2023年高考总复习江苏专用理科第七篇 不等式《第讲 基本不等式及其应用》（教学课件）.ppt

考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 第42讲 根本不等式及其应用(2)考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 基础梳理 1利用基本不等式求最值 若p，k为常数，且a，bR，则(1)a bk，当且仅当ab时，ab有最小值2 k.(2)abp，当且仅当ab时，a b有最大值p24.考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 运用以上结论求最值，要注意以下三个问题：要求各数均为 ；要求和或积为 ；要注意是否具备 成立的条件 2不等式的解法及证法的基本应用(1)求函数的定义域、值域和最大值、最小值问题；(2)判断函数的单调性及其相应的单调区间；(3)利用不等式讨论方程的实根个数、分布范围和解含参数的方程；(4)将不等式同数学其他分支结合起来，解决一些有实际应用价值的综合题 正数 定值 等号 考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 3解不等式应用问题的几个主要步骤(1)审题，必要时画出示意图；(2)建模，建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系；注意文字语言、符号语言、图形语言的转换；(3)求解，利用不等式的有关知识解题.考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 解决本学案问题可归纳为以下几种解法 1对解不等式的题目，需特别注意等价转化；若含有参数，往往要对其分类探求 2对涉及不等式知识的应用题，在合理建立了数量关系之后，判别式、均值不等式是常用解题工具 考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 双基自测 1已知a0，b0，a，b的等差中项是12，且ma1a，nb1b，则mn的最小值是_ 解析 由题意得ab1，mna1ab1b11a1b11a1b(ab)3baab32 baab325.当且仅当ab12时取等号 答案 5 考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 2已知两个数x，y满足x4y5xy，则xy取最小值时，x，y的值分别为_ 解析 由x4y5xy4 xy5 得xy4 xy50，即(xy5)(xy1)0.解得 xy5，当且仅当x4y时取等号 此时x10，y52.答案 10 52 考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 3过定点P(1,2)的直线在x轴与y轴正半轴的截距分别为a，b，则ab的最小值为_ 解析 由题意可得1a2b1(a0，b0)则1a2b12 2ab，解得ab8.当且仅当1a2b，即a2，b4时取等号 答案 8 考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 4已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则ab2cd的最小值是_ 解析 由题知abxy，cdxy，x0，y0，则ab2cdxy2xy2 xy2xy4，当且仅当xy时取等号 答案 4 考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 5(2010 北京东城区联考)要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为_ 解析 设矩形的长和宽分别为x，y，则x2y2100.于是Sxyx2y2250，当且仅当xy时等号成立 答案 50 考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 考向一 不等式在方程及函数中的应用【例1】若关于x的方程4xa 2xa10有实数解，求实数a的取值范围 审题视点 换元后转化为一元二次方程在区间(0，)上有实数解的问题，也可分离参数转化为函数求值域问题 考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 解 法一 令t2x(t0)，则原方程化为t2ata10，问题转化为方程在(0，)上有实数解 0方程较大根大于0 a24a10a 20a22 2.考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 法二 令t2x(t0)，则原方程化为 t2ata10，变形得 a1t21tt212t1 t12t1 t12t12(2 22)22 2.当且仅当t 21时取等号 考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 不等式在方程、函数中的应用，主要是利用不等式的解或者均值不等式求最值，或函数求最值 考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练【训练1】已知函数f(x)1a2x(x0)(1)判断f(x)在(0，)上的增减性，并证明你的结论；(2)解关于x的不等式f(x)0；(3)若f(x)2x0在(0，)上恒成立，求a的取值范围 解(1)任取x1，x2(0，)，且x1x2.则f(x1)f(x2)1a2x11a2x22x2x1x1x2.考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 因为x1x2，x1，x2(0，)所以x2x10，从而x2x1x1x20.所以得到f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故f(x)在(0，)上单调递减(2)由1a2x0(x0)即2axax0.当a0时，解得0 x2a.当a0时，解得x0.当a0时，不等式的解集为x|0 x2a，考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 当a0时，不等式的解集为x|x0(3)f(x)2x0(x0)，即 2x2x1a.要满足此不等式恒成立只需2x2xmin大于或等于1a即可，而2x2x22x2x4，当且仅当x1时取等号 所以41a，解得a0或a14.考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 考向二 不等式在实际问题中的应用【例2】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y920vv23v1 600(v0)(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少(精确到0.1千辆/时)?(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？审题视点 直接对y求最大值即可可对解析式中分子、分母同除以v为运用均值不等式创造条件 考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 解(1)依题意，y9203v1 600v 92032 1 60092083，当且仅当v1 600v，即v40时，上式等号成立，所以ymax9208311.1(千辆/时)(2)由条件得920vv23v1 60010，整理得v289v1 6000，考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 即(v25)(v64)0，解得25v64.所以，当v40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时 考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下4点：先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；在定义域内，求出函数的最值；正确写出答案 考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练【训练2】某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元(1)问第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船，问哪种方案最合算？考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 解 由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列设纯收入与年数的关系为f(n)，则 f(n)50n1216(84n)98 40n2n298.(1)由f(n)0n220n49010 51n10 51.又nN，n3,4，17.即从第3年开始获利 考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练(2)年平均收入为fnn402n49n 4021412.当且仅当n7时，总收益为12726110(万元)f(n)2(n10)2102.当n10时，f(n)max102.总收益为1028110(万元)，但710.第一种方案更合算 考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 考向三 不等式在解析几何中的应用【例3】已知直线xa2y10与直线(a21)xby30互相垂直，a，bR且ab0，则|ab|的最小值是_ 审题视点 由直线垂直可得出a，b之间的关系 解析 因为两直线垂直，则满足a21ba20.所以b11a2，|ab|a11a2a1a2|a|1|a|2，故|ab|的最小值是2.答案 2 考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 在用不等式解决几何问题时，首先要几何问题代数化，再用不等式的相关知识来解决 考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练【训练3】(2011 江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)2x的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是_ 考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 解析 由题意，P，Q关于原点O对称，不妨设P(m，n)为第一象限内的点则m0，n0，n2m，所以PQ24 OP24(m2n2)4m24m216，当且仅当m24m2，即m2 时等号成立，故PQ长的最小值为4.答案 4 考基自主导学考基自主导学 考向探究导析考向探究导析 活页限时训练活页限时训练 单击此处进入单击此处进入 活页限时训练活页限时训练