2023年高考数学理专题突破第一部分专题一第四讲不等式（教学课件）.ppt

第四讲第四讲 不等式不等式 主干知识整合主干知识整合 1一元二次不等式及其解集一元二次不等式及其解集 假设一元二次方程假设一元二次方程ax2bxc0的两个根为的两个根为x1，x2，且，且x10时，时，ax2bxc0的解集为的解集为x|xx2，ax2bxc0的解集为的解集为x|x1xx2(2)当当a0的解集为的解集为x|x1xx2，ax2bxc0的解集为的解集为x|xx2 2简单分式不等式的解法简单分式不等式的解法(1)变形变形f x g x 0(0(0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号时取等号(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值值 4判断判断AxByC0表示的平面区域是在直线表示的平面区域是在直线的哪一侧，方法为：的哪一侧，方法为：(1)C0时，取原点时，取原点(0,0)，假设能满足，假设能满足AxByC0，那么不等式表示的平面区域就是含原点的，那么不等式表示的平面区域就是含原点的区域，反之亦然区域，反之亦然(2)C0时，取点时，取点(0,1)或或(1,0)，判断方法同上，判断方法同上 高考热点讲练高考热点讲练 不等式的解法不等式的解法 例例1 已知不等式已知不等式 ax23x64 的解集为的解集为x|xb(1)求求 a，b；(2)解不等式解不等式xcaxb0(c 为常数为常数)【解】【解】(1)由题知由题知 1，b 为方为方程程 ax23x20 的的两根，两根，即即 b2a，1b3a，解得解得 a1，b2.(2)不等式等价于不等式等价于(xc)(x2)0，当，当 c2 时，解集时，解集为为x|xc或或x2，当，当c2或或x0(a0)，再求相应一元二次方程再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的根，最最后根据相应二次函数图象与后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系轴的位置关系，确定一确定一元二次不等式的解集元二次不等式的解集(2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关关键是找到对参数进行讨论的原因键是找到对参数进行讨论的原因确定好分类标准确定好分类标准、层次清楚地求解层次清楚地求解 变式训练变式训练 1 已知已知 f(x)2x1x2，x01x，x1 的解集为的解集为()A(，1)(0，)B(，1)(0,1)(1，)C(1,0)(1，)D(1,0)(0,1)解析：选解析：选 B.依题意，若依题意，若2x1x21，则，则 x0，且，且x1；若；若1x1，则，则 x0)，即，即 x80 时时“”成立，故选成立，故选B.【答案答案】B【归纳拓展归纳拓展】在利用根本不等式求最值时在利用根本不等式求最值时，要要特别注意特别注意“拆拆、拼拼、凑凑等技巧等技巧，使其满足根本使其满足根本不等式中不等式中“正正(即条件要求中字母为正数即条件要求中字母为正数)、“定定(不等式的另一边必须为定值不等式的另一边必须为定值)、“等等(等号取等号取得的条件得的条件)的条件才能应用的条件才能应用，否那么会出现错否那么会出现错误误而而“定定条件往往是整个求解过程中的一个条件往往是整个求解过程中的一个难点和关键难点和关键解题时应根据条件适当进行添解题时应根据条件适当进行添(拆拆)项项，创造应用根本不等式的条件创造应用根本不等式的条件 变式训练变式训练3 a，b为正数为正数，且直线且直线2x(b3)y60与直线与直线bxay50互相垂直互相垂直，那么那么2a3b的的最小值为最小值为_ 解析：依题意得解析：依题意得 2ba(b3)0，即，即2a3b1,2a3b(2a3b)(2a3b)136 baab1362 baab25，当且仅当，当且仅当baab，即，即 ab5 时取等时取等号，因此号，因此 2a3b 的最小值是的最小值是 25.答案：答案：25 不等式恒成立问题不等式恒成立问题 例例4 不等式不等式mx22xm10.(1)假设对所有的实数假设对所有的实数x不等式恒成立，求不等式恒成立，求m的取值的取值范围；范围；(2)设不等式对于满足设不等式对于满足|m|1的一切的一切m的值都成立，的值都成立，求求x的取值范围的取值范围【解】【解】(1)不等式不等式 mx22xm10 恒成立，恒成立，即函数即函数 f(x)mx22xm1 的图象全部在的图象全部在 x 轴轴下方下方 当当 m0 时，时，12x12时，不等式恒成立，不合题意，舍去时，不等式恒成立，不合题意，舍去 当当 m0 时，函数时，函数 f(x)为二次函数，要使不等式对为二次函数，要使不等式对任意的实数任意的实数 x 恒成立，恒成立，则则 m044m 1m 0 m0，m2m10，不等不等式组无解，式组无解，综上可知，不存在这样的综上可知，不存在这样的 m.(2)把不等式把不等式 mx22xm10 看成关于看成关于 m 的一元的一元一次不等式设一次不等式设 f(m)(x21)m(12x)，则其为，则其为一个以一个以 m 为自变量的一次函数，其图象是直线，为自变量的一次函数，其图象是直线，由题知该直线当由题知该直线当1m1 时线段在时线段在 x 轴下方，轴下方，f 1 0，f 1 0，x22x0.解不等式组得解不等式组得 31x2 x 的取值范的取值范围为围为x|31x0，y0，若，若2yx8xym22m 恒成立，则实数恒成立，则实数 m 的的取值范围是取值范围是()Am4 或或 m2 Bm2 或或 m4 C2m4 D4m0，y0，所以，所以2yx8xy2 168.要使原不等式恒成立，只需要使原不等式恒成立，只需 m22m8，解得，解得 4m2.考题解答技法考题解答技法 例例 (2022年高考天津卷年高考天津卷)log2alog2b1，那么那么3a9b的最小值为的最小值为_【解析】【解析】由由 log2alog2b1 得得 log2(ab)1，即即 ab2，3a9b3a32b2322ab (当且仅当当且仅当 3a32b，即，即 a2b 时时“”号成立号成立)又又a2b2 2ab4(当且仅当当且仅当 a2b 时时“”成立成立)，3 3a a9 9bb2 232321818.即当即当a a2 2b b时时，3 3a a9 9b b有最小值有最小值1818.【答案答案】1818 【得分技巧得分技巧】此题考查了对数式的运算和根本不此题考查了对数式的运算和根本不等式的应用等式的应用，解题关键把解题关键把9 9b b化为化为3232b b，然后两次利用然后两次利用根本不等式根本不等式，根本不等式成立的条件为根本不等式成立的条件为a a2 2b b.【失分溯源】【失分溯源】利用基本不等式易出现的问题：利用基本不等式易出现的问题：(1)应用基应用基本不等式求最值时，不注意验证等号是否本不等式求最值时，不注意验证等号是否成立成立(2)在求形如在求形如 yxkx的函数的最值时，易忽视的函数的最值时，易忽视 x，k的符号，盲目利用基本不等式求解的符号，盲目利用基本不等式求解 变式训练变式训练 已知正项等比数列已知正项等比数列an满足：满足：a7a62a5，若存在两项若存在两项 am，an使得使得 aman4a1，则，则1m4n的最小的最小值为值为()A.32 B.53 C.256 D不存在不存在 解析：选解析：选 A.设正项等比数列设正项等比数列an的公比为的公比为 q，由由 a7a62a5，得，得 q2q20，解得，解得 q2.由由 aman4a1，得，得 2mn224，即，即 mn6.故故1m4n16(mn)1m4n5616 4mnnm564632，当且仅当当且仅当 n2m 时等号成立时等号成立 本局部内容讲解结束本局部内容讲解结束 按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放