动量表象下的波函数是位置表象下的傅里叶变换，而对易关系正是坐标和动量之间的关系，坐标和动量作为可观测量，是力学系统相空间的自由度。因此，“复数在矩阵力学中起着基本的作用”1926年，薛定则在德布罗意物质波的启发下，通过连续6 篇开创性论文建立了薛定谔方程，并提出了波函数，以一种波的形式描述万事万物。不过在前几篇论文中，他对虚数的使用很抵触。在第三篇文章中，他将波函数写为实稳态函数和时间的正弦函数的乘积，避开使用虚数。在第五篇文章中，即使将虚数引入波函数，薛定在注脚中明确写道：“i是V-1，等式右端按惯例取实部。”此时，薛定谔仍然将波函数中使用的虚数等同于经典物理学中的虚数一一计算工具。他在1926年6 月6 日写给洛伦茨的信中写道：“这里令人不愉快的，甚至是直接反对的，是对于复数的使用。从根本上来说，肯定是一个实函数我想应该将指数替换为余弦函数”不过到了6 月2 3日，薛定谔经过反复酌，在寄给物理年鉴的文章中，最终还是使用了虚数，给出了如今的薛定谔方程形式。他在文章最后表示：“这里使用复波函数，毫无疑问是粗糙的。如果这在原则上是不可避免的，而不仅仅是为了简化计算，这就意味着原则上有两个波函数，它们必须一起使用，以获得关于系统状态的信息。”他已认识到在量子力学中，虚数已不仅只是计算工具那么简单，而是描述物理世界必须且具有实际物理意义的。那么，虚数到底有怎样的物理意义？可以从复数在方程所蕴含的信息窥探一二。复数包含波函数的振幅和相位信息，二者是量子力学最为核心的关键因素。薛定调虽然建立了波函数，但并没有参透其真正内涵。75卷3 期262023年5月科学SCIENCE波函数所描述的波与常识中的波完全是两回事，前者并非真实三维空间的函数，而是希尔伯特空间的函数，希尔伯特空间最早由冯诺依曼引人量子力学，是构造空间中的一个复值空间。玻恩将区别于经典物理学的非决定性引入量子力学，赋予波函数极其特别的概率解释。波函数的振幅信息决定了粒子某一时刻在某一位置出现的概率，而相位（差）信息则是量子相干性的来源。量子相干性是量子世界区别于经典世界的关键特征，它的存在会促使量子行为向经典行为转变。量子退相干行为是量子计算在实现过程中函需突破的一个挑战，量子干涉测量则提供了一种更为精密的测量方式。规范理论中的虚数物理学中大多数方程都涉及某种对称性，而对称性是规范理论的核心。规范的本意是标尺或者标度，用以定义标准。生活中最常见的规范对称的例子是电压。对电路产生影响的是电压差的大小，而不是电压绝对的大小。电路整体电压同步增加，不会影响电压差的大小，因而不会对电路产生影响，这是一种规范不变性。虚数在规范变换中同样发挥了举足轻重的作用。1905年，法国数学家庞加莱发现，洛伦兹变换可以看作是在由时间的虚坐标ict（c 为光速）和欧几里得空间三个实坐标构成的四维时空中的坐标旋转变换。随后，德国数学家闵可夫斯基（H.Minkowski）基于庞加莱的工作，在构建的四维时空中对麦克斯韦方程组和爱因斯坦的狭义相对论进行了进一步研究，更为简洁地阐释了二者的洛伦兹不变性。洛伦兹不变性是狭义相对论的基本性质，反映了两个作相对匀速运动的惯性参考系之间坐标变换的不变性。ict赋予了时间轴以长度的量纲，时间尺度就等同于是一个虚的空间尺度，“在这种情况下，满足（狭义）相对论要求的自然定律取这样的数学形式，其中时间坐标的作用与三个空间坐标的作用完全一样。在形式上，这四个坐标就与欧几里得几何学中三个空间坐标完全相当”，将过去认为是相互独立的时间和空间用四维时空统一起来。进一步，1915年，爱因斯坦在普鲁士科学院的发言中,正式提出广义相对论，将引力描述为时空的几何属性一一曲率；提出引力的场方程，将物质的能量、动量与时空曲率联系到一起，开创了物理的几何化地球改变了周围时空曲率1918年，德国数学家外尔（H.Wey1）受爱因斯坦广义相对论的影响，在空间，时间，物质一书中开始尝试统一四大力中的引力和电磁力，并最早引人规范的概念。为了将引力理论的几何化推广到电磁理论，外尔发展了一种新电磁学的几何解释理论。他的做法是引入一个标度因子(x)=e(),这样的数学结构展现了一种新的对称性,即规范不变性。从数学的角度看，外尔的理论如此优雅和美丽，他在文章中明确表示：“我有足够的勇气相信，所有的物理现象都可能源于一个普遍的定律，即数学上最简单的定律。”同时，他在给爱因斯坦的信中声称：“我相信，在这些日子里，我成功地从同一个来源得到了电和引力。”然而，外尔的理论失了物理的真。在广义相对论中，爱因斯坦始终用完全相同的时钟和尺子，即相同的标准，而外尔的做法却使得“标准”可以随意改变，这在物理学中是不被接受的。因此，当爱因斯坦看到外尔的理论时，立即提出反对意见：“这是一项一流的天才之举。然而，到目前为止，我还是无法消除我对标度的反对意见。”同时，他提出一个假想实验：两个时钟从同一地点出发，分别沿着两条不同路径移动，最后再回到出发点。如果外尔的理论正确，时钟在移动的过程中，标度会不断连续变化，不同的移动历史会造成两个时钟的快慢不一样，即时钟的快慢会依赖于移动的历史。爱因斯坦最后表示：“遗憾的是，这个理论的基本假设对我来说似乎是不可接受的。”尽管外尔的理论并不成功，但其规范不变性的思想在统一场论的发展中扮演了重要的角色，标志着现代规范理论的诞生。虚数在量子力学理论中的应用，为解决标度变化问题提供了新思路。1 9 2 2 年，薛定谔猜想，在外尔的变WeChat:kexuemag27RONTIER前沿2爱因斯坦假想实验换中可以引人虚数。19 2 7 年，苏联物理学家福克（V.Fock）和德国物理学家伦敦（F.London）分别独立从量子力学的角度对带电粒子与电磁场的相互作用进行研究，对外尔的理论加以改进，将实数形式标度因子嵌人虚单位-i，从而将尺度变换更改为相位变换。如此这般，就能打消爱因斯坦的质疑了，时钟路径的不同只会影响时钟相位的变化，却并不会影响时钟的快慢。正如伦敦在外尔理论的量子力学解释中所描述的那样，“这意味着任何空间间隔都必须被看作是一个复数量，而整体间隔测量的外尔变量的结果是在常数模相位的变化”。虽然很难理解虚数的物理意义，但对于虚数的使用，伦敦是坚定的：“一个更为严重的问题是如何理解路径连接的复数形式。我们不应该始终将自己限制在实数领域。而是应该注意到另一个事实，那就是波函数本质上就是复数的。”不过，他同时也感到不安：“正是这种波（复振幅）经历了外尔为他的规范尺度所假定的影响，作为当时物理学的一个多余元素，不得不赋予它一种形而上学的存在。”在当时看来，虚数始终是实验上一个不可测量量物理学家把具有相位的复振幅引入大自然的描述，这不仅成为量子力学的基本核心内容，同时还揭开了建立标准模型的序幕。狄拉克曾这样描述相位对于建立量子力学的重要性：“相位这个物理量巧妙地隐藏在大自然中，正由于它隐藏得如此巧妙，人们才没能更早建立量子力学。”更进一步阐述，所有的相互作用包括电磁力、强力、弱力、引力等都是某种形式的规范场，而规范场论中的对称性、规范变换等核心概念无不与相位相关；同时，规范场与数学概念纤维丛关系密切，而纤维同样是复相位。可以说，将相位放置到任何高的位置都不为过，正如杨振宁描述相位：“规范场就是把相位这个观念的重要性提到最高，等于是问这样的问题：为什么有电磁波？为什么有引力？为什么有强力？为什么有弱力？这些，都是因为相位的对称的观念而来的。”他认为，如果现在重新命名，规范不变性应该叫相位不变性，而规范场应该称为相位场。寻找实数量子理论虚数在数学中是必不可少的，并且为现代物理学的发展立下汗马功劳，但是它一直以来始终是一个在实验上形而上学的不可测量量。在量子力学中，虽然算符是虚数的形式，但可观察量的算符一定是厄米算符，因为厄米算符的本征值为实数，任何可观测量都是实数。这是量子力学建立的五个基本假设之一。由于虚数无法用实验进行测量，那么就产生一个疑问：是否可以用纯实数来建立量子力学？这个问题困扰了薛定谔、洛伦茨、普朗克等一众物理学家，毕竟实数量子理论看起来更加自然。尽管量子力学理论最终仍以复数形式建立起来，但是也从未排除使用实数形式的可能性。最早从19 36 年开始，包括冯诺伊曼在内的很多物理学家尝试只运用实数来建立量子力学理论。前文提到，量子力学理论使用希尔伯特空间中的向量来表示物理系统的状态。由于复数空间和二维实平面是同构的，复数的实部和虚部分别构成二维实平面的两个维度，故对单个孤立的量子系统而言，可以简单通过将希尔伯特空间的维数加倍获得实数形式的描述。凭借这样的方式，物理学家甚至可以模拟量子系统的么正演化。但是这样的模拟如果拓展到多粒子系统就力不从心了，因为多粒子体系会牵扯到量子纠缠。虽然，爱因斯坦并不认同量子纠缠，但是其已经被贝尔不等式检验实验证实，量子力学并不能按照经典物理学框架去理解。因此，实数量子力学用于讨论贝尔定理所预测的实验结果是困难的。另外，量子力学系统的状态会随带有复相位的时间演化算符e普而演化，复数可以实现连续时间演化，但实数只能是分立时间的演化。不过，2 0 0 9 年转机出现。加拿大滑铁卢大学的莫斯卡（M.Mosca）团队在理论上证明，可以完全脱离虚数，仅使用具有实系数的状态和算符，通过实数形式的希尔伯特空间描述量子力学系统及其演化，包括连续时间演化和多粒子体系的演化，能重现标准贝尔定理75卷3 期282023年5月科学SCIENCE所预测的统计实验结果。该理论提供了对虚数质疑的依据，但依然缺乏一个真正的实践检验实验验证2021年，巴塞罗那科技学院的雷诺（M.Renou）等人为解决虚数和实数之争，提出了一个在当前技术条件下切实可行的实验方案2 实虚检验实验。该实验方案对贝尔不等式检验实验进行了扩展，将一个纠缠源和三处测量点改为两个纠缠源以及三处测量点。研究人员在理论层面分析发现，标准量子力学以及实数量子力学的实验结果不同。若实虚检验实验成功付诸实践，就可以驳斥实数量子力学贝尔不等式检验实验中，仅需要多组相互纠缠的粒子分别发射到相距足够远的两处进行统计测量，就可以获得实验结果。实虚检验实验则需要两个独立的纠缠源分别发送两组纠缠粒子对到三处测量点。纠缠源S1和S2分别制备纠缠粒子m、n 和p、q，n、p 发射到B测量点，m、q 分别发送到A、C测量点,对B处的n、p 两粒子进行一次特殊的测量，就可以实现本来毫无关联的m、q 两粒子的纠缠，这个过程被称作纠缠交换。将上述过程重复多次，并加权各处联合测量的概率分布，可获得关联参数。理论分析虚数量子力学关联参数上限值为6 2 8.49，而实数量子力学为7.66，经典物理学则为6.0。如果实验测量获得的关联参数值在7.6 6 和8.49 之间，就可以排除实数量子力学6.07.668.49经典物理学实数量子力学虚数量子力学经典物理学、实数量子力学以及虚数量子力学三种理论框架下预测的关联参数上限值纠缠源纠缠源S1纠缠源S2相互纠缠相互纠缠相互纠缠mnC距离足够远距离足够远距离足够远以关闭定域性漏洞以关闭定域性漏洞以关闭定域性漏洞贝尔不等式检验实验示意图（左）与实虚检验实验示意图（右）X=1,2,3,4,5,6Z=1,2,3Bb=00,01,10,11a=+1,-1C=+1,-1106m89m104m110m潘建伟团队在校园内设置五处实验点（A、B、C三处测量点以及S1、S2 两处纠缠源），并将五处地点分隔足够远，以期关闭定域性漏洞WeChat:kexuemag29RONTIER前沿得益于量子调控技术的快速发展以及大量贝尔不等式检验实验的经验积累，潘建伟团队和范靖云团队分别利用超导量子比特和和光子的偏振态完成了实虚检验实验验证，获得的实验结果均大于实数量子力学的上限值而小于虚数量子力学的上限值，有力地驳斥了实数量子力学。这两个实验在某种程度上表明虚数在量子力学中发挥着非常基础性的作用，而这是实数无法替代的。不过就像贝尔不等式检验实验一样，上述实验也存在漏洞，随后还会有更多更趋于完美的实验。除了上述实验，还有一项实验也充分证明了虚数不虚。2 0 11年，加拿大国家计量标准研究所的伦迪恩（J.S.Lu n d e e n）团队第一次在实验上实现对波函数实分量和虚分量的直接测量3。这项实验并不是通过传统层析方法去间接获取波函数的信息，而是直接将波函数的实部和虚部数值呈现在测量装置上。基于不确定性原理，一旦精确测量粒子的位置信息，就无法再精确测量其动量信息，这种不确定性由带有虚数的对易关系来描述。一般认为，测量过程被看作是仪器与被测物理系统之间的耦合，会导致仪器指针的偏转，破坏物理系统的原始状态，从而影响其他状态的测量。随着技术的发展，被称作“弱测量”的实验技术诞生，它可以最大限度降低测量过程对于量子态的干扰，不会影响其他状态的测量：先对位置进行一次“弱测量”，随后再对动量进行一次标准的测量，进而直接测量了单个光子复跟踪扫猫NEWS中国科学家发现激酶调控精子发生机制【本刊讯】上海科技大学生命学院高冠军团队以“睾丸特异性丝氨酸/苏氨酸激酶介导的泛磷酸化有助于精子发生和男性生育能力”为题，阐明了睾丸特异性丝氨酸/苏氨酸激酶（T SSK）调控精子发生和雄性不育的分子机制，这对于了解男性不育的原因和开发男性避孕药物有重要理论意义。相关成果于2 0 2 3年5月6 日发表于自然一通讯上。精子发生是一个高度复杂、保守的细胞分裂和分化过程，包括精原细胞的增殖和分化、精母细胞的减数分裂和精子细胞的生成。从精细胞经同步分化发育为成熟精子的过程涉及严格又保守的表观遗传调控。如伴随着精细胞DNA的高度压缩，精子细胞上的组蛋白会经历大量表观修饰后从DNA上剥离，并逐渐被转换蛋白取代，直至最终被鱼精蛋白取代而进一步高度压缩精子细胞内的父系遗传物质。组蛋白一转换蛋白一鱼精蛋白的转换过程是精子细胞成熟的重要表观遗传标记，该过程在从模式生物果蝇到高等哺乳动物、人类都很保守。但目前对于睾丸组织中精子发生过程的分子调控机制仍所知甚少。通过对模式动物果蝇的研究，发现删除睾丸的TSSK同源基因会严波函数。随后，物理学家进一步直接测量了更加复杂多粒子体系乃至纠缠量子态的波函数。这样，量子态测量就有了简单而直接的定义：对一个变量进行弱测量，然后对不对易变量进行标准测量，最终得到两次测量的平均结果。目前，所有的实验均表明虚数量子力学始终是描绘自然界最为成功的理论。相对论和量子力学是当代物理学大厦的基石，它们的核心内容如波函数、不确定原理、规范变换、场方程、量子纠缠、量子干涉乃至相对论性的波函数方程一一狄拉克方程等，均离不开虚数的使用。从上文可知，尽管虚数在这些理论中起到最为基础的作用，却没有明确的定义，而是以一种抽象元素的形式被引人。因此，如何用虚数解释奇妙的量子世界，或者虚数蕴含怎样深刻的物理内涵，还需要进一步去探究。【本文相关研究受国家自然科学基金青年科学基金项目（119 0 42 17）国家社会科学基金重大项目（16 ZDA113）、山西省科技战略研究专项（2 0 2 2 0 40 3140 10 39）资助。】1彭鹏，刘博闻.贝尔检验简史.科学2 0 2 3,7 5(1)：36-41.2 Renou M O,et al.Quantum theory based on real numbers can beexperimentally falsified.Nature,2021,600(7890):625-629.3 Lundeen J S,Sutherland B,Patel A,et al.Direct measurement ofthe quantum wavefunction,Nature,2011,474(7350):188-191.关键词：虚数纠缠交换贝尔实验量子力学实虚检实虚检验实验重影响精子发育中组蛋白到鱼精蛋白的转换，导致精子细胞出现多种表型缺陷，包括精子变形、染色质DNA去凝缩和鞭毛结构紊乱等。研究表明，人类的TSSK可帮助恢复精子这些表型缺陷和组蛋白-鱼精蛋白的完整转换过程。遗传分析结果显示，TSSK的激酶催化活性对于精子育性（雄性生殖）至关重要。同时，磷酸化蛋白组鉴定表明TSSK有大量潜在的底物，这些底物参与精子细胞的微管形成、染色质DNA压缩、鞭毛组织和精子运动等。该研究进一步在体内和体外验证了TSSK能磷酸化转换蛋白和鱼精蛋白，并协调精子成熟过程中染色质DNA的压缩。(晓工)